Найти матрицу с если с: Матричный калькулятор

Содержание

1.2. Матрица. Свойства и действия над матрицами

Определение. Матрицей (М_mn) называется таблица, состоящая из чисел

, где a_ij – элемент матрицы, i=1…m; j=1…n

m- определяет количество строк, n- количество столбцов. Размерность матрицы записывается как mxn.

Если m=n матрицу называют квадратной: если m≠n матрица называется прямоугольной. Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию a_mn=a_nm, то матрица называется симметричной.

Две матрицы А=иB=считаютсяравными (А=В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. когда (m,n=1,2,3).

Ранг матрицы — это наибольший порядок минора этой матрицы, не равный нулю.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:

Сумма нулевой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А+0=А.

Матрица особенная, если её определитель равен нулю.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если в матрице А взаимно переставлены местами строки и столбцы.

Единичной матрицей называется матрица

Если для матрицы А существует матрица В такая, что произведение А·В есть единичная матрица (А·В=Е), то В называется обратной матрицей и обозначается . Обратная матрица находится по формуле:, где

— алгебраическое дополнение элемента матрицы в ее определителе.

1.2.1. Свойства матриц

1. А·В В·А

2. A·0=0 (0-ноль матрица)

3. A·E=E·A=A

4. (A·B) ·C=A·(B·C)

5. (A+B) ·C=AC+BC, C· (A+B) =CA+CB

6. Если C=AB, то , (|A|,|В|,|C|-определители)

1.2.2. Действия над матрицами

Суммой

двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

Произведением числа m на матрицу A называется матрица, определяемая равенством.

Произведением двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

ПРИМЕР 2. Найти сумму матриц

ПРИМЕР 3. Найти 2А+5В, если

ПРИМЕР4. Найти произведение матриц, если

Число столбцов матрицы А должно совпадать с числом строк матрицы В.

ПРИМЕР5. Дана матрица .Найти обратную матрицу.

Вычислим определитель матрицы А:

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

т.к. , то

ПРИМЕР 6. Найти

, ,

1.3. Решение системы линейных уравнений

Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Решением этой системы называется совокупность n чисел которые будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называетсясовместной,

если она имеет хотя бы одно решение

Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется

определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Для нахождения решения системы линейных уравнений используют:

1.Метод Крамера; 2. Метод Гаусса; 3. Матричный метод. Рассмотрим каждый из этих методов.

1.3.1 Метод Крамера

Пусть мы имеем систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Вычислим определитель этой системы

1. Если определитель этой системы то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера₃ , ,, где

дополнительные определители

2.Если илиилисистема решения не имеет.

3.Если система имеет бесконечно много решений.

ПРИМЕР 1. Решить систему уравнений

Т.к. определитель система имеет единственное решение.

₃₃₃

Пакет аналитических вычислений Maple, страница 4

Информатика и выч. техника \ Матричный анализ

Определение 2.5. Пусть A = [ а_ij]и B = [ b_ij]матрицы типов соответственно mnи pq. Если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т. е. п = р, то для этих матриц определена матрица C типа mq называемая их произведением, при этом c_ij = а_i₁b₁_j+ а_i₂b₂_j + … +

a_inb_nj , (; ).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц:

Чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить.

Мнемоническое правило:Cтрока на столбец.

Пример 2.5. Найти произведение матриц A и B, где

A= , B=

Произведение AB имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица A содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в столбцах матрицы B. В частности, можно перемножать квадратные матрицы лишь одинакового порядка.

Произведение двух матриц не обладает переместительным свойством, т. е., вообще говоря,

AB ≠ B A, в чем можно убедиться на примерах.

Более того, может даже случиться, что произведение двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, смысла иметь не будет.

В тех частных случаях, когда AB = BA, матрицы A и B называются перестановочными (коммутативными). Так, например, как нетрудно убедиться, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей A того же порядка, причем AЕ = ЕA = A. Таким образом, единичная матрица Е играет роль единицы при умножении.

2.3 Определитель матрицы. Обратная матрица

Определение 2.6. Определителемили детерминантом квадратной матрицы A = [ а_ij ] называется число det

A или |A|, которое может быть вычислено по элементам матрицы с помощью следующей рекурсии:
Если n = 1, то det A = a₁₁;
Если n = 1, то det A = , где .
М_i_k – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца.
Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т. е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Пример 2.6. Найти определитель для матрицы A, где A =
Определение 2.7. Минором элемента a_ij матрицы называется определитель матрицы, полученной из данной в результате вычеркивания i-й строки и j-гo столбца.
Определение 2.8. Рангом матрицы
A называется такое натуральное число r, что среди всех миноров r-го порядка матрицы A есть хотя бы один не равный нулю, а все миноры (r + 1)-го порядка, если существуют, равны 0.
Пример 2.7. Найти ранг для матрицы A, где A=
Определение 2.9. Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.
Для матрицы A обозначим обратную ей матрицу через A^-1. Тогда по определению имеем: AA^-1 = A^-1A = Е, где Е— единичная матрица.
Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.
Пример 2.8. Найти обратную матрицу A^-1 , где A =

