Решение системы линейных уравнений методом сложения: алгоритм, примеры
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
Например: $ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.}$
Шаг 1
Умножаем первое уравнение на 2
${\left\{ \begin{array}{c} 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.}$
Шаг 2
Отнимаем от первого уравнения второе:
5x = 5
Шаг 3
Находим x:
x = 1
Шаг 4
Находим y из первого уравнения:
y = 5-3x = 2
Шаг 5
Ответ: (1;2)
В последовательной записи:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 | \times 2 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x = 5 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 5-3x = 2 \end{array} \right.} $$
Ответ: (1;2)
Примеры
Пример 1.
Решите систему уравнений методом сложения:
$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 | \times 2 \\ 2x-3y = 4 | \times 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = 6 \\ 10x-15y = 20 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = -14 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{3y+4}{2} = -1 \\ y=-2 \end{array} \right.} $
Ответ: (-1;-2)
$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 | \times 3 \\ 3x-4y = 0 | \times 4 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 12x-9y = 21 \\ 12x-16y = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = 21 \\ x = \frac{4}{3} y \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4 \\ y = 3 \end{array} \right.} $
Ответ: (4;3)
$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 | \times 2 \\ 2a+3b = -1 | \times 5 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 10a-8b = 18 \\ 10a+15b = -5 \end{array} \right.
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -23b = 23 \\ a = \frac{-3b-1}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -1 \end{array} \right.} $
Ответ: (1;-1)
$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 | \times (-2) \end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ -6a-4b = -2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = \frac{1-3a}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = -4 \end{array} \right.}$
Ответ: (3;-4)
Пример 2. Найдите решение системы уравнений:
$$а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4}-y = 7 \\ 3x+ \frac{y}{2} = 9 | \times 2\end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4} -y = 7 \\ 6x+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 6 \frac{1}{4} x = 25 \\ y = 18-6x\end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 25: \frac{25}{4} = 25 \cdot \frac{4}{25} = 4 \\ y = 18-6 \cdot 4 = -6 \end{array} \right.
} $$
Ответ: (4;-6)
$б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2}+ \frac{y}{3} = \frac{1}{6} |\times 2 \\ \frac{x}{3}+ \frac{y}{2} = -\frac{1}{6}| \times 3 \end{array} \right.}\Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} x+ \frac{2}{3} y = \frac{1}{3} \\ x+ \frac{3}{2} y = — \frac{1}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \left( \frac{2}{3}- \frac{3}{2}\right) y = \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{3}- \frac{2}{3} y\end{array} \right.} \Rightarrow$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = \frac{5}{6}:\left(-\frac{5}{6}\right) = -1 \\ x = \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} = 1\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.} $$
Ответ: (1;-1)
$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end{array} \right.} \Rightarrow $
$$ \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = -14 \\ x+8y = 25 \end{array} \right.
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 11x = 11 \\ y = \frac{25-x}{8} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 3 \end{array} \right.}$$
Ответ: (1;3)
$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end{array} \right.}$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 | \times 7 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 7x-21y = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 5 \\ y = 1 \end{array} \right.}$$
Ответ: (5;1)
Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:
$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} — \frac{5}{y} = 11 \end{array} \right.
} $
Введём новые переменные: $ {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{array} \right.} $
Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:
$$ {\left\{ \begin{array}{c}2a+3b = 1| \times 3 \\ 3a-5b = 11 | \times 2 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 6a+9b = 3 \\ 6a-10b = 22 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 19b = -19 \\ a = \frac{1-3b}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 2 \\ b = -1 \end{array} \right.} $$
Исходные переменные:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{b} = -1 \end{array} \right.} $$
Ответ:$ \left(\frac{1}{2} ;-1 \right)$
Решение систем линейных уравнений методом сложения / Системы линейных уравнений с двумя переменными / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:
1) подобрав «выгодные» множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;
3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
5) вычислить значение другой переменной;
6) записать ответ.
Пример 1:
Решите систему уравнений методом сложения:
Решение:
В исходной системе коэффициенты при переменной — противоположные числа, значит, можно получить уравнение с одной переменной, сложив почленно левые и правые части уравнений системы:
В левой части полученного уравнения приводим подобные слагаемые, учитывая то, что сумма противоположных чисел равна нулю, получаем:
Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень или, разделив числитель на знаменатель,
Подставим найденное значение переменной в любое из уравнений системы, например в первое. Получим:
Перенесем слагаемое 10 из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак:
или
Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, разделив числитель на знаменатель,
Пара чисел (1; 10) — искомое решение системы.
Обратите внимание, при записи решения системы в скобках на первом месте пишут значение , на втором — значение .
Пример 2:
Решите систему уравнений методом сложения:
Решение:
Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений системы, то у нас получится уравнение с двумя переменными. Следовательно, исходную систему еще нельзя решить методом сложения.
Умножим обе части первого уравнения на 4. Получим систему, решения которой совпадают с решениями исходной системы:
Для такой системы метод сложения уже будет эффективным, т.к. коэффициенты при переменной — противоположные числа, значит, можно получить уравнение с одной переменной, сложив почленно левые и правые части уравнений системы:
В левой части полученного уравнения приводим подобные слагаемые, учитывая то, что сумма противоположных чисел равна нулю, получаем:
Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, разделив числитель на знаменатель,
Подставим найденное значение переменной в любое из уравнений системы, например в первое.
Получим:
или, выполнив умножение,
Перенесем слагаемое 4 из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак:
или
Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, раздели числитель на знаменатель,
Пара чисел (1; 2) — искомое решение системы.
Написание систем уравнений: объяснение, обзор и примеры
Точно так же, как английский язык можно перевести на другие языки, мы также можем перевести его на язык математики. Многие слова, которые мы используем каждый день, могут подразумевать различные математические операции. Например, «всего» может означать знак равенства, а «увеличить на» может означать символ сложения. Способность переводить с английского на математику позволяет нам превращать слова в уравнения. Продолжайте читать, чтобы увидеть, как это работает для письма системы уравнений .
Что такое система уравнений?
Прежде чем мы начнем писать системы уравнений, давайте убедимся, что знаем, что такое система уравнений.
Система уравнений — это просто два или более уравнений с одними и теми же переменными. В Алгебре 1 вы в основном сосредоточитесь на системах с двумя уравнениями и двумя переменными.
Две переменные, которые вы, вероятно, знаете лучше всего, это x и y. Вам может быть интересно, почему x и y? Осями координатной плоскости являются оси x и y. Таким образом, x и y в уравнениях представляют собой координаты x и y на графике. Когда вы решаете систему уравнений с двумя переменными, ваша цель — найти точку — (x, y) — где пересекаются два графика. Эта точка пересечения является решением системы уравнений.
На этом графике показана система уравнений и ее решение. Вы также можете заметить, что большинство систем уравнений, которые вы решаете в Алгебре 1, представляют собой системы из двух линейных уравнений. Чтобы ознакомиться с линейными уравнениями и их многочисленными формами, ознакомьтесь с записью в блоге Альберта Forms of Linear Equations.
Забегая вперед: что, если у вас есть три уравнения и три переменные, составляющие систему уравнений с тремя переменными? Вам понадобится третья ось, ось Z.
Примеры систем уравненийЗнаете ли вы, что существует несколько способов представления системы уравнений? Система уравнений представлена четырьмя основными способами: уравнений (алгебра), таблица (числа), график (визуальный) и словесное описание (слова). Давайте посмотрим, как выглядит каждая форма, используя систему двух линейных уравнений:
Уравнение (алгебра) форма:
у=3х+1
у=х+3
Таблица (номера) форма:
| x_1 | -2 | -1 | 0 90 054 | 1 | 2 |
| у_1 | -5 | -2 | 1 | 4 | 7 |
| y_2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
График (визуальная) форма:
Вербальное описание
Вы с другом находитесь в читательском клубе.До начала клуба вы прочитали 1 книгу, а ваш друг прочитал 3 книги. Вы ставите цель читать 3 книги в месяц, а ваш друг ставит цель читать 1 книгу в месяц. Из этого описания вы могли бы написать систему уравнений и решить, чтобы ответить на вопрос: через сколько месяцев вы и ваш друг прочитаете одинаковое количество книг?
До начала клуба вы прочитали 1 книгу, а ваш друг прочитал 3 книги. Вы ставите цель читать 3 книги в месяц, а ваш друг ставит цель читать 1 книгу в месяц. Из этого описания вы могли бы написать систему уравнений и решить, чтобы ответить на вопрос: через сколько месяцев вы и ваш друг прочитаете одинаковое количество книг? Теперь, когда мы изучили различные способы представления системы линейных уравнений, мы увидим, как написать систему линейных уравнений. В следующих разделах этого поста будет рассмотрено, как написать форму уравнения системы уравнений из таблицы, графика и словесного описания или того, что ваш учитель, вероятно, называет словесными задачами.
Как написать систему уравнений Запись системы уравнений из таблицы Запись системы линейных уравнений из таблицы аналогична записи линейного уравнения из таблицы. Однако на этот раз мы будем писать два уравнения . Давайте вспомним две вещи, которые вам нужно вычислить из таблицы, чтобы написать линейное уравнение: 1) наклон и 2) точку пересечения по оси y.
Если вам повезет, y-перехват окажется в таблице. Если нет, то есть еще немного работы, но вы все еще можете это сделать!
