Метод матричный калькулятор: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

правила вычисления матриц, обратных матриц, определителей, сопряженных матриц с примерами и онлайн-калькулятором прямоугольный узор.

A=(aij)=(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)

Главная диагональ

Элементы матрицы для нижних индексов i = j являются элементами главной диагонали. Элементы от нижнего левого угла до верхнего правого называются вторичной диагональю.

Здесь основные диагональные элементы показаны красным цветом:

(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)

и второстепенные диагональные элементы зеленого цвета:

(a11a12…a1m-1a1ma21a22…a2m-1a2m⋮an1an2…anm-1anm)

Единичная матрица

Матрица, в которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, означает единичную матрицу E.

E=(10…001…0⋮00…1)

Транспонированная матрица

Матрица, отраженная по главной диагонали, называется матрицей транспонированной. Для матрицы A = (a _ij ) транспонированная матрица A ^T = (a _ji ). Транспонированием транспонированной матрицы является сама матрица A = (A ^T ) ^Т .

AT=(aij)T=(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)T=(a11a21…an1a12a22…an2⋮a1ma2m…anm)

Определитель

Каждой квадратной матрице можно присвоить уникальный номер, который называется определитель (det(A)) матрицы. В общем случае определитель матрицы NxN определяется формулой Лейбница:

det A=∑σ∈Sn(sgn(σ)Πi=1nAiρ(i))

здесь необходимо распространить сумму на все перестановки σ. Таким образом, из элементов множества A формируются все возможные произведения для каждого n-элемента таким образом, что каждое из произведений каждой строки и столбца содержит ровно один элемент. Эти продукты складываются, и сумма является определителем A. Знак слагаемых положительный для четных перестановок и отрицательный для нечетных перестановок.

Обратная матрица

Обратная матрица A ^-1 определяется следующим уравнением

A⋅A-1=E

Матрицы, для которых существует обратная, называются правильными матрицами. Матрицы, не имеющие обратной, называются сингулярными матрицами.

Для обратной матрицы действуют следующие правила расчета:

(А⋅В)-1=А-1⋅В-1

(A-1)-1=A

Вычисление обратной матрицы A ^-1 выполняется либо с помощью алгоритма Гаусса-Джордана, либо с помощью дополнений. Метод Гаусса-Жордана преобразует матрицу (A | E) в форму (E | A ^-1 ), из которой можно напрямую прочитать обратную. С дополнениями и определителем обратное можно вычислить напрямую как

A-1=1det(A)adj(A)T

Классы матриц

Квадратная матрица A называется симметричной матрицей тогда и только тогда, когда A ^T = A, и антисимметричная матрица применяется, если A ^T = A. Ортогональная матрица тогда и только тогда, когда A ^T = A ^-1

Adjungate Matrix

Дополнение матрицы A вычисляется таким образом, что для каждого элемента матрицы a _ij задается подмножество определитель с удалением строки i и столбца j. Значение этого определителя умножается на (-1) ^i+j , что дает элемент i,j вспомогательной матрицы.

Правила расчета матриц

Умножение матриц ассоциативно:

A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C

Матричное умножение и матричное сложение являются дистрибутивными:

A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C

Для сложения и умножения на действительные числа λ, μ:

(λ+μ)⋅A=λ⋅A+μ⋅A

и:

λ⋅(A+B)=λ⋅A+λ⋅B

Существуют матрицы делителей нуля A ≠ 0 и B ≠ 0 применимо к

A⋅B=0

Для квадратных матриц:

дет(А+В)=дет(А)+дет(В)

Суммирование матриц

Сложение двух матриц A и B осуществляется путем сложения элементов матриц. C = A + B с c _{i, j} = a _{i, j} + b _{i, j}

(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)+(b11b12…b1mb21b22…b2m⋮bn1bn2…bnm)=(a11+b11a12+b12…a1m+b1ma21+b21a22+b22…a2m+b2m⋮an1+bn1an2+bn2… +bnm)

Калькулятор для сложения двух матриц:

Вычитание матриц

Вычитание двух матриц A и B осуществляется путем вычитания элементов матриц. С = А — В с с _{i, j} = а _{i, j} — b _{i, j}

(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)-(b11b12…b1mb21b22…b2m⋮bn1bn2…bnm)=(a11-b11a12-b12…a1m-b1ma21-b21a22-b22…a2m-b2m⋮an1-bn1an2-bn2… -bnm)

Калькулятор для вычитания двух матриц:

Умножение матрицы на скаляр

Умножение матрицы на скаляр осуществляется путем умножения каждого элемента матрицы на скаляр. а * В = а * b _i,j

λ⋅(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)=(λ⋅a11λ⋅a12…λ⋅a1mλ⋅a21λ⋅a22…λ⋅a2m⋮λ⋅an1λ⋅an2…λ⋅anm)

Умножение матриц

Умножение двух матриц A и B требует, чтобы количество столбцов первой матрицы было равно количеству строк второй матрицы. Продукт, полученный путем умножения элементов строки и столбца и суммирования. Для первого элемента результирующей матрицы элементы первой строки первой матрицы умножаются на элементы первого столбца второй матрицы и суммируются. Для других элементов то же самое для других строк и столбцов.

(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)⋅(b11b12…b1jb21b22…b2j⋮bm1bm2…bmj)=(∑k=1m(a1k⋅bk1)∑k=1m(a1k⋅bk2)…∑k= 1m(a1k⋅bkj)∑k=1m(a2k⋅bk1)∑k=1m(a2k⋅bk2)…∑k=1m(a2k⋅bkj)⋮∑k=1m(ank⋅bk1)∑ k=1m(ank⋅bk2)…∑k=1m(ank⋅bkj))

Правило Сарруса

Определитель квадратной матрицы 3×3 вычисляется по правилу Сарруса путем вычитания суммы произведений основных диагональ суммы произведений побочной диагонали.

Расчет обратной по Гауссу-Жордану

Требуется обратная матрица A ^-1 к матрице A. Для этого сначала с единичной матрицей формируется матрица E (A | E). Путем подходящих преобразований нам удалось сформировать (E | A ^-1 ). Далее можно выполнить шаги примера.

A=(a11a12…a1Na21a22…a2N⋮aN1aN2…aNN)

Подход Гаусса-Жордана

(A|E)=(a11a12…a1Na21a22…a2N⋮aN1aN2…aNN|10…001…0⋮00…1)

Преобразования для получения следующей формы.

(E|A-1)=(10…001…0⋮00…1|b11b12…b1Nb21b22…b2N⋮bN1bN2…bNN)

Вычисление сопряженной матрицы

Добавка к матрице A вычисляется таким образом, что для каждому матричному элементу a _ij присваивается субдетерминант с удалением строки i и столбца j. Значение этого определителя умножается на (-1) ^i+j , что дает элемент i,j вспомогательной матрицы.

aij*=(-1)(i+j)|a11a12…a1,j-1a1,j+1…a1n⋮ai-1,1ai-1,2…ai-1,j-1ai-1,j+1 …ai-1,nai+1,1ai+1,2…ai+1,j-1ai+1,j+1…ai+1,n⋮an1an2…an,j-1an,j+1…ann|

Результатом является сопряженная матрица.

adj(A)=(a11*a12*…a1n*a21*a22*…a2n*⋮an1*an1*…ann*)

Умножение вектора на матрицу

Произведение матрицы на вектор равно линейное изображение. Умножение объясняется, если количество столбцов матрицы равно количеству элементов вектора. Результатом является вектор, количество компонентов которого равно количеству строк матрицы. Это означает, что матрица с двумя строками всегда отображает вектор в вектор с двумя компонентами.

A⋅v→=(a11a12…a1ma21a22…a2m⋮an1an2…anm)⋅(v1v2⋮vm)=(a11v1+a12v2+…+a1mvma21v1+a22v2+…+a2mvm⋮an1v1+an2v2+…+anmvm)

Av=λv

можно преобразовать в систему однородных уравнений

(A-λE)v=0

Система уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда исчезает определитель. Это если применимо

det(A-λE)=0

Многочлен называется характеристическим полиномом A, а уравнение является характеристическим уравнением A. Если λ _i является собственным значением A, то решения характеристического уравнения являются собственными векторами A к собственному значению λ _i .

Еще Калькуляторы

Вот список других полезных калькуляторов и сайтов:

6.4. Метод матрицы излучения

В методе матрицы излучения для системы двух излучающих поверхностей, уравнение 6–14 можно расширить как:

or

where:

K’ нельзя рассчитать напрямую, так как это функция неизвестные T _i и T _j . Температуры из предыдущих итераций используются для расчета K’ и решение вычисляется итеративно.

