Найти интеграл: Интегралы. Пошаговый калькулятор

Интегрирование дробей

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде

Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Подготовиться к интегрированию дробей самостоятельно, а затем посмотреть ответ.

Пример 0. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби следующие дроби:

1) ;

2) .

Посмотреть ответ.

---

Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

        (1)

       (2)

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

       (3)

Кроме того, на нашем сайте есть материал Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

---

Пример 1. Найти интеграл дроби

Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Используя приведённое выше её представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, а также формулу (3), последовательно получим

---

Любой интеграл вида (2) сводится к нахождению одного или двух следующих интегралов:

      (4)

Поэтому рассмотрим эти интегралы. Первый из них находится по формуле (3) при a = 1.

А теперь формулы для вычисления остальных приведённых интегралов.

      (5)

     (6)

      (7)

      (8)

      (9)

Формулы (5)-(9) можно условно считать табличными интегралами. С их помощью можно найти любой интеграл вида (2). Предварительно такой интеграл приводят к интегралам группы (4). Для этого в знаменателе подынтегральной функции выделяют полный квадрат (это делается при помощи формул сокращённого умножения и ) и представляют его в одном из следующих видов:

или

где m > 0 и n > 0.

В первых двух случаях замена переменной

в третьем непосредственное применение метода разложения приведёт к одному или двум интегралам группы (4).

Пример 2. Найти интеграл дроби

Решение. Результат применения формулы (5) при a = 8:

Пример 3. Найти интеграл дроби

Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

а затем произведём замену переменной t = x + 3 (тогда dt = dx). В результате этого:

,

то есть получили табличный интеграл. Применяем формулу 5):

,

откуда, возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

.

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 4. Найти интеграл дроби

Решение. Выделяя в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, получаем

Произведём теперь замену переменной t = x — 3 (или x = t + 3; тогда dx = dt). Поэтому

Результат применения формул (8) и (5) при a = 1:

Возвращаясь к «старой» переменной, окончательно получим

.

Пример 5. Найти интеграл дроби

Решение. Знаменатель представляет собой полный квадрат разности:

.

Поэтому

.

Применяя далее формулы (7) и (6), найдём

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6. Найти интеграл дроби

.

Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

Произведём замену переменной t = x — 4 (или x = t + 4; тогда dx = dt):

Результат применения форумул (8) и (9):

.

Возвращаясь к «старой» переменной, окончательно получим

.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Метод интегрирования по частям

Продолжение темы «Интеграл»

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

Объём тела вращения с помощью интеграла

Вычисление двойных интегралов

Длина дуги кривой с помощью интеграла

Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Определение работы силы с помощью интеграла

