Найти корни квадратного уравнения онлайн: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Содержание

Теорема Виета и обратная формула Виета для чайников

О чем статья

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

, .

1. Найдём сумму корней:

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

= = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

= = = = = .

Докажем это уравнение:

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

= .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

= .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

;

Шаг 3. Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

. Получается:

. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

Пример 3

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

Решение

. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7.

Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

, а произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

2 + Ьх = с. Что вы делаете? Как вы это решаете? Это может показаться сложным, но с помощью нескольких простых шагов вы легко сможете решить любое квадратное уравнение.

Алгебраические уравнения могут показаться довольно запутанными, особенно если вы не считаете себя математиком или если вы уже давно не составляли их для себя. Если вы боретесь с квадратными уравнениями или вам нужен краткий обзор, мы составили это руководство по решению квадратных уравнений, чтобы пройтись по основам решения этих уравнений и помочь вам запомнить формулы, которые вам нужно знать.

Итак, что такое квадратная формула и как лучше всего решать квадратные уравнения? Мы расскажем вам обо всем этом в этом посте.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение с одной переменной, имеющее два решения или корня. Подождите, что это значит? По сути, одномерный означает, что есть одна переменная, для которой нужно решить x. Все остальные значения в уравнении известны. Итак, если вы пытаетесь решить только одно значение x, почему уравнение имеет два ответа?

Квадратные уравнения изображаются в виде парабол, симметрично изогнутых линий. X имеет два значения, потому что он представляет два места, где парабола пересекает ось x, как на графике слева. Эти графические квадратные уравнения могут быть сложными для решения!

Каковы 5 методов квадратного уравнения? Wavebreak/E+/Getty Image

Существует несколько методов, которые можно использовать для решения квадратного уравнения, в том числе:

Факторинг
Квадратичная формула
Завершение квадрата
Графика

Если вы не знаете, как использовать эти методы, лучше всего нанять репетитора по математике, чтобы он показал вам основы. Узнать больше и записаться на репетиторство по математике можно здесь. Чему именно вы научитесь с репетитором по математике? Посмотрите это видео для получения дополнительной информации:

https://www.youtube.com/watch?v=mOeH9ZxyA8c

Как определять квадратные уравнения JGI/Jamie Grill/Tetra Images/Getty Image

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так: x ² + bx + c = 0 . A, b и c обозначают фактические числа или известные значения, а x обозначает неизвестное значение или переменную. Когда вы решаете уравнение, вы будете определять значения для x. Вот пример квадратного уравнения с подставленными известными значениями: 2x ² + 8x + 7 = 0 . Обратите внимание, что в стандартной форме квадратные уравнения всегда равны нулю.

Некоторые пронырливые учителя математики могут представить вам уравнение, которое выглядит так: x ² + 2x = 3 . Не позволяйте этому трюку обмануть вас! Просто вычтите 3 из каждой части уравнения, чтобы оно равнялось нулю. Помните: вы должны вычесть из обеих частей уравнения, чтобы оно осталось равным! Результат выглядит следующим образом: x ² + 2x – 3 = 0 .

Факторизация квадратных уравнений Glow Images/Glowimages/Getty Image

Некоторые из «более простых» квадратных уравнений можно решить с помощью процесса, называемого факторингом. Чтобы разложить квадратное уравнение, взгляните на значения b и c. Вам нужно будет найти два числа, которые при умножении равны c, а при суммировании равны b. Не волнуйтесь, если это звучит абстрактно. Давайте рассмотрим пример, чтобы вы могли понять, как работает факторинг.

x ² + 5 x + 6 = 0

Чтобы решить это уравнение, вам нужно подумать о двух числах, которые в сумме дают пять, и умножить их, чтобы получить шесть. Вы можете сложить два и три, чтобы получить пять, или умножить два раза на три, чтобы получить шесть, так что это ваши множители для этого примера. Вы должны написать свой ответ следующим образом: x ² + 5 x + 6 = ( x ) + 3) x ()0012 . Вы можете проверить свою работу, умножив коэффициенты (x + 3) и (x + 2) , чтобы убедиться, что они равны исходному уравнению.

