Найти матрицу х из уравнения: Умножение матриц онлайн

alexxlab / / Разное

3 Билет

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

  1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

  2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

  3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

  4. Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу   из уравнения  , необходимо умножить это уравнение на   слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение   уравнения  , нужно найти обратную матрицу  и умножить ее на матрицу  , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если 

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

4 Билет

4.1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi— свободными членами. Подлежат нахождению числа xn.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

AX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

— вектор-столбец из неизвестных xj.

— вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных  х1=c1, x

2=c2, …, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются 

эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.  Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как  x1=x2=x3=. 2

numpy для линейной алгебры

numpy для матриц и векторов

Класс numpy ndarray используется для представления как матриц, так и векторов. Чтобы построить матрицу в numpy, мы перечисляем строки матрицы в списке и передаем этот список конструктору массива numpy.

Например, чтобы создать массив numpy, который соответствует матрице

, мы должны сделать

A = np.массив([[1,-1,2],[3,2,0]])

Векторы — это просто массивы с одним столбцом. Например, чтобы построить вектор

мы бы сделали

v = np.массив([[2],[1],[3]])

Более удобным подходом является транспонирование соответствующего вектора-строки. Например, чтобы сделать вектор выше, мы могли бы вместо этого транспонировать вектор-строку

Код для этого

v = np.transpose (np.array ([[2,1,3]]))

numpy перегружает индекс массива и обозначения срезов для доступа к частям матрицы. Например, чтобы напечатать правую нижнюю запись в матрице А мы бы сделали

печать (А [1,2])

Чтобы вырезать второй столбец в матрице A , мы должны сделать

столбец = А[:,1:2]

Первый срез выбирает все строки в A , а второй срез выбирает только среднюю запись в каждой строке.

Чтобы выполнить умножение матрицы или умножение матрицы на вектор, мы используем метод np.dot() .

ш = np.точка (А, v)

Решение систем уравнений с помощью numpy

Одной из наиболее распространенных задач линейной алгебры является решение матрично-векторного уравнения. Вот пример. Мы ищем Vector x , который решает уравнение

A x = B

, где

Мы начинаем с строительства массивов для A и B 8888.

A = np.массив([[2,1,-2],[3,0,1],[1,1,-1]])
b = np.transpose (np.array ([[-3,5,-2]])

Чтобы решить систему делаем

х = np.

  

  
 linalg.solve(A,b)

Применение: множественная линейная регрессия

В задаче множественной регрессии мы ищем функцию, которая может сопоставлять точки входных данных с выходными значениями. Каждая точка данных представляет собой вектор признаков ( x 1 , x 2 , …, x m ), состоящий из двух или более признаков входных значений данных. Чтобы представить все входные данные вместе с вектором выходных значений, мы создали входную матрицу X и выходной вектор y :

В простой модели линейной регрессии по методу наименьших квадратов мы ищем вектор β такой, что произведение X β наиболее точно приближается к вектору результата y.

После того, как мы построили вектор β , мы можем использовать его для сопоставления входных данных с прогнозируемыми результатами. Учитывая входной вектор в форме

, мы можем вычислить прогнозируемое значение результата

Формула для вычисления β vector is

β = ( X T X ) -1 X T y

In our next example program I will use numpy построить соответствующие матрицы и векторы и найти вектор β . После того, как мы решили для β , мы будем использовать его, чтобы делать прогнозы для некоторых точек тестовых данных, которые мы изначально не включили в наш набор входных данных.

Предполагая, что мы построили входную матрицу X и вектор результатов y в numpy, следующий код вычислит вектор β :

Xt = np.transpose (X)
XtX = np.dot (Xt, X)
Xty = np.dot(Xt,y)
бета = np.linalg.solve(XtX,Xty)

В последней строке используется NP.Linalg.Solve для вычисления β

, поскольку уравнение

β = ( x T x ) x ) —1 x ) x )0033 X T y

is mathematically equivalent to the system of equations

( X T X ) β = X T y

В этом примере я буду использовать набор данных о ценах на дома в Виндзоре, который содержит информацию о продажах домов в Виндзоре, Онтарио. Входные переменные охватывают ряд факторов, которые потенциально могут повлиять на цены на жилье, такие как размер участка, количество спален и наличие различных удобств. Файл CSV с полным набором данных доступен здесь. Я скачал набор данных с этого сайта, который предлагает большое количество наборов данных, охватывающих широкий круг тем.

Вот исходный код примера программы.

