Метод крамера с решением онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Метод Крамера онлайн

Примеры решенийРанг матрицыОбратная матрица Метод Гаусса Производная онлайн Определитель матрицыЭкстремум функции Линейная алгебра онлайн Правило СаррюсаМетод обратной матрицы

Назначение метода Крамера: с помощью формул Крамера находится решение системы линейных уравнений. Сам метод принадлежит к прямым методам нахождения СЛАУ.

Шаг №1
Шаг №2
Видеоинструкция
Также решают

Инструкция. Выберите количество переменных, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения СЛАУ методом Крамера). Для проверки решения автоматически генерируется шаблон в Excel. Выберите количество переменных 234567

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы

По координатам вершин пирамиды найти

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление пределов

Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:

Находим определитель D исходной матрицы A.
В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель D_i полученной матрицы.
x_i находится делением D_i на D: x_i = D_i / D.

Суть метода Крамера демонстрирует пример нахождения переменных системы линейных уравнений.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
x₁ + 4x₂ = 5
-2x₁ + x₃ = -1
2x₁ + x₂ + x₃ = 4
Решение. Запишем систему в виде:

A =

1	4	0
-2	0	1
2	1	1

B^T = (5,-1,4)
Главный определитель: ∆ = 1 • (0 • 1-1 • 1)-(-2 • (4 • 1-1 • 0))+2 • (4 • 1-0 • 0) = 15
Заменим первый столбец матрицы А на вектор результата B.

`5`	4	0
`-1`	0	1
`4`	1	1

Найдем определитель полученной матрицы: ∆₁ = 5 • (0 • 1-1 • 1)-(-1 • (4 • 1-1 • 0))+4 • (4 • 1-0 • 0) = 15
x₁ = 15/15 = 1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата B.

1	`5`	0
-2	`-1`	1
2	`4`	1

Определитель полученной матрицы равен ∆₂ = 1 • (-1 • 1-4 • 1)-(-2 • (5 • 1-4 • 0))+2 • (5 • 1-(-1 • 0)) = 15
x₂ = 15/15 = 1
Заменим третий столбец матрицы А на вектор результата B.

1	4	`5`
-2	0	`-1`
2	1	`4`

Определитель этой матрицы равен ∆₃ = 1 • (0 • 4-1 • (-1))-(-2 • (4 • 4-1 • 5))+2 • (4 • (-1)-0 • 5) = 15
x₃ = 15/15 = 1
Проверка решения:
1•1+4•1+0•1 = 5
-2•1+0•1+1•1 = -1
2•1+1•1+1•1 = 4

Вывод:

Смысл метода Крамера: находим определитель D_i, получаемый из заменой i-го столбца на столбец свободных членов и делим его на главный определитель D.
x_i = D_i / D
Метод Крамера относится к простым для реализации методам решения СЛАУ и получил широкое распространение в разных областях знаний (например, при нахождении уравнений регрессий). Недостатком метода является его практическая непригодность для вычисления СЛАУ с большим количеством переменных (от 5 и выше). Для этого случая используют приближенные методы (например, метод простой итерации).

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Как решить систему уравнений. Руководство к онлайн сервису

Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение

Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

В указанных онлайн-калькуляторах решение сохраняется в формате Word со всеми выкладками.

Также доступна проверка решений в Excel.

Прямые методы

Решение СЛАУ методом Гаусса. Этот сервис также используется для исследования системы алгебраических уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Решение СЛАУ методом Крамера происходит через нахождение определителей матрицы.
Метод обратной матрицы. Также смотрите онлайн-калькулятор по нахождению матричных уравнений (A*X = B, X*A = B, и других).

Исследование системы линейных уравнений

Базисные решения системы линейных уравнений.
Исследование системы линейных уравнений на совместность и определенность.
Решение системы линейных однородных уравнений позволяет найти нетривиальное и фундаментальное решения.
Координаты вектора в базисе. В естественном базисе заданы векторы a=(1,1,0)^T, b=(1,-1,1)^T, c=(-3,5,-6)^T, d=(4,-4,5)^T. Показать, что векторы образуют базис.

Итерационные методы

Решения СЛАУ методом простой итерации.
Решения СЛАУ методом Зейделя.
Решения системы методом декомпозиции (LU-разложение).

см. также раздел Высшая математика онлайн: онлайн-сервисы по аналитической геометрии, линейной алгебре, теории вероятности и другим.

Методы нахождения определителей

Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
Определитель матрицы методом треугольников
Определитель матрицы методом понижения порядка
Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
Определитель матрицы методом декомпозиции

При изучении данной темы могут понадобится следующие онлайн-калькуляторы:

Ранг матрицы
Обратная матрица через алгебраические дополнения .Определение миноров матрицы, алгебраических дополнений, транспонированной матрицы
Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Умножение матриц
Преобразование матрицы до треугольной
LU разложение матрицы

Калькулятор по аналитической геометрии и векторной алгебре

Помощь в решении
Поиск
Поддержать проект

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.

Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

калькулятор правил Cramer — (2×2, 3×3 и 4×4) Матрицы

Формула правила краса

x = D _x /D

Y = D _Y /D

Z = D _y /D

Z = D _Z /D

Z = D /D

Where,

D _x, D _y, and D _z are determinant of matrix x, y, and z соответственно и

D — определитель главной матрицы.

Калькулятор правила Крамера эффективно решает одновременные линейные уравнения и мгновенно находит значения переменных в уравнении. Он также применяет правило Крамера для матриц 2×2 , 3×3, и 4×4 .

Если вы знаете, как использовать правило Крамера в системе 2×2 и ищете реализацию правила Крамера в системах 3×3 или 4×4, продолжайте читать следующие разделы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод оценки значения заданных неизвестных переменных в линейных уравнениях. Оно было предложено Габриэлем Крамером в 1750 году. Используя это правило, можно с легкостью решать одновременные линейные уравнения.

Как решать линейные уравнения по правилу Крамера?

Чтобы решить одновременные линейные уравнения с использованием правила Крамера, выполните следующие действия.

Пример:

Решите приведенные ниже уравнения для х, у, и z.

2x+3y+5Z = 10

5x+3y+2Z = 12

x+5y+0z = 8

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999009
9005 . Шаг 1: Используя коэффициенты, переменные и константы, составьте матрицу, как показано ниже.
Шаг 2: Найдите определитель главной матрицы. Предположим, что основная матрица равна D.

= 2[(3×0)-(2×5)] — 3[(5×0)-(2×1)] + 5[( 5×5)-(3×1)]
= 2(0-10) — 3(0-2) + 5(25-3)
= -20 + 6 + 110
|Д| = 96
Шаг 3: Построить матрицы x, y, и z , заменив 9000 0 0 0 5 9002 и z столбцов основной матрицы D постоянной матрицы соответственно.
Шаг 4: Возьмите определитель всех трех новых матриц x, y, и z .
D _x = 10[(3×0)-(2×5)] — 3[(12×0)-(2×8)] + 5[(12×5) -(3×8)]
D _x = -100 + 48 + 180
D _x = 128
D _y = 2 [12 × 0)- (2 × 8]- 100005 = 2 (2×1)] + 5[(5×8)-(12×1)]
D _y = -32 + 20 + 140
7 D
6

D _z = 2[(3×8)-(12×5)] — 3[(5×8)-(12×1)] + 10[(5× 5)-(3×1)]
D _Z = -72 — 84 + 220
D _Z = 64
Шаг 4: Применить правила Крамера и поместить значения.
x = D _x /D = 128/96
x = 1. 33
y = D _y /D = 128/96
y = 1,33
z = D _z /D = 64/96
z = 0,67
Таким образом, мы получили x = 1,33, Y = 1,33, и z = 0,67 после применения правила Cramer’s Pult на данный 3x 3×31931931 800008. уравнение.
Ссылки:
Stapel, Правило Э. Крамера.
Δ = 12
Δ _X = -80
Δ _Y = 100
Δ _z = -8
x = -6,6667
y = 8,3333
z = -0,6667
Рассчитайте
Сообщить об этом AD
Рассчитайте
. почти в одно и то же время. Секи впервые написал об этом в 1683 году в своем Методе решения скрытых проблем . Секи разработал шаблон для определителей для $2 \times 2$, $3 \times 3$, Матрицы $4\times 4$ и $5\times 5$ и использовали их для решения уравнений. В том же году Г. Лейбниц написал о методе решения система уравнений. Этот метод известен как Правило Крамера . Определитель квадратной матрицы $A$ — это уникальное действительное число, являющееся атрибутом матрицы $A$. Определитель матрицы $A$ обозначается через $det(A)$ или $|A|$.

