Найти функцию распределения: Найти функцию распределения и построить ее график.

Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления

  

Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. Изд. 2-ое, перераб. и допол. — М.: Физматлит, 1960. — 883 с.

В книге дается систематическое изложение прикладной теории случайных функций и вероятностных методов теории автоматического управления (статистической динамики систем автоматического управления). После краткого изложения основ теории вероятностей рассматриваются основные понятия теории случайных функций. Дается изложение общей теории линейных систем. Подробно рассматриваются методы исследования точности линейных и нелинейных систем, как одномерных, так и многомерных, имеющих любое количество входов и выходов, работающих под действием произвольных случайных возмущений (различного рода шумов и помех). Особое внимание уделено современной статистической теории обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех. Эта теория дает эффективные общие методы нахождения статистических решений и применима к обширному классу задач, возникающих в различных прикладных областях науки: теории автоматического управления, радиотехнике, ракетодинамике, теории космических полетов, метеорологии, сейсмологии, звукозаписи и т. д. Эта теория дает алгоритмы, которые могут быть использованы для развития сложных новейших автоматических систем, имеющих в своем составе математические машины. Применение изложенных в книге методов наглядно показано на примерах. Теория случайных функций и вероятностные методы теории автоматического управления изложены в книге в основном по работам автора.

Книга рассчитана на широкие круги научных работников и инженеров, работающих в области автоматики и автоматизации производства в различных отраслях техники. Книга может быть также полезна для специалистов в области радиотехники и в других областях техники, в которых возникают задачи преобразования сигналов, содержащих полезную информацию и шумы или помехи.




Оглавление

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
§ 1. Случайные явления. Предмет теории вероятностей
§ 2. Экспериментальные основы теории вероятностей. Частота и вероятность события
§ 3. Теорема сложения частот. Принцип сложения вероятностей
§ 4. Условные частоты и условные вероятности. Зависимые и независимые события
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
§ 6. Повторение опытов
ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 7. Функция распределения
§ 8. Плотность вероятности
§ 9. Применение импульсных функций и обобщение понятия плотности вероятности
§ 10. Моменты случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение
§ 11. Нормальный закон распределения
§ 12. Закон распределения Пуассона
§ 13. Приближенное аналитическое представление законов распределения
ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 14. Функция распределения случайного вектора
§ 15. Плотность вероятности случайного вектора
§ 16. Условные функции распределения и плотности вероятности
§ 17. Моменты двумерного случайного вектора. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
§ 18. Моменты многомерного случайного вектора. Корреляционная матрица случайного вектора
§ 19. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Свойства математических ожиданий
§ 20. Дисперсии и корреляционные моменты комплексных случайных величин. Свойства дисперсий и корреляционных моментов
§ 21. Приведение случайного вектора к случайному вектору с некоррелированными составляющими
§ 22. Двумерный нормальный закон распределения
§ 23. Многомерный нормальный закон распределения
§ 24. Квадратическое приближение случайной величины
ГЛАВА 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 25. Характеристическая функция скалярной случайной величины
§ 26. Выражение плотности вероятности через характеристическую функцию
§ 27. Связь между характеристической функцией и моментами случайной величины
§ 28. Характеристическая функция случайного вектора
§ 29. Связь между характеристической функцией и моментами случайного вектора
ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
§ 30. Определение моментов функций случайных аргументов
§ 31. Применение линеаризации функций для приближенного определения моментов нелинейных функций случайных аргументов
§ 32. Закон распределения функции случайного аргумента
§ 33. Другой метод определения закона распределения функции случайного аргумента
§ 34. Закон распределения суммы случайных величин
§ 35. Применение характеристических функций для определения законов распределения функций случайных величин
ГЛАВА 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
§ 36. Неравенство Чебышева
§ 37. Теоремы Маркова и Чебышева. Виды вероятностной сходимости
§ 38. Теоремы Пуассона и Бернулли
§ 39. Теоремы Ляпунова и Лапласа
§ 40. Доказательство теоремы Ляпунова
ГЛАВА 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
§ 41. О возможности измерения неопределенности результатов наблюдений случайных явлений
§ 42. Энтропия прерывной случайной величины
§ 43. Энтропия непрерывной случайной величины
§ 44. Информация и ее измерение
§ 45. Энтропия равномерного и нормального распределений
§ 46. Единственность определения энтропии прерывной случайной величины
§ 47. Энтропия неограниченных случайных последовательностей
ГЛАВА 8. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 48. Определение случайной функции. Законы распределения случайных функций
§ 49. Математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции. Взаимная корреляционная функция двух случайных функций
§ 50. Моменты случайных функций
§ 51. Свойства корреляционных функций
§ 52. Сложение случайных функций
§ 53. Дифференцирование случайной функции
§ 54. Интегрирование случайной функции
§ 55. Предельная теорема для среднего значения случайной функции. Общая эргодическая теорема
ГЛАВА 9. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 56. Два вида канонических представлений случайных функций
§ 57. Общие формулы для координатных функций
§ 58. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек
§ 59. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в дискретном ряде точек
§ 60. Каноническое разложение случайной функции в данной области изменения аргумента
§ 61. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в данной области изменения аргумента
§ 62. Общая форма канонического разложения случайной функции
§ 63. Построение канонического разложения случайной функции по каноническому разложению ее корреляционной функции
§ 64. Некоторые способы построения канонического разложения корреляционной функции
§ 65. Способ получения приближенного канонического разложения случайной функции
§ 66. Разложение случайной функции в ряд
§ 67. Интегральные канонические представления случайных функций
ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 68. Приведение векторной случайной функции к скалярной
§ 69. Математическое ожидание и корреляционная функция векторной случайной функции
§ 70. Канонические разложения векторных случайных функций
§ 71. Интегральные канонические представления векторных случайных функций
ГЛАВА 11. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 72. Определение стационарной случайной функции
§ 73. Стационарная векторная случайная функция
§ 74. Эргодическое свойство стационарных случайных функций
§ 75. Стационарные случайные функции, эргодические по отношению к корреляционным функциям
§ 76. Каноническое разложение стационарной случайной функции
§ 77. Интегральное каноническое представление стационарной случайной функции. Спектральная плотность стационарной случайной функции
§ 78. Каноническое разложение стационарной векторной случайной функции
§ 79. Интегральное каноническое представление стационарной векторной случайной функции
§ 80. Случайные функции, приводимые к стационарным
ГЛАВА 12. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 81. Преобразование функций динамическими системами. Понятие оператора
§ 82. Оператор динамической системы как общая ее характеристика
§ 83. Весовые функции одномерных линейных систем
§ 84. Одномерные линейные системы, описываемые дифференциальными уравнениями
§ 85. Весовые функции многомерных линейных систем
§ 86. Другие характеристики линейных систем
§ 87. Стационарные линейные системы
ГЛАВА 13. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 88. Линейное преобразование случайной функции
§ 89. Линейное преобразование векторной случайной функции
§ 90. Общие методы исследования точности линейных систем
§ 91. Методы вычисления установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем
§ 92. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним стационарным случайным возмущением
§ 93. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним нестационарным случайным возмущением
§ 94. Исследование точности одномерных линейных систем, близких к стационарным
§ 95. Исследование точности многомерных стационарных линейных систем
§ 96. Исследование точности многомерных линейных систем, близких к стационарным
§ 97. Один тип интегральных канонических представлений входных случайных возмущений
§ 98. Преобразование случайной функции случайным линейным интегральным оператором
ГЛАВА 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 99. Методы исследования точности нелинейных систем
§ 100. Общие принципы метода линеаризации операторов
§ 101. Непосредственная линеаризация уравнений Нелинейных систем
§ 102. Линеаризация уравнений нелинейных систем при помощи канонических разложений
§ 103. Метод статистической линеаризации
§ 104. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности стационарных систем
§ 105. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности нестационарных систем
§ 106. Преобразования случайных функций, приводимые к линейным
§ 107. Нелинейные интегральные преобразования случайных функций
§ 108. Применение метода канонических разложений для исследования нелинейных преобразований случайных функций
ГЛАВА 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПЫТОВ
§ 109. О характере задач определения вероятностных характеристик по результатам опытов
§ 110. Определение вероятностей событий, функций распределения и плотностей вероятности
§ 111. Определение математических ожиданий и дисперсий случайных величин
§ 112. Определение корреляционных моментов случайных величин
§ 113. Оценка точности экспериментального определения вероятностных характеристик
§ 114. Определение математических ожиданий и корреляционных функций эргодических стационарных случайных функций
§ 115. Определение математического ожидания случайной функции сглаживанием ее реализаций
§ 116. Основные понятия теории оценок
§ 117. Применение метода максимума правдоподобия для нахождения оценки математического ожидания случайной функции
ГЛАВА 16. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ 118. Задачи определения оптимальных систем
§ 119. Критерии оптимума
§ 120. Общее условие минимума средней квадратической ошибки
§ 121. Общие условия экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки
§ 122. Уравнения, определяющие оптимальный линейный оператор
§ 123. Уравнения, определяющие оптимальное неоднородное линейное преобразование
§ 124. Общий анализ уравнений, определяющих оптимальный линейный оператор
§ 125. Уравнения, определяющие весовые функции оптимальных линейных систем
§ 126. Уравнение, определяющее оптимальный нелинейный интегральный оператор
ГЛАВА 17. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 127. Определение оптимальной одномерной линейной системы в случае белого шума на входе
§ 128. Общая формула для определения весовой функции оптимальной одномерной линейной системы
§ 129. Формулы, определяющие оптимальную линейную систему в случае бесконечного интервала наблюдения и стационарной случайной функции на входе
§ 130. Определение оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением
§ 131. Другие варианты метода определения оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением
§ 132. Случай, когда входное возмущение представляет собой стационарную случайную функцию с дробно-рациональной спектральной плотностью
§ 133. Определение оптимального линейного оператора методом интегральных канонических представлений в общем случае
§ 134. Определение оптимальной одномерной линейной системы методом канонических разложений
§ 135. Определение оптимального линейного оператора методом канонических разложений в общем случае
§ 136. Определение оптимального линейного оператора в особых случаях
§ 137. Единственность решения и оценка приближения к оптимальному линейному оператору для критерия минимума средней квадратической ошибки
ГЛАВА 18. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 138. Определение оптимального оператора в классе приводимых к линейным
§ 139. Определение оптимального нелинейного интегрального оператора
§ 140. Определение оптимального оператора по критерию минимума средней квадратической ошибки в классе всех возможных операторов
§ 141. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска при произвольной функции потерь
§ 142. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска в особых случаях
§ 143. Случай нормально распределенных сигнала и помехи
§ 144. Общий метод определения оптимального оператора по критерию минимума среднего риска
§ 145. Случай, когда функция потерь является функционалом, а сигнал и помеха распределены нормально
ДОПОЛНЕНИЕ
1. Некоторые сведения из теории линейных преобразований
II. Некоторые сведения из теории линейных интегральных уравнений с симметричным ядром
III. Нахождение минимума функции или функционала методом наискорейшего спуска
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ И ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ

Двумерные случайные величины и их характеристики. Функции. Задачи с решениями

  • Закон распределения двумерной случайной величины.
  • Функция распределения.
  • Совместная плотность вероятности.
  • Математическое ожидание.
  • Дисперсия.
  • Среднеквадратическое отклонение.
  • Регрессия.
  • Условные законы распределения.
  • Условная функция распределения.
  • Плотности вероятности составляющих.
  • Условные плотности вероятности.
  • Зависимость и независимость случайных величин.
  • Ковариация и коэффициент корреляции.

Все задачи Бесплатные решения

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 3 5
p 0,4 0,1 0,5

Найти закон распределения случайной величины Y=3X.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 3 6 10
p 0,2 0,1 0,7

Найти закон распределения случайной величины Y=2X+1.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X -1 -2 1 2
p 0,3 0,1 0,2 0,4

Найти закон распределения случайной величины Y=X2.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
p 0,2 0,7 0,1

Найти закон распределения случайной величины Y=SinX.

Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (а,b). Найти плотность распределения случайной величины Y=3Х.

Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (а,b). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если: а) Y=-3X; б) Y=АХ+В.

Случайная величина X распределена по закону Коши:

Найти плотность распределения случайной величины Y=X3+2.

Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (-∞;+∞). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если:

a)

б)

в)

г)

д)

e)

В прямоугольной системе координат xOy из точки A(4;0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Oy.

Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0,π/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=SinX.

Задана плотность распределения случайной величины X: f(x)=1/π в интервале (-π/2,π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти плотность распределения g(у) случайной величины Y=tgX.

Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0,2π). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=CosX.

Случайная величина X распределена равномерно в интервале (-π/2,π/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=CosX.

Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным а, и среднеквадратическим отклонением, равным σ. Доказать, что линейная функция Y=АХ+В также распределена нормально, причем M(Y)=Аa+B, σ(Y) =|A|σ.

Задана плотность

нормально распределенной случайной величины X. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=X2.

Задана плотность

нормально распределенной случайной величины X. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=(1/2)X2.

Задана плотность распределения

Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=(1/4)X2.

Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2)Sinx в интервале (0,π); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=φ(x)=X2, определив предварительно плотность распределения g(y) величины Y.

Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2)Sinx в интервале (0,π); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y=φ(x)=X2, используя плотность распределения g(y).

Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=Cosx в интервале (0,π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y=φ(x)=X2.

Ребро куба измерено приближенно, причем a≤x≤b. Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а,b), найти: а) математическое ожидание объема куба; б) дисперсию объема куба.

Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y=ЗХ+2.

Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y, если: а) Y=4X+6; б) Y=-5Х+1; в) Y=aX+b.

Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

X 1 3
p 0,3 0,7

 

X 2 4
p 0,6 0,4

Найти распределение случайной величины Z=X+Y.