Давайте посмотрим на таблицу ниже, чтобы попрактиковаться в написании системы линейных уравнений из таблицы:
| x | -5 | -2 | 1 9005 4 | 4 |
| y_1 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| 90 003 y_2 | -2 | -5 | -8 | -11 |
Обратите внимание всего одна строка x, а строк y две, потому что наша таблица показывает систему из ДВУХ уравнений. Мы можем разделить эту таблицу на две таблицы, по одной для каждого уравнения:
| x | -5 | -2 | 1 | 4 |
| y_1 | -2 | 0 | 2 9005 4 | 4 |
| x | -5 | -2 | 1 | 4 |
| y_2 | -2 | -5 | -8 | -11 | 90 065
Теперь нам нужно применить наши навыки написания линейных уравнений и вычислить наклон и y- перехват с каждой таблицы.
Помните, что форма уравнения с пересечением наклона имеет вид y=mx +b , где m представляет собой наклон, а b представляет собой пересечение с осью y.
Вы можете найти наклон первой таблицы, рассчитав отношение изменения значений y к изменению значений x, используя две точки из таблицы, например (-2, 0) и (1, 2):
м=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
м=\dfrac{2-0}{1-(-2)}
м=\dfrac{2}{3}
Теперь нам нужно использовать точку в таблице для вычисления точки пересечения по оси Y. Используем точку (-2, 0). Подставьте -2 вместо x, 0 вместо y и \frac{2}{3} вместо m в уравнении и найдите b.
у=\dfrac{2}{3} х +b
0=\dfrac{2}{3}(-2) +b
0=-\dfrac{4}{3}+b
\dfrac{4}{3}=b
Теперь, когда мы знаем наклон и точку пересечения с осью y, мы можем написать наше первое уравнение:
y_1=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}
Мы можем использовать этот же процесс для записи второго уравнения в нашей системе. Сначала вычислите наклон как отношение изменения значений y к изменению значений x между двумя точками, такими как (1, -8) и (4, -11):
м=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
м=\dfrac{-11-(-8)}{4-1}
м=\dfrac{-3}{3}
м=-1
И еще раз, мы можем вычислить точку пересечения с осью y, подставив точку, например (1, -8), в наше уравнение и найдя b.
у=- х +б
-8=- (1) +б
-8=-1+б
-7=б
Итак, наше второе уравнение y_2= -x-7. Теперь мы можем написать нашу систему уравнений для данной таблицы:
y_1=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}
у_2=-х-7
Если у вас возникли проблемы с написанием линейных уравнений с использованием таблицы или двух точек, ознакомьтесь с этими блогами Альберта, чтобы помочь: Как найти наклон и форму пересечения наклона.
Запись системы линейных уравнений из графика аналогична записи системы из таблицы. Нам нужно определить наклон и точку пересечения по оси Y каждой линии на графике, чтобы написать нашу систему уравнений.
Давайте посмотрим на приведенный ниже график, чтобы попрактиковаться в написании системы линейных уравнений по графику:
На этом графике показана система двух линейных уравнений.Начав с линии А, рассчитаем уклон. Мы можем использовать формулу наклона и точки (0, -4) и (4, -2), чтобы найти наклон:
м=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
м=\dfrac{-2-(-4)}{4-0}
м=\dfrac{2}{4}
м=\dfrac{1}{2}
Повторим этот процесс с двумя точками из линии B, такими как (0, 1) и (4, -2):
m=\dfrac{-2-1}{4-0}
м=\dfrac{-3}{4}
м=-\dfrac{3}{4}
Далее мы можем определить точки пересечения по оси Y каждой линии на графике.
Помните, точка пересечения оси y всегда находится там, где линия пересекает ось y, а координата {x} равна {0}:
y=\dfrac{1}{2}x — 4
у=-\dfrac{3}{4}х+1
Если у вас возникли проблемы с написанием линейных уравнений с использованием графика или двух точек, ознакомьтесь с этими блогами Альберта, чтобы помочь: Как найти наклон и форму пересечения наклона.
При написании систем уравнений из текстовых задач важно создать список общих переводов слов в эквивалентные им математические операции. Если вы еще не делали этого в классе, вот таблица для начала:
| Математические операции | Слова/Фразы |
| = | равно, итого, есть, финал 9 0054 |
| + | добавить, суммировать, объединить и больше |
| — | вычесть, разность, минус, меньше |
| \times | умножить, раз, удвоить, на |
| \div | разделить, отношение, разделить, пополам, доля |
Чтобы попрактиковаться в написании систем уравнений из текстовых задач, давайте рассмотрим следующие два примера:
Пример 1: В конце баскетбольного матча ваша команда набрала 53 очка.
Вы знаете, что команда забросила всего 23 мяча. Одни корзины приносили 2 очка, а другие — 3 очка. Удивительно, но никто не добрался до линии штрафных бросков. Напишите систему уравнений, описывающую эту ситуацию.