For a more general case, Equation 6–12 can be used to construct a single row in the following matrix equation:

such that:

Solving for {Q}:

and therefore:

Уравнение 6–32 аналогично уравнению 6–12 и может быть настроено для стандартного решение матричного уравнения с помощью процесса, аналогичного показанным шагам в уравнении 6–27 и уравнении 6–28.

[K’] теперь включает термины T ³ и рассчитывается так же, как в уравнении 6–28). Чтобы иметь возможность учитывать эффекты излучения в элементах, отличных от LINK31, MATRIX50 (подструктура элемент) используется для ввода матрицы излучения. MATRIX50 имеет опцию, которая дает указание фазе решения вычислить [K’]. Утилита AUX12 используется для создания матрицы излучения подконструкции. AUX12 вычисляет эффективную матрицу проводимости, [K ^ts ], в уравнении 6–32, а также в качестве факторов просмотра, необходимых для нахождения [K ^ts ]. Пользователь определяет плоские поверхности, которые будут использоваться в AUX12, путем наложения узлы и элементы на излучающей кромке 2-D модели или излучающей лицо 3D модели.

6.4.1. Расчет коэффициента просмотра (2-D): Метод матрицы излучения

В методе матрицы излучения доступны два метода для рассчитать коэффициенты просмотра (команда VTYPE ):

6.

Нескрытый метод вычисляет коэффициент просмотра для каждого поверхность к любой другой поверхности, блокируется ли вид элементом или нет. В этой процедуре используется следующее уравнение и интеграция выполняется адаптивно.

Для конечно-элементной дискретизированной модели уравнение 6–15 для коэффициента обзора F _ij между двумя поверхностями i и j можно записать как:

where:

When the dimensionless расстояние между двумя смотровыми поверхностями D, определенный в уравнении 6–36, меньше, чем 0,1 известно, что точность вычисляемых коэффициентов обзора низкая (Siegal и Хауэлл ([88])).

где:

Таким образом, порядок интегрирования поверхностей адаптивно увеличивается от первого порядка к более высоким порядкам, когда значение D падает ниже 8. Интеграция по площади меняется на интеграцию по контуру, когда D становится менее 0,5 для сохранения точности. Порядок интегрирования контура адаптивно увеличивается по мере приближения D к нулю.

6.4.1.2. Скрытый метод

Скрытая процедура представляет собой упрощенный метод, в котором используется уравнение 6–15 и предполагается, что все переменные постоянна, так что уравнение принимает вид: следующим концептуальным образом. Алгоритм скрытой линии впервые используется для определения того, какие поверхности видны всем остальным поверхность. Тогда каждая излучающая или «просматривающая» поверхность (i) окружена полусферой единичного радиуса. Это полушарие ориентирован в локальной системе координат (x’ y’ z’), центр которой находится в центре тяжести поверхности с осью z, нормальной к поверхности, ось x проходит от узла I к узлу J, а ось y ортогональна остальные оси. Принимающая или «просматриваемая» поверхность (j) проецируется на полушарие точно так, как это могло бы показаться наблюдатель на поверхности i.

Как показано на Рисунке 6.5: Получение проекции поверхности, проецируемая область определяется путем сначала продолжения линии из центра полушария к каждому узлу, определяющему поверхность или элемент. Затем этот узел проецируется до точки, где линия пересекает полушарие и трансформируется в локальную систему x’ y’ z’, как описано в Kreyszig([23])

подсчет количества лучей, падающих на проецируемую поверхность j, и деление по общему количеству лучей (N _р ) эмитируется поверхность я. Этот метод может нарушать правило взаимности излучения, то есть A _i F _ij ≠ А _j F _j-i .

6.4.2. Коэффициенты вида осесимметричных тел

При излучении коэффициентов вида между поверхностями осесимметричных тела вычисляются (команда ГЕОМ ,1,n), спец. используется логика. В этой логике осесимметричный характер тела используется для уменьшения объема вычислений. Таким образом, пользователь нужно только построить модель в плоскости 2-D, представляющую осесимметричную тела как линейные «элементы».

Рассмотрим два осесимметричных тела A и B, как показано на рисунке 6.6: Осесимметричная геометрия.

Рисунок 6.6: Осесимметричная геометрия