импортировать CSV
импортировать numpy как np
защита чтения данных():
    Х = []
    у = []
    с open('Housing.csv') как f:
        rdr = csv.reader(f)
        # Пропустить строку заголовка
        следующий (ряд)
        # Читать X и Y
        для строки в rdr:
            хлиния = [1,0]
            для s в строке[:-1]:
                xline.append (с плавающей запятой))
            X.добавлять(xline)
            y.append (с плавающей запятой (строка [-1]))
    возврат (Х, у)
X0,y0 = читатьДанные()
# Преобразование всех, кроме последних 10 строк необработанных данных, в пустые массивы
д = лен(Х0)-10
X = np. массив (X0 [: d])
y = np.transpose (np.array ([y0 [: d]]))
# Бета-версия вычислений
Xt = np.transpose (X)
XtX = np.dot (Xt, X)
Xty = np.dot(Xt,y)
бета = np.linalg.solve(XtX,Xty)
печать (бета)
# Сделать прогнозы для последних 10 строк в наборе данных
для данных, фактических в zip(X0[d:],y0[d:]):
    х = np.массив ([данные])
    прогноз = np.dot (x, бета)
    print('prediction = '+str(prediction[0,0])+' факт = '+str(фактический))

Исходный набор данных состоит из более чем 500 записей. Чтобы проверить точность прогнозов, сделанных моделью линейной регрессии, мы используем все, кроме последних 10 записей данных, чтобы построить модель регрессии и вычислить β . После того, как мы построили вектор β , мы используем его для прогнозирования последних 10 входных значений, а затем сравниваем прогнозируемые цены на жилье с фактическими ценами на жилье из набора данных.

Вот результаты работы программы:

[[-4.14106096e+03]
 [ 3.55197583e+00]
 [1.66328263e+03]
 [1. 45465644e+04]
 [6.77755381e+03]
 [6.58750520e+03]
 [4.44683380e+03]
 [ 5.60834856e+03]
 [1.27979572e+04]
 [1.24091640e+04]
 [4.19931185e+03]
 [9.42215457e+03]]
прогноз = 97360,6550969 факт = 82500,0
прогноз = 71774,1659014 факт = 83000,0
прогноз = 92359,0891976 факт = 84000,0
прогноз = 77748,2742379 факт = 85000,0
прогноз = 91015,5903066 факт = 85000,0
прогноз = 97545,1179047 факт = 91500,0
прогноз = 97360,6550969 факт = 94000,0
прогноз = 106006,800756 факт = 103000,0
прогноз = 92451,6931269 факт = 105000,0
прогноз = 73458,2949381 факт = 105000,0

В целом, предсказания не очень хороши, но ряд предсказаний несколько близок к правильности. Создание более качественных прогнозов на основе этих данных станет предметом зимнего учебного курса по машинному обучению.

Найти матрицу X 2×2, которая удовлетворяет матричному уравнению 2 33]-[5к. [3 12 Х= 4 -7 11 4 Х= F13 5 В -3 12 Х= -3 3 -13 0 Х= 2 -5

Вопрос

Пошаговый ответ

Найдите матрицу X 2×2, которая удовлетворяет матричному уравнению ~2 33]-[5к.
[3 12 х= 4 -7 ~11 4 Х= F13 5 Б -3 12 Х= -3 3 -13 0 X= 2 -5

Найдите матрицу X 2×2, которая удовлетворяет матричному уравнению ~2 33]-[5к. [3 12 х= 4 -7 ~11 4 Х= F13 5 Б -3 12 Х= -3 3 -13 0 Х= 2 -5

Рекомендуемый AI ответ:

Чтобы решить уравнение, нам нужно найти обратную матрицу X. Обратное можно найти, взяв определитель матрицы X. Определитель матрицы X: ~2 33]-[5к.

Рекомендация видео с лучшим совпадением:

Решено проверенным экспертом

У нас нет заданного вами вопроса, но вот рекомендуемое видео, которое может помочь.

Лучшее совпадение Вопрос:

Найдите матрицы $A, \mathbf{x},$ и $\mathbf{b}$, выражающие заданную линейную систему в виде одного матричного уравнения $A \mathbf{x}=\mathbf{ b}$ и запишите это матричное уравнение. а) $\begin{align} x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3} &=-3 \\ 2 x_{1}+x_{2} &=0 \\-3 x_{2 }+4 x_{3} &=1 \\ x_{1} &+x_{3}=5 \end{выровнено}$ б) $\begin{align} 3 x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3} &=-3 \\-x_{1}-5 x_{2}-2 x_{3} &= 3 \\-4 x_{2}+x_{3} &=0 \end{выровнено}$

Рекомендуемые видео

Стенограмма

Поскольку две матрицы равны, и если и только если их соответствующие элементы равны, мы можем заменить уравнения в системе уравнениями одной матрицы. Если у нас нет второго уравнения, у нас есть два x один плюс x два, что равно нулю. У меня ноль х троек, потому что у меня нет х троек. Коэффициенты в первой строке равны один минус два и три, поэтому у нас есть матрица с одним столбцом r x один x два x три. Матрица была бы отрицательной два и три, и у меня нет нуля. У меня не больше трех. Там не было бы никаких коэффициентов. Там нет Х единиц или нулевых коэффициентов. 70 минус три, четыре и один. Ладно ладно. Это будет матрица столбцов. У нас есть X. Он равен просто матрице-столбцу того, чему мы равны, верно? Наша А — это просто матрица А, и в основном это то, что у нас есть. Это наша колонка, майор, это Times X, и это равно быть, так что у нас все в порядке. У нас есть три х один плюс три х два плюс три х три, что равно минус три, а затем у нас есть минус Х один минус. Пять х два минус два х три равно трем, и тогда у нас есть минус четыре х два плюс х три равно нулю. Опять же, мы могли бы просто взять наши коэффициенты и поместить их в матрицу.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *