Найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение: Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений

Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений

Пример 1. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

• Решение
• Видео решение

Решение выполняем с помощью калькулятора. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x₁ в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3.
Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x

2, x₃, x₄, значит, неизвестные x₂, x₃, x₄ – зависимые, а x₁, x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:
x₄=3-4x₅, x₃=3-4x₅-2x₄=3-4x₅-6+8x₅=-3+4x₅
x₂=x₃+2x₄-2+2x₁+3x₅ = -3+4x₅+6-8x₅-2+2x₁+3x₅ = 1+2x₁-x₅
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x

2, x₃, x₄ через свободные x₁ и x₅, то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x₁ = x₅ = 0, тогда x₂ = 1, x₃ = -3, x₄ = 3;
2) положим x₁ = 1, x₅ = -1, тогда x₂ = 4, x₃ = -7, x₄ = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x₁=-3 → x₁=3; x₂=3-x₁ → x₂=0; x₃=1-2x₁ → x₃=5.
x₄ = 10- 3x₁ – 3x₂ – 2x₃ = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение

. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r_B > r_A.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x₃ = — 1 + x₄ + x₅; x₂ = 1 — x₄; x₁ = 2 + x₄ — 3x₅

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x1	x2	x3	x4	x5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x ₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x1	x2	x3		x4	x5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x₃ =
— x₂ + 13x₃ = — 1 + 3x₄ — 6x₅
2x₁ + 3x₂ — 3x₃ = 1 — 3x₄ + 2x₅
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x

1,x₂,x₃ через свободные x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₃ = 0
x₂ = 1 — 3x₄ + 6x₅
x₁ = — 1 + 3x₄ — 8x₅
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡₂ = 2 — 1.67x₃ + 0.67x₄
x₁ = 5 — 3.67x₃ + 0.67x₄
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение

Пример 3, Пример 4, Пример 5, Пример 6, Решение

2.3.6. Примеры решения задач по теме «Системы уравнений общего вида. Метод Гаусса»

Задача 1.

Указать базисный минор матрицы

Указание

Определите вначале ранг матрицы А, а затем найдите ненулевой минор, порядок которого равен R(A).

Решение

Определим R(A). Вторая и четвертая строки А равны, поэтому после вычитания из 4-й строки 2-й получаем:

Вычислим минор полученной матрицы, составленный из первых трех столбцов:

Таким образом, найден минор максимально возможного (3-го) порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг матрицы А равен рангу преобразованной матрицы, то есть равен 3, а рассмотренный минор является базисным.

Ответ:

Задача 2.

Определить количество решений системы линейных уравнений

.

Указание

Сравните ранги матрицы системы и расширенной матрицы.

Решение

Сравним ранги матрицы системы

И расширенной матрицы

.

Для удобства вычислений будем искать ранг матрицы А1, отделив ее последний столбец вертикальной чертой. Тогда столбцы, стоящие слева от черты, образуют матрицу А, и мы одновременно найдем ранги обеих матриц.

А1 ~ .

Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую, умноженную на 3:

А1 ~ ~ .

Таким образом, R(A) = 2, a R(A1) = 3, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Задача 3.

Найти общее решение линейной системы

.

Указание

Убедившись в том, что система совместна, определите базисные и свободные неизвестные и выразите базисные неизвестные через свободные.

Решение

Найдем R(A) и R(A1):

Итак, R = R(A) = R(A1) = 2, а число неизвестных П = 5. Следовательно, R < N, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).

Число базисных неизвестных равно R, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных Х1 и Х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: .

Соответственно Х3, Х4, Х5 – свободные неизвестные.

Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:

И выразим базисные неизвестные через свободные:

.

Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: Х3 = Х4 = Х5 = 0. Тогда

Ответ:

Задача 4.

Найти общее решение системы, выразив в ответе первые неизвестные через последние:

Указание

Приведите расширенную матрицу к виду

Решение

Минор, состоящий из первых трех столбцов полученной матрицы,

Поэтому R(A) = R(A1) = 3, выбранный минор является базисным, а Х1, Х2, Х3, коэффициенты при которых составляют базисный минор, – базисными неизвестными. Тогда свободное неизвестное – Х4, и система, равносильная исходной, имеет вид:

Откуда

Ответ:

Задача 5.

Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы

Указание

Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу

Свободных неизвестных. Задайте свободным неизвестным значения 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 и вычислите соответствующие значения базисных неизвестных.