 

Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

А) В)
X 10 12 16
p 0,4 0,1 0,5
X 4 10
p 0,7 0,3
   
Y 1 2
p 0,2 0,8
Y 1 7
p 0,8 0,2

Найти распределение случайной величины Z=X+Y.

Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z=X+Y.

Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z=X+Y.

Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y: f1(x)= 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала f1(x)=0; f2(y)=1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала f2(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Заданы плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: f1(x)= 1 в интервале (0,1), вне этого интервала f1(x)=0; f2(y)=1 в интервале (0,1), вне этого интервала f2(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Заданы плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: f1(x)= 1/2 в интервале (1,3), вне этого интервала f1(x)=0; f2(y)=1/4 в интервале (2,6), вне этого интервала f2(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y X
3 10 12
4 0,17 0,13 0,25
5 0,10 0,30 0,05

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y X
26 30 41 50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x= π/4, y=π/6, y=π/3.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы (X,Y).

Функция распределения | Свойства, примеры, расчет

Марко Табога, доктор философии

Какова вероятность того, что реализация случайной величины будет меньше больше или равно определенному пороговому значению?

Функция распределения случайной величины позволяет точно ответить этот вопрос.

Его значение в данной точке равно вероятности наблюдения реализация случайной величины ниже этой точки или равна этой точке.

СОДЕРЖАНИЕ

  1. Синонимы

  2. Определение

  3. Пример

  4. .

    Пример

  • Как получить cdf в непрерывном случае

    1. Пример

  • Подробнее

  • Ссылки

  • Продолжайте читать глоссарий

  • Синонимы

    Функцию распределения также часто называют кумулятивным распределением . функция (сокращенно cdf ).

    Определение

    Ниже приводится формальное определение.

    Определение Если является случайной величиной, ее функция распределения является функцией такой там это вероятность что меньше или равно .

    Пример

    Предположим, что случайная величина может принимать только два значения (0 и 1), каждое с вероятность 1/2.

    Его распределительная функция это

    Вот график функции.

    Свойства

    Каждая функция распределения обладает следующими четырьмя свойствами:

    1. Увеличение . увеличивается, т. е.

    2. Право-непрерывный . непрерывен справа, т. е. для любой ;

    3. Предел минус бесконечность . удовлетворяет

    4. Ограничение плюс бесконечность . удовлетворяет

    Краткие доказательства этих свойств можно найти здесь и в Уильямс (1991).

    Правильная функция распределения

    Любая функция распределения обладает четырьмя указанными выше свойствами.

    Более того, для любой заданной функции, обладающей этими четырьмя свойствами, можно определить случайную величину, которая имеет заданную функцию как ее функция распределения (доказательство см. в Williams 1991, Sec. 3.11).

    Практическим следствием этого факта является то, что, когда нам нужно проверить, заданная функция является правильной функцией распределения, нам просто нужно проверить что он удовлетворяет четырем указанным выше свойствам.

    Как получить cdf в дискретном случае

    Когда случайная величина является дискретным, cdf может быть полученный как где:

    Это можно быстро сделать с помощью таблицы.

    Пример

    Предположим, что функция массы вероятности это

    Затем мы можем настроить таблицу с тремя строками.

    В первой строке запишем возможные значения , отсортированы от меньшего к большему.

    Во второй строке мы пишем вероятности отдельных значений.

    Третья строка содержит значения cdf.

    Крайняя левая ячейка в третьей строке равна ячейке непосредственно выше.

    Затем мы идем слева направо, и значение в каждой ячейке устанавливается равным сумма:

    1. вероятность в ячейке сразу слева;

    2. вероятность в ячейке непосредственно выше.

    Таким образом, функция распределения is

    Как получить cdf в непрерывном случае

    Когда случайная величина непрерывный, его cdf можно вычислить как где плотность вероятности функция .

    Пример

    Самый простой пример, вероятно, cdf униформа распределение.

    Функция плотности вероятности случайной величины, имеющей равномерную распределение на интервале это здесь индикаторная функция, принимающая значение 1 на интервале и значение 0 везде.

    Есть три случая:

    1. если , затем

    2. если , затем

    3. если , затем

    Таким образом, cdf

    Подробнее

    Более подробно о функции распределения можно прочитать в лекции на Случайные переменные.

    Каталожные номера

    Уильямс, Д., 1991. Вероятность с мартингалами. Издательство Кембриджского университета.

    Продолжайте читать глоссарий

    Предыдущая запись: Дискретный случайный вектор

    Следующая запись: Оценщик

    Как цитировать

    Пожалуйста, указывайте как:

    Taboga, Marco (2021).

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *