Методы вычисления интегралов: 2.1. Основные методы вычисления определенных интегралов

Методы интегрирования

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Пример 1

Вычислите множество первообразных функции f(x)=2x+32·5x+43.

Решение

Для начала изменим вид функции на f(x)=2x+32·5x+43=2x+32·5x+413.

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

∫f(x)dx=∫32·5x+43=2x+32·5x+413dx=∫32·5x+413dx

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

∫f(x)dx=∫2xdx+∫32(5x+4)13dx==∫2xdx+23·∫(5x+4)13dx

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫2xdx=2xln 2+C1

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫xp·dx=xp+1p+1+C, а также правило ∫fk·x+bdx=1k·F(k·x+b)+C.

Следовательно,  ∫f(x)dx=∫2xdx+32·∫5x+413dx==2xln 2+C1+32·320·(5x+4)43+C2==2xln2+940·5x+443+C

У нас получилось следующее:

∫f(x)dx=∫2xdx+32·∫5x+413dx==2xln 2+C1+32·320·(5x+4)43+C2==2xln 2+940·5x+443+C

причем C=C1+32C2

Ответ: ∫f(x)dx=2xln 2+940·5x+443+C

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Пример 2

Вычислите неопределенный интеграл ∫1x2x-9dx.

Решение

Добавим еще одну переменную z=2x-9. Теперь нам нужно выразить x через z:

z2=2x-9⇒x=z2+92⇒dx=dz2+92=z2+92’dz=12·2zdz=zdz

Далее подставляем полученные выражения в исходный интеграл и получаем:

∫dxx2x-9=∫zdzz2+92·z=2∫dzz2+9

Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2∫dzz2+9=23arctgz3+C.

Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:

23arctgz3+C=23arctg2x-93+C

Ответ: ∫1x2x-9dx=23arctg2x-93+C.

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида xm(a+bxn)p, где значения m, n, p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Этот метод объясняет правило интегрирования ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C.

Добавляем еще одну переменную z=k·x+b. У нас получается следующее:

x=zk-bk⇒dx=dzk-bk=zk-bk’dz=dzk

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

∫f(k·x+b)dx=∫f(z)·dzk=1k·∫f(z)dz==1k·Fz+C1=F(z)k+C1k

Если же мы примем C1k=C и вернемся к исходной переменной x, то у нас получится:

F(z)k+C1k=1k·Fkx+b+C

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f(g(x))d(g(x)). После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z=g(x), находим для нее первообразную  и возвращаемся к исходной переменной.

∫f(g(x))d(g(x))=g(x)=z=∫f(z)d(z)==F(z)+C=z=g(x)=F(g(x))+C

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл ∫ctg xdx.

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

ctg xdx=cos sdxsin x

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x·dx=d(sin x), значит:

ctg xdx=cos xdxsin x=dsin xsin x, т.е. ∫ctg xdx=∫dsin xsin x.

Допустим, что sin x=z, в таком случае ∫dsin xsin x=∫dzz. Согласно таблице первообразных, ∫dzz=lnz+C. Теперь вернемся к исходной переменной ∫dzz=lnz+C=lnsin x+C.

Все решение в кратком виде можно записать так:

∫сtg xdx=∫cos xdxsin x=∫dsin xsin x=sin x=t==∫dtt=lnt+C=t=sin x=lnsin x+C

Ответ: ∫сtg xdx=lnsin x+C

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f(x)dx=u(x)·v’xdx=u(x)·d(v(x)), после чего применяется формула ∫u(x)·d(v(x))=u(x)·v(x)-∫v(x)·du(x).  Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл∫arctg(2x)dx.

Решение

Допустим, что u(x)=arctg(2x), d(v(x))=dx, в таком случае:

d(u(x))=u'(x)dx=arctg(2x)’dx=2dx1+4x2v(x)=∫d(v(x))=∫dx=x

Когда мы вычисляем значение функции v(x), прибавлять постоянную произвольную С не следует.

Далее используем формулу интегрирования по частям и получаем:

∫arctg(2x)dx=u(x)·v(x)-∫v(x)d(u(x))==x·arctg(2x)-∫2xdx1+4×2

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку ∫arctg(2x)dx=u(x)·v(x)-∫v(x)d(u(x))=x·arctg(2x)-∫2xdx1+4×2, тогда 2xdx=14d(1+4×2).

Значит

∫arctg(2x)dx=x·arctg(2x)-∫2xdx1+4×2==x·arctg(2x)-14ln1+4×2+C1==x·arctg(2x)-14ln1+4×2+C

Ответ: ∫arctg(2x)dx=x·arctg(2x)-14ln1+4×2+C.

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u(x). В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида sin7x·dx или dx(x2+a2)8, то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

§2. Методы вычисления определенных интегралов

Так как формула Ньютона–Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от непрерывной функции к нахождению первообразной, то все основные методы вычисления неопределенных интегралов переносятся и на задачу вычисления определенных интегралов. Сформулируем эти методы с учетом специфики определенных интегралов.

1. Непосредственное интегрирование

Типовой пример

Вычислить определенный интеграл .

►Используя формулу Ньютона–Лейбница, получим:

.◄

2. Замена переменной в определённом интеграле

ТЕОРЕМА

Пусть:

1. , ;

2. для ;

3. .

Тогда .

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.

Типовые примеры

Вычислить интегралы.

1. .

►

.◄

2. .

►

.◄

3. .

►Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:

и применим подстановку т.е.x = t². Определим новый промежуток интегрирования: х = 4 при t = 2; х = 9 при t = 3. Следовательно,

◄

3.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла

ТЕОРЕМА

Пусть .Тогда

.

Типовые примеры

Вычислить интегралы.

1. .

►Воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Имеем

. ◄

2. .