- команда набрала 53 очка
- всего было забито 23 мяча
- количество 2-очковых корзин
- количество 3-очковых корзин
Это важный шаг, который может показаться непосильным. Однако, если вы идентифицировали слова в словесной задаче, которые говорят вам о том, что неизвестно, теперь у вас есть определения переменных. Помните, переменная представляет неизвестное.
- x: количество 2-х очковых корзин
- y: количество 3-х очковых корзин
Обратите внимание, что указанная важная информация представляет собой итоги или окончательный результат. Эти значения будут идти после знака равенства. Вам нужно выяснить, как ваши переменные (неизвестные) связаны с окончательным счетом и общим количеством корзин. Давайте посмотрим:
- Количество 2-очковых и 3-очковых бросков составляет в общей сложности 23 забитых мяча.
- 2-кратное количество 2-х очковых корзин и 3-кратное количество 3-х очковых корзин равняется окончательной сумме 53 очков.
Не забудьте использовать приведенную выше таблицу и найти слова, которые можно перевести в математическую операцию.
- х+у= 23
- 2х + 3у = 53
х + у = 23
2х + 3у = 53
Пример 2: Два числа имеют разность 7, а их сумма в сумме равна 33.
Напишите систему уравнений, чтобы представить эту ситуацию.
- разница двух чисел 7
- сумма двух одинаковых чисел 33
Поскольку два числа имеют разность, одно число должно быть больше, а другое меньше.
- значение меньшего числа
- значение большего числа
- x: меньшее число
- y: большее число
Обратите внимание, что в исходной задаче есть несколько слов, которые можно перевести как математические операции: слово разность означает вычитание (минус), а слова сумма и объединение означают сложение. Давайте посмотрим:
- Большее число минус меньшее число составляет разность 7.
- Большее число в сочетании с меньшим числом составляет сумму 33.
- у — х = 7
- y + x = 33
у – х = 7
у + х = 33
Чтобы больше попрактиковаться в написании систем уравнений из текстовых задач, посмотрите этот видео-пример.
Написание систем уравнений: ключи к запоминанию- Система уравнений — это когда у вас есть два или более уравнений, которые используют одни и те же переменные.
- Четыре способа представить систему уравнений: ее уравнения (алгебра), таблица (числа), график (визуальный) и словесное описание (слова).
- Чтобы составить систему линейных уравнений из таблицы или графика, необходимо вычислить наклон и точку пересечения с ординатой.
- Чтобы написать систему линейных уравнений из текстовой задачи, вам нужно перевести слова в математические предложения, чтобы составить уравнения.
Заинтересованы в школьной лицензии?
Пригласите Альберта в свою школу и предоставьте всем учителям лучший в мире банк вопросов для:
➜ SAT® & ACT®
➜ AP®
➜ ELA, математика, естественные науки и социальные науки
➜ Оценка штата
Варианты для учителей, школ и округов.
УЗНАТЬ О ВАРИАНТАХ
Системы уравнений: Системы уравнений
Системы уравнений
Мы работали с двумя типами уравнений — уравнениями с одной переменной и уравнениями с двумя переменными. В общем, мы могли бы найти ограниченное количество решений одного уравнения с одной переменной, в то время как мы могли бы найти бесконечное количество решений одного уравнения с двумя переменными. Это связано с тем, что одно уравнение с двумя переменными недоопределено — переменных больше, чем уравнений. Но что, если мы добавим еще одно уравнение?
Система уравнений — это набор из двух или более уравнений с одинаковыми переменными.
Пример : Какая из упорядоченных пар в наборе {(5, 4), (3, 8), (6, 4), (4, 6), (7, 2)} является решением следующей системы уравнений:
| у + 2 x | = | 14 | |
| ху | = | 24 |
(5, 4) является решением первого уравнения, но не второго.
(6, 4) является решением второго уравнения, но не первого.
(4, 6) является решением обоих уравнений.
(7, 2) не является решением ни одного уравнения.
Таким образом, множество решений системы равно {(3, 8),(4, 6)}.
Решение систем линейных уравнений с помощью графика
Когда мы изображаем линейное уравнение с двумя переменными в виде линии на плоскости, все точки на этой линии соответствуют упорядоченным парам, удовлетворяющим уравнению. Таким образом, когда мы рисуем два уравнения, все точки пересечения — точки, лежащие на обеих линиях, — это точки, удовлетворяющие обоим уравнениям.
Чтобы решить систему уравнений с помощью графика, нарисуйте все уравнения в системе. Точки, в которых пересекаются все прямые, являются решениями системы.
Пример : Решите следующую систему графически:
| y — 3 | = | — ( x + 2) | |
| у | = | 3 х — 2 |
График системы
Поскольку две линии пересекаются в точке (1, 1), эта точка является решением системы.