Найдите угол между векторами а и в ответ дайте в градусах: 1)Найдите угол между векторам а и b, если: вектор а=(1;0) вектор b=(2;2)2)При каком значении m…

Задача 1. В квадрате ABCD найдите угол между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AC} .\) Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 45.

Задача 2. В квадрате ABCD найдите угол между векторами \(\overrightarrow {BD} \) и \(\overrightarrow {DC} .\) Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 135.

Задача 3. Дан правильный треугольник АВС со сторонами 8. Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\) Ответ ОТВЕТ: 32.

Задача 4. \circ }.\) Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\) Ответ ОТВЕТ: 9.

Задача 5. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\,\left( {3;\, — 2} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 2;\,4} \right).\) Ответ ОТВЕТ: — 14.

Задача 6. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\,\left( { — 4;\, — 5} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 5;\,2} \right).\) Ответ ОТВЕТ: 10.

Задача 7. При каком значении x векторы \(\vec a\,\left( {x;\, — 3} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,8} \right)\) перпендикулярны? Ответ ОТВЕТ: 6.

Задача 8. При каком значении y векторы \(\vec a\,\left( {7;\,5} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,y} \right)\) перпендикулярны? Ответ ОТВЕТ: — 5,6.

Задача 9. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {3;\, — 4} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\, — 3} \right). \) Ответ ОТВЕТ: 0,96.

Задача 10. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {2;\, — 2} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 3;\,3} \right).\) Ответ ОТВЕТ: — 1.

Задача 11. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( { — 4;\,8} \right),\,\,B\left( {2;\,14} \right)\) и \(C\left( {4;\,0} \right)\) найдите косинус угла С. Ответ ОТВЕТ: 0,8.

Задача 12. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,8} \right),\,\,B\left( { — 1;\,5} \right)\) и \(C\left( {3;\,1} \right)\) найдите косинус угла А. Ответ ОТВЕТ: 0,6.

Задача 13. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,4} \right),\,\,B\left( {2;\,8} \right)\) и \(C\left( {6;\,4} \right)\) найдите угол А . Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 90.

Задача 14. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( { — 1;\,\sqrt 3 } \right),\,\,B\left( {1;\, — \sqrt 3 } \right)\) и \(C\left( {0,5;\,\sqrt 3 } \right)\) найдите угол А. \circ }.\) Ответ ОТВЕТ: — 9.

Реклама

Поддержать нас

Найдите угол φ между векторами: 1) а и b + с; 2) а и b

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Кто-то уже решил? Дайте ответ. Векторы а, b, с единичной длины образуют попарно углы 60º. Найдите угол φ между векторами: 1) а и b + с; 2) а и b — с.

ответы

Вот решение.

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Экскурсии

Мякишев Г.Я.

Досуг

Химия

похожие вопросы 5

Самостоятельная работа 19. Вариант 2. № 2 ГДЗ Геометрия 9 класс Зив Б.Г. Помогите доказать, используя параллельный перенос

Используя параллельный перенос, докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой.
 

ГДЗЭкзаменыГеометрия9 классЗив Б. Г.

Почему сейчас школьники такие агрессивные ?

Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь 

Новости10 классБезопасность

ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А. В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.

Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. (Подробнее…)

ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс

Не могу справиться с заданием, §8№26. Какой высоты должна быть….Геометрия 11 класс ГДЗ Погорелов

Не могу справиться с заданием, §8№26.
Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного ци-
линдром. Какой высоты должна (Подробнее…)

ГДЗ11 классГеометрияПогорелов А.В.

Это правда, что будут сокращать иностранные языки в школах?

 Хочется узнать, когда собираются сократить иностранные языки в школе? Какой в итоге оставят? (Подробнее…)

ШколаНовостиИностранные языки

Вопрос Видео: Нахождение угла между заданным вектором и единичным направленным вектором

Стенограмма видео

Найдите угол между вектором 𝐀 девять, 10, минус четыре и единичным вектором 𝐣. Округлите ответ до ближайшего градуса.

В этом вопросе нам даны два вектора: вектор 𝐀 и вектор единичного направления 𝐣. Нам нужно определить угол между этими двумя векторами. Нам нужно округлить наш ответ до ближайшего градуса. Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с того, что вспомним, как мы находим угол между двумя векторами. Мы знаем, что если 𝜃 — это угол между двумя векторами 𝐮 и 𝐯, то косинус 𝜃 будет равен скалярному произведению между 𝐮 и 𝐯, деленному на модуль вектора 𝐮, умноженный на модуль вектора 𝐯. Мы можем использовать это, чтобы найти угол 𝜃. Все, что нам нужно сделать, это взять арккосинус обеих частей уравнения.

Здесь стоит отметить, что поскольку диапазон функции арккосинуса находится между 0 и 180 градусами, это всегда будет давать нам меньший угол между векторами 𝐮 и 𝐯. Поэтому, чтобы найти угол между двумя векторами, данными нам в вопросе, нам нужно будет найти их скалярные произведения и модуль обоих этих векторов. Начнем с поиска скалярного произведения между этими двумя векторами. Чтобы найти скалярное произведение между этими двумя векторами, мы начнем с записи нашего вектора единичного направления 𝐣 в компонентной нотации.

Нам сообщают размер и направление этого вектора. Размер этого вектора равен единице, потому что это вектор единичного направления, и его направление равно 𝐣. Это второй компонент. Таким образом, этот вектор является вектором ноль, один, ноль. Следовательно, скалярное произведение между 𝐀 и 𝐣 равно скалярному произведению между вектором девять, 10, минус четыре и вектором ноль, единица, ноль.

Теперь нам нужно вычислить скалярное произведение между этими двумя векторами. Помните, это означает, что нам нужно найти сумму произведения соответствующих компонентов каждого из двух векторов. Для наших двух векторов это девять, умноженные на ноль, плюс 10, умноженные на единицу, плюс минус четыре, умноженные на ноль. А если вычислить это выражение, то первый и последний члены как раз равны нулю. Таким образом, скалярное произведение между векторами 𝐀 и 𝐣 равно 10.

Далее нам нужно найти модуль этих двух векторов. Начнем с модуля вектора 𝐀. Для этого напомним, что модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его компонент. Другими словами, модуль вектора 𝐚, 𝐛, 𝐜 равен квадратному корню из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате плюс 𝑐 в квадрате. Мы можем использовать это, чтобы найти модуль вектора 𝐀. Это равно квадратному корню из девяти в квадрате плюс 10 в квадрате плюс минус четыре в квадрате. И если мы вычислим выражение внутри нашего символа квадратного корня, мы увидим, что модуль вектора 𝐀 является квадратным корнем из 19.7.

Затем мы могли бы сделать то же самое, чтобы найти модуль вектора шляпы 𝐣. Однако в этом нет необходимости. Нам уже сказали, что это единичный вектор. Это означает, что модуль этого вектора должен быть равен единице. На самом деле, это также представлено обозначением шляпы. Мы используем это для представления единичных векторов. Теперь мы готовы найти выражение для 𝜃, поскольку мы знаем скалярное произведение между этими двумя векторами и модуль обоих этих двух векторов.

Во-первых, мы знаем, что если 𝜃 является углом между этими двумя векторами, то cos 𝜃 будет равен скалярному произведению 𝐀 и вектора 𝐣, деленному на модуль вектора 𝐀, умноженный на модуль вектора 𝐣. Затем мы можем подставить значения скалярного произведения между векторами 𝐀 и 𝐣 и модулями вектора 𝐀 и вектора 𝐣. Получаем, что cos 𝜃 будет равен 10 разделить на корень 197 умножить на единицу. Затем мы можем решить это для значения 𝜃. Во-первых, деление на единицу не меняет значения. А затем мы можем взять арккосинус обеих частей уравнения. Помните, поскольку мы находим это с точностью до градуса, нам нужно убедиться, что наш калькулятор настроен на режим градусов.

Это дает нам, что 𝜃 равно обратному косинусу 10, деленному на корень 197, который, как мы можем вычислить, равен 44,56, и это расширение продолжается в градусах. Мы хотим дать это в ближайшей степени. Мы видим, что первый десятичный знак в нашем расширении равен пяти. Это означает, что нам нужно будет округлить, что даст нам окончательный ответ, что угол между вектором 𝐀 девять, 10, минус четыре и единичным вектором направления 𝐣 с точностью до градуса составляет 45 градусов.

Нахождение угла, который данный вектор образует с положительной осью x

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Поскольку мы знаем, что любой заданный вектор \(\vecs v\) в плоскости \(xy\) можно нормализовать, чтобы найти единичный вектор в том же направлении, становится довольно легко определить угол между этим вектором \( \vecs v\) и положительной оси \(x\). Как только мы нормализуем вектор \(\vecs v\), мы знаем, что этот единичный вектор может быть помещен на единичную окружность и может быть записан в виде:

\[  <\cos θ, \sin θ> = \cos θ \,\hat{\mathbf i} + \sin θ \,\hat{\mathbf j}\nonumber\]

Из нашей работы выше, мы знаем, что единичный вектор в том же направлении, что и вектор \(\vecs v\), может быть записан как \(\vecs w = \frac{\vecs v}{\|\vecs v\|}. \)

Допустим, это упрощается до единичного вектора с компонентами \(\vecs w = \langle a, b\rangle.\) Поскольку это единичный вектор, мы знаем, что первый компонент равен \(\cos θ\) и вторая составляющая равна \(\sin θ,\) где \(θ\) — угол между этим вектором и положительной осью \(x\).

То есть,

\( \cos θ  = a \) и \(\sin θ = b.\)

Если \(θ\) находится в первом квадранте, любое выражение даст нам правильный \( θ\), используя либо \(θ = \arccos a\), либо \(θ = \arcsin b.\). Если мы находимся в другом квадранте (посмотрите на знаки двух компонентов, чтобы определить, в каком квадранте он находится), мы нужно более тщательно обдумать угол, который мы получаем, чтобы убедиться, что он находится в правильном квадранте, внося коррективы по мере необходимости или используя другую функцию обратного триггера.

Пример \(\PageIndex{10}\)

а. Учитывая \(\vecs v = 3 \,\hat{\mathbf i} + 4 \,\hat{\mathbf j},\), найдите угол \(θ\), который этот вектор образует с положительным \(x\ )-ось (с точностью до сотых градуса).

б. Найдите угол \(θ\) между положительной осью \(x\) и вектором \(\vecs u = <-2, 4>\) (с точностью до тысячных долей радиана и до десятых долей степень).

в. Найдите угол \(θ\) между положительной осью \(x\) и вектором \(\vecs w = 1\,\hat{\mathbf i} — 3 \,\hat{\mathbf j}\) (с точностью до тысячных долей радиана и до десятых долей градуса). 92} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5,\) мы получаем единичный вектор,

\[ \vecs u = \frac{3}{5} \,\hat{\mathbf i} + \frac{4}{5} \,\hat{\mathbf j}.\nonumber\] 

Теперь мы можем найти \(θ\) с любым компонентом. То есть

\[ θ = \arccos \frac{3}{5} = \arcsin \frac{4}{5} \приблизительно 53,13°.\nonnumber\]

b. Знаки компонентов этого вектора говорят нам, что он находится во втором квадранте, поэтому мы знаем, что функция арккосинуса по-прежнему будет работать для нас, поскольку она возвращает угол в первом или втором квадранте (между \(0\) и \ (\pi\) радиан). Но обратите внимание, что арксинус не даст нам правильный угол (сразу), так как он всегда возвращает угол между \(-\tfrac{\pi}{2}\) и \(\tfrac{\pi}{2},\ ) (который фактически возвращает угол в первом или четвертом квадранте).

\[\langle \frac{-2}{2\sqrt{5 }}, \frac{4}{2\sqrt{5}} \rangle = \langle -\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}  \rangle . \nonumber\]

Теперь, используя первый компонент, находим

\[ θ = \arccos  -\frac{\sqrt{5}}{5} \приблизительно 2,034\текст{ радианы}\приблизительно 116,6°.\ nonumber\]

Обратите внимание, что этот угол действительно находится во втором квадранте, как и должно быть!

Теперь посмотрим, что было бы, если бы мы использовали второй компонент и функцию арксинуса.

\[ \arcsin  \frac{2\sqrt{5}}{5} \приблизительно 1,1071\текст{ радиан }\приблизительно 63,4°\номер\]

Как объяснялось выше, поскольку этот угол находится в первом квадранте, нам нужно будет вычесть его из \(\pi\) радиан, чтобы получить правильный угол.

Итак, здесь мы получаем,

\[ θ = \pi —  \arcsin  \frac{2\sqrt{5}}{5} \приблизительно 3,14159 — 1,1071 \приблизительно 2,034\текст{ радианы}\номер\]

или в градусах,

\[ θ = 180° —  \arcsin  \frac{2\sqrt{5}}{5} \приблизительно 180° — 63,4 \приблизительно 116,6°.\номер\]

Мы видим, что это тот же угол!

в. Поскольку \(\|\vecs w\| = \sqrt{10},\) единичный вектор в том же направлении, что и \(\vecs w = 1\,\hat{\mathbf i} — 3 \,\hat{ \mathbf j}\) равно \(\frac{\sqrt{10}}{10}\,\hat{\mathbf i} — \frac{3\sqrt{10}}{10} \,\hat{\ mathbf j}.\) Поскольку этот вектор явно находится в четвертом квадранте, мы выбираем функцию арксинуса.

Здесь

\( θ = \arcsin -\frac{3\sqrt{10}}{10} \приблизительно -1,249\) радиан \(\приблизительно -71,6°. \)

Это правильный ответ, но если бы нас спросили, например, угол между \(0\) и \(2\pi\) радианами, нам все равно нужно было бы скорректировать его, добавив \(2\pi\) радианы к радианному варианту угла. Затем \(θ \приблизительно 5,034\) радиан.

Если вектор находится в третьем квадранте, ни арккосинус, ни арксинус не дают прямого угла. Мы можем использовать любой из них и отрегулировать угол, как мы показали с арксинусом в примере \(\PageIndex{10}\), часть b выше. Но есть и другой вариант. Хотя это также может потребовать корректировки, сделать ее несколько проще.

Если у нас возникнут трудности с описанным выше подходом или мы просто хотим использовать другой метод, мы можем вместо использовать функцию арктангенса, чтобы найти угол \(θ\), который вектор \(\vecs v\) образует с положительным \ (х\)-ось. Одним из преимуществ этого подхода является то, что нам не нужно сначала нормализовать вектор. Поскольку \(\tan θ = \dfrac{\sin θ}{\cos θ},\) это отношение двух компонент вектора автоматически удаляет любой скаляр, который может присутствовать, и дает нам правильное отношение тангенсов.

Как видно на рисунке \(\PageIndex{20}\), для ненулевого вектора \(\vecs v = <\|\vecs v\|\cos θ, \|\vecs v\|\sin θ>,\) мы знаем, что

\[\tan θ = \frac{\|\vecs v\|\sin θ}{\|\vecs v\|\cos θ} = \frac{\ грех θ{\ cos θ}. \nonumber\] 

Однако, как и функция арксинуса, функция арктангенса возвращает только углы между \(-\tfrac{\pi}{2}\) и \(\tfrac{\pi}{2},\), поэтому нам все равно нужно будет скорректировать результирующий угол в зависимости от того, в каком квадранте, как мы знаем, он должен лежать. По крайней мере, в этом случае самое худшее, что нам нужно будет сделать, это добавить \(\pi\) радиан или \(180°\) к нашему углу, чтобы он попал в правильный квадрант. [Обратите внимание, что это потому, что тангенс дает одинаковые результаты, когда знаки синуса и косинуса одинаковы, и дает одинаковые результаты, когда знаки двух отношений разные. ]

Пример \(\PageIndex{11}\)

Найти угол \(θ\) между положительной осью \(x\) и вектором \(\vecs d = <-5, -1>\) (с точностью до тысячных долей радиана и до десятых долей градуса).

Решение

Вектор \(\vecs d = <-5, -1>\) явно находится в третьем квадранте и не будет напрямую задан ни функцией арккосинуса, ни функцией арксинуса, как упоминалось выше . Но мы знаем, что в этой ситуации функция арктангенса вернет угол в первом квадранте (две компоненты имеют один и тот же знак, поэтому их отношение положительно), а правильный угол в третьем квадранте будет равен 180° или \( 2\pi\) радиан больше, чем угол, заданный арктангенсом в первом квадранте.

Помня, что на этот раз нам не нужно определять единичный вектор, вместо этого мы записываем отношение касательной, с которым нам нужно будет работать.

\[\tan θ = \frac{-1}{-5}  = \frac{1}{5}\nonumber\]

Итак,

\(θ = \pi + \arctan \frac{1 {5} \приблизительно \pi + 0,197\) радиан \(\приблизительно 3,339\) радиан \(\приблизительно 191,3°. \)

Обратите внимание, что в градусах \(\arctan \frac{1}{5} \ приблизительно 11,3°.\)  Добавление \(180°\) также дает нам \(191,3°.\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Используйте функцию арктангенса, чтобы определить угол \(θ\) между заданным вектором и положительной осью \(x\). Укажите угол с точностью до десятых долей градуса.

а. \(\vecs u = <-4, -8>\)

б. \(\vecs v = <10, -15>\)

c. \(\vecs w = <-7, 1>\)

Ответ

а. \(θ \приблизительно 243,4°\)
б. \(θ \ок -56,3° = 303,7°\)
c. \(θ \приблизительно 171,9°\)

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

2. Метки

   На этой странице нет тегов.

   No related posts.