Найти ав матрицу: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) — строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)- столбцом:

A=(a₁₁,a₁₂,…,a_1n) — матрица — строка

B=

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Например, 

Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…,a_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые — специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число  называется матрица B=A, элементы которой b_ij=a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_{ijдля i=1,2,…m; j=1,2,…n (т. е. матрицы складываются поэлементно).}

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A_m∙B _kназывается такая матрица C_m, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ (A+B)= λA+ λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

a)      Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b)      Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

5. Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А’ называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m, то транспонированная матрица А’ имеет размер n

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А^Т

Связанные определения:
Вырожденная матрица
Обобщенная обратная матрица
Обратная матрица
Плохо обусловленная матрица
Псевдообратная матрица
Эрмитова матрица
Эрмитово-сопряженная матрица

В начало

Содержание портала

Матрицы и операции над ними

AN=1

Определение: Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из (m) строк и (n) столбцов.

коротко матрицу обозначают так:

где α_ij — элементы данной матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Две матрицы A = (α_ij) и B = (b_ij) равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех I и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и умножать матрицу на матрицу.

1. Для того, чтобы сложить две матрицы  A = (a_ij) и  B = (b_ij) с одинаковым количеством (m) строк и (n) достаточно сложить элементы, стоящие на одинаковых позициях, т. е. у матрицы  C = (c_ij) каждый элемент определяется равенством

2. Чтобы умножить матрицу  A = (a_ij) на число  λ  достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число  λ:

3. Произведением матрицы  A = (a_ij), имеющей (m) строк и (k) столбцов, на матрицу B = (b_ij), имеющей (k) строк и (n) столбцов, называется матрица  C = (c_ij), имеющая (m) строк и (n) столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть

Умножать матрицу А на матрицу В можно только в том случае, когда число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A·B = C.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A·B  и  B·A, так как в общем случае одна из этих операций может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Вопросы:

1. Что называется матрицей?
2. Какие виды матрицы знаете?
3. Какие операции над матрицами существуют?
4. Правило нахождения суммы двух матриц?
5. Всегда ли можно найти произведение матриц?

Пример 1. Найти АВ и ВА, если

Решение. Имеем

где

 c₁₁ = 4·(-2) + (-2)·(-1) + 1·3 = -3

 c₁₂ = 4·3 + (-2)·(-1) + 1·2 = 16

 c₂₁ = 2·(-2) + 1· (-1) + (-2)·3 = -11

 c₂₂ = 2·3 + 1·(-1) + (-2)·2 = 1

В результате

Далее находим

где

 c₁₁ = (-2)·4+3·2=-2

 c₁₂ = (-2)·(-2)+3·1=7

 c₁ = (-2)·1+3 3(-2)=-8

 c₂₁  = (-1)·4+(-1)·2=-6,

 c₂₂ = (-1)·(-2)+(-1)·1=1

 с₂₃ = (-1)·1+(-1)·(-2)=1

 с₃₁ = 3·4+2·2=16,

 с₃₂ = 3·(-2)+2·1=-4

 с₃₃ = 3·1+2·(-2)=-1

В результате имеем матрицу

линейная алгебра — учитывая два собственных вектора с двумя собственными значениями и без A, вычислить Av?

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 11 месяцев назад

Изменено 7 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Итак, я едва разобрался с собственными значениями и собственными векторами, и первая задача из первого раздела говорит мне:

пусть A будет матрицей 3×3, такой что [-3,4,1] (вектор-столбец) является собственным вектором, соответствующим собственное значение 3, а [6,-3,2] — собственный вектор, соответствующий собственному значению 2. Теперь, если v = [3,1,3], вычислить Av.

В этом разделе мы не обсуждали диагонализацию или что-то еще, кроме поиска материала по заданной конкретной матрице A. и уравнения характеризации. Я попытался написать общую форму и решить для каждого значения, сопоставив два уравнения каждой строки друг с другом, но это кажется невозможным, потому что все они имеют параметры. может кто-нибудь сказать мне самый простой способ решить эту проблему?

• линейная алгебра
• собственные значения-векторы

$\endgroup$

$\begingroup$

Обратите внимание, что $\bar v= (3,1,3)=(6,-3,2)+(-3,4,1)$.

Поскольку умножение матриц является линейным, $$A\bar v=A(6,-3,2) +A(-3,4,1)=2(6,-3,2)+3(-3, 4,1)=(3,6,7)$$

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Что означает, что $u = (6,-3, 2)$ является собственным вектором с собственным значением 2? Что $Au = 2u$.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

линейная алгебра — Как получить вектор $\vec{v}$ и матрицу $A$?

Задавать вопрос

спросил 1 год, 8 месяцев назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 68 раз

$\begingroup$

У меня есть сюръективная матрица такая, что

$$A * V = A * [1,1,1]$$

$$A = \begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&1\end{bmatrix}$$

Мне нужно найти букву V, имеющую форму (3,).