Mathway | Популярные задачи

1	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм x
2	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
3	Trovare la Derivata — d/dx	e^x
4	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) по x
5	Trovare la Derivata — d/dx	1/x
6	Trovare la Derivata — d/dx	x^2
7	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^2)
8	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x)^2
9	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)
10	Вычислим интеграл	интеграл e^x по x
11	Вычислим интеграл	интеграл x^2 по x
12	Вычислим интеграл	интеграл квадратного корня из x по x
13	Trovare la Derivata — d/dx	cos(x)^2
14	Вычислим интеграл	интеграл 1/x по x
15	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 по x
16	Trovare la Derivata — d/dx	x^3
17	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)^2
18	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 по x
19	Вычислим интеграл	интеграл sec(x)^2 по x
20	Trovare la Derivata — d/dx	e^(x^2)
21	Вычислим интеграл	интеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x
22	Trovare la Derivata — d/dx	sin(2x)
23	Trovare la Derivata — d/dx	tan(x)^2
24	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) по x
25	Trovare la Derivata — d/dx	2^x
26	График	натуральный логарифм a
27	Trovare la Derivata — d/dx	cos(2x)
28	Trovare la Derivata — d/dx	xe^x
29	Вычислим интеграл	интеграл 2x по x
30	Trovare la Derivata — d/dx	( натуральный логарифм от x)^2
31	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
32	Trovare la Derivata — d/dx	3x^2
33	Вычислим интеграл	интеграл xe^(2x) по x
34	Trovare la Derivata — d/dx	2e^x
35	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 2x
36	Trovare la Derivata — d/dx	-sin(x)
37	Trovare la Derivata — d/dx	4x^2-x+5
38	Trovare la Derivata — d/dx	y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4
39	Trovare la Derivata — d/dx	2x^2
40	Вычислим интеграл	интеграл e^(3x) по x
41	Вычислим интеграл	интеграл cos(2x) по x
42	Trovare la Derivata — d/dx	1/( квадратный корень из x)
43	Вычислим интеграл	интеграл e^(x^2) по x
44	Вычислить	e^infinity
45	Trovare la Derivata — d/dx	x/2
46	Trovare la Derivata — d/dx	-cos(x)
47	Trovare la Derivata — d/dx	sin(3x)
48	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^3)
49	Вычислим интеграл	интеграл tan(x)^2 по x
50	Вычислим интеграл	интеграл 1 по x
51	Trovare la Derivata — d/dx	x^x
52	Trovare la Derivata — d/dx	x натуральный логарифм от x
53	Trovare la Derivata — d/dx	x^4
54	Оценить предел	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55	Вычислим интеграл	интеграл x^2 натуральный логарифм x по x
56	Trovare la Derivata — d/dx	f(x) = square root of x
57	Trovare la Derivata — d/dx	x^2sin(x)
58	Вычислим интеграл	интеграл sin(2x) по x
59	Trovare la Derivata — d/dx	3e^x
60	Вычислим интеграл	интеграл xe^x по x
61	Trovare la Derivata — d/dx	y=x^2
62	Trovare la Derivata — d/dx	квадратный корень из x^2+1
63	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x^2)
64	Вычислим интеграл	интеграл e^(-2x) по x
65	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x
66	Trovare la Derivata — d/dx	e^2
67	Trovare la Derivata — d/dx	x^2+1
68	Вычислим интеграл	интеграл sin(x) по x
69	Trovare la Derivata — d/dx	arcsin(x)
70	Оценить предел	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) по x
72	Trovare la Derivata — d/dx	x^5
73	Trovare la Derivata — d/dx	2/x
74	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 3x
75	Trovare la Derivata — d/dx	x^(1/2)
76	Trovare la Derivata — d/d@VAR	f(x) = square root of x
77	Trovare la Derivata — d/dx	cos(x^2)
78	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^5)
79	Trovare la Derivata — d/dx	кубический корень из x^2
80	Вычислим интеграл	интеграл cos(x) по x
81	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x^2) по x
82	Trovare la Derivata — d/d@VAR	f(x)=x^3
83	Вычислим интеграл	интеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x
84	Вычислим интеграл	интеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x
85	Trovare la Derivata — d/dx	логарифм x
86	Trovare la Derivata — d/dx	arctan(x)
87	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 5x
88	Trovare la Derivata — d/dx	5e^x
89	Trovare la Derivata — d/dx	cos(3x)
90	Вычислим интеграл	интеграл x^3 по x
91	Вычислим интеграл	интеграл x^2e^x по x
92	Trovare la Derivata — d/dx	16 корень четвертой степени из 4x^4+4
93	Trovare la Derivata — d/dx	x/(e^x)
94	Оценить предел	предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95	Вычислим интеграл	интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
96	Trovare la Derivata — d/dx	3^x
97	Вычислим интеграл	интеграл xe^(x^2) по x
98	Trovare la Derivata — d/dx	2sin(x)
99	Вычислить	sec(0)^2
100	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм x^2

Как найти интеграл векторной функции — Криста Кинг Математика

Вид интеграла вектор-функции

Чтобы найти интеграл вектор-функции ???r(t)=r(t)_1\bold i+r(t)_2\bold j+r(t) _3\bold k???, мы просто заменяем каждый коэффициент его интегралом.

Другими словами, интеграл векторной функции равен

???\int r(t)\ dt=\bold i\int r(t)_1\ dt+\bold j\int r(t)_2\ dt+\жирный k\int r(t)_3\ dt???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Если вектор-функция задана как ???r(t)=\langle{r(t)_1,r(t)_2,r(t)_3}\rangle???, то ее интеграл равен

? ??\int{r(t)}=\left\langle{\int{r(t)_1}\ dt,\int{r(t)_2}\ dt,\int{r(t)_3}} \ дт\право\угол???

Как найти интеграл векторной функции

94\право\угол???