►

.◄

3. .

►.◄

§3. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской области

1.1. Декартовы координаты

Если на отрезке, торавен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком, слева и справа – прямымии, сверху – функцией. Следствие: если фигура ограничена сверху кривой, снизу – кривой, слева и справа – отрезками прямыхи, то её площадь равна.

Типовые примеры

1) Найти площадь области , ограниченной кривымипри условии, что(дальше мы будем писать так:).

►При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых, уравнение имеет два корня:и;

Подходящий корень – . Область ограничена сверху параболой, снизу – прямой, справа – прямой, крайняя левая точка –, поэтомуЕсли область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части. ◄

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и:

►Построим графики функций и найдем их точки пересечения. Точки пересечения: .Площадь фигуры, ограниченной линиями находится по формуле:

◄

3) Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

►Эллипс имеет две оси симметрии: координатные оси 0х и 0у. Поэтому площадь S фигуры равна учетверённой площади S₁ части (D₁) фигуры, расположенной в первой четверти (заштриховано). Фигура (D₁) ограничена сверху линией , снизу – осью 0х, слева – осью 0у. Поэтому

. Отсюда находим S = 4S₁ = ab. ◄

Если область – сектор, ограниченный лучами,и кривой. В Этом случае.

Типовые примеры

1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

►Точки лемнискаты расположены в секторахи; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в сектореи учетверим её:

◄

2. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды вне окружности.

►Найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды ; для верхней части окружности, поэтому◄

1. 3. Область ограничена кривыми, заданными параметрически Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана в параметрическом виде, то переход в интегралек переменнойприводит к формуле.

Типовой пример

Найти площадь, ограниченную астроидой ().

►Используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точкаполучается при, точка– при, поэтому◄

8.6 Численное интегрирование

Как и в случае с прямоугольниками, разделим интервал на $n$ равных подынтервалов длины $\Delta x$. Типичная трапеция изображена на рис. 8.6.2; его площадь $\ds{f(x_i)+f(x_{i+1})\over2}\Delta x$. Если мы сложим площади всех трапеций получаем $$ \выравнивание{ {f(x_0)+f(x_1)\over2}\Дельта x&+{f(x_1)+f(x_2)\over2}\Дельта x+\cdots+ {f(x_{n-1})+f(x_n)\over2}\Delta x=\cr &\left({f(x_0)\over2}+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+{f(x_n)\over2}\right) \Дельта х. \cr} $$ Это обычно известно как Правило трапеции . Для небольшого числа подынтервалов это не так уж сложно сделать. с калькулятором; компьютер может легко сделать много подынтервалов.

Рисунок 8.6.2. Одна трапеция.

На практике приближение полезно, только если мы знаем, насколько точно это; например, нам может понадобиться конкретное значение с точностью до трех десятичные знаки. Когда мы вычисляем конкретную аппроксимацию интеграл, ошибка есть разница между аппроксимацией и истинное значение интеграла. Для любого метода приближения мы нужно оценка ошибки , значение, которое гарантированно будет больше фактической ошибки. Если $A$ является аппроксимация и $E$ — соответствующая оценка ошибки, то мы знаем что истинное значение интеграла находится между $A-E$ и $А+Е$. В случае нашей аппроксимации интеграла мы хотим $E=E(\Delta x)$ — функция от $\Delta x$, которая быстро становится малой. когда $\Delta x$ становится маленьким. К счастью, для многих функций есть такая оценка ошибки связана с аппроксимацией трапеций. 2+bx+c$ через эти точки и затем проинтегрировать ее, и надеюсь, что результат довольно прост. Хотя алгебра задействована грязно, это оказывается возможным. Алгебра в пределах нормы возможности хорошей системы компьютерной алгебры, такой как Sage, поэтому мы представить результат без всей алгебры; вы можете увидеть, как это сделать это в этом Рабочий лист шалфея. 92+bx+c\,dx= {\ Delta x \ over3} (f (x_i) + 4f (x_ {i + 1}) + f (x_ {i + 2})). $$ Теперь сумма площадей под всеми параболами равна $$ \displaylines{ {\ Delta x \ over3} (f (x_0) + 4f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + f (x_2) + 4f (x_ {3}) + f (x_ {4}) + \cdots +f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}))=\cr {\ Delta x \ over3} (f (x_0) + 4f (x_ {1}) + 2f (x_ {2}) + 4f (x_ {3}) + 2f (x_ {4}) + \ cdots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})).\cr} $$ Это немного сложнее, чем формула для трапеции; нужно запомнить чередование 2 и 4 коэффициентов; обратите внимание, что $n$ должно быть четным, чтобы это имело смысл. Этот метод аппроксимации называется 92}$; на $[0,1]$ это самое большее $12$ в абсолютном выражении. Начнем с оценки количества подынтервалы, которые нам, вероятно, понадобятся. Чтобы получить два десятичных разряда точность, нам обязательно понадобится $E(\Delta x)

На рисунке ниже сравниваются три рассмотренных нами метода. вычисление площади под $y=\sin x$, $0\le x\le \pi/2$. Конечно, это легко вычислить точно: площадь равна $1$.

Используйте ползунок, чтобы изменить количество подынтервалов. 9{3/2}+С. $$ Так что нам это удалось, но для этого потребовался умный первый шаг, переписывание исходная функция, чтобы она выглядела как результат использования цепочки правило. К счастью, есть техника, которая делает такие проблемы проще, не требуя ума, чтобы переписать функцию всего за правильный путь. Иногда это не работает или может потребоваться более одного попытка, но идея проста: угадать наиболее вероятного кандидата на «внутренняя функция», затем выполните некоторые алгебраические вычисления, чтобы увидеть, что это требует, чтобы остальная часть функции выглядела так. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт