Как извлечь квадратный корень? — Журнал Квантик — LiveJournal
А между прочим, в прошлых выпусках тоже были интересные статьи. Например, вы сумеете извлечь квадратный корень без всякой электроники, «на кончике пера»?
Такие арифметические действия, как сложение, вычитание, умножение и деление, вы наверняка уже давно освоили и при желании можете провести их без помощи калькулятора. Однако, в арсенале мaтематика есть ещё несколько операций с числами. Об одной из них — о квадратном корне — и пойдёт речь в этой статье.
По определению, арифметическим квадратным корнем из числа x называется такое положительное число y, что y⋅y=y2=x (говорят, что <<y в квадрате равен x>>). Обозначают это так: y=x. Вычислить корень (или, как говорят, извлечь корень) из некоторых чисел легко, вспомнив таблицу умножения: 4=2, 9=3 и так далее.
Квадратный корень удобно представлять себе следующим образом. Пусть есть квадрат с площадью a квадратных см, тогда его сторона равна a см.
И правда, ведь если сторона квадрата a см, то его площадь будет равна a⋅a=a квадратных см. Поскольку у большего квадрата и сторона длиннее, то сразу получаем очень важный для нас факт:
если a>b, то a>b.
Рассмотрим четыре рядом стоящих одинаковых квадратика со стороной 1 (1 см, 1 дюйм, 1 м — это всё равно).
Очевидно, что синяя фигура — квадрат. Его площадь равна половине площади большого квадрата, то есть 4/2=2. Если сторона заштрихованного квадрата y, то y⋅y=2, значит y=2.
Калькулятор говорит, что 2=1.41421356…. Многоточие означает, что цифры после запятой продолжаются до бесконечности. Как же калькулятор мог получить этот ответ? Сейчас расскажу.
Основная идея состоит в том, чтобы зажать 2 между числом, меньшим его, и числом, большим его (то есть поместить его в <<загон>>), а потом постепенно этот <<загон>> сужать. Так как 1<2<4, мы можем утверждать, что 1<2<2. Для сужения <<загона>> воспользуемся методом деления пополам (или, научно говоря, дихотомией).
А именно, разделим отрезок между 1 и 2 пополам — получим два возможных <<загона>> 1,1.5 и 1.5,2. Искомый 2 будет находиться в одном из них. Так как 1.52=2.25>2, то 1<2<1.5; значит, 2 лежит в <<загоне>> 1,1.5 Снова поделим отрезок пополам — получим два возможных <<загона>>: 1,1.25 и 1.25,1.5. Потом выясним, в какой из половин лежит 2 (так же как и в прошлый раз, сравнив 1.252 и 2). И так далее… Будем всё ближе подбираться к 2.
Получаем I инструкцию по вычислению 2:
- Пусть мы уже знаем, что 2 находится в <<загоне>> a,b;
- Находим его середину a+b2 — она будет одним из концов нового <<загона>>;
- Если a+b22>2, то новым <<загоном>> будет a,a+b2, а если же неравенство в другую сторону, то — a+b2,b.
- Если <<загон>> все ещё кажется слишком широким, идём к пункту 1. Иначе выдаём в качестве ответа середину <<загона>>.
Способ вычисления 2 вроде бы придумали. Но когда мы примерно вычисляем что-либо, нас всегда интересует, а
насколько сильно мы можем ошибаться? Только что мы подсчитали, что 1<2<1.5. А это означает, что если мы скажем, что 2=1.25, то ошибёмся не более, чем на 0.25. В таком случае 1.25 называют приближенным значением, а 0.25 — погрешностью. Чем меньше погрешность, тем точнее вычисления. Сколько же раз надо проделать деление пополам (будем называть его шагом), чтобы погрешность стала меньше, например, одной сотой? Заметим, что погрешность равна попросту половине длины <<загона>>. А эта длина, в свою очередь, каждый раз уменьшается вдвое. Пусть мы проделали n шагов. Тогда погрешность будет равна 12⋅12⋯12 (произведение n+1 дроби). Чтобы это число стало меньше одной сотой, достаточно взять n=6.
На самом деле количество шагов можно сильно уменьшить. Пусть есть два числа a>2 и b>2. Тогда a⋅b>2⋅2=2. Если же a<2 и b<2, то a⋅b<2⋅2=2 (см.
рисунок справа). Значит, если произведение двух разных чисел равно 2, то одно из них больше 2, а другое меньше. Иными словами, если x>2, то 2x<2. И наоборот: если x<2, то 2x>2. Короче это можно сказать так:
2 всегда лежит между x и 2x.
Именно на этом соображении и будет основана модификация нашего способа.
Теперь, выяснив, что 2 лежит либо в 1,1.5, либо в 1.5,2, можно не возводить 1.5 в квадрат, а сразу сузить <<загон>> для 2 ещё сильнее: сказать, что 2 находится между 1.5 и 21.5. При этом мы пока даже не знаем, какое из этих двух чисел больше! Но это, конечно, легко выяснить: 2:1.5=2:32=43=1.333…. Продолжим: у нас есть <<загон>> 1.333…,1.5. Так же, как и раньше, находим его середину: 1232+43=1712=1.4166…. Аналогично предыдущему шагу, можем заключить, что 2 находится между 1712 и 21712=2417=1.411764. Получили новый <<загон>> 2417,1712. Его длина равна 1712-2417=0.0049. И вот уже на втором шаге мы получаем погрешность меньше одной сотой!
Получаем II инструкцию по вычислению 2:
- Пусть мы уже знаем, что 2 находится в <<загоне>> a,b;
- Находим его середину a+b2 (как и в старом способе) — она будет одним из концов нового загона;
- Так как 2 находится между a+b2 и 2a+b2=4a+b, объявляем новым <<загоном>> отрезок между a+b2 и 4a+b;
- Если погрешность нас устраивает, выдаём в качестве ответа середину <<загона>>. Погрешность же будет равна половине длины <<загона>>. Если погрешность все ещё слишком большая — идём к пункту 1.
Погрешность же будет равна половине длины <<загона>>. Если погрешность все ещё слишком большая — идём к пункту 1.Теперь вы знаете достаточно, чтобы выполнить
Упражнение. Найдите 3 и 5 с погрешностью меньше одной сотой.
Когда вы решите его, сразу поймёте, что теперь можете извлечь квадратный корень почти из чего угодно. Кроме, пожалуй, отрицательных чисел. Но это уже совсем другая история…
Что такое квадратный корень из 9?
В математике квадратный корень из числа, подобного 9, — это число, которое при умножении само на себя равно 9. Мы бы показали это в математической форме с помощью символа квадратного корня, который называется подкоренным символом: √
Любое число с подкоренным символом рядом с ним называется подкоренным членом или квадратным корнем из 9 в подкоренной форме.
Чтобы немного объяснить квадратный корень, квадратный корень из числа 9 — это величина (которую мы называем q), которая при умножении сама на себя равна 9:
√9 = q × q = q 2
Так что же такое квадратный корень из 9 и как его вычислить? Хорошо, если у вас есть компьютер или калькулятор, вы можете легко вычислить квадратный корень.
Если вам нужно сделать это вручную, то для этого потребуется старое доброе деление в длину с помощью карандаша и листа бумаги.
Для целей этой статьи мы вычислим его за вас (но позже в статье мы покажем вам, как вычислить его самостоятельно с помощью деления в большую сторону).
3 × 3 = 9
Является ли число 9 идеальным квадратом?
Когда квадратный корень данного числа является целым числом, это называется полным квадратом. Совершенные квадраты важны для многих математических функций и используются во всем, от плотницких работ до более сложных тем, таких как физика и астрономия.
Если мы посмотрим на число 9, то узнаем, что квадратный корень равен 3, а поскольку это целое число, мы также знаем, что 9 — это полный квадрат 9.0016 .
Если вы хотите узнать больше о числах с идеальным квадратом, у нас есть список идеальных квадратов, который охватывает первые 1000 чисел с идеальным квадратом.
9 — рациональное или иррациональное число?
Другой распространенный вопрос, который может возникнуть при работе с корнями числа, например 9, заключается в том, является ли данное число рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дроби, а иррациональные — нет.
Самый быстрый способ проверить, является ли число рациональным или иррациональным, — определить, является ли оно полным квадратом. Если да, то это рациональное число, а если не полный квадрат, то это иррациональное число.
Мы уже знаем, что 9 — рациональное число, потому что мы знаем, что это полный квадрат.
Вычисление квадратного корня из 9
Чтобы вычислить квадратный корень из 9 с помощью калькулятора, введите число 9 в калькулятор, а затем нажмите клавишу √x:
√9 = 3,0000
Чтобы вычислить квадратный корень из 9 в Excel, Numbers of Google Sheets, вы можете использовать функцию SQRT() :
SQRT(9) = 3
Округление квадратного корня из 9
Иногда, когда вы работаете с квадратным корнем из 9, вам может понадобиться округлить ответ до определенного числа знаков после запятой:
10-й: √9 = 3,0
100-й: √9 = 3,00
1000-й: √9 = 3,000
Нахождение квадратного корня из 9 с помощью длинного деления
Если у вас нет калькулятора или компьютерной программы, вам придется использовать старое доброе деление в длину, чтобы извлечь квадратный корень из 9.
Именно так математики вычисляли его задолго до того, как были изобретены калькуляторы и компьютеры.
Шаг 1
Задайте 9 парами двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:
Шаг 2
Начиная с первого набора: самый большой полный квадрат, меньше или равный 9, равен 9, а квадратный корень из 9 равен 3. Поэтому ставим 3 сверху и 9 снизу вот так:
Надеюсь, это дало вам представление о том, как извлечь квадратный корень с помощью деления в большую сторону, чтобы вы могли самостоятельно решать будущие задачи.
Практика извлечения квадратных корней на примерах
Если вы хотите продолжить изучение квадратных корней, взгляните на случайные вычисления на боковой панели справа от этой записи в блоге.
Мы перечислили несколько совершенно случайных чисел, которые вы можете щелкнуть и следовать информации о вычислении квадратного корня из этого числа, чтобы помочь вам понять числовые корни.
Вычислить другую задачу на квадратный корень
Введите число в поле А ниже и нажмите «Рассчитать», чтобы вычислить квадратный корень из заданного числа.
Пожалуйста, используйте инструмент ниже, чтобы вернуться на эту страницу или цитировать/ссылаться на нас во всем, для чего вы используете информацию. Ваша поддержка помогает нам продолжать предоставлять контент!
Является ли квадратный корень из 9 целым числом?
Система счисления включает в себя различные типы чисел, например, простые числа, нечетные числа, четные числа, рациональные числа, целые числа и т. д. Эти числа могут быть выражены в виде цифр или слов соответственно. Например, такие числа, как 40 и 65, выраженные в виде цифр, также могут быть записаны как сорок и шестьдесят пять.
A Система счисления или Система счисления определяется как элементарная система для выражения чисел и цифр. Это единственный способ представления чисел в арифметической и алгебраической структуре.
Числа используются в различных арифметических значениях, применимых для выполнения различных арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и т. д., которые применяются в повседневной жизни для целей вычислений. Значение числа определяется цифрой, ее разрядностью в числе и основанием системы счисления.
Числа, также известные как числа, представляют собой математические значения, используемые для счета, измерений, маркировки и измерения основных величин.
Числа — это математические значения или цифры, используемые для измерения или вычисления величин. Оно представлено цифрами как 2,4,7 и т. д. Примерами чисел являются целые числа, целые числа, натуральные числа, рациональные и иррациональные числа и т. д.
Типы чисел
Существуют различные типы чисел, разделенные на наборы по системе счисления. Типы описаны ниже:
- Натуральные числа: Натуральные числа — это положительные числа, которые считаются от 1 до бесконечности. Набор натуральных чисел представлен как « N ». Это числа, которые мы обычно используем для счета. Набор натуральных чисел может быть представлен как N=1,2,3,4,5,6,7,……………
- Целые числа: Целые числа — это положительные числа, включая ноль, который считается от 0 до бесконечность. Целые числа не включают дроби или десятичные дроби. Набор целых чисел представлен ‘ Вт ’. Набор может быть представлен как W=0,1,2,3,4,5,………………
- Целые числа: Целые числа представляют собой набор чисел, включающий все положительные счетные числа, ноль, а также все отрицательные числа, которые считают от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. В наборе нет дробей и десятичных знаков. Набор целых чисел обозначается ‘ Z ’. Набор целых чисел можно представить в виде Z=………..,-5.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,………….
