Как найти наибольшее и наименьшее значение функции алгоритм вычисления и нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке, луче, промежутке, интервале
В некоторых задачах нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции. Если неизвестен алгоритм и основные правила, то простое задание превращается в изнурительный труд, который очень редко приносит положительные результаты. В интернете существует множество информации, но не вся она достоверна. Самое страшное — применение неверных методик нахождения.
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:
Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
Область определения
Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).
2 — 27x) и D(12sinx) соответственно.
Обозначение интервалов
Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:
Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток.
Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.
Зависимость от типа
Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:
Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.
Метод нахождения
Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:
В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
(1/2).
Данный пример показывает особенность решения задачи, которая заключается в объединении двух алгоритмов. Это довольно часто практикуется. Результат — объединение трех множеств, при объединении которых получается два интервала.
Сведения о производных
Производная — скоростное изменение какой-либо функции. Эта характеристика присуща не всем, поскольку некоторые из них являются постоянными. Если она имеет производную в некоторой точке, то является дифференцируемой. Дифференцирование применяется не только для исследования функций, но и во многих отраслях науки и техники.
Для нахождения дифференциалов необходима таблица производных. Кроме того, следует освоить все основные правила, поскольку не во всех случаях функция соответствует одному из табличных значений. Для этого нужно воспользоваться некоторыми свойствами. Математики-специалисты рекомендуют применять на начальных стадиях обучения алгоритм нахождения производной, который позволяет существенно сократить время выполнения задания, а также количество ошибок.
Таблица дифференциалов
В некоторых простых задачах возникает необходимость определить производную некоторой элементарной функции. Для этих целей применяется специальная таблица, в которой записаны основные простые выражения.
Данные значения были получены практическим методом — нахождением отношения приращения функции к приращению аргумента. Необходимо учитывать, что последний стремится к нулевому значению.
Однако иногда приходится упрощать выражение, а потом находить его производную. Для этого существует специальный простой алгоритм:
Данный алгоритм справедлив только для простых выражений. Для сложных функций нужно руководствоваться некоторыми свойствами.
Основные свойства
Когда выражение не совпадает с табличным значением или состоит из нескольких элементов, то нужно применять специальные правила. Ими являются следствия из доказательств различных теорем. К ним можно отнести следующие:
3 + 6).Очень важно уметь разбивать выражение на части, поскольку от этого зависит результат решения. В некоторых случаях выражение можно упростить.
Наибольшее и наименьшее значения
Задачи на нахождения максимума и минимума применяются не только в математике, но и в бизнесе, науке, производстве и т. д. Например, вычисление наименьшего значения функции на отрезке (за последний промежуток времени) позволяет узнать минимизацию издержек производства. Кроме того, можно определить максимальную прибыль, найти оптимальную загрузку техники и т. д. Данные значения следует искать на каких-либо интервалах. Они классифицируются следующим образом:
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение производной по графику функции можно также найти, однако расчетный метод намного проще.
Универсальный алгоритм
Для данной операции, как и для других математических действий, существуют определенные правила или последовательность действий, которые называются алгоритмом. Специалисты для решения различных задач в любых сферах рекомендуют использовать их. Они позволяют не только существенно экономить время, минимизируя количество вычислений, но и с их помощью можно избежать некоторых ошибок. Суть алгоритма очень проста. Он состоит из определенной последовательности таких шагов:
2 + 6 * (5) + 9 = 25 + 30 + 9 = 64.Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:
Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.
Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом.
Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.
Наибольшее и наименьшее значения функции
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
функция возрастает
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических
точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
Тогда она возрастает (рис.
1) или
убывает (рис. 2) на этом отрезке.
a
b
функция убывает
значение
наименьшее
значение
a
b
Значит,
наибольшее и наименьшее значения
функции f на отрезке [а; b] — это
значения в концах а и b.
Примеры
Пусть теперь функция f имеет на
отрезке [а; b] конечное число
критических точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a c
b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
Наибольшее и наименьшее
значения функция f может
принимать в критических точках
функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное
число критических точек, нужно
вычислить значения функции во
всех критических точках и на
концах отрезка, а затем из
полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.
1.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
3
-3
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(3) = 33– 27 3 = –54
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
Ответ
— 5 4
3
1 0 х
х
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
3
-3
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
3) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
Ответ
— 5 4
3
1 0 х
х
Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку
экстремума.
наименьшее
значение
a
b
Если это точка минимума, то в этой
точке функция будет принимать
наименьшее значение.
наибольшее
значение
Если это точка максимума, то в этой
точке функция будет принимать
наибольшее значение.
a
b
Другой способ решения
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее и
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3×2 – 27
3
-3
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
y\
y
+
0
-3
–
+
3
min
4
x
3)
y(3) = 33– 27 3 = –54
Ответ
— 5 4
3
1 0
Наименьшее
значение функция
будет принимать в
точке минимума.
Можно сэкономить
на вычислениях
х
х
значений функции в
концах отрезка.
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в
концах отрезка будет сложным.
2. Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 4
y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2
-1
1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3×2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
x = 1 [-2; 0]
x = –1 [-2; 0]
Ответ
6
3
1 0 х
х
3. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2×2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]
Значения функции в
концах отрезка.
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3×2 – 4x + 1= 3(x – 1)(x – 1 )
3
3×2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4
4+2
x1=
= 1 [1; 4]
6
4-2
1
= [1; 4]
x2=
6
3
y(1) = 3
Ответ
3
3
1 0 х
х
x3
9x 7
4. Найдите наибольшее значение функции y
3
на отрезке [ -3; 3 ]
3
( 3)
Значения функции в
у ( 3)
9( 3) 7 9 27 7 11
концах отрезка.
3
33
у (3) 9 3 7 9 27 7 25
3
2
Найдем критические
3
х
точки, которые
у/
9 х 2 9 ( х 3)( х 3)
3
принадлежат
заданному отрезку.
x = 3 [-3; 3]
x = –3 [-3; 3]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
y(-3) = 11
y(-3) = -25
В 11
1 1
3
10 х
х
5. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
3
2
3
2
3
2
y x 3x 1
у(1) 1 3 1 1 1 3 1 1
3
2 2
у (9) 9 3 9 1 (3 ) 27 1
27 27 1 1
Найдем критические
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
3
х 3 0
3
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
1
2
х 2
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
Ответ
1
3
1 0 х
х
2
6. Найдите наименьшее значение функции y x х 3 x 1
3
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
3
2
3
2
y x 2 31x 1
х 21 3
x 1 1 1
у(1) 1 3y
1 x1
3
2 2
у (9) 9 3 9 13 (3 ) 27 1
y х 2 3x 1
27 27 1 1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
1
Запишем функцию
3 в удобном
х 3 виде
0 2
для дифференцирования
3 2
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
х 2
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
Ответ
—
3
3
1 0
х
х
8. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
1
Значения функции в
концах отрезка.
/
1
1
2
х
х
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
36
y х
х
ООФ: x = 0
y x 36
х
1
у (1) Запишем
1 36 функцию
37
в удобном
1
для дифференцирования
виде
1
у (9) 9 36 9 4 13
9
36 х 2 36
1
/
у 1 36 2 1 2
2
х
х
х
( х 6)( х 6)
х2
x = –6 [ 1; 9]
x = 0 D(y)
1
у (6) 6 36 6 6 12
6
Ответ
3 7
3
1 0 х
х
(cosx) – sinx
/
14.
Найдите наибольшее значение функции3
; 0
y = 7cosx +16x – 2 на отрезке
2
у 7 sin х 16
/
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
0
7 sin х 16 0
16
sin х
7
т.к. sin х [ 1;1]
Функция на всей области
определения возрастает.
