Вычисление длины дуги кривой
Лучшие смартфоны на Android в 2022 году
Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.
Конструирование Математика
- Главная /
- Статьи /
- Математика
(18.3.) Разберем такие темы, как длина дуги в прямоугольной системе координат, длина дуги в параметрической форме, длина дуги в полярных координатах, формула дифференциала дуги.
18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат
О: Под длиной дугикривойпонимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.
Допустим, что криваяопределена уравнением, при этомпредставлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на. Разделим ее начастей посредством точек с абсциссамии проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной ее-го звена
здесь, составляетИз определения длины дуги следует Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции, то
(18.1)
Рис. 18.9
Пример: Найти длину дуги окружности, если(рис. 18.9, б).
18.
3.2. Длина дуги кривой в параметрической форме
Предположим, что уравнение кривойопределено в параметрической форме:, здесь функцииявляются непрерывно дифференцируемыми на, при этомна. В этом случае
и
Пример: Вычислить длину окружности, определенной параметрическими уравнениямипри
18.3.3. Длина дуги в полярных координатах
Допустим, что уравнение кривойв полярных координатах, при этом функцияявляется непрерывно дифференцируемой на. С помощью формул перехода от полярных координат к декартовым и рассматривая в качестве параметра угол, запишем параметрические уравнения кривойВ этом случае
Пример: Определить длину дуги логарифмической спирали(рис.
18.10).
Рис. 18.10
18.3.4. Формула дифференциала дуги
В соответствии с теоремой о производной интеграла с переменным верхним пределом для запишемНа основе этого составим формулу для дифференциала дуги
С учетом параметрического задания кривой
Обозначим дифференциал дуги черези:
Нравится
Твитнуть
Теги Математика
Сюжеты Математика
Понятие об автоматах, их задание графами
(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.
4093 0
Некоторые классы графов
(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями.
2
Как найти длину дуги?
Дуга — это расстояние между двумя точками, образуемыми двумя радиусами вдоль границы кривой. Если две точки на окружности точно противоположны друг другу, она образует внутренний угол 180 градусов. В противном случае образующийся угол всегда меньше 180 градусов или π радиан. Схема окружности с дугой AB показана ниже:
Длина дуги
Расстояние по дуге AB больше, чем расстояние по прямой между точками A и B. Дуга является частью окружности круга. Окружность – это другая граница круга. Окружность также можно назвать периметром круга.
Случай 1: Когда заданы радиус и угол
Формула для расчета длины дуги:
r — радиус окружности
θ — угол в градусах. Это угол между двумя радиусами, образующими дугу, или центральный угол дуги.
L = длина дуги
Длина дуги, если угол представлен в радианах
1 радиан = π/180°
Или
1 радиан = 2π/360°
Подставив значение радиана в уравнение (1):
r × (θ× (2π ÷ 360))
Где
r — радиус окружности
θ — угол в радианах.
Случай 2: Когда известны площадь и угол
Формула для расчета длины дуги:0002 r — радиус окружности
θ — угол в градусах
Или
L = r θ
Где
r — радиус окружности
θ — угол в радианах.
Нам нужно найти радиус окружности из заданной области. Найдя радиус, подставим значение радиуса в формулу.
Площадь круга = πr 2
Например,
Если площадь = 314 м 2
πr 2 = 314 m 2
r 2 = 314/π
(π = 3.14)
r 2 = 314/3.14
r 2 = 100
r = √100
R = 10 M
Длина дуги с углом π -радиан будет:
L = R θ
L = 10 × π
L = 10 × 3,1415
L = 31,415 M
Значение r можно использовать в той же формуле, что обсуждалась выше.
Корпус 3 : Длина дуги в интегральной форме
Длина дуги в интегральной форме определяется как:
L = ∫√(1 + (dy/dx) 2 )dx
Предел интеграла равен [a , b]
Где,
Y – функция f(x)
Примеры задач
Вопрос 1: Найдите длину дуги с радиусом 2 м и углом π/2 радиан.
Решение:
Формула для расчета длины дуги:
L = r θ
Где
L – длина дуги
Дано: r = 2 м и θ = π/2 радиан
Длина дуги = 2 × π/2
Длина дуги = π
(π = 3,1415)
Длина дуги = 3,1415 м
Таким образом, длина дуги равна 3,1415 м.
Вопрос 2. Найдите длину дуги функции f(x) = 8 между x = 2 и x = 4.
Решение :
предоставлено:
L = ∫√(1 + (dy/dx) 2 )dx
Предел интеграла равен [a, b]
Подстановка значений a = 2, b = 4 и y = 6 или dy /dx = 0 в приведенной выше формуле,
L = ∫√(1 + (0) 2 )dx
L = ∫√1 dx
L = ∫1 dx
L = x
3 (интеграл 1 равно x)
Предел интеграла равен [2, 4]
L = (4 – 2)
L = 2
Таким образом, длина дуги функции f(x) = 8 между x = 2 и x = 4 равно 2,
Вопрос 3: Найдите длину дуги с радиусом 5 см и углом 60°.
Решение :
Формула для расчета длины дуги:
L = 2πr × (θ ÷ 360)
: r = 5 см и θ = 60°
Длина дуги = 2πr × (60 ÷ 360)
Длина дуги = 2πr × 1/6
Длина дуги = 2 × 3,1415 × 5/6
(π = 3,1415)
Длина дуги = 5,235 см
Таким образом, длина дуги равна 5,235 см
Вопрос 4: Найдите длину дуги с радиусом 0,5 м и углом π/4 радиана.
Решение :
Формула для расчета длины дуги:
L = r θ
и θ = π/4 радиан
Длина дуги = 0,5 × π/4
Длина дуги = 0,392 м
(π = 3,1415)
Таким образом, длина дуги равна 0,392 м
Вопрос 5: Найдите длину дуги с радиусом 10 см и углом 135°.
Решение :
Формула для расчета длины дуги:
L = 2πr × (θ ÷ 360)
: r = 10 см и θ = 135°
Длина дуги = 2πr × (135÷360)
Длина дуги = (2 × 3,1415 × 10 × 135)/360°
(π = 3,1415)
Длина дуги = 23,56 см
Таким образом, длина дуги равна 23,56 см.
Вопрос 6: Найдите длину дуги с радиусом 20 мм и углом π/6 радиан.
Решение:
Формула для расчета длины дуги:
L = r θ
θ = π/6 радиан
Длина дуги = 20 × π/6
Длина дуги = 10,47 мм
(π = 3,1415)
Таким образом, длина дуги равна 10,47 мм
Вопрос 7: Найдите длину дуги дуга радиусом 2 см и углом 90°.
Решение :
Формула для расчета длины дуги:
L = 2πr × (θ ÷ 360)
: r = 2 см и θ = 90°
Длина дуги = 2πr × (90 ÷ 360)
Длина дуги = 2πr × 1/4
Длина дуги = 2 × 3,1415 × 2 × 1/4
(π = 3,1415)
3
Длина дуги = 3,1415 см
Таким образом, длина дуги равна 3,1415 см.
Длина дуги (Ключевой этап 3)
Урок
Длина дуги окружности находится по формуле:
В этой формуле θ — это угол (в градусах), образуемый дугой, а r — радиус окружности.
На изображении ниже показано, что мы подразумеваем под длиной дуги:
Как найти длину дуги окружности
Найти длину дуги окружности несложно.
Какова длина дуги с углом 60° и радиусом 5 см, как показано ниже?
Пошагово:
Начните с формулы:
Длина дуги = θ ⁄ 360° × 2πr
Не забывайте: π равно числу пи (≈ 3,14), а / означает ÷.
Подставляем угол и радиус в формулу. В нашем примере θ = 60° и r = 5.
Длина дуги = 60° ⁄ 360° × 2 × π × 5 Длина дуги = (60° ÷ 360°) × 2 × 5 × π Длина дуги = 5,2 см
Ответ:
Длина дуги окружности радиусом 5 см, опирающейся на угол 60°, равна 5,3 см.
Слайды урока
Ползунок ниже показывает еще один реальный пример того, как найти длину дуги окружности.