Модуль вектора через координаты: Как найти модуль вектора? Ответ на webmath.ru

7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы

Пусть — единичные векторы осей координат, т.е. и каждый из них одинаково направлен с координатными осями. Тройка векторов называется координатным базисом.

Теорема. Любой вектор пространства можно разложить по базису , т.е. представить в виде , где — некоторые числа (буквы: — «мю», — «ню»).

Это разложение единственное.

 Доказательство. Приложим вектор к началу координат, обозначим его конец . Проведем через точку плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть , , — точки пересечения этих плоскостей с осями координат.

Существует единственная тройка чисел , , таких, что

.

Формула называется разложением вектора по координатному базису.

Числа , , — называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. В символическом виде записывают .

Например, если, то его координаты .

Зная координаты вектора , длину его можно найти по формуле

Если известны координаты точек и , то координаты вектора равны: .

Пусть углы вектора с осями , , соответственно равны , , . Числа , , называются направляющими косинусами вектора .

; ; ;

— основное свойство направляющих косинусов вектора.

7.4. Действия над векторами, заданными координатами

Пусть векторы и заданы своими координатами.

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), т.е.

При умножении вектора на число координаты его умножаются на это число, т.е. .

Если вектор коллинеарен вектору , то можно записать , где — некоторое число, т.е. , , . Отсюда, , , или — условие коллинеарности векторов.

7.5. Деление отрезка в данном отношении

,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Пусть даны координаты точек и ; и отношение . Требуется найти координаты точки .

Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат:

.

Аналогично, ; .

В частном случае:

— середина отрезка, т. е. .

Пример. Дан треугольник , где , , .

Найти координаты точки — пересечения биссектрисы угла со стороной .

 , ,

, .

.

Ответ: . 

§ 8. Скалярное произведение векторов

8.1. Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением вектора на вектор

называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается: или .

Найдем проекцию вектора на вектор

.

Из геометрии известно .

Умножим и разделим левую часть на :

, аналогично находим .

8.2. Свойства скалярного произведения

1.

 Доказательство. . 

2. .

3. .

4. .

Определение: Число, равное , называется скалярным квадратом вектора .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины .

 Доказательство. .

6. Скалярное произведение базисных векторов:

, .

8.3. Вычисление скалярного произведения векторов через координаты

Теорема. Если , , то .

 Доказательство. Запишем векторы и в виде разложения по базису, т.е. и .

Тогда

По свойству скалярного произведения базисных векторов :

Таким образом, . 

8.4. Приложения скалярного произведения векторов

1. Установление перпендикулярности ненулевых векторов:

.

Если , то

— условие перпендикулярности векторов.

2. Вычисление проекции вектора на вектор:

и .

3. Определение угла между векторами:

, т.е. .

4. Работа постоянной силы.

Если точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием силы , то работа по перемещению равна:

.

Пример 1. К точке приложены три силы .

Вычислить работу по перемещению точки в точку .

 — равнодействующая трех сил.

.

. 

Пример 2. Дано: , , , .

Найти угол между векторами и .

 Так как или .

,

,

Таким образом, . 

Пример 3. Найти длину вектора , если , ,.





«Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

«Лабинский социально-технический техникум»

Методическая разработка

урока математики

по теме:

«Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»

Подготовила:

преподаватель математики

Пятакова З.В.

Лабинск, 2015

Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.

Цели урока: 

Образовательные:Изучить, что такое “вектор в пространстве», как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научится решать задачи, связанные с векторами.

Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся

Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление знаний.

5. Итоги урока.

6. Самостоятельная подготовка.

Оборудование: Интерактивная доска

Тип урока: Комбинированный.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

Рассказ преподавателя:

ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора.

(Слайд 2)

Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x₁,y₁,z₁), а конец — точкаВ(х₂, у₂, z₂), называются числа a₁= х_2- x_1, a₂=y₂-y_1, a₃=z₂-z₁.

Записывают такой вектор, указывая его координаты:  (a₁ а₂, а₃) или  (a₁ а₂, а₃).

(Слайд 3)

Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка , тогда

а₁ = 0 — 4 = -4, а₂ = 6 — 0 = 6, а₃ = 4 — 3 = 1.

Значит, направленному отрезку  соответствует вектор  (-4; 6; 1) (рис. 67).

(Слайд 4)

Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.