Правило Крамера — это формула решения системы линейных уравнений. Он выводит решение в терминах определителей матрицы и матриц, полученных из нее, заменой одного столбца вектором-столбцом правых частей уравнений. Оно названо Габриэлем Крамером (1704–1752), а правило для произвольного числа неизвестных опубликовано в статье [Cramer, G. (1750), 9{th}$ столбца основной матрицы вектором правых частей уравнений и вычислить его определитель $D_x$.
Чтобы найти $x$-решение системы линейных уравнений по правилу Крамера, разделите определитель $D_x$ на главный определитель $D$;
Повторите предыдущий шаг для каждой переменной;
Если главный определитель равен нулю, то система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Правило Крамера с двумя переменными
: Рассмотрим систему уравнений:
$$\begin{align} &a_1x+b_1y=\color{blue}{c_1}\\ &a_2x+b_2y=\color{синий}{c_2}\end{align} $$ Главный определитель равен $$D=\left| \begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 &b_2 \\ \конец{массив} \право|$$ а два других определителя равны $$D_x=\влево| \begin{массив}{cc} \цвет{синий}{c_1} и b_1 \\ \цвет{синий}{c_2} &b_2 \\ \конец{массив} \right|\quad\mbox{and}\quad D_y=\left| \begin{массив}{cc} a_1 & \color{синий}{c_1} \\ a_2 &\color{синий}{c_2} \\ \конец{массив} \право|$$ С помощью определителей $x$ и $y$ можно найти по правилу Крамера как
$$x=\frac{D_x}{D}= \ гидроразрыва {\ влево | \begin{массив}{cc} \цвет{синий}{c_1} и b_1 \\ \цвет{синий}{c_2} &b_2 \\ \конец{массив} \право|}{\лево| \begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 &b_2 \\ \конец{массив} \right|}\quad\mbox{and}\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{\left| \begin{массив}{cc} a_1 & \color{синий}{c_1} \\ a_2 &\color{синий}{c_2} \\ \конец{массив} \право|}{\лево| \begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 &b_2 \\ \конец{массив} \право|}$$ Если каждый определитель равен нулю, система непротиворечива, а уравнения зависимы. Система имеет бесконечно много решений. Если $D=0$ и $D_x$ или $D_y$ не равно нулю, система несовместна и не имеет решения.
Правило Крамера с тремя переменными
: Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{align} &a_1x+b_1y+c_1z=\color{синий}{d_1}\\ &a_2x+b_2y+c_2z=\цвет{синий}{d_2}\\ &a_3x+b_3y+c_3z=\цвет{синий}{d_3}\\ \end{выравнивание} $$ Главный определитель равен $$D=\left| \begin{массив}{ccc} a_1 & b_1 &c_1\\ а_2 &b_2 &c_2\\ а_3 &b_3 &c_3\\ \конец{массив} \право|$$ а остальные три определителя равны $$D_x=\влево| \begin{массив}{ccc} \цвет{синий}{d_1} & b_1 &c_1\\ \цвет{синий}{d_2} &b_2 &c_2\\ \цвет{синий}{d_3} &b_3 &c_3\\ \конец{массив} \право|\quad D_y=\лево| \begin{массив}{ccc} a_1 & \color{синий}{d_1} &c_1\\ a_2 &\color{синий}{d_2} &c_2\\ a_3 &\color{синий}{d_3} &c_3\\ \конец{массив} \right|\quad\mbox{and}\quad D_z=\left| \begin{массив}{ccc} a_1 & b_1 &\color{синий}{d_1}\\ a_2 &b_2 &\color{синий}{d_2}\\ a_3 &b_3 &\color{синий}{d_3}\\ \конец{массив} \право|$$ Решение системы трех уравнений есть $$x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D},\quad \mbox{and}\quad z=\frac{D_z}{D}$$ Например, решим систему линейных уравнений: $$\begin{align} &3x+4y+5z=10\\ &5x+6y+7z=12\\ &4x+5y+0z=15\\ \end{выравнивание} $$ Сначала вычислим главный определитель: $$\begin{align} D&=\left| \begin{массив}{ccc} 3 и 4 и 5\\ 5 &6 &7\\ 4 &5 &0\\ \конец{массив} \right|\&=\left|\begin{массив}{ccc|cc} 3 и 4 и 5&3 и 4 \\ 5 и 6 и 7 и 5 и 6 \\ 4 & 5 & 0 & 4 & 5 \\ \конец{массив} \right. =3\cdot6\cdot0+4\cdot7\cdot4+5\cdot5\cdot 5-5\cdot6\cdot4-3\cdot7\cdot5-4\cdot6\cdot0=12\end{align}$$ Сходным образом, $$ D_x=\left| \begin{массив}{ccc} \цвет{синий}{10} & 4 &5\\ \цвет{синий}{12} &6 &7\\ \цвет{синий}{15} &5 &0\\ \конец{массив} \right|=-80,\quad D_y=\left| \begin{массив}{ccc} 3 & \цвет{синий}{10} &5\\ 5 &\цвет{синий}{12} &7\\ 4 &\цвет{синий}{15} &0\\ \конец{массив} \right|=100,\quad D_z=\left| \begin{массив}{ccc} 3 и 4 &\цвет{синий}{10}\\ 5 &6 &\цвет{синий}{12}\\ 4 &5 &\цвет{синий}{15}\\ \конец{массив} \право|=-8$$
Практические задачи по правилу Крамера
Практическая задача 1:
Используя правило Крамера, решите систему уравнений
$$\begin{align} &2x+4y-z=-1\\ &х+3у+7г=2\\ &х+2у+г=-5\\ \end{выравнивание} $$ Практическая задача 2:
Используя правило Крамера, разделите инвестиции $\$20 500$ между облигацией с годовой доходностью $10\%$ и облигацией с годовой доходностью $8\%$ так, чтобы совокупный годовой доход от инвестиций составил $8,5.
No related posts.