Решение

Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу Свободных неизвестных.

Матрица А1 отличается от матрицы А только добавлением нулевого столбца свободных членов, поэтому все ее ненулевые миноры являются минорами матрицы А, то есть R(A) = R(A1). Найдем R(A):

Выберем в качестве базисного минора

Значит, R(A) = 2. Пусть Х4, Х5 – базисные неизвестные, Х1, Х2, Х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:

Откуда

Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:

1) Х1 = 1, Х2 = Х3 = 0.

Тогда Х4 = -0,2, Х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца

2) Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 0.

При этом Х4 = 1,2, Х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид

3) Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1. Отсюда Х4 = -0,8, Х5 = -0,2, и последний столбец

Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется Нормальной. Поскольку столбцы свободных неизвестных , , линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений Х1, Х2, Х3.

Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.

Ответ:

Задача 6.

Составить однородную систему из двух уравнений, для которой столбцы

Образуют фундаментальную систему решений.

Указание

Пусть искомая система имеет вид:

Подставьте вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3 и решите полученную систему уравнений для коэффициентов Aij.

Решение

Существует бесконечно много систем однородных линейных уравнений, для каждой из которых фундаментальная система решений имеет указанный вид. Число уравнений в таких системах может быть различным. При этом можно указать их наименьшее требуемое количество, а увеличивать их число можно неограниченно.

Определим вначале, из какого наименьшего числа уравнений может состоять такая система.

Число элементов каждого столбца равно пяти, следовательно, в системе пять неизвестных (П = 5). Количество столбцов, составляющих фундаментальную систему, равно трем, то есть N – R = 3, поэтому R = 5 – 3 = 2. Значит, матрица А должна иметь по крайней мере 2 строки. Следовательно, система уравнений с заданной фундаментальной системой решений может состоять из двух и более уравнений.

Пусть искомая система имеет вид:

Подставим вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3. Получим:

Разобьем полученные 6 уравнений на две системы, одна из которых содержит A1I, а вторая – A2I:

Найдем какое-либо частное решение этой системы. Приведем ее матрицу к треугольному виду:

Откуда

Следовательно,

Выберем А14 = А15 = 4, тогда А11 = 0, А12 = 8, А13 = -4.

2) Так же выглядит общее решение системы для A2I:

Выберем свободные неизвестные так, чтобы получить решение, линейно независимое с предыдущим.

Пусть А24 = 4, А25 = 0, тогда А21 = 5, А22 = 5, А23 = -3.

Итак, используя найденные значения коэффициентов, можно составить линейную однородную систему:

Фундаментальная система решений которой имеет вид, приведенный в условии задачи.

Ответ:

Задача 7.

Найти общее решение неоднородной линейной системы

С помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.

Указание

Убедитесь в том, что система совместна. Затем составьте соответствующую однородную систему и найдите для нее фундаментальную систему решений. Далее используйте то, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Решение

Убедимся в том, что система совместна:

Итак, R(A) = R(A1) = 2 – система совместна.

Составим по преобразованной матрице однородную систему:

И найдем для нее фундаментальную систему решений:

Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы

Положим Х3 = Х4 = Х5 = 0, тогда . Следовательно,

и общее решение системы имеет вид:

Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + Хчастн, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные.

Ответ:

Задача 8.

Решить систему методом Гаусса:

.

Указание

Поменяйте местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице, а затем исключите Х из второго и третьего уравнений.

Решение

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и

2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице:

Теперь исключим Х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:

Далее можно легко исключить Z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:

Из последнего уравнения получаем, что У = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: Z = 3, Х = 1.

Ответ: Х = 1, У = 0, Z = 3.

При применении метода Гаусса совсем не обязательно приводить систему к «классическому» треугольному виду: . Достаточно, чтобы матрица коэффициентов, например, системы трех уравнений с тремя неизвестными содержала два нуля в одном столбце и одновременно два нуля в одной строке, причем один из нулей стоял на пересечении этих строки и столбца.

Задача 9.

Решить систему методом Гаусса:

Указание

Исключите Х2 из 2-го и 4-го уравнений, используя 1-е уравнение, а затем вычтите из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3.

Решение

Исключим Х2 из 2-го и 4-го уравнений. Для этого из 2-го уравнения вычтем 1-е, а к 4-му прибавим 1-е, умноженное на 2:

Вычтем из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3:

Теперь вычтем из 4-го уравнения удвоенное 3-е:

Из последнего уравнения находим . Тогда из 3-го уравнения Х1 = 0, из 2-го , из 1-го Х2 = 2.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

5.9: Общее решение линейной системы

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

29465

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx

Исходы

1. Используйте линейные преобразования для определения частного решения и общего решения системы уравнений.
2. Найдите ядро ​​линейного преобразования.

Вспомните определение линейного преобразования, рассмотренное выше. \(T\) является линейным преобразованием , если всякий раз, когда \(\vec{x}, \vec{y}\) являются векторами и \(k,p\) являются скалярами, \[T\left( k\vec {x}+p\vec{y}\right) =k T \left( \vec{x} \right) +p T\left(\vec{y} \right)\nonumber \] Таким образом, линейные преобразования распределяются по сложение и передают скаляры наружу.

Оказывается, мы можем использовать линейные преобразования для решения линейных систем уравнений. Действительно, учитывая систему линейных уравнений вида \(A\vec{x}=\vec{b}\), это можно перефразировать как \(T(\vec{x})=\vec{b}\) где \(T\) — линейное преобразование \(T_A\), индуцированное матрицей коэффициентов \(A\). Имея это в виду, рассмотрим следующее определение.

Определение \(\PageIndex{1}\): частное решение системы уравнений

Предположим, что линейную систему уравнений можно записать в виде \[T\left(\vec{x}\right)=\vec {b}\nonumber \] Если \(T\left(\vec{x}_{p}\right)=\vec{b},\), то \(\vec{x}_{p}\) называется частное решение линейной системы.

Напомним, что система называется однородной, если каждое уравнение в системе равно \(0\). Предположим, что мы представляем однородную систему уравнений как \(T\left(\vec{x}\right)=0\). Оказывается, \(\vec{x}\), для которых \(T \left(\vec{x}\right) = 0\), являются частью специального множества, называемого нуль-пространством пространства \(T \). Мы также можем называть нулевое пространство ядром \(T\) и писать \(ker\left(T\right)\).

Рассмотрим следующее определение.

Определение \(\PageIndex{2}\): нулевое пространство или ядро ​​линейного преобразования

Пусть \(T\) — линейное преобразование. Определите \[\ker \left( T\right) = \left\{ \vec{x}:T \left(\vec{x} \right)= \vec{0} \right\}\nonumber \] ядро, \(\ker \left( T\right)\) состоит из множества всех векторов \(\vec{x}\), для которых \(T (\vec{x}) = \vec{0}\ ). Это также называется нулевым пространством для \(T\).

Мы также можем называть ядро ​​\(T\) пространство решений уравнения \(T \left(\vec{x}\right) = \vec{0}\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{1}\): ядро ​​производной

Пусть \(\frac{d}{dx}\) обозначает линейное преобразование, определенное на \(f,\) функциях, \(\mathbb{R}\) и имеют непрерывную производную. Найти \(\ker \left( \frac{d}{dx}\right).\)

Решение

В примере запрашиваются функции \(f\), которые имеют свойство \(\frac{df}{dx } =0.\) Как вы знаете из исчисления, эти функции являются постоянными функциями. Таким образом, \(\ker \left( \frac{d}{dx}\right)\) — это набор постоянных функций.

Определение \(\PageIndex{2}\) утверждает, что \(\ker \left( T\right)\) — это множество решений уравнения, \[T\left( \vec{x} \right) = \vec{0}\nonumber\] Так как мы можем записать \(T\left( \vec{x} \right)\) как \(A\vec{x}\), вы решали такие уравнения довольно долго. когда-то.

Мы потратили много времени на поиск решений систем уравнений вообще, а также однородных систем. Предположим, мы рассматриваем систему, заданную формулой \(A\vec{x}=\vec{b}\), и рассматриваем соответствующую однородную систему. Под этим мы подразумеваем, что мы заменяем \(\vec{b}\) на \(\vec{0}\) и смотрим на \(A\vec{x}=\vec{0}\). Оказывается, существует очень важная связь между решениями исходной системы и решениями ассоциированной однородной системы. В следующей теореме мы используем линейные преобразования для обозначения системы уравнений. Помните, что \(T\left(\vec{x}\right) = A\vec{x}\).