- Десятичные числа: Любое числовое значение, состоящее из десятичной точки, является десятичным числом. Его можно выразить как 2,5, 0,567 и т. д.
- Действительное число: Действительные числа — это заданные числа, не содержащие мнимых значений. Он включает в себя все положительные целые числа, отрицательные целые числа, дроби и десятичные значения. Обычно он обозначается как « R ».
- Комплексный номер: Комплексные числа — это набор чисел, включающий мнимые числа. Его можно выразить как a+bi, где «a» и «b» — действительные числа. Обозначается ‘ С ’.
- Рациональные числа: Рациональные числа — это числа, которые можно представить как отношение двух целых чисел. Он включает в себя все целые числа и может быть выражен в виде дробей или десятичных знаков. Обозначается ‘ Q ’.
- Иррациональные числа: Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в дробях или отношениях целых чисел. Он может быть записан десятичными знаками и иметь бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой. Обозначается ‘ Р ’.
Набор натуральных чисел представлен как « N ». Это числа, которые мы обычно используем для счета. Набор натуральных чисел может быть представлен как N=1,2,3,4,5,6,7,……………
Его можно выразить как 2,5, 0,567 и т. д.
Обозначается ‘ Р ’.Подмножество чисел, составляющих ноль и все положительные целые числа, является целыми числами. Целое число считается от нуля до бесконечности. Эти числа используются для повседневных расчетов, в основном для измерения фундаментальных величин.
Целые числа являются единственным составным элементом натуральных чисел, включая ноль. Подмножество задается {0,1,2,3,4,5,……….}, набор не включает дроби, десятичные числа и отрицательные целые числа.
Примеры целых чисел
Положительные целые числа также известны как счетные числа, включая ноль, являющийся частью целых чисел, таких как 0,1, 2, 3, 4, 5 и т. д., исключая отрицательные целые числа, дроби и десятичные дроби. .
10, 11, 22,100,1000 и т. д. — все это примеры целых чисел.
Является ли квадратный корень из 9 целым числом?Ответ:
Аналогичные вопросыПоскольку целые числа представляют собой набор действительных чисел, который включает ноль и все положительные счетные числа, такие как 0,1,2,3,4 и т.
Поскольку мы знаем, что 9 — это целое число, а квадратный корень из 9, то есть √9 равен 3, означает, что это полный квадрат 9 и является рациональным числом, поэтому квадратный корень из 9 равен 3, что является целым числом.
Таким образом, квадратный корень из 9 — это целое число…
д. Принимая во внимание, что исключая дроби, отрицательные целые числа , дроби и десятичные дроби.Вопрос 1: Каковы примеры целых чисел?
Ответ:
Действительные числа, такие как 50, 65, 100 и 110, являются примерами целых чисел.
Вопрос 2: Является ли квадратный корень из 4 целым числом?
Ответ:
Да, квадратный корень из 4 — это целое число. Так как 4 — это полный квадрат 2, и после упрощения квадратного корня результатом будет 2, то есть целое число.
Вопрос 3: Является ли 0 целым числом?
Ответ:
Поскольку целые числа представляют собой множество действительных чисел, включающее ноль и все положительные счетные числа, 0 также является целым числом.
Вопрос 4: Является ли 4,55 целым числом?
Ответ:
Целые числа представляют собой набор действительных чисел, включающий ноль и все положительные счетные числа. Принимая во внимание, что исключаются дроби, отрицательные целые числа, дроби и десятичные числа. Следовательно, 4,55, являющееся десятичным значением, не является целым числом.
Вопрос 5: Является ли квадратный корень из 16 целым числом?
Ответ:
Да, квадратный корень из 16 — это целое число. Так как 16 — это полный квадрат из 4, и после упрощения квадратного корня результатом будет 4, то есть целое число.