Получить доступ к полному курсу Calculus 3

Learn mathKrista King 14 июня 2021 г. математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, вычисление 3, векторное исчисление, векторное вычисление, векторная функция, интеграл от векторной функции, векторная функция интеграл, векторные интегралы, интегралы векторов, интегрирующие векторы

0 лайков

Интеграция — свойства, примеры, формулы, методы

Интеграция — это способ объединения частей для получения целого. В интегральном исчислении мы находим функцию, дифференциал которой задан. Таким образом, интегрирование является обратным дифференцированию. Интегрирование используется для определения и вычисления площади области, ограниченной графиком функций. Площадь криволинейной формы аппроксимируется путем отслеживания количества сторон вписанного в нее многоугольника. Этот процесс, известный как метод истощения, позже был принят как интеграция. Мы получаем два вида интегралов, неопределенные и определенные интегралы. Дифференциация и интегрирование являются фундаментальными инструментами исчисления, которые используются для решения задач в математике и физике. Принципы интеграции были сформулированы Лейбницем. Давайте двинемся дальше и узнаем об интеграции, ее свойствах и некоторых мощных методах.

1.	Что такое интеграция?
2.	Интеграция обратного процесса дифференцирования
3.	Правила интеграции
4.	Методы интеграции
5.	Интеграция рациональных алгебраических функций
6.	Часто задаваемые вопросы по интеграции

Что такое интеграция?

Интегрирование — это процесс нахождения площади области под кривой. Это делается путем рисования как можно большего количества маленьких прямоугольников, покрывающих площадь, и суммирования их площадей. Сумма приближается к пределу, равному области под кривой функции. Интегрирование — это процесс нахождения первообразной функции. Если функция интегрируема и ее интеграл по области конечен в указанных пределах, то это определенное интегрирование.

Если d/dx(F(x) = f(x), то ∫ f(x) dx = F(x) +C. Это неопределенные интегралы. Например, пусть f(x) = x ^{Функция F(x) = x 3}

Функция F( х)	Производная F'(x) = f(x)	Первообразная f(x)
х 3 + 0	3x 2	x 3 + ?
x 3 + 2	3x 2	x 3 + ?
x 3 — 4	3x 2	x 3 + ?

Таким образом, мы находим, что производные F(x) = f(x), однако первообразные f(x) не уникальны. Антипроизводная f(x) — это семейство бесконечно многих функций. На самом деле существуют бесконечные интегралы этой функции, потому что производная любой вещественной константы C равна нулю, и мы можем записать как ∫ cos x. dx = sin x + C. Правило интегрирования заключается в добавлении произвольной константы C из множества действительных чисел. Таким образом, мы заключаем, что если \(\dfrac{dy}{dx}=f(x)\), то мы пишем \(y=\int f(x) dx\), что читается как «Интеграл от f относительно до х.»

Теорема: Если F(x) — частная первообразная функции f(x) на интервале I, то каждая первообразная функции f(x) на I задается формулой ∫ f(x) dx = F (x) + C.

• Здесь ∫ f(x) dx представляет весь класс интегралов.
• C — произвольная константа, и все первообразные f(x) на I можно получить, приписывая C конкретное значение.
• Здесь f(x) — подынтегральная функция,
• Переменная x в dx называется интегратором, а весь процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Знак ∫ обозначает сумму.

Интегрирование обратного процесса дифференцирования

Нам дают производную функции и просят найти ее первообразную, то есть исходную функцию. Такой процесс называется антидифференциацией или интеграцией. Если нам дана производная функции, процесс нахождения исходной функции называется интегрированием. Производные и интегралы противоположны друг другу. Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Производная от f(x) равна f'(x) = cos x. Мы говорим, что функция cos x является производной функцией sin x. Точно так же мы говорим, что sin x является антипроизводной cos x.

Правила интеграции

Мы уже знаем формулы производных некоторых важных функций. Вот производные и соответствующие им стандартные интегралы нескольких функций, представленных в виде формул интегрирования.

Для нахождения интегралов определены определенные правила. Они включают:

Правила суммирования и разности:

• ∫ [f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
• ∫ [f(x)-g(x)] dx =∫ f(x) dx — ∫ g(x) dx

Степенное правило: ∫ x ⁿ dx = (x ⁿ⁺¹ )/ (n+1)+ C. (Где n ≠ -1)

Экспоненциальные правила:

• ∫ е ^х дх = е ^х + С
• ∫ a ^x dx = a ^x / ln(a) + C
• ∫ ln(x) ^{dx = x ln(x) -x + C}

Правило умножения констант:

• ∫ a dx = ax + C, где a — константа.

