Найти площадь части цилиндра заключенной внутри цилиндра: Найти площадь части сферы, заключенной внутри прямого кругового цилиндра — 1 Июня 2013 — Примеры решений задач
Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр. : Геометрия
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
APECTAPX
Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 19:46
08/04/11 21
Вычислить площадь части поверхности , заключенную внутри цилиндрической поверхности Ц.
Ц
Решение:
Ц
Правильно или нет?
Буду благодарен.
SpBTimes
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 20:19
Заслуженный участник
18/12/10 1600
spb
APECTAPX
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09. 04.2011, 20:28
08/04/11 21
SpBTimes
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 20:28
Заслуженный участник
18/12/10 1600 spb
Что как?
APECTAPX
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 20:29
08/04/11 21
SpBTimes в сообщении #432959 писал(а):
Что как?
как получилось, есть какая то формула или метод?
SpBTimes
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 20:39
Заслуженный участник
18/12/10 1600 spb
Производные взял. Я не понимаю вопроса
ИСН
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 20:46
Заслуженный участник
18/05/06 13406 с Территории
Короче: обычно люди помнят выражение для элемента поверхности в человеческих координатах, но не помнят в цилиндрических. Можно сесть и вывести. А можно применить то, первое, а к цилиндрическим перейти потом.
spaits
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 20:52
Заблокирован
07/02/11 ∞ 867
SpBTimes в сообщении #432955 писал(а):
Топикстартер
, есть такая формула для , начните решение заново. Возьмите интеграл по области интегрирования — кругу радиуса .
Топикстартер
, в написанной Вами формуле для вычисления площади поверхности, а также в других равенствах ошибки, я не стану их разбирать. Вам нужно найти площадь поверхности «шапочки» над цилиндром, это будет двойной интеграл (в предыдущей задаче надо было вычислить объем). Напишите формулу для , взяв интеграл, или посмотрите в учебнике. Действительно, к полярным координатам перейдете потом.
SpBTimes
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
09.04.2011, 21:08
Заслуженный участник
18/12/10 1600 spb
Цитата:
это будет двойной интеграл
Всё-таки поверхностный. А уж потом, по приведённым формулам, он сведётся к двойному
Lemni
Re: Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.
28.09.2011, 23:12
28/09/11 3
Если можно, продолжу в этой теме, потому что задача очень похожая.
Нужно вычислить площадь части гиперболического параболоида , расположенной между двумя эллиптическими параболоидами: и
Получилось (проекцией получилось кольцо, оно симметричное, поэтому я взяла 4 раза площадь части поверхности). Скажите, пожалуйста, правильно ли это?
Возникла проблема с интегралом — не понимаю, что делать с выражением под корнем: вроде взяла, но получается страшная штука с косинусом от арктангенса в двух местах (сделала замену ) Есть мысль заменить не на тангенс, а на , чтобы получить под интегралом, но тогда пределы интегрирования поменяются на выражения с , с которыми опять непонятно, что делать дальше. Заранее спасибо.
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
Найти:
Помогите решить / разобраться (М)
Men007
Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 02:28
22/11/16 118
Вычислить площадь поверхности цилиндра , расположенного внутри другого цилиндра .
Решение: Согласно известной формуле имеем:
Следовательно:
.
Перейдем к полярной системе координат: .
Тогда получим:
Не могу понять, как решать полученный интеграл. К тому же, я не уверен в правильности составленного интеграла. Ответ: .
Metford
Re: Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 02:47
Заслуженный участник
06/04/13 1916 Москва
Men007
Вы пару раз при записи повторного интеграла поставили , где не нужно бы — перепроверьте, дичь же. Ещё Вы как-то скромно ничего не сказали об одной частной производной (это я занудствую). И ещё Вы забыли частную производную под корнем оквадратить.
Men007
Re: Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 03:29
22/11/16 118
Metford
Всё исправил.
Metford в сообщении #1301009 писал(а):
Вы пару раз при записи повторного интеграла поставили , где не нужно бы — перепроверьте, дичь же.
Я думал, что , так как и
thething
Re: Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 16:38
Заслуженный участник
27/12/17 1381 Антарктика
Men007 Интеграл Ваш надо бы удвоить, т.к., судя по всему, Вы считаете только одну из частей, а поверхность «цилиндр перпендикулярно в цилиндре» состоит как бэ из двух половинок.. Ну а интеграл посчитайте, сперва приведя к общему знаменателю то, что под корнем, упростив, а потом… вроде уже и не так страшно
Men007
Re: Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 17:06
22/11/16 118
thething
У меня получился интеграл:
И вот я думаю, если ,то мы получаем расходящийся интеграл:
Ну а если нет, то не могу придумать, как можно решить первый интеграл.
thething
Re: Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 17:10
Заслуженный участник
27/12/17 1381 Антарктика
Men007
Замена не?