Блочные матрицы и их алгебра
Часто приходится пользоваться матрицами, разбитыми на прямоугольные части – «клетки» или «блоки».
Пусть дана прямоугольная матрица
При помощи горизонтальных и вертикальных линий рассечем матрицу A на прямоугольные блоки:
Про эту матрицу будем говорить, что она разбита на stблоков A_αβразмером m_αn_β(;) или что она представлена в виде блочной матрицы.
Сокращённая запись: A= [ A_αβ] (;).
Действия над блочными матрицами производятся по тем же формальным правилам, как и в случае, когда вместо блоков имеем числовые элементы.
Известно, что при умножении двух прямоугольных матриц A
и B длина строк в первом сомножителе A должна совпадать с высотой столбцов во втором сомножителе B. Для возможности «блочного» умножения матриц дополнительно требуется, чтобы при разбиении на блоки все горизонтальные размеры в первом сомножителе совпадали с соответствующими вертикальными размерами во втором сомножителе:
,
Тогда легко проверить, что
AB = C = [ C_αβ], где

Заметим, что умножение квадратных блочных матриц одного и того же порядка всегда выполнимо, когда сомножители разбиты на одинаковые квадратные схемы блоков и в каждом из сомножителей на диагональных местах стоят квадратные матрицы.
Формула Фробениуса. Пусть неособенная квадратная матрица М (|M| ≠ 0) разбита на блоки
,
и пусть также A – неособенная квадратная матрица (|A| ≠ 0) . Тогда матрица М^-1 находится по формуле:
, где .
Формула Фробениуса сводит обращение матрицы порядка n+ q к обращению двух матриц порядка nи q и к операциям сложения и умножения матриц с размерами nn, qq, nq, qn.
Пример 3.1. Найти обратную матрицу M^-1 по формуле Фробениуса, где
M =

Ввод осуществляется посредством задания 4 блоков, на которые разбивается исходная матрица M
Далее вычисляем матрицу H и каждый блок матрицы M^-1:
Далее формируем искомую матрицу M^-1:
Функция blockmatrixсодержится в пакете linalg, поэтому для ее использования записывают выражение linalg[blockmatrix], что не подключает весь пакет, а дает возможность использовать только одну функцию. Эта функция позволяет составить матрицу из блоков размера nn и qq.
Декомпозицию блоков можно сделать используя функцию SubMatrix, которая выделяет из матрицы заданный блок.
Пример 3.2. Разбить матрицу A на 4 блока, где A =
Собрать обратно блоки можно многими способами. Приведем два из них:
Пример 3.3. Составить матрицу из 4 блоков A₁, A₂, A₃, A₄,
где A₁_{= , A₂_{= , A₃_{= , A₄_{= .}}}}
Скачать файл
Выбери свой ВУЗ
АлтГТУ 419
АлтГУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 267
БИТТУ 794
БГТУ «Военмех» 1191
БГМУ 172
БГТУ 603
БГУ 155
БГУИР 391
БелГУТ 4908
БГЭУ 963
БНТУ 1070
БТЭУ ПК 689
БрГУ 179
ВНТУ 120
ВГУЭС 426
ВлГУ 645
ВМедА 611
ВолгГТУ 235
ВНУ им. Даля 166
ВЗФЭИ 245
ВятГСХА 101
ВятГГУ 139
ВятГУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ГГМУ 1966
ГГТУ им. Сухого 4467
ГГУ им. Скорины 1590
ГМА им. Макарова 299
ДГПУ 159
ДальГАУ 279
ДВГГУ 134
ДВГМУ 408
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонГТУ 498
ДИТМ МНТУ 109
ИвГМА 488
ИГХТУ 131
ИжГТУ 145
КемГППК 171
КемГУ 508
КГМТУ 270
КировАТ 147
КГКСЭП 407
КГТА им. Дегтярева 174
КнАГТУ 2910
КрасГАУ 345
КрасГМУ 629
КГПУ им. Астафьева 133
КГТУ (СФУ) 567
КГТЭИ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубГТУ 138
КубГУ 109
КузГПА 182
КузГТУ 789
МГТУ им. Носова 369
МГЭУ им. Сахарова 232
МГЭК 249
МГПУ 165
МАИ 144
МАДИ 151
МГИУ 1179
МГОУ 121
МГСУ 331
МГУ 273
МГУКИ 101
МГУПИ 225
МГУПС (МИИТ) 637
МГУТУ 122
МТУСИ 179
ХАИ 656
ТПУ 455
НИУ МЭИ 640
НМСУ «Горный» 1701
ХПИ 1534
НТУУ «КПИ» 213
НУК им. Макарова 543
НВ 1001
НГАВТ 362
НГАУ 411
НГАСУ 817
НГМУ 665
НГПУ 214
НГТУ 4610
НГУ 1993
НГУЭУ 499
НИИ 201
ОмГТУ 302
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПГПУ им. Короленко 296
ПНТУ им. Кондратюка 120
РАНХиГС 190
РОАТ МИИТ 608
РТА 245
РГГМУ 117
РГПУ им. Герцена 123
РГППУ 142
РГСУ 162
«МАТИ» — РГТУ 121
РГУНиГ 260
РЭУ им. Плеханова 123
РГАТУ им. Соловьёва 219
РязГМУ 125
РГРТУ 666
СамГТУ 131
СПбГАСУ 315
ИНЖЭКОН 328
СПбГИПСР 136
СПбГЛТУ им. Кирова 227
СПбГМТУ 143
СПбГПМУ 146
СПбГПУ 1599
СПбГТИ (ТУ) 293
СПбГТУРП 236
СПбГУ 578
ГУАП 524
СПбГУНиПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЭ 226
СПбГУТ 194
СПГУТД 151
СПбГУЭФ 145
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
ПИМаш 247
НИУ ИТМО 531
СГТУ им. Гагарина 114
СахГУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибГАУ 462
СибГИУ 1654
СибГТУ 946
СГУПС 1473
СибГУТИ 2083
СибУПК 377
СФУ 2424
СНАУ 567
СумГУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТГЭУ 325
ТГУ (Томск) 276
ТГПУ 181
ТулГУ 553
УкрГАЖТ 234
УлГТУ 536
УИПКПРО 123
УрГПУ 195
УГТУ-УПИ 758
УГНТУ 570
УГТУ 134
ХГАЭП 138
ХГАФК 110
ХНАГХ 407
ХНУВД 512
ХНУ им. Каразина 305
ХНУРЭ 325
ХНЭУ 495
ЦПУ 157
ЧитГУ 220
ЮУрГУ 309
Полный список ВУЗов
r — Выбрать строки матрицы, удовлетворяющие условию
спросил 11 лет, 8 месяцев назад
Изменено 3 года, 6 месяцев назад
Просмотрено 518 тысяч раз
В R с матрицей:
один два три четыре [1,] 1 6 11 16 [2,] 2 7 12 17 [3,] 3 8 11 18 [4,] 4 911 19 [5,] 5 10 15 20
Я хочу извлечь подматрицу, строки которой имеют столбец три = 11. То есть:
один два три четыре [1,] 1 6 11 16 [3,] 3 8 11 18 [4,] 4 9 11 19
Я хочу сделать это без зацикливания. Я новичок в R, так что это, вероятно, очень очевидно, но документация часто несколько кратка.
r
выбор
матрица
подматрица
1
Это проще сделать, если преобразовать матрицу во фрейм данных с помощью as.data.frame(). В этом случае предыдущие ответы (с использованием подмножества или m$three) будут работать, иначе — нет.
Чтобы выполнить операцию над матрицей , вы можете определить столбец по имени:
m[m[ "три"] == 11,]
Или по номеру:
m[m[3] == 11,]
Обратите внимание: если совпадает только одна строка, результатом будет целочисленный вектор, а не матрица.
4
Я выберу простой подход с использованием пакета dplyr.
Если кадр данных является данными.
библиотека (dplyr) результат <- фильтр (данные, три == 11)
m <- матрица (1:20, ncol = 4) colnames(m) <- Letters[1:4]
Следующая команда выберет первую строку матрицы выше.
подмножество (m, m[4] == 16)
И это выберет последние три.
подмножество (m, m[4] > 17)
В обоих случаях результатом будет матрица. Если вы хотите использовать имена столбцов для выбора столбцов, вам лучше всего преобразовать их в фрейм данных с
мф <- data.frame(м)
Затем вы можете выбрать с помощью
mf[ mf$a == 16, ]
Или вы можете использовать команду подмножества.
Subset — очень медленная функция, и лично я считаю ее бесполезной.
Я предполагаю, что у вас есть data.frame, массив, матрица с именем Mat с A , B , C в качестве имен столбцов; тогда все, что вам нужно сделать, это:
В случае одного условия в одном столбце, скажем, в столбце A
Mat[который(Mat['A'] == 10), ]
В случае нескольких условий в разных столбцах можно создать фиктивную переменную. Предположим, что условия A = 10 , B = 5 и C > 2 , тогда мы имеем:
aux = which(Mat['A'] == 10) aux = aux[который(Mat[aux,'B'] == 5)] aux = aux[который(Mat[aux,'C'] > 2)] Мат [aux, ]
Проверив преимущество в скорости с помощью system. time , который 9Метод 0078 в 10 раз быстрее, чем метод подмножества .
Если ваша матрица называется m , просто используйте:
R> m[m$three == 11, ]
1
Если набор данных называется данными, то все строки, удовлетворяющие условию, при котором значение столбца 'pm2.5' > 300 могут быть получены с помощью -
data[data['pm2.5'] >300,]
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
92 \end{pmatrix}$$
Я застрял здесь после попытки решить 4 уравнения.
No related posts.