(слайд 5)

Длину вектора  (a₁ а₂, а₃) можно выразить через его координаты. Отложим вектор  от начала координат (рис. 68). Тогда четырехугольник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а₁ и а₂, поэтому ОА_z² = а₁² + а₂². В прямоугольном треугольнике ОА₂ А второй катет А_z А = а₃ и ОА² = ОА²_г + а₃² = а₁² + а₂²+ а₃². Отсюда | | = 

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называютколлинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а  b) или противоположно направлены (а  b). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов a (a₁ а₂, а₃) и b(b₁ b₂, b₃) называется вектор а + b с координатами (а₁ + b₁; а₂ + b₂ ; а₃ + b₃)

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

1. а+b=b+а — переместительный закон сложения;

2. а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство  +  = .

Действительно, для любых трех точек A(a₁ а₂, а₃), B(b₁ b₂, b₃), C(c₁, с₂, с₃)  (b₁ – а₁; b₂ — а₂;b₃ — а₃) и  (с₁ — b_г; с₂ — b₂, с₃ — b₃).

Отсюда  +  =  (с₁ – а₁; с₂ — а₂; с₃ — а₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника(рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то  +  =  .

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.

(слайд 6)

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называютсяпротивоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором bдает вектор а .

Если а (а₁; а₂; а₃) и b( b₁; b₂; b₃), то  — =  (а₁ –b₁; а₂ — b₂; а₃ – b₃).

1. Закрепление знаний

Работа студентов по слайдам. Решение задач у доски по желанию.

(слайд7)

(слайд 8)

(слайд9)

(слайд10)

5.Итоги урока.

Комментирование ответов и решений задач. Выставление отметок.

1. Самостоятельная подготовка.

Составить краткий опорный конспект.

Графическое представление векторов с полярными единичными векторами без преобразования в декартовы координаты

Есть две вещи, которые делают это запутанным. Во-первых, хотя вы можете быть знакомы с математикой, где есть одна декартова система координат и одна полярная система координат, с хорошо известными формулами преобразования из одной системы координат в другую, люди используют не только эти плоские системы координат. Во-вторых, люди иногда используют одни и те же буквы для обозначения очень разных вещей, в зависимости от таких вещей, как наличие или отсутствие «шапки» над буквой.

В полярных координатах можно записать вектор положения $\vec r$ $\vec r = (r, \theta).$ Этими координатами нельзя манипулировать, как декартовыми координатами вектора. Декартовы координаты $(x,y)$ соответствуют векторной сумме с коэффициентами $x$ и $y,$, а именно $x \hat \imath + y \hat \jmath$, где $\hat\imath$ и $\hat\jmath$ — единичные векторы в направлениях $x$ и $y$, но нет общего способа записать $\vec r$ в виде векторной суммы с коэффициентами $r$ и $\theta.$

Однако иногда люди интересуются описанием точки в полярных координатах, а также хотят ответить на определенные вопросы о том, что происходит в этой точке, например, о скорости или ускорении частицы, находящейся там в какой-то момент. во время. Что они иногда делают, так это создают декартову систему координат. «заказные» для этой точки плоскости: вместо использования обычных единичных векторов $\hat\imath$ и $\hat\jmath$, параллельных осям $x$ и $y$, они смотрят на вектор $\vec r$ от начала своих полярных координат до конкретной интересующей точки, и они образуют единичный вектор $\hat r$ в том же направлении, что и $\vec r.

$ Затем они делают другой единичный вектор $\hat \theta$ перпендикулярным $\hat r,$ обычно указывая в направлении возрастания полярной координаты $\theta$.

Итак, рассматриваемая точка на расстоянии и в направлении $\vec r$ от начала координат уже имеет полярные координаты $(r,\theta),$ и мы знаем, как получить из них второй набор координат, а именно декартовы координаты $x = r \cos\theta,$ $y = r \sin\theta$; но теперь кто-то ввел третью систему координат , отличную от любой из этих.

Новая система координат является другой декартовой системой координат, но в общем случае она не ориентирована так же, как система координат $(x,y)$ (если только $\theta$ не равно нулю или другому целому кратному $2\pi$), и мы обычно не считаем, что оно имеет то же начало, что и координаты $(x,y)$ или координаты $(r,\theta)$. Если мы вообще подумаем о его происхождении как о точке на плоскости, мы, скорее всего, будем думать о точке $(r,\theta)$ как о начале этой новой системы.

Было бы очень странно захотеть записать вектор координат , такой как вектор позиции $\vec r$ в этой новой системе координат; обычно это не то, для чего предназначена новая система. Но очень вероятно, что в этой новой системе координат желательно записать вектор скорости или вектор ускорения. Я был бы удивлен, увидев такое уравнение, как $\vec r = 10\hat r + 30\hat \theta$ написано в книге, потому что $\vec r$ обычно является вектором положения, а вещь в правой части уравнения — нет; но я бы совсем не удивился, увидев вектор скорости, написанный $\vec v = 10\шляпа r + 30\шляпа \тета.$

---

Таким образом, когда вы видите выражение вроде $10\hat r + 30\hat \theta,$ вы не ищете способ записи вектора с использованием полярных координат. Вы смотрите на набор декартовых координат в специальной декартовой системе координат. Поскольку эти координаты действительно декартовы, вы можете использовать обычные правила декартовых координат, чтобы добавить их (просто добавляя координаты) или найти величину вектора (используя теорему Пифагора). И вам точно стоит

а не попытка скопировать полярные координаты любой точки в эту систему координат; то есть вообще $$ (r = a,\theta = b) \neq a \hat r + b\theta$$ (точка с полярными координатами $(r,\theta) = (a,b)$ не находится путем построения векторной суммы $a \hat r + b\theta$).

Как найти величину и направление вектора0003

Учебное пособие по физике I для чайников с онлайн-практикой

Изучить книгу Купить на Amazon

В физике, когда вам даны векторные компоненты, такие как (3, 4), вы можете легко преобразовать их в величину/угол. вектора с помощью тригонометрии.

Например, взгляните на вектор на изображении.

Предположим, вам известны координаты конца вектора и вы хотите найти его величину v и угол тета. Благодаря вашим познаниям в тригонометрии вы знаете

Где тангенс тета — тангенс угла. Это значит, что

тета = тангенс ^–1 ( y / x )

Предположим, что координаты вектора равны (3, 4). Вы можете найти угол тета как тангенс ^–1 (4/3) = 53 градуса.

Вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу — величину, v — треугольника, образованного x, y, и v:

Подставьте числа для этого примера, чтобы получить

Итак, если у вас есть вектор, заданный координатами (3, 4), его величина равна 5, а угол равен 53 градусам.

Пример вопроса

1. Преобразование вектора, заданного координатами (1.0, 5.0), в формат величина/угол.

   Правильный ответ: звездная величина 5,1, угол 79 градусов.

   1. Примените теорему Пифагора, чтобы найти величину. Подставьте числа, чтобы получить 5.1.

   2. Применить уравнение тета=тангенс ^–1 ( y / x ), чтобы найти угол. Подставьте числа, чтобы получить тангенс ^–1 (5,0/1,0) = 79 градусов.

Практические вопросы

1. Преобразование вектора (5.0, 7.0) в форму величины/угла.

2. Преобразование вектора (13.0, 13.0) в форму величины/угла.

3. Преобразование вектора (–1,0, 1,0) в форму величины/угла.

4. Преобразование вектора (–5,0, –7,0) в форму величины/угла.

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

1. Величина 8,6, угол 54 градуса

   1. Применить уравнение

   , чтобы найти звездную величину, которая равна 8,6.

   1. Примените уравнение theta = tan ^–1 ( y / x ), чтобы найти угол: tan ^–1 (7,0/5,0) = 54 градуса.

2. Величина 18,4, угол 45 градусов

   1. Применить уравнение

   , чтобы найти звездную величину, которая равна 18,4.

   1. Примените уравнение theta = tan ^–1 ( y / x ), чтобы найти угол: tan ^–1 (13,0/13,0) = 45 градусов.

3. Величина 1,4, угол 135 градусов

   1. Применить уравнение

      , чтобы найти звездную величину, которая равна 1,4.

   2. Примените уравнение тета = тангенс ^–1 ( y / x ), чтобы найти угол: tan ^–1 (1,0/–1,0) = –45 градусов.

      Однако обратите внимание, что угол действительно должен быть между 90 и 180 градусами, потому что первая составляющая вектора отрицательна, а вторая положительна.

      No related posts.