Нетрудно догадаться,
что у / > 0.
Тогда наибольшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
3
3
3
у
7 cos
16
2 24 2
2
2
2
у(0) 7 cos 0 16 0 2 7 2 5
Ответ
5
3
1 0 х
х
Если вы не догадались,
то вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наибольшее.
(sinx ) cosx
15. Найдите наибольшее значение функции
/
y = 10sinx –
у 10 cos х
/
1. Найти f
/(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
10 cos х
36
36
36
5
; 0
x + 7 на отрезке
6
Критических точек нет.
Тогда наибольшее
значение функция будет
принимать в одном из
концов отрезка.
36
cos х
10
т.к. cos х [ 1;1]
Можно было и раньше
догадаться, что
наибольшее значение
будет именно в левом
конце отрезка!
Как?
1
5
5 36 5
у
10 sin
7 10 30 7 32
2
6
6 6
Синус –нечетная функция
0
Формула приведения
5
5
1
(
)
у 0 sin
10 sin
7 7 Ответ
0 0
sin
sin sin
3 2
6
6
6
3
1 0 х
х
6
2
16. Найдите наименьшее значение функции
/
у / 5 sin x 6
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3
у
2
y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
5 sin x 6 0
6
sin х
5
т.к. sin х [ 1;1]
0
3
5 cos
2
3
6
2
у(0) 5 cos 0 0 4 9
Ответ
9
3
1 0 х
Функция на всей области
определения убывает.
Нетрудно догадаться, что
у / < 0.
Тогда наименьшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
4 9 4
1
х
3
2 ; 0
Если вы не догадались,
то вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наименьшее.
17. Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
1. Найти f /(x)
у / 12 sin x 6 3
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
12 sin x 6 3 0
3
sin х
2
х ( 1)
n
3
3
n
Но нам не нужны ВСЕ
у 12 cos 6 3 2 3 6
12
стационарные
точки.
3
3
3
Необходимо сделать выбор тех
значений, которые попадут в
заданный отрезок
у 12 cos 6 3 2 3 6 6 3 0 ;
2
2
2
у (0) 12 cos 0 6 3 0 2 3 6 18 2 3
Ответ
1 2
3
1 0 х
х
2
17. Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
1.
Найти f /(x)у / 12 sin x 6 3
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
12 sin x 6 3 0
y\
y
0
3
sin х
2
+
–
2
x
3
max
3
Убедимся, что данная точка
является точкой максимума на
заданном промежутке.
Значит, наибольшее значение
функция достигает именно в этой
точке.
Тогда значения функции в концах
отрезка можно не считать.
у 12 cos 6 3 2 3 6 12
3
3
3
Ответ
1 2
3
1 0 х
х
18. Найдите наименьшее значение функции
7 3
14 3
7 3
y = 11 +
–
х–
cosx на отрезке 0 ;
2
18
3
3
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
y\
y
0
–
7 3 14 3
у
sin x
6
3
3
7 3 14 3
sin x 0
3
3
Можно убедиться, что данная
1
n
точка
является
точкой
х ( 1)
минимума
n
sin x
на заданном промежутке.
6
2
/
+
6 min
2
x
Значит, наименьшее значение
функция
достигает
именно в этой
Но нам не
нужны ВСЕ
точке.
стационарные точки.
Тогда
значения
функции
в концах
Необходимо
сделать
выбор
тех
отрезка
можно
не считать.
значений,
которые
попадут в
заданный отрезок
7 3 7 3 14 3
у 11
cos 11 7 4
18
18
3
6
6
В 11
4
0 ; 2
3
10 х
х
(tgx)
/
19. Найдите наименьшее значение функции
1
cos2x y = 4tgx – 4x – 4 + 5 на отрезке 4 ; 4
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
1
у 4
4
2
cos x
/
4
0
4
4 0
2
cos x
cos 2 x 1
Нам не нужны ВСЕ
у 4 5 1
4
у 4 5 9 2
4
у(0) 0 0 5 5
Ответ
4
стационарные точки.
Необходимо сделать выбор тех
значений, которые попадут в
3.
Вычислимзначения функции
заданный
отрезок
в критических точках
;
и на концах отрезка.
4 4
4. Из вычисленных значений
сделаем выбор наименьшего.
1
3
1 0 х
х
(tgx)
/
20. Найдите наибольшее значение функции
1
2
cos x y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке 4 ; 0
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
1
у 3
3
2
cos x
/
0
3
3 0
2
cos x
cos 2 x 1
4
Нам не нужны ВСЕ
3. Вычислим значения функции в критическихстационарные
точках и на концах
точки.отрезка.
Необходимо сделать выбор тех
4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.
значений, которые попадут в
-1
заданный отрезок
3 4 ; 0 3
у 3tg 3 5 3
5 2
4
4
4 0 4 4
у(0) 3tg0 0 5 5
В 11
5
3
10 х
х
English Русский Правила
Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД
Если функция \(y=f(x)\) определена и непрерывна на отрезке \([a;b]\), то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений.
Если свое наибольшее значение \(M\) функция \(f(x)\) принимает в точке \(x_0\in[a;b]\), то \(M=f(x_0)\) будет локальным максимумом функции \(f(x)\), так как в этом случае существует окрестность точки \(x_0\), такая, что \(f(x)\le f(x_0)\).
Однако свое наибольшее значение \(M\) функция \(f(x)\) может принимать и на концах отрезка \([a;b]\). Поэтому, чтобы найти наибольшее значение \(M\), непрерывной на отрезке \([a;b]\), функции \(f(x)\), надо найти все максимумы функции на интервале \((a;b)\) и значения \(f(x)\) на концах отрезка \([a;b]\), то есть \(f(a)\) и \(f(b)\), и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.
Наименьшим значением \(m\) непрерывной на отрезке \([a;b]\) функции \(f(x)\) будет наименьший минимум среди всех минимумов функции \(f(x)\) на интервале \((a;b)\) и значений \(f(a)\) и \(f(b)\).
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значения функции на отрезке, нужно исследовать поведение функции на данном отрезке с помощью производной.
Для этого мы следуем известному алгоритму:
- Находим ОДЗ функции.
- Находим производную функции.
- Приравниваем производную к нулю.
- Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: а) если на промежутке I производная функции \(f'(x)>0\), то функция \(y=f(x)\) возрастает на этом промежутке; б) если на промежутке I производная функции \(f'(x)<0\), то функция \(y=f(x)\) убывает на этом промежутке.
- Находим точки максимума и минимума функции. В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «–». В точке минимума функции производная меняет знак с «–» на «+».
- Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции на концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции;
- или сравниваем значение функции на концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции.
2+3\). График этой функции выглядит так:В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.
1. Рассмотрим функцию на отрезке \(x\in[-1;0]\).
Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: \(f(0)\), а наименьшее – в левом: \(f(-1)\).
2. Рассмотрим функцию на отрезке \(x\in[-1;1]\).
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума \(f(0)\), а наименьшее – в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения \(f(-1)\) и \(f(1)\) и выбрать из них наименьшее.
3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке \(x\in[-1;2]\), то, чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и на правом конце отрезка, то есть \(f(0)\) и \(f(2)\).
Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и на левом конце отрезка, то есть \(f(\frac43)\) и \(f(-1)\).
2} — 2 \cdot 4 + 5 = 13}.\)Следовательно, наибольшее значение функции равно \(f(4)=13\), а наименьшее значение составляет \(f(1)=4\).
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму:
1. Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции.
В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.
В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».
6. Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
- или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.
1. Рассмотрим функцию на отрезке
Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее — в левом: .
2. Рассмотрим функцию на отрезке
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.
3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть и .
Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть и .
Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:
1. ОДЗ функции — множество действительных чисел.
2.
3. , если или
Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике
1.
Задание B15 (№ 26695)Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
2.
3.
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
y(0)=5
Ответ: 5.
2. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [].
1. ОДЗ функции
2.
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
у(0)=5
Ответ: 5.
3. Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [].
1. ОДЗ функции :
2.
3.
,
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции
Ответ: -1
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается.
Попробуйте скачать
FirefoxИ.В. Фельдман, репетитор по математике.
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции алгоритм вычисления и нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке, луче, промежутке, интервале
В некоторых задачах нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции. Если неизвестен алгоритм и основные правила, то простое задание превращается в изнурительный труд, который очень редко приносит положительные результаты. В интернете существует множество информации, но не вся она достоверна. Самое страшное — применение неверных методик нахождения.
Содержание
- Общая информация
- Область определения
- Обозначение интервалов
- Зависимость от типа
- Метод нахождения
- Сведения о производных
- Таблица дифференциалов
- Основные свойства
- Наибольшее и наименьшее значения
- Универсальный алгоритм
- Примеры решений
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства.
Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:
- Нахождение области определения функции (ОДФ).
- Понятие дифференциала и основные методы его нахождения.
- Умение решать уравнения.
- Знание графиков простых функций.
- Основные типы функций, полуинтервал и интервал.
- Жесткая граница обозначается квадратной скобкой «[» или «]». Она обозначает, что число входит включительно в этот интервал. Можно использовать не только одну скобку, но и две одновременно.
- Для обозначения числового значения, которое не входит в промежуток, пользуются круглыми скобками «(» и «)». Их можно применять одновременно.
- Типы границ можно комбинировать.
- Если нужно объединить интервалы, то следует использовать символ «U».
- Алгебраические: рациональные и иррациональные.
- Тригонометрические: sin, cos, tg и ctg.
- Трансцендентные: степенные, показательные и логарифмические.
- Найти корни уравнения знаменателя, приравнивая его к 0.
- Определить интервал, значения из которого может принимать аргумент.
- Первое выражение (решить уравнение): (x — 1) * (x + 1) = 0. Оно имеет два корня: x1 = -1 и x2 = 1. Числовой промежуток: (-бесконечность;-1) U (1;+бесконечность).
- Второе (неравенство): (10 — x) < 0. Интервал: (-бесконечность;10].
- Результат (объединение всех интервалов): (-бесконечность;-1) U (1;10].
- Выполнить математические преобразования (упростить выражение).
- Найти производную по таблице.
- Если константа A (в некоторых источниках «С»), то при дифференцировании ее можно выносить за знак производной: (A * f(x))’ = A(f(x))’.
- Дифференциал суммы или разности 2 и более функций эквивалентен дифференциалу каждой из них: (w(x) + z(x))’ = w'(x) + z'(x) и (w(x) — z(x))’ = w'(x) — z'(x).
- Производная произведения 2 функций соответствует сумме, которая является произведением каждой из них на дифференциал другой: (w(x) * z(x))’ = (w'(x) * z(x) + w(x) * z'(x). 3 + 6).
- Отрезок: [a;b].
- Открытый тип: (a;b), (a;b] и [a;b).
- Промежуток бесконечности (в некоторой литературе обозначается «inf»): (-бесконечность;а], (-inf;а), [a;+inf), (a;+inf) и (-inf;+inf).
- Найти D(f(x)).
- Проверить вхождение заданного интервала.
- Взять производную и выполнить поиск всех точек, в которых она не существует (их может и не быть).
- Приравнять к нулю результат, полученный в пункте 4, и найти корни уравнения. Это и будут стационарные точки, но они могут не существовать. 2 + 6 * (5) + 9 = 25 + 30 + 9 = 64.
- Максимум и минимум (с учетом стационарной точки и интервала): MIN(y) = 0 и MAX(y) = 64.
- D(z) — все значения от бесконечно малого до бесконечно большого чисел.
- Промежуток, на котором нужно найти максимум и минимум, полностью входит в D(f).
- Дифференциал: z’ = 5 (существует во всех точках, а стационарных точек нет вообще).
- Минимум и максимум: MIN(z(-3)) = 5 * (-3) + 10 = -5 и MAX(z(3)) = 5 * (3) + 10 = 25.
- Рассмотреть задания на нахождение множества значений функций;
- Рассмотреть задания на отыскание наименьшего и наибольшего значения функции на промежутке.
- Применение нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции, и решение
практических задач.
Выберите ячейку ниже или справа от чисел, для которых вы хотите найти наименьшее число.
На вкладке Главная в группе Редактирование щелкните стрелку рядом с Автосумма , щелкните Мин. (вычисляет наименьшее) или Макс. (вычисляет наибольшее значение), а затем нажмите клавишу ВВОД.
- Наклон строка например 2x равно 2, поэтому 14t имеет наклон 14
- Функция квадрата , такая как t 2 , имеет наклон 2t, поэтому 5t 2 имеет наклон 5(2t)
- А потом мы сложили их: 0 + 14 − 5(2t)
2+3\). График этой функции выглядит так:
2} — 2 \cdot 4 + 5 = 13}.\)
Задание B15 (№ 26695)
Попробуйте скачать
Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
2 — 27x) и D(12sinx) соответственно.Обозначение интервалов
Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:
Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток.
Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.
Зависимость от типа
Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:
Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.
Метод нахождения
Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:
В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
(1/2).
Данный пример показывает особенность решения задачи, которая заключается в объединении двух алгоритмов. Это довольно часто практикуется. Результат — объединение трех множеств, при объединении которых получается два интервала.
Сведения о производных
Производная — скоростное изменение какой-либо функции. Эта характеристика присуща не всем, поскольку некоторые из них являются постоянными. Если она имеет производную в некоторой точке, то является дифференцируемой. Дифференцирование применяется не только для исследования функций, но и во многих отраслях науки и техники.
Для нахождения дифференциалов необходима таблица производных. Кроме того, следует освоить все основные правила, поскольку не во всех случаях функция соответствует одному из табличных значений. Для этого нужно воспользоваться некоторыми свойствами. Математики-специалисты рекомендуют применять на начальных стадиях обучения алгоритм нахождения производной, который позволяет существенно сократить время выполнения задания, а также количество ошибок.
Таблица дифференциалов
В некоторых простых задачах возникает необходимость определить производную некоторой элементарной функции. Для этих целей применяется специальная таблица, в которой записаны основные простые выражения.
Данные значения были получены практическим методом — нахождением отношения приращения функции к приращению аргумента. Необходимо учитывать, что последний стремится к нулевому значению.
Однако иногда приходится упрощать выражение, а потом находить его производную. Для этого существует специальный простой алгоритм:
Данный алгоритм справедлив только для простых выражений. Для сложных функций нужно руководствоваться некоторыми свойствами.
Основные свойства
Когда выражение не совпадает с табличным значением или состоит из нескольких элементов, то нужно применять специальные правила. Ими являются следствия из доказательств различных теорем. К ним можно отнести следующие:
3 + 6).Очень важно уметь разбивать выражение на части, поскольку от этого зависит результат решения. В некоторых случаях выражение можно упростить.
Наибольшее и наименьшее значения
Задачи на нахождения максимума и минимума применяются не только в математике, но и в бизнесе, науке, производстве и т. д. Например, вычисление наименьшего значения функции на отрезке (за последний промежуток времени) позволяет узнать минимизацию издержек производства. Кроме того, можно определить максимальную прибыль, найти оптимальную загрузку техники и т. д. Данные значения следует искать на каких-либо интервалах. Они классифицируются следующим образом:
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение производной по графику функции можно также найти, однако расчетный метод намного проще.
Универсальный алгоритм
Для данной операции, как и для других математических действий, существуют определенные правила или последовательность действий, которые называются алгоритмом. Специалисты для решения различных задач в любых сферах рекомендуют использовать их. Они позволяют не только существенно экономить время, минимизируя количество вычислений, но и с их помощью можно избежать некоторых ошибок. Суть алгоритма очень проста. Он состоит из определенной последовательности таких шагов:
2 + 6 * (5) + 9 = 25 + 30 + 9 = 64.Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:
Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.
Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом.
Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.
Предыдущая
АлгебраТригонометрический круг со всеми значениями, круг синусов и косинусов, линия, ось тангенса на окружности, как пользоваться и находить точки
Следующая
АлгебраПравила дифференцирования определение, свойства, формулы, алгоритмы вычислений для функций любой сложности, таблица производных, примеры решений
Урок математики по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»
Цель урока: Систематизация и обобщение материала по данной теме:
Ход урока
I. Опрос.
1. Что такое множество значений функций?
2. Чем отличаются задания: найти область определения и найти множество (область) значений функций?
3.Дайте определение наименьшего, наибольшего значений функций?
4. Для каждой ли функции можно указать наибольшее, наименьшее значения?
Приведите пример.
II. Диктант
Для функции найдите множество значений:
А) y=7-x2
Б) y-x2+4x
В) y= lg (x-10)
Г) y=lgx-10
Д) y=5x-3
Е) y=5x-3
Ж) y=|x-5| +9
З) y=arcsin x
2.Укажите функцию, множество значений которой есть промежуток (-)
A) y= x1/3 ; Б)y=2-x ; B)y=tgx ;Г)y=
3. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции
y=3cosx+2
А)-3; Б)-2; В)6; Г)4
Дополнительно
4.
Найдите длину промежутка множества значений
функции
y=
III. Выполнение упражнений на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций с последующей проверкой.
1.Найдите наибольшее значение функции
g(x) = 4 cos (x -), если x ответ [- 2]
2. Найдите наименьшее значение функции
y(x) = 2 — log 25 5 -х нa [- 3;3]. ответ [0,5]
3. Найдите наименьшее значение функции
y =log 3 (3-x2). ответ [-1].
4. Найдите наибольшее целое значение функции
y= — 32,4 * ( ) 3-cos(2+П). ответ[-1]
5. Найдите наибольшее значение функции
y=2,7 нa [l;3]
6. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции
y=2sin2x+cos x [-2,125]
IV. Устные упражнения. Найдите ошибки в решении задачи.
A) Найдите наибольшее значение функции:
y= + 4 = + 4 = sin4x — 2 + 4 = sin4x + 2 .Ответ
3.
Верный ответ 7, так как
|sin4x – 2|+4 = — (sin4x — 2) + 4 = — sin 4x + 2 +4 = 6 — sin 4x. ответ 7.
Б) Найдите наибольшее значение функции:
У=
-lsin(x+)1
5 sin(x+)67
Ответ: верный ответ 1, так как наибольшее значение дроби будет, когда знаменатель принимает наименьшее значение.
V. Решение практической задачи (работа в группах)
Задача:
V(см3) – емкость V=S осн.-h =П R2 h=4
Д=х
R=x Vц=Пh h=; h=
S пол=2ПRh+2П=2ПХ +2П Х2= +2ПХ2=
(x) =
(x) =0 4П-2V=0
Если х0 то, (х)0, если х0 то, (х)0 значит Х= . Функция имеет минимум. Итак, Х= единственная критическая точка на (0;) и является точкой минимума функции S (х), следовательно, функция в этой точке достигает своего наименьшего значения.
h====
Ответ: цилиндр равносторонний.
VI. Множество значений функции (самостоятельная работа)
Найти множество значений функции y=
Решение: y=
Е(у)=
Найдите наибольшее значение функции: а) у= на промежутке [2;5]
б) у= – на промежутке [0;1]
а) решение: функции f(х)=7х-6 и f(х)=определены, непрерывны, возрастают.
Сумма функций имеет те же свойства, значит у= определена, непрерывна, убывает. Наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(2)=5.
б) решение: функция f(х)=и g(х)=определены, непрерывны, возрастают, положительные f(х) и g(х)- обладает теми же свойствами.
f(х)= - непрерывна, определена, положительная, убывает.
У=– - определена, непрерывна, отрицательная, возрастает.
У(0)=— наименьшее значение.
Решение части III.
1.g(х)=4 cos (х-), если x — найти наибольшее.
g()=4cos(= 4cos(= 4cos(= 4cos(=- 4cos=-4=-2
g()=4cos(= 4cos(= 4cos(= 4cos(=- 4cos=-2
g/(х)=-4sin(х-)
g /(х)=0 sin(х-)=0
Опред. знак
g (х)П; ] возрастает g () = –2 – наибольшее.
2. y(x) = 2 — log 25 5 -х нa [- 3;3]. Наименьшее значение
y(x) = 2 — log 25 5 –х = 2+ log 5 5=2+ функция возрастает, значит наименьшее значение y(-3)=0,5
3.
y =log 3 (3-x2).
Д (у)= 3-x2
Х (-;)
= =0
х=0
у(0) = =-1
4. y= — 32,4 * ( ) 3-cos(2х+П)
H(х)= ( ) 3-cos(2х+П)= ( ) 3+cos 2х
Наименьшее значение принимает, если g(x)=3+cos2x
-1 cos2x 1
2cos2x4
g(x) = 2
h(x)y = -32,4* = -3,6 — наименьшее.
y=-32,4*()
-1cos(2x+П)1
-1-cos(2x+П)1
23-cos(2x+П)4
32,4*
32,4*
32,4*- наибольшее.
Ответ: -1
5. y=2,7*e на [1;3]
y=e - возрастает наибольшее значение принимает, если t – наибольшее.
t=3x на [1;3]
t(x)=6x-3x
6x-3x=0
3x(2-x)=0
x=0, x=2/
2 max [1;3].
t=3*2
y=2,7*e=2,7
6. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции
y=2sinx+cosx
y=2(1-cosx)+cos x=2-2cosx+cos x=-2cosx+cos x+2
cos x=t -1
y=-2t+t+2 –
наибольшее значение в вершине параболы.
T0 = — ==
У= ( ) = -2 + + 2 = +2 = 2 + =2
У (-1) = -2-1+2= -1
У(1)= -2=1=2=1
У ()= 2 — наибольшее значение
У (-1) = -1 – наименьшее
Произведение 2 (-1) = -2
5.1 Максимум и минимум
точка локального максимума на функции является точка $(x,y)$ на графике функции, координата $y$ которой равна больше, чем все остальные координаты $y$ на графике в точках «близких к»$(x,y)$. Точнее, $(x,f(x))$ является локальным максимумом, если существует интервал $(a,b)$ с $allocal точкой минимума если он имеет локально наименьшую координату $y$. Опять таки точнее: $(x,f(x))$ является локальным минимумом, если существует интервал $(a,b)$ с $локальным экстремумом является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом.
Локальные точки максимума и минимума хорошо различаются на графике
функцию, и поэтому полезны для понимания формы
график. Во многих прикладных задачах мы хотим найти наибольшее или
наименьшее значение, которое достигает функция (например, мы можем захотеть
найти минимальную стоимость, при которой может быть выполнена некоторая задача) и, следовательно,
определение максимальных и минимальных точек будет полезно для прикладных
также проблемы.
Некоторые примеры точек локального максимума и минимума
показаны на рис. 5.1.1.
Рисунок 5.1.1. Некоторые локальные точки максимума ($A$) и точки минимума ($B$).
Если $(x,f(x))$ — точка, в которой $f(x)$ достигает локального максимума или минимума, и если производная от $f$ существует в точке $x$, то граф имеет касательная, а касательная должна быть горизонтальной. Это достаточно важно, чтобы сформулировать его как теорему, хотя мы не будем его доказывать.
Теорема 5.1.1 (теорема Ферма). Если $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x=a$ и $f$ дифференцируема в $a$, тогда $f'(a)=0$. $\qed$
Таким образом, единственный
точки, в которых функция может иметь локальный максимум или минимум
точки, в которых производная равна нулю, как на левом графике в
рисунок 5.1.1,
или производная не определена, как на правом графике. Любое значение
$x$, для которых $f'(x)$ равно нулю или не определено, называется критическое значение для $f$ и
точка $(x,f(x))$ на кривой называется критическая точка для $f$.
2$ и $f'(0)=0$, но нет ни максимума, ни
минимум в $(0,0)$.
Рисунок 5.1.2. Нет ни максимума, ни минимума, хотя производная равна нулю.
Поскольку производная равна нулю или не определена как в локальном максимуме, так и в точки локального минимума, нам нужен способ определить, какие из них на самом деле происходит. Большинство элементарный подход, но часто утомительный или трудный, состоит в том, чтобы непосредственно проверить, находится ли координата $y$ «близко» к потенциальному максимум или минимум выше или ниже координаты $y$ в точке представляет интерес. Конечно, слишком много точек «рядом» с точкой чтобы проверить, но небольшое размышление показывает, что нам нужно проверить только два, если мы известно, что $f$ непрерывна (напомним, что это означает, что график В $f$ нет ни скачков, ни пробелов).
Предположим, например, что мы определили три точки, в которых
$f’$ равно нулю или не существует: $\ds (x_1,y_1)$, $\ds (x_2,y_2)$, $\ds (x_3,y_3)$,
и $\ds x_15.
1.3). Предположим, что мы вычисляем значение $f(a)$ для $\ds x_1f(x_2)$? Нет: если бы они были, график шел бы вверх от
$(a,f(a))$ до $(b,f(b))$, затем вниз до $\ds (x_2,f(x_2))$ и где-то в
между ними будет точка локального максимума. (Это не очевидно, это
результат теоремы об экстремальном значении, теорема 6.1.2.)
Но в этом локальном максимуме
производная от $f$ была бы нулевой или не существовала бы, но мы
уже известно, что производная равна нулю или не существует только при $\ds x_1$,
$\ds x_2$ и $\ds x_3$. В результате одно вычисление говорит нам, что
$\ds (x_2,f(x_2))$ имеет наибольшую координату $y$ любой точки на
график около $\ds x_2$ и левее $\ds x_2$. Мы можем выполнить то же самое
тест справа. Если мы обнаружим, что по обе стороны от $\ds x_2$ значения
меньше, то должен быть локальный максимум в точке $\ds (x_2,f(x_2))$; если
находим, что по обе стороны от $\ds x_2$ значения больше, тогда
должен быть локальный минимум в $\ds (x_2,f(x_2))$; если мы найдем один из каждого,
то нет ни локального максимума, ни минимума в точке $\ds x_2$.
2-1$. Это определяется
везде и равен нулю в $\ds x=\pm \sqrt{3}/3$. Глядя сначала на
$\ds x=\sqrt{3}/3$, мы видим, что $\ds f(\sqrt{3}/3)=-2\sqrt{3}/9$. Теперь мы тестируем
две точки по обе стороны
$\ds x=\sqrt{3}/3$, убедившись, что ни один из них не находится дальше, чем
ближайшее критическое значение; так как $\ds\sqrt{3}-2\sqrt{3}/9$
и $\ds f(1)=0>-2\sqrt{3}/9$, должен быть локальный минимум при
$\ds x=\sqrt{3}/3$. Для $\ds x=-\sqrt{3}/3$ мы видим, что
$\ds f(-\sqrt{3}/3)=2\sqrt{3}/9$. На этот раз мы можем использовать $x=0$ и $x=-1$,
и мы находим, что $\ds f(-1)=f(0)=0
Конечно, этот пример сделан очень простым благодаря нашему выбору точек для тест, а именно $x=-1$, $0$, $1$. Мы могли бы использовать другие значения, например $-5/4$, $1/3$ и $3/4$, но это сделало бы расчеты значительно утомительнее.
Пример 5.1.3
Найдите все локальные точки максимума и минимума для
$f(x)=\sinx+\cosx$. Производная равна $f'(x)=\cos x-\sin x$. Это
всегда определен и равен нулю всякий раз, когда $\cos x=\sin x$.
напоминая, что
$\cos x$ и $\sin x$ — координаты $x$ и $y$ точек на
единичный круг, мы видим, что $\cos x=\sin x$, когда $x$ равно $\pi/4$,
$\pi/4\pm\pi$, $\pi/4\pm2\pi$, $\pi/4\pm3\pi$ и т. д. Поскольку оба синуса
и косинус имеют период $2\pi$, нам нужно только определить состояние
$x=\pi/4$ и $x=5\pi/4$. Мы можем использовать $0$ и $\pi/2$ для проверки
критическое значение $x= \pi/4$.
Получаем, что $\ds f(\pi/4)=\sqrt{2}$, $\ds f(0)=1
Мы используем $\pi$ и $2\pi$ для проверки критического значения $x=5\pi/4$. соответствующие значения: $\ds f(5\pi/4)=-\sqrt2$, $\ds f(\pi)=-1>-\sqrt2$, $\ds f(2\pi)=1>-\sqrt2$, поэтому существует локальный минимум при $x=5\pi/4$, $5\pi/4\pm2\pi$, $5\pi/4\pm4\pi$ и т. д. Более кратко: локальные минимумы при $5\pi/4\pm 2k\pi$ для каждое целое число $k$. $\квадрат$
В задачах 1–12 найти все локальные максимумы и минимумы точек $(x,y)$ методом, описанным в этом разделе.
Пример 5.1.1 92 &$x \neq 0$\cr}$ (отвечать)
Пример 5.
1.13 Для любого действительного числа $x$ существует единственный
целое число $n$ такое, что $n \leq x
Пример 5.1.14 Объясните, почему функция $f(x)=1/x$ не имеет локальных максимумы или минимумы.
Пример 5.1.15 Сколько критических точек может иметь квадратичная полиномиальная функция? (отвечать)
Пример 5.1.16 Покажите, что кубический многочлен может иметь не более двух критических точки. Приведите примеры, показывающие, что кубический многочлен может иметь нуль, одна или две критические точки. 93 + cx +1$, где $c$ является константой. Сколько и каких видов локальных экстремумов существует? Ваш ответ должен зависеть от значения $c$, т.е. значения $c$ дадут разные ответы.
Вычислить наименьшее или наибольшее число в диапазоне
Excel для Microsoft 365 Excel 2021 Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Дополнительно… Меньше
Допустим, вы хотите выяснить, у кого наименьший процент ошибок в производственном цикле на фабрике или у кого самая большая зарплата в вашем отделе.
Существует несколько способов вычисления наименьшего или наибольшего числа в диапазоне.
Если ячейки находятся в непрерывной строке или столбце
Если ячейки не находятся в непрерывной строке или столбце
Для выполнения этой задачи используйте функции MIN, MAX, SMALL или LARGE.
Пример
Скопируйте следующие данные на пустой лист.
|
|
(A2:A7)Нужна дополнительная помощь?
Вы всегда можете обратиться к эксперту в техническом сообществе Excel или получить поддержку в сообществе ответов.
См. также
БОЛЬШОЙ
МАКСИМУМ
МИН.
МАЛЕНЬКИЙ
Нахождение максимума и минимума с использованием производных
Где находится функция в верхней или нижней точке? Расчет может помочь!
Максимум — это верхняя точка, а минимум — нижняя точка:
В плавно изменяющейся функции максимум или минимум всегда находится там, где функция сглаживает (за исключением седловой точки ).
Где он выравнивается? Где наклон равен нулю .
Где нулевой наклон? Производная говорит нам!
Перейдем сразу к примеру:
Пример: Мяч подбрасывается в воздух. Его высота в любой момент времени t определяется по формуле:
h = 3 + 14t − 5t 2
Какова его максимальная высота?
Используя производные, мы можем найти наклон этой функции:
d dt h = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t
(см.
ниже этот пример, как мы нашли, что производная.)
Теперь найдите, когда наклон равен нулю :
14 — 10t = 0
10t = 14
t = 14 /10 = 1,4
Наклон равен нулю при t = 1,4 секунды
, а высота —
h = 3 + 14×1,4 − 5×1,4 2
h = 3 + 19,6 − 9,8 = 12,8
Итак:
Максимальная высота 12,8 м 4t =
Краткий обзор производных
Производная в основном находит наклон функции.
В предыдущем примере мы взяли это:
h = 3 + 14t − 5t 2
и получили следующую производную:
d dt h = 0(5 + 204 − 14) = 14 − 10t
Что говорит нам о наклоне функции в любой момент времени t
Мы использовали следующие производные правила: 0
Откуда мы знаем, что это максимум (или минимум)?
Мы видели это на графике! Но в остальном.
.. на помощь снова приходят производные.
Возьмем производную от наклона (вторая производная исходной функции):
Производная от 14 − 10t равна −10
Это означает, что наклон постоянно уменьшается (-10): при перемещении слева направо наклон начинается с положительного значения (функция возрастает), проходит через ноль (плоская точка), а затем наклон становится отрицательным (функция падает). :
Наклон, который становится меньше (и проходит через 0), означает максимум.
Это называется тестом второй производной
На графике выше я показал наклон до и после, но на практике делаем тест в точке, где наклон равен нулю :
Проверка второй производной
Когда наклон функции равен нулю при x , а вторая производная при x :
- меньше 0, это локальный максимум
- больше 0, это локальный минимум
- равно 0, то тест не пройден (хотя могут быть и другие способы выяснить это)
«Вторая производная: меньше 0 — максимум, больше 0 — минимум»
Example: Find the maxima and minima for:
y = 5x 3 + 2x 2 − 3x
The derivative (slope) is:
d dx y = 15x 2 + 4x − 3
Квадратичное число с нулями:
- x = −3/5
- х = +1/3
Могут ли они быть максимальными или минимальными? (Пока не смотрите на график!)
Вторая производная равна y» = 30x + 4
При x = −3/5:
y» = 30(−3/5) + 4 = −14
меньше 0, поэтому −3/5 является локальным максимумом
При x = +1/3:
y» = 30(+1/3) + 4 = +14
больше 0, поэтому +1/3 является локальным минимумом
(Теперь вы можете посмотреть на график.
)
слов
Высшая точка называется максимум (множественное число максимум ).
Нижняя точка называется минимум (множественное число минимум ).
Общее слово для обозначения максимума или минимума: экстремум (во множественном числе экстремум ).
Мы говорим местное максимальное (или минимальное), когда могут быть более высокие (или более низкие) точки в другом месте, но не поблизости.
Еще один пример
Пример: Найдите максимум и минимум для:
y = x 3 − 6x 2 + 12x − 5
Производная:
d dx y = 3x 2 − 12x + 12
Какое число является квадратичным с одним нулем в x = 2
Это максимум или минимум?
Вторая производная равна y» = 6x − 12
При x = 2:
y» = 6(2) − 12 = 0
это 0, поэтому тест не пройден 5 2 9000 И вот почему:
Это точка перегиба («седловая точка»)… наклон действительно становится нулевым, но это не максимум и не минимум.
Должен быть дифференцируемым
И есть важный технический момент:
Функция должна быть дифференцируемой (производная должна существовать в каждой точке своей области определения).
Пример: как насчет функции f(x) = |x| (абсолютная величина) ?
| |х| выглядит так: |
При x=0 очень резкое изменение!
На самом деле он там не дифференцируем (как показано на дифференцируемой странице).
Таким образом, мы не можем использовать метод производной для функции абсолютного значения.
Функция также должна быть непрерывной, но любая дифференцируемая функция также непрерывна, так что мы защищены.
max() и min() в Python
В этой статье представлена очень интересная и малоизвестная функция Python, а именно max() и min(). Теперь по сравнению с их аналогом C++, который допускает только два аргумента, которые слишком строго являются числами с плавающей запятой, int или char, эти функции равны 9.
0400 не только ограничен двумя элементами , но может содержать множество элементов в качестве аргументов, а также поддерживать строки в своих аргументах, что позволяет также отображать лексикографически наименьшую или самую большую строку. Подробная функциональность описана ниже.
max()
Эта функция используется для вычисления максимального значения, переданного в ее аргументе, и лексикографически наибольшего значения, если в качестве аргументов передаются строки.
Синтаксис: max(a,b,c,..,ключ,по умолчанию) Параметры: a,b,c,.. : аналогичный тип данных. Ключ : функция ключа , в которой передаются итерации и выполняется сравнение. по умолчанию: значение по умолчанию передается, если данная итерация пуста Возвращаемое значение: Возвращает максимум всех аргументов. Исключения : Возвращает TypeError при сравнении конфликтующих типов.
Python3
|
Output :
Maximum of 4,12, 43,3,19 и 100 равно: 100
min()
Эта функция используется для вычисления минимума значений, переданных в ее аргументе, и лексикографически наименьшего значения, если в качестве аргументов передаются строки.
Синтаксис: мин(a,b,c,.
., ключ, по умолчанию)
Параметры:
a,b,c,.. : аналогичный тип данных.
ключ : ключевая функция, в которой передаются итерации и выполняется сравнение
по умолчанию : значение по умолчанию передается, если данная итерация пуста
Возвращаемое значение:
Возвращает минимум всех аргументов.
Исключения :
Возвращает TypeError при сравнении конфликтующих типов.
Python3
| 9015 9015 из |
|---|
TypeError : Эти функции выдают TypeError при сравнении конфликтующих типов данных .
|
Output :
Minimum of 4,12,43.3, 19 и GeeksforGeeks:
Ошибка выполнения:
Обратная трассировка (последний последний вызов): Файл "/home/b5da1d7f834a267f94fbbefe1b31a83c.
py", строка 7, в
print (мин( 4,12,43.3,19,"GeeksforGeeks") )
TypeError: неупорядоченные типы: str() < int()
Практическое применение
Одним из практических приложений среди многих является нахождение лексикографически самых больших и наименьших строк, т.е. строк, появляющихся первыми в словаре или последними.
Python3
Эта статья предоставлена Manjeet Singh . Если вам нравится GeeksforGeeks и вы хотите внести свой вклад, вы также можете написать статью с помощью write.geeksforgeeks.org или отправить ее по адресу [email protected]. Посмотрите, как ваша статья появится на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим гикам. Онлайн-заметки Пола Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания Уведомление для мобильных устройств Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. Многие из наших приложений в этой главе будут вращаться вокруг минимальных и максимальных значений функции. Хотя мы все можем визуализировать минимальное и максимальное значения функции, мы хотим быть немного более конкретными в нашей работе здесь. В частности, мы хотим различать два типа минимальных и максимальных значений. Следующее определение дает типы минимальных и/или максимальных значений, которые мы будем рассматривать. Обратите внимание: когда мы говорим «открытый интервал вокруг\(x = c\)», мы имеем в виду, что мы можем найти некоторый интервал \(\left( {a,b} \right)\), не включающий конечные точки, например что \(а<с Также мы будем вместе называть точки минимума и максимума функции экстремумами функции. Таким образом, относительные экстремумы будут относиться к относительным минимумам и максимумам, а абсолютные экстремумы — к абсолютным минимумам и максимумам. Теперь давайте немного поговорим о тонкой разнице между абсолютным и относительным в приведенном выше определении. У нас будет абсолютный максимум (или минимум) при \(x = c\) при условии, что \(f\left( c \right)\) является наибольшим (или наименьшим) значением, которое функция когда-либо принимала в области над которым мы работаем. Кроме того, когда мы говорим «область, над которой мы работаем», это просто означает диапазон \(x\), который мы выбрали для работы с данной проблемой. Могут быть и другие значения \(x\), которые мы действительно можем подставить в функцию, но по какой-то причине исключили их. Относительный максимум или минимум немного отличаются. Все, что требуется для того, чтобы точка была относительным максимумом или минимумом, — это чтобы эта точка была максимумом или минимумом в некотором интервале \(x\) вокруг \(x = c\). Также обратите внимание, что для того, чтобы точка была относительным экстремумом, мы должны иметь возможность смотреть на значения функции по обе стороны от \(x = c\), чтобы увидеть, действительно ли она является максимумом или минимумом в этой точке. Это означает, что относительные экстремумы не возникают в конечных точках области. Они могут возникать только внутри домена. По предыдущему пункту ведутся споры. Некоторые люди считают, что относительные экстремумы могут возникать на конечных точках домена. Однако в этом классе мы будем использовать определение, в котором говорится, что они не могут встречаться в конечных точках домена. Это будет обсуждаться более подробно в конце раздела, как только мы позаботимся о соответствующем факте. Обычно легче понять определения, взглянув на график. Для функции, показанной на этом графике, мы имеем относительные максимумы в точках \(x = b\) и \(x = d\). Обе эти точки являются относительными максимумами, поскольку они находятся внутри показанной области и являются самой большой точкой на графике в некотором интервале вокруг точки. Мы также имеем относительный минимум в \(x = c\), так как эта точка находится внутри области и является самой нижней точкой на графике в интервале вокруг нее. Крайняя правая конечная точка \(x = e\) не будет относительным минимумом, поскольку это конечная точка. Функция будет иметь абсолютный максимум в точке \(x = d\) и абсолютный минимум в точке \(x = a\). Эти две точки являются наибольшей и наименьшей величиной, которой когда-либо будет функция. Мы также можем заметить, что абсолютные экстремумы функции будут возникать либо на концах области, либо на относительных экстремумах. Мы будем использовать эту идею в следующих разделах, так что она важнее, чем может показаться в настоящее время. Давайте быстро рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что у нас есть определения абсолютных экстремумов и относительных экстремумов. 92}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}\left[ { - 1,2} \right]\] Показать решение Поскольку эту функцию достаточно легко изобразить в виде графика, давайте сделаем это. Однако нам нужен только график на интервале \(\left[ { - 1,2} \right]\). Вот график: Обратите внимание, что мы использовали точки в конце графика, чтобы напомнить нам, что график заканчивается в этих точках. Теперь мы можем определить экстремумы на графике. Похоже, у нас есть относительный и абсолютный минимум нуля при \(x = 0\) и абсолютный максимум четыре при \(x = 2\). Обратите внимание, что \(x = - 1\) не является относительным максимумом, поскольку он находится в конечной точке интервала. 92}\hspace{0.25in}{\mbox{on}}\hspace{0.25in}\left[ { - 2,2} \right]\] Показать решение Вот график для этой функции. В этом случае у нас все еще есть относительный и абсолютный минимум нуля в точке \(x = 0\). У нас также все еще есть абсолютный максимум четыре. Однако, в отличие от первого примера, это произойдет в двух точках: \(x = - 2\) и \(x = 2\). Опять же, функция не имеет относительных максимумов. Как показано в этом примере, может быть только одно абсолютное максимальное или абсолютное минимальное значение, но они могут встречаться более чем в одном месте домена. 92}\] Показать решение В этом случае мы не указали домен, поэтому предполагается, что мы возьмем максимально возможный домен. Для этой функции это означает все действительные числа. Вот график. В этом случае график не перестает расти ни с одной стороны, поэтому для этой функции нет никаких максимумов. Независимо от того, какую точку мы выберем на графике, с обеих сторон будут точки как больше, так и меньше, поэтому у нас не может быть никаких максимумов (любого рода, относительных или абсолютных) на графике. Показать решение Опять же, на этот раз мы не ограничиваем домен, поэтому вот график. В этом случае функция не имеет ни относительных, ни абсолютных экстремумов. Как мы видели в предыдущем примере, функции не обязательно должны иметь какие-либо экстремумы, относительные или абсолютные. Пример 6 Определите абсолютный и относительный экстремумы для следующей функции.
\[f\влево( x \вправо) = \cos \влево( x \вправо)\] Показать решение Мы не ограничивали домен для этой функции. Вот график. Косинус имеет экстремумы (относительные и абсолютные), которые встречаются во многих точках. Косинус имеет как относительный, так и абсолютный максимум 1 на \[x = \ldots - 4\pi ,\, - 2\pi ,\,\,0,\,\,2\pi ,\,\,4\pi , \ldots \] Косинус также имеет как относительный, так и абсолютный минимум -1 в точке \[x = \ldots - 3\pi ,\, - \pi ,\,\,\pi ,\,\,3\pi , \ldots \] Как показывает этот пример, граф фактически может иметь экстремумы в большом количестве (в данном случае бесконечном) точек. Теперь мы рассмотрели довольно много примеров и можем использовать эти примеры, чтобы увидеть хороший факт об абсолютных экстремумах. Во-первых, давайте заметим, что все приведенные выше функции были непрерывными функциями. Далее обратите внимание, что каждый раз, когда мы ограничивали домен закрытым интервалом (, т.е. , интервал содержит свои конечные точки), мы получали абсолютные максимумы и абсолютные минимумы. Наконец, только в одном из трех примеров, где мы не ограничивали домен, мы получили и абсолютный максимум, и абсолютный минимум. Эти наблюдения приводят нас к следующей теореме. Предположим, что \(f\left( x \right)\) непрерывно на интервале \(\left[ {a,b} \right]\), тогда существуют два числа \(a \ le c,d \le b\), так что \(f\left( c \right)\) является абсолютным максимумом функции и \(f\left( d \right)\) является абсолютным минимумом функции . Итак, если у нас есть непрерывная функция на интервале \(\left[ {a,b} \right]\), то мы гарантированно имеем как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум функции где-то на интервале. функция теперь будет иметь оба абсолютных экстремума. Мы можем столкнуться с проблемами только в том случае, если интервал содержит точку разрыва. Если нет, то теорема верна. Следует также отметить, что только потому, что функция не является непрерывной в точке, это не означает, что у нее не будет обоих абсолютных экстремумов на интервале, содержащем эту точку. Ниже приведен график функции, которая не является непрерывной в точке заданного интервала, но имеет оба абсолютных экстремума. Этот график не является непрерывным в точке \(x = c\), но имеет как абсолютный максимум (\(x = b\)) так и абсолютный минимум (\(x = c\)). Также отметим, что в данном случае один из абсолютных экстремумов пришелся на точку разрыва, но это не обязательно. Абсолютный минимум легко мог быть в другой конечной точке или в какой-то другой точке внутри области. Суть здесь в том, что этот график не непрерывен и все же имеет оба абсолютных экстремума Суть всего этого в том, что мы должны быть осторожны, чтобы использовать теорему об экстремальном значении только тогда, когда выполняются условия теоремы, и не истолковывать неправильно результат, если условия не соблюдены. Чтобы использовать теорему об экстремальном значении, у нас должен быть интервал, включающий конечные точки, часто называемый закрытым интервалом, и функция должна быть непрерывной на этом интервале. Если у нас нет замкнутого интервала и/или функция не является непрерывной на интервале, то функция может иметь или не иметь абсолютных экстремумов. Нам нужно обсудить одну последнюю тему в этом разделе, прежде чем перейти к первому основному применению производной, которое мы собираемся рассмотреть в этой главе. Если \(f\left( x \right)\) имеет относительный экстремум в точке \(x = c\) и \(f'\left( c \right)\) существует, то \(x = c\) является критической точкой \(f\left( x \right)\). На самом деле это будет критическая точка такая, что \(f'\left( c \right) = 0\). Доказательство этой теоремы см. в разделе «Доказательства производных приложений» главы «Дополнительно». Также обратите внимание, что мы можем сказать, что \(f'\left( c \right) = 0\), потому что мы также предполагаем, что \(f'\left( c \right)\) существует. \[f'\влево( х \вправо) = 2x\] Действительно, \(x = 0\) является критической точкой. Не злоупотребляйте этой теоремой. Это не говорит о том, что критическая точка будет относительным экстремумом. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий случай. Ясно, что \(x = 0\) является критической точкой. Однако в более раннем примере мы видели, что эта функция не имеет никаких относительных экстремумов. Таким образом, критические точки не обязательно должны быть относительными экстремумами. Также обратите внимание, что эта теорема ничего не говорит об абсолютных экстремумах. Абсолютный экстремум может быть или не быть критической точкой. Прежде чем мы покинем этот раздел, нам нужно обсудить пару вопросов. Во-первых, теорема Ферма работает только для критических точек, в которых \(f'\left( c \right) = 0\). Это, однако, не означает, что относительные экстремумы не будут возникать в критических точках, где производная не существует. Чтобы увидеть это, рассмотрим \(f\left( x \right) = \left| x \right|\). Очевидно, что эта функция имеет относительный минимум при \(x = 0\), но в предыдущем разделе мы показали на примере, что \(f'\left( 0 \right)\) не существует. Все это означает, что если мы хотим найти относительные экстремумы, все, что нам действительно нужно сделать, это посмотреть на критические точки, поскольку это места, где могут существовать относительные экстремумы. Наконец, вспомните, что в начале раздела мы заявили, что относительных экстремумов не будет в конечных точках рассматриваемого нами интервала. Причина этого в том, что если мы допустим относительные экстремумы, это вполне может (и фактически в большинстве случаев) нарушить теорему Ферма. Нет оснований ожидать, что конечные точки интервалов будут критическими точками любого вида. Получение наибольшего, наименьшего и среднего значения элемента массива в JavaScript | Чад КэмпбеллФото Хуанхо Харамильо на UnsplashПриложениям часто нужно найти наибольшее или наименьшее значение в списке. Фактически, эталонный инструмент, используемый для поиска эффективного способа слияния массивов в JavaScript, должен был получить максимальное и минимальное время выполнения. Аналогичный тестовый инструмент используется в этой статье , чтобы определить способ эффективного получения наибольшего и наименьшего значения в массиве JavaScript в простой способ. Для достижения этой цели необходимо сначала идентифицировать тип элементов массива. Массив состоит из элементов, которые включают в себя примитивные значения, объекты или и то, и другое. По этой причине в этой статье будет рассмотрена тема для каждого типа элементов. Во-первых, вы увидите, как эффективно находить наибольшее и наименьшее значение в массиве примитивных значений.
Вышеприведенный вывод был определен путем реализации 32 для этой статьи. Исходный репозиторий для этой статьи можно найти здесь. Этот репозиторий включает образцы, показанные в следующих разделах, и инструмент для тестирования. JavaScript позволяет находить самые большие и самые маленькие значения в массиве различными способами. Для этой статьи я реализовал 16 функций, чтобы найти «лучший» способ получить эти значения из массива примитивных значений. В контексте этой статьи «лучший» означает а) быструю и удобочитаемую реализацию, б) надежную и в) в среднем эффективную работу. С учетом этих целей были созданы следующие 8 образцов для поиска наименьшего значения в массиве: образец 1 образец 2 образец 3 образец 4 образец 5 образец 6 образец 7 образец 8 Образцы 1–8 показывают различные способы получения наименьшего значения в массиве примитивных значений. Как было сказано в начале этой статьи, целью была простота. По этой причине в примерах используются встроенные функции JavaScript. Популярные компьютерные алгоритмы, такие как «разделяй и властвуй» и объединение пар, были включены в этот анализ 90 398, а не 90 399. JavaScript позволяет получить самые высокие и самые низкие значения из массива несколькими способами. Используя те же цели, о которых сообщалось ранее, были созданы следующие 8 образцов для поиска наименьшего значения в массиве объектов: объектов. Эти изображения почти идентичны изображениям 1–8 с некоторыми небольшими отличиями. Однако все становится интереснее, когда вы анализируете производительность. По моему опыту, ничто так не привлекает внимание разработчиков к блоку кода, как некоторые тесты. Тесты и код немедленно проверяются на наличие чего-то неуместного или того, что можно улучшить. Это может быть хорошо. Я готов быть цивилизованным, если вы 😉. Для начала приведу результаты, которые я наблюдал при запуске эталонного инструмента из исходного репозитория этой статьи на 13-дюймовом MacBook Air 2020 года с macOS версии 12.0.1 в Google Chrome 96. На изображении 17 показана сводка результатов тестов для ряда сценариев. Эта сводка является результатом четырех других таблиц, представленных здесь. Каждый сценарий запускался 100 раз с 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и 1 000 000 элементов. В результате этих тестовых прогонов и появившихся данных я сделал следующие наблюдения:
Для более точного измерения эффективности каждого подхода следует использовать обозначение Big-O. Если вы хотите узнать о нотации Big-O, ознакомьтесь со следующим дочерним курсом нотации Big-O на Educative. Миллисекунды были использованы на изображении 17 для упрощения обсуждения. Эти наблюдения позволили мне прийти к выводам, изложенным в начале этой статьи. Я рекомендую вам запустить тесты самостоятельно и поэкспериментировать самостоятельно. Лично я надеюсь, что вы запомните эти наблюдения, чтобы создавать лучшие приложения и сервисы. Единственная причина, по которой я написал эту статью, заключалась в том, что я столкнулся с RangeError в приложении. В RangeError было сообщение: Максимальный размер стека вызовов превысил . Код, который я унаследовал, использовал Math.min и Math.max, которые были источником. Хотя реализация выглядела корректно, это был тот случай, когда дьявол прятался в деталях. В этой статье вы узнали, как получить наибольшее и наименьшее значение элемента массива в JavaScript. Если вы найдете более эффективный подход, надеюсь, вы поделитесь им в комментариях ниже. Если вы нашли эту статью полезной, пожалуйста, поаплодируйте 👏 или похлопайте в ладоши ниже. Это позволяет мне и другим знать, что вы нашли эту статью полезной. |
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
В каком-то другом месте могут быть большие или меньшие значения функции, но относительно \(x = c\) или локально по отношению к \(x = c\), \(f\left(c \right)\) равно больше или меньше, чем все другие значения функции, которые находятся рядом с ним.
3}\]
2}}}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{on}}\hspace{0,25in}\left[ {\frac {1}{2},1} \справа]\]