Теорема \(\PageIndex{1}\): частное решение и общее решение

Предположим, что \(\vec{x}_{p}\) является решением линейной системы, заданной формулой vec{x} \right) = \vec{b}\nonumber \] Тогда, если \(\vec{y}\) является любым другим решением \(T\left(\vec{x}\right)=\vec {b}\), существует \(\vec{x}_0 \in \ker \left( T\right)\) такое, что \[\vec{y} = \vec{x}_{p}+ \ vec{x}_0\nonumber \] Следовательно, каждое решение линейной системы может быть записано как сумма частного решения \(\vec{x}_p\) и решения \(\vec{x}_0 \) в ассоциированную однородную систему, заданную формулой \(T\left(\vec{x}\right)=\vec{0}\).

Доказательство

Рассмотрим \(\vec{y} — \vec{x}_{p}= \vec{y} + \left(-1\right) \vec{x}_{p}.\) Тогда \(T \left( \vec{y} — \vec{x}_{p}\right) =T\left(\vec{y}\right) -T\left( \vec{x}_{p} \right )\). Поскольку \(\vec{y}\) и \(\vec{x}_{p}\) являются решениями системы, отсюда следует, что \(T\left(\vec{y}\right)= \ vec{b}\) и \(T\left(\vec{x}_p\right) = \vec{b}\).

Следовательно, \(T\left(\vec{y}\right)-T\left( \vec{x}_{p} \right) =\vec{b} — \vec{b} = \vec{ 0}\). Пусть \(\vec{x}_0 = \vec{y} — \vec{x}_{p}\). Тогда \(T\left(\vec{x}_0\right)= \vec{0}\) поэтому \(\vec{x}_0\) является решением связанной однородной системы и поэтому находится в \( \кер \влево(Т\вправо)\).

Иногда люди вспоминают приведенную выше теорему в следующем виде. Решения системы \(T\left(\vec{x}\right)=\vec{b}\) задаются формулой \(\vec{x}_{p}+\ker \left( T\right )\) где \(\vec{x}_{p}\) — частное решение \(T\left(\vec{x}\right)=\vec{b}\).

Пока мы говорили о ядре или нулевом пространстве линейного преобразования \(T\). Однако мы знаем, что всякое линейное преобразование \(Т\) определяется некоторой матрицей \(А\). Следовательно, мы также можем говорить о нулевом пространстве матрицы. Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{2}\): пустое пространство матрицы

Пусть \[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 7 & 2 \end{массив} \right]\nonumber \] Найти \(\mathrm{null} \left( A\right)\). Эквивалентно, найдите решения системы уравнений \(A\vec{x}=\vec{0}\).

Решение

Нас просят найти \(\left\{ \vec{x} : A\vec{x} = \vec{0}\right\} .\) Другими словами, мы хотим решить систему , \(A\vec{x}=\vec{0}\). Пусть \(\vec{x} = \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right].\) Тогда это сводится к решению \[\left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 7 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\nonumber \]

Это линейная система \[\begin{array}{c} x+2y+3z=0 \\ 2x+y+z+2w=0 \\ 4x+5y+7z+2w=0 \end{array }\nonumber \] Чтобы решить, настройте расширенную матрицу и строку, чтобы найти уменьшенную форму строки-эшелона.

\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 7 & 2 & 0 \end {array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & — \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 0 \ \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & — \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Это дает \(x= \frac{1}{3}z- \frac{4}{3}w\) и \(y= \frac{2}{3}w- \frac{5}{ 3}z.\) Поскольку \(\mathrm{null} \left( A\right)\) состоит из решений этой системы, он состоит из векторов вида \[\left[ \begin{array}{c } \frac{1}{3}z- \frac{4}{3}w \\ \frac{2}{3}w- \frac{5}{3}z \\ z \\ w \end{ array} \right] =z \left[ \begin{array}{r} \frac{1}{3} \\ — \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] +w \left[ \begin{array}{r} — \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \ ]

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{3}\): Общее решение

Общее решение линейной системы уравнений представляет собой набор всех возможных решений. Найдите общее решение линейной системы \[\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 7 & 2 \end{ array} \right] \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 9 \\ 7 \\ 25 \end{массив} \right]\номер \]

учитывая, что \(\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]\) является одним из решений.

Решение

Обратите внимание, что матрица этой системы такая же, как матрица в примере \(\PageIndex{2}\). Следовательно, из теоремы \(\PageIndex{1}\) вы получите все решения указанной выше линейной системы, добавив частное решение \(\vec{x}_p\) к решениям ассоциированной однородной системы, \( \vec{х}\). Одно конкретное решение дано выше как \[\vec{x}_p = \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right]=\left[ \ begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Используя это конкретное решение вместе с решениями, найденными в примере \(\PageIndex{2}\), мы получаем следующие решения: \[z\left[ \begin{array}{r} \frac{1}{3 } \\ — \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0 \end{массив} \right] +w\left[ \begin{array}{r} — \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \ right]\nonumber \]

Следовательно, любое решение приведенной выше линейной системы имеет этот вид.

---

Эта страница под названием 5.9: Общее решение линейной системы распространяется под лицензией CC BY 4.0 и было создано, переработано и/или курировано Кеном Каттлером (Lyryx) с помощью исходного контента, отредактированного в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Кен Каттлер

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. общий раствор
   2. ядро ​​
   3. линейное преобразование
   4. пустое пространство
   5. особый раствор
   6. источник@https://lyryx. com/first-course-linear-алгебра

Общее решение системы уравнений

На уроках алгебры, если система уравнений имеет бесконечно много решений, вы просто пишете «бесконечно много решений» и переходите к следующей задаче. Однако, когда мы говорим «бесконечно много решений», происходит гораздо больше. В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.

[adsenseWide]

Содержание:

1. Написание общего решения
2. Нахождение конкретных решений на основе общего решения
3. Краткое описание шагов

Запись общего решения

Сначала давайте рассмотрим, как записать общее решение данной системы уравнений. Для этого рассмотрим пример.

Пример

Найдите общее решение системы уравнений:

\(
\begin{array}{c}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11\\
x_1 + x_2 + 5x_3 +11x_4 = 10\\
\end{массив}\)

Как и в любой системе уравнений, мы будем использовать расширенную матрицу и сокращение строк.

\(
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 8 & 18 & 11\\
1 & 1 & 5 & 11 & 10\\
\end{массив}
\right ]
\sim
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 4 & 9\\
0 & 1 & 3 & 7 & 1\\
\конец{массив}
\справа]
\)

Теперь выпишите уравнения из этой сокращенной матрицы.

\(
\begin{array}{c}
x_1 + 2x_3 + 4x_4 = 9\\
x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 1\\
\end{массив}\)

Обратите внимание, что в матрице начальные единицы (первая ненулевая запись в каждой строке) находятся в столбцах для \(x_1\) и \(x_2\).

Найдите эти переменные.

\(
\begin{array}{c}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4\\
\конец{массив}\)

Остальные переменные являются свободными переменными , что означает, что они могут принимать любое значение. Значения \(x_1\) и \(x_2\) основаны на значении этих двух переменных. В общем решении, вы хотите отметить это.

Общее решение:

\(
\boxed{
\begin{array}{l}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4\\
x_3 \text{ свободен}\\
x_4 \text{ свободен}\\
\end{массив}
}
\)

Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, все они используют разные значения двух свободных переменных.

Поиск конкретных решений

Предположим, вы хотите привести пример конкретного решения приведенной выше системы уравнений. Их бесконечно много, поэтому у вас есть большой выбор! Вам просто нужно рассмотреть возможные значения свободных переменных.

Пример решения

Пусть:

\(
\begin{array}{l}
x_3 = 0\\
x_4 = 1\
\конец{массив}
\)

Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выберете для этих двух переменных.

Используя эти значения, решение:

\(
\begin{array}{l}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4 = 9 – 2(0) – 4(1)\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4 = 1 – 3(0) – 7 (1)\\
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{array}
\rightarrow
\boxed{
\begin{array}{l}
x_1 = 5\\
x_2 = -6 \
х_3=0\
x_4 = 1\
\end{массив}
}
\)

Вы можете проверить эти значения в исходной системе уравнений, чтобы убедиться:

\(
\begin{array}{l}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11\\
x_1 + x_2 + 5x_3 +11x_4 = 10\\
\end{array}
\rightarrow
\begin{array} {l}
(5) + 2(-6) + 8(0) + 18(1) = 11 \text{ (true)}\\
(5) + (-6) + 5(0) +11 (1) = 10 \text{ (true)}\\
\end{массив}
\)

Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из многих решений.