— 02.04.2018, 19:11 —
Men007 в сообщении #1301169 писал(а):
решить первый интеграл
Все-таки посчитать, или взять
— 02.04.2018, 20:06 —
Еще мне кажется, что у вас что-то не так с параметризацией. Область должна быть прямоугольником с дугами окружностей по бокам. Параметры этих дуг надо высчитать, где там эти цилиндры пересекаются
redicka
Re: Вычислить площадь поверхности тела
02. 04.2018, 22:18
10/09/14 165
Область верная — круг радиуса
redicka
Re: Вычислить площадь поверхности тела
03.04.2018, 12:54
10/09/14 165
Кстати, в этой задаче незачем применять двойной интеграл, если заметить, что площадь поверхности можно вычислить, используя косинусоиду (синусоиду). Ответ находится просто и быстро.
redicka
Re: Вычислить площадь поверхности тела
03.04.2018, 20:24
10/09/14 165
Нужно вычислить поверхность такой фигуры:
Учитывая, что при развертывании цилиндра на плоскость, сечения цилиндра, которые представляют собой эллипсы переходят в синусоиды (косинусоиды), то искомую поверхность можно вычислить взяв простой интеграл от косинусоиды с подходящими пределами.
redicka
Re: Вычислить площадь поверхности тела
03.04.2018, 22:15
10/09/14 165
Имеется ввиду-так. ==
Men007
Re: Вычислить площадь поверхности тела
03. 04.2018, 22:23
22/11/16 118
redicka
redicka в сообщении #1301511 писал(а):
Имеется ввиду-так.
Отличный метод решения, никогда бы до такого не додумался. Но задание стоит в теме «Двойные интегралы», поэтому и решать его нужно через двойной интеграл.
redicka в сообщении #1301280 писал(а):
Область верная — круг радиуса
Получается, что я верно составил интеграл, и мне лишь осталось его верно посчитать?
redicka
Re: Вычислить площадь поверхности тела
03. 04.2018, 22:44
10/09/14 165
Men007
, переход к полярным координатам не облегчает его взятие. Если возиться — так в декартовых. Или возьмите этот одинарный через двойной Это своеобразная замена координат.
Men007
Re: Вычислить площадь поверхности тела
04. 04.2018, 19:14
22/11/16 118
redicka
Я не взялся за декартовы, потому что не совсем понимаю, как в таком случае расставлять пределы интегрирования. В декартовых я пробовал решать так: Найдем :
Следовательно, получим:
.
Однако ответ без . Скорей всего, ошибка именно в расставлении пределов интегрирования. Я просто не представляю, каким образом их расставить.
redicka
Re: Вычислить площадь поверхности тела
04. 04.2018, 20:25
10/09/14 165
Men007
, как-то Вы странно расставляете пределы интегрирования. Если область интегрирования круг, какие будут пределы интегрирования вне зависимости от подинтегральной функции? И где ?
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию
— Помогите понять, как найти площадь части сферы, которая находится внутри цилиндра
Я прошел несколько занятий, посвященных интегрированию поверхностей, и это часто объясняется несколькими разными способами. 2} \end{bmatrix}
\end{уравнение}
Просто примечание: обратите внимание, что для $-2a \lt x \lt 2a$ и $-2a \lt y \lt 2a$ подстановка любой пары $x$, $y$ в $\mathbf{r}(x, y)$ даст вам очко на этой сфере! Вот что делает параметризация поверхности. Итак, теперь, когда у нас есть $\mathbf{r}(x,y)$, нам нужно вычислить $\mathbf{n}$, который определяется как: 92}} \,dxdy
\end{уравнение}
Теперь просто подставьте в уравнение $z$, и мы получим интеграл, который они преобразуют в полярные координаты. В решении, которое они предоставляют, есть много шагов, которые, кажется, исходят из воздуха. Надеюсь, это поможет прояснить ситуацию.
РЕДАКТИРОВАТЬ ответ:
А вот тут я не понимаю, использование dxdy работает, когда область не
даже лежал в xy-плоскости. Я просто очень хочу представить, как это
работает.
Одна действительно полезная вещь, которой меня научили, состоит в том, чтобы думать об интегрировании поверхностей как о проецировании площади поверхности, которую вы хотите вычислить, на плоскость, по которой вы хотите интегрировать.
04.2011, 20:28 
А уж потом, по приведённым формулам, он сведётся к двойному
04.2018, 02:28 
04.2018, 02:47 
04.2018, 03:29 
04.2018, 16:38 
04.2018, 17:06 
04.2018, 17:10 
04.2018, 22:18 
04.2018, 22:23 
04.2018, 22:44 
04.2018, 19:14 
04.2018, 20:25 
2} \end{bmatrix}
\end{уравнение}
Просто примечание: обратите внимание, что для $-2a \lt x \lt 2a$ и $-2a \lt y \lt 2a$ подстановка любой пары $x$, $y$ в $\mathbf{r}(x, y)$ даст вам очко на этой сфере! Вот что делает параметризация поверхности. Итак, теперь, когда у нас есть $\mathbf{r}(x,y)$, нам нужно вычислить $\mathbf{n}$, который определяется как: 92}} \,dxdy
\end{уравнение}
Теперь просто подставьте в уравнение $z$, и мы получим интеграл, который они преобразуют в полярные координаты. В решении, которое они предоставляют, есть много шагов, которые, кажется, исходят из воздуха. Надеюсь, это поможет прояснить ситуацию.