Правило взаимности:

• ∫ (1/x) dx = ln(x)+ C

Свойства интегрирования

Некоторые свойства неопределенных интегралов:

• ∫ [f(x)±g(x)] dx =∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, где k — любое действительное число.
• ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx, если ∫ [f(x)-g(x)] dx = 0
• Комбинация первых двух свойств приводит к \(\int [k_1 f_1(x) dx + k_2 f_2 (x) dx + ………k_n f(x)dx]\\\\= k_1 \int f_1(x) dx + k_2 \int f_2 (x) dx + …. +k_n \int f(x) dx\)

Методы интеграции

Иногда осмотра недостаточно, чтобы найти интеграл некоторых функций. Существуют дополнительные методы приведения функции к стандартной форме для нахождения ее интеграла. Известные методы обсуждаются ниже.

Методы интегрирования:

• Метод разложения
• Интеграция путем замены
• Интегрирование с использованием дробей
• Интеграция по частям

Метод 1: Интегрирование путем разложения

Функции можно разложить на сумму или разность функций, индивидуальные интегралы которых известны. Заданное подынтегральное выражение будет алгебраическим, тригонометрическим или экспоненциальным, или комбинацией этих функций.

Предположим, нам нужно проинтегрировать (x ² -x +1)/x ³ dx, мы разложим функцию как:

∫ (x ² -x +1)/x ³ дх = ∫ (х ² /x ³ — x /x ³ +1/x ³ )

= ∫ (1/x)dx — ∫ (1/x ² ) dx + ∫ (1/х ³ )dx

Применяя правило взаимности и правило степени, получаем

∫ (x ² -x +1)/x ³ dx = log|x| + 1/x — 1/2x ² + C

Метод 2: Интегрирование подстановкой

Интегрирование методом подстановки позволяет изменить переменную интегрирования так, чтобы подынтегральная функция интегрировалась простым способом.

Допустим, нам нужно найти y =∫ f(x) dx.

Пусть x=g(t). Тогда \(\dfrac{dx}{dt}=g'(t)\).

Итак, y= ∫ f(x) dx можно записать как y= ∫ f(g(t)) g'(t).

Например, найдем интеграл от f(x) = sin(mx) с помощью подстановки.

Пусть mx = t. Тогда \(m\dfrac{dx}{dt}=1\).

\(\begin{align}y&=\int \sin{mx}dx\\&=\dfrac{1}{m}\int \sin{t}dt\\&=-\dfrac{1}{ m} \cos{t}+C\\&=-\dfrac{1}{m} \cos{mx}+C\end{align}\)

y=∫ sin(mx)dx можно записать как ∫ f(g(t)) g'(t)dt

Примечание: Замена переменной интегрирования может также использовать тригнометрические тождества. Вот несколько важных стандартных результатов:

• ∫ tan x dx = log|secx| +С
• ∫ раскладушка x dx = log|sin x| +С
• ∫cosec x dx = log|cosec x -cot x| +С
• ∫ sec x dx = log|secx + tan x| +С

Метод 3: интегрирование с использованием дробей

Предположим, нам нужно найти \(y=\int \dfrac{P(x)}{Q(x)} dx\), где \(\dfrac{P(x)} {Q(x)}\) — несобственная рациональная функция. Мы уменьшаем его таким образом, что \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=T(x)+\dfrac{P_{1}(x)}{Q(x)}\). Здесь T(x) полиномиальна по x и \(\dfrac{P_{1}(x)}{Q(x)}\) является правильной рациональной функцией. В следующей таблице показаны некоторые рациональные функции и соответствующие им формы частных дробей.

Например, давайте найдем интеграл от \(f(x)=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\), используя интегрирование по неполным дробям.

Используя частичную дробь, мы имеем \(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2} \ cdots (1)\).

Определим значения A и B.

При сравнении в уравнении (1) получаем 1=A(x+2)+B(x+1).

Отсюда у нас есть набор из двух линейных уравнений.

A+B=0 и 2A+B=1

Решая эти уравнения, получаем A=1 и B=-1.

Итак, уравнение (1) можно записать в виде \(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x +2}\).

Теперь решим интеграл

\(\begin{align}\int \left(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\right)dx\\=\int \left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)dx\\=\log{|x+1|}-\log{|x+2|}+C\ \=\log{\left|\dfrac{x+1}{x+2}\right|}+C\end{align}\)

Метод 4: Интегрирование по частям

Это правило интегрирования используется для поиска интеграл от двух функций.

По правилу произведения производных имеем \(\dfrac{d}{dx}(uv)=u\dfrac{dv}{dx}+v\dfrac{du}{dx}\;\;\;\ ;\;\;\;\cdots (1)\)

Интегрируя обе части уравнения

(1), получаем \(\int u\dfrac{dv}{dx}dx=uv-\int v\dfrac{du}{dx} dx\;\;\ ;\;\;\;\; \cdots (2)\)

Уравнение (2) можно записать в виде \(uv=\int u\dfrac{dv}{dx}dx+\int v\dfrac{du} {dx} dx\)

Пусть u=f(x) и \(\dfrac{dv}{dx}=g(x)\).

