Метод вариации произвольной постоянной
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение. (2)
Пусть y1,y2,.., yn — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения
L(y)=0. Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю.
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции yj, j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C’j(x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y1,y2,..,yn соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C’j(x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и Cj(x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа. Максимальная степень производной 23456
Пример №1.
Найдём общее решение уравнения y'' + 4y' + 3y = 9e-3x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y» + 4y’ + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1 = e—x и y2 = e-3x. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C1(x)e—x + C2(x)e-3x. Для нахождения производных C’1, C’2 составляем систему уравнений (8)
C′1·e-x+C′2·e-3x=0
-C′1·e-x-3C′2·e
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим
Скачать пример решения
см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн
Пример №2.
Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 8 = 0
D = (-6)2 — 4·1·8 = 4
Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1=e4x, y2=e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y=C1·e4x+C2·e2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C′1·e4x+C′2·e2x=0
C′1(4e4x) + C′2(2e2x) = 4/(2+e-2x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2e-2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = 2/(e2x
C’2 = -2e2x/(e2x+2e4x)
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = 2ln(e-2x +2) — e-2x + C*1
C2 = ln(2e2x +1) – 2x+ C*2
Поскольку y=C1·e4x+C2·e2x, то записываем полученные выражения в виде:
C1 = (2ln(e-2x +2) — e-2x + C*1) e4x = 2 e4x ln(e-2x +2) — e2x + C*1 e4x
C2 = (ln(2e2x +1) – 2x+ C*2)e2x = e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*2 e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e4x ln(e-2x +2) — e2x + C *1 e4x + e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*2 e2x
или
y = 2 e4x ln(e-2x +2) — e2x + e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*1 e4x + C*2 e2x
Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C*1 + C*2 = 3 ln(3) — 1 + C*1 + C*2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e2x(2C1 e2x + C2 -2x +4 e2x ln(e-2x +2)+ ln(2e2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C1 + C
Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C*1 + C*2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C*1 + C*2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C*1 + C*2 = 2
2C1 + C2 = 2
Откуда: C1 = 0, C*2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e4x·ln(e-2x +2) — e2x + e2x·ln(2e2x+1) – 2x·e2x + 2·e2x
404 Cтраница не найдена
Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования.
Размер:
AAA
Изображения Вкл. Выкл.
Обычная версия сайта
К сожалению запрашиваемая страница не найдена.
Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже
|
|
Педагогический (научно-педагогический) составОнлайн-калькулятор: Метод Эйлера
Исследование Математика
Этот онлайн-калькулятор реализует метод Эйлера, который является численным методом первого порядка для решения дифференциальных уравнений первой степени с заданным начальным значением.
Вы можете использовать этот калькулятор для решения дифференциальных уравнений первой степени с заданным начальным значением, используя метод Эйлера.
Для использования этого метода необходимо иметь дифференциальное уравнение вида
Вы вводите правую часть уравнения f(x,y) в поле y’ ниже.
Вам также необходимо начальное значение
и точка, для которой вы хотите приблизить значение.
Последний параметр метода – размер шага – это буквально шаг по касательной для вычисления следующего приближения кривой функции.
Если вы знаете точное решение дифференциального уравнения в форме y=f(x) , вы также можете ввести его. В этом случае калькулятор также наносит решение вместе с аппроксимацией на график и вычисляет абсолютную ошибку для каждого шага аппроксимации.
Описание метода можно найти под калькулятором.
Euler method
Initial x
Initial y
Point of approximation
Step size
Exact solution (optional)
Calculation precision
Digits after the decimal point: 2
Differential equation
Приблизительное значение y
Приблизительное значение
Файл очень большой.
Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.
Метод Эйлера
Итак, предположим, что мы имеем следующее
Если мы вычислим
, то найдем производную y’ в начальной точке.
Для достаточно малых , мы можем аппроксимировать следующее значение y как
Или, короче,
И в общем случае
Продолжаем вычислять следующие значения y , используя это соотношение цель x точек.
Это суть метода Эйлера. это размер шага. Ошибка на каждом шаге (локальная ошибка усечения) примерно пропорциональна квадрату размера шага, поэтому метод Эйлера более точен, если размер шага меньше. Однако глобальная ошибка усечения является кумулятивным эффектом локальных ошибок усечения и пропорциональна размеру шага, поэтому метод Эйлера считается методом первого порядка.
Более сложные методы позволяют достичь более высокого порядка (и большей точности).