Факторизация уравнения с отрицательными числами может быть немного сложнее. Если с положительно, то оба множителя либо положительны, либо оба отрицательны. Если b отрицательно, а c положительно, то оба множителя отрицательны. Если b положительно и c положительно, оба множителя положительны.

Если вы смотрите на уравнение, а c отрицательное, это означает, что один фактор отрицательный, а другой положительный. Если b положительно, больший множитель положителен. Если b отрицательно, больший множитель отрицателен.

Использование формулы квадратного уравнения South_agency/E+/Getty Image
Далее следует формула квадратного уравнения. Как решать квадратные уравнения, если их решить не так-то просто.

Иногда из-за того, что жизнь несправедлива, квадратные уравнения не могут быть решены с помощью простой факторизации. Когда вы столкнетесь с одним из этих странных и хитрых уравнений, вам нужно будет вывести квадратную формулу, чтобы выполнить работу. Квадратичная формула выглядит так:

Обратите внимание, что перед знаком квадратного корня стоит знак плюс и знак минус. Это означает «плюс» или «минус», что означает, что формулу нужно решать дважды, один раз прибавляя корень к -b и один раз вычитая, чтобы получить оба значения для x.
Для начала подставьте значения a, b и c. После того, как вы подставили свои числа, найдите x в следующем порядке: круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. Обычная мнемоническая фраза, помогающая запомнить порядок действий, звучит так: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли»; первая буква каждого слова в этой фразе такая же, как и порядок действий.

For example, solving the equation x ² + 3 x – 4 = 0 would look like this:

Since this уравнение можно разложить на множители (х + 4, х = -4 и х – 1, х = 1), вы можете легко проверить свою работу.
Как видите, после того, как вы подставили значения в правильное место в квадратной формуле, получить ответ довольно просто. Студенты, как правило, больше всего борются с запоминанием того, как построить квадратную формулу. Вот несколько советов по запоминанию этой волшебной формулы.
Sing it to the tune of “Pop Goes the Weasel”, using these lyrics:
x equals negative b
plus or minus the square root
of b squared minus 4ac
all over 2a
Запомните эту историю: Жил-был отрицательный мальчик, который все перепутал, поэтому он пошел на радикальную вечеринку, но из-за того, что он был квадратным, он проиграл четырем классным цыпочкам, поэтому он плакал по дороге домой, и когда ночь все было кончено, было 2 часа ночи.
Просто смотрите на этот GIF, пока не станете единым целым с формулой, визуализируйте уравнение квадратной формулы (не лучший метод, но я думаю, он может сработать):
Другие важные формулы квадратных уравнений квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0: (∞, -(b2 – 4ac)/4a]
Для a > 0 область значений квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 равна [b2 – 4ac/4a, ∞)
D < 0 корни не существуют или являются мнимыми.
При D = 0 корни действительны и равны.
D > 0 корни вещественны и различны.
При отрицательном значении a (a < 0) квадратное выражение f(x) = ax2 + bx + c имеет максимальное значение при x = -b/2a.
Для положительных значений a (a > 0) квадратное выражение f(x) = ax2 + bx + c имеет минимальное значение при x = -b/2a.
Условием для квадратных уравнений a1x2+b1x+c1=0 и a2x2+b2x+c2=0, имеющих одинаковые корни, является (a1b2−a2b1)(b1c2−b2c1) = (a2c1−a1c2)2.
Дискриминант квадратного уравнения равен D = b2 – 4ac
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: x = −b±√b2−4ac2a.

Произведение корня квадратного уравнения равно αβ = c/a = постоянный член/коэффициент x2
Квадратное уравнение, имеющее корни α, β, равно x2 – (α + β)x + αβ = 0,
Квадратное уравнение в стандартной форме: ax2 + bx + c = 0
Сумма корней квадратного уравнения равна α + β = -b/a = – Коэффициент x/ Коэффициент x2.
Используйте калькулятор квадратных уравнений Maskot/Maskot/Getty Image
Когда ничего не помогает, вы всегда можете использовать калькулятор квадратных уравнений.
Вот несколько ссылок на лучшие калькуляторы для решения квадратных уравнений:
Calculator Soup
Симболаб
Матхпапа
Калькулятор. net
Math.com
Как решать квадратные уравнения? DNY59/E+/Getty Image
Применение этих советов должно помочь вам понять, как решать квадратное уравнение. Если вы все еще боретесь, обратитесь за дополнительной помощью. Вам доступно множество ресурсов, и мы хотим убедиться, что вы получаете правильную помощь, чтобы вы могли добиться успеха на уроках математики. Приложив немного усилий, решение квадратных уравнений станет легкой задачей!
Если у вас все еще возникают проблемы с решением квадратных уравнений, академический наставник может уделить вам личное внимание и помочь вам с любыми вопросами, которые могут у вас возникнуть. Преподаватели TakeLessons квалифицированы, предварительно проверены и заинтересованы в том, чтобы помочь вам добиться успеха. Репетиторы доступны онлайн и лично, поэтому найдите своего идеального репетитора уже сегодня!
Вам также могут понравиться…
– Стратегии сдачи экзаменов: ваш путеводитель по безстрессовой финальной неделе
–6 «Дополнительные баллы» – результаты, которые вы получите с репетиторством
– Советы A+: как написать эссе
– Меган Л. Сотрудник TakeLessons и блоггер
Фото Янки
Вычисление квадратного уравнения – MathCracker.com
Инструкции: Рассчитайте уравнение квадратного уравнения, показав все шаги, используя этот калькулятор. Пожалуйста, введите квадратное уравнение, для которого вы хотите вычислить корни, в поле формы ниже. 92 +1/3x -1, например .
После того, как вы введете правильное квадратное уравнение, все, что вам нужно сделать, это нажать «Рассчитать», и вам будут предоставлены все шаги процесс вычисления корней квадратного уравнения , которое предоставляется.
Обычно для вычисления квадратных уравнений используется квадратная формула, но это не единственный способ, как мы увидим в следующих разделах.
Как рассчитать квадратное уравнение?
Существует несколько способов решения квадратных уравнений. Наиболее часто используемым является использование квадратичной формулы. Кроме того, вы можете решить, заполнив квадраты, или вы можете решить с помощью квадратичного факторинга.
Каковы этапы расчета квадратных уравнений с использованием квадратной формулы?
Шаг 1: Определите квадратное уравнение, которое вы хотите вычислить
Шаг 2: Убедитесь, что уравнение полностью упрощено, в противном случае продолжите упрощение, пока не получите уравнение вида ах² + Ьх + с = 0 92 — 4ас}}{2а}\)
Возможно, использование формулы квадратного уравнения является наиболее практичным способом нахождения корней квадратного уравнения, но есть и другие причины зачем вам другие методы.
Как решить квадратное уравнение, достраивая квадраты?
Вторым наиболее распространенным способом решения квадратного уравнения является использование метода заполнения квадратов. Нет на самом деле формула заполнения квадратов (хотя технически она есть, основанная на решениях квадратного уравнения), и это скорее процесс.
Каковы шаги для заполнения квадратов
Шаг 1: Определите квадратное уравнение, которое вы хотите решить
Шаг 2. Вам необходимо убедиться, что уравнение полностью упрощено и что у вас есть уравнение вида ах² + Ьх + с = 0
Шаг 3. Сложите и вычтите подходящий член (в данном случае (b/(2a))², чтобы получить члены квадрата двучлена
Идея принудительного появления термина формы (x + «что-то)², что является конечной целью заполнения квадратов.
Зачем вам квадратные уравнения?
Квадратные уравнения постоянно появляются в приложениях по алгебре, являются текстовыми задачами. Решение квадратных уравнений — это один из базовых навыков, который вам необходим. приобретать.
Затем, в таких областях, как исчисление, при решении задач максимизации и минимизации вам нужно будет хорошо познакомиться со всеми типами квадратичных вычислений. уравнения.
Пример: Решение квадратного уравнения
Решите следующее квадратное уравнение, используя формулу \(4x^2 + \frac{4}{3}x + 2 = 0\) 92+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}=0\) имеет два разных действительных корня: \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{9}\sqrt{ 37}-\frac{1}{9}\) и \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{9}\sqrt{37}-\frac{1}{9}\).
No related posts.