Тогда имеем \(\dfrac{du}{dx}=f'(x)\) и v = ∫ g(x)dx.

Итак, уравнение (2) принимает вид

\(\begin{align}\int f(x) g(x)dx\\=f(x) \int g(x)dx-\int [f'( x) \int g(x)dx]dx\end{align}\) 9{x}+C\end{align}\)

Несколько важных стандартных результатов (формула Бернулли):

• ∫ e ^ax sin bx dx = e ^ax /(a ² + b 901 23 2 )[a sin bx — b cos bx] + C
• ∫ e ^ax cos bx dx = e ^ax /(a ² + b ² )[a cos bx + b sin bx] + C

Интеграция рациональных алгебраических функций

Чтобы проинтегрировать рациональные алгебраические функции, числитель и знаменатель которых содержат некоторые положительные целые степени x с постоянными коэффициентами, мы используем интегрирование неполными дробями и получаем несколько стандартных результатов, которые можно непосредственно применять в качестве формул интегрирования.

• ∫1/ (a ² — x ² ) dx = (1/2a) log|(a+x)/(a-x)| +С
• ∫1/ (x ² — a ² ) dx = (1/2a) log|(x-a)/(x+a)| +С
• ∫1/ √(x ² — a ² ) dx = log |x + √(x ² — a ² )|+C
• ∫ 1/ √(x ² + a ² ) dx = log |x + √(x ² + a ² )|+C
• ∫ 1/ √(a ² — x ² ) dx = sin ^-1 (х/д) +C
• ∫1/ (a ² + x ² ) dx = (1/a) tan ^-1 (x/a) + C

Важные примечания

• Интеграция – это процесс, обратный дифференциации.
• Всегда добавляйте постоянную интегрирования после определения интеграла функции.
• Если две функции, например f(x) и g(x), имеют одинаковые производные, то |f(x)-g(x)|= C, где C — некоторая константа.

☛ Также проверьте:

• Интеграция формулы УФ
• Формула дифференцирования и интегрирования

 

Часто задаваемые вопросы по интеграции

Что такое интеграция?

Процесс нахождения первообразных функций, также известных как интегралы, называется интегрированием. Это метод нахождения функции g(x), производная которой d/dx(g(x)), равна функции f(x). Он представляется как ∫ f(x) и называется неопределенным интегралом функции. ∫ f(x)dx представляет собой сумму произведения функции и ее смещения по x.

Какая польза от интеграции?

Определенные интегралы при интегрировании используются для нахождения таких величин, как площадь, объем и т. д., которые можно интерпретировать как площадь под кривой. Установлено, что первообразные помогают при вычислении определенных интегралов.

Что такое интеграция 1?

Интеграция 1 равна (x+C). Интегрирование константы, т. е. ∫ a. dx = ax + C, где a — постоянная. Здесь ∫1. dx = x + C

Каковы методы интегрирования функции?

Существует множество способов интеграции функции. Несколько стандартных интегралов просто находят первообразные, для которых используются основные формулы интегрирования. Есть несколько методов, которым нужно следовать, например, метод замены, интегрирование по частям и интегрирование с использованием неполных дробей. Они обсуждаются здесь, в этой статье.

Каковы правила интеграции?

Существует множество правил интегрирования, которые помогают нам находить интегралы. правило степени, правила суммы и разности, экспоненциальное правило, правило взаимности, правило констант, правило подстановки и правило интегрирования по частям.

Что такое интегрирование √x?

Согласно степенному правилу интегрирования мы знаем ∫ x ⁿ dx = (x ⁿ⁺¹ )/ (n+1)+ C.

∴ ∫ x ^½ . dx = (x ^½+1 )/ (½+1)+ C.

= (x ^3/2 )/ (3/2)+ C = (2/3) x ^3/2

Как интеграция используется в реальной жизни?

Применение интеграции в реальной жизни упомянуто ниже.

1. В электротехнике нам нужен кабель для соединения двух подстанций, которые находятся на расстоянии нескольких миль друг от друга. Интеграция помогает нам найти точную длину кабеля.
2. В физике интегрирование используется для нахождения центра масс, центра тяжести, скорости объекта и т.

   No related posts.