Найти производную функции калькулятор: Дифференцирование функции, заданной неявно

Конечная производная в точке. Определение производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f » (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf » (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу.

Определение : Производной y » =f » (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции — точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO — это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k — угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f «(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k — угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f «(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x

0 .

3.

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) — мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x»(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x»(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x»(t) — скорость,

a(f) = »(t) — ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) — изменение угла от времени,

ω = φ»(t) — угловая скорость,

ε = φ»(t) — угловое ускорение, или ε = φ»(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) — масса,

x  , l — длина стержня,

р = m»(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х»(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у» + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота,

φ 0 — начальная фаза.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV

, формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу

4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени:

(x n)» = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным результатом применения какой-то определенной операции дифференцирования по отношению к исходной функции.

Определение производной

Для того, чтобы понять, что такое производная, необходимо знать, что название функции происходит непосредственно от слова «произведенная», то есть образовавшаяся от другой какой-либо величины. При этом сам процесс определения производной какой-то определенной функции имеет название — «дифференцирование».

Наиболее распространенный метод представления и определения, при использовании теории пределов, несмотря на то, что она появилась гораздо позже дифференциальных исчислений. По определению данной теории, производной называется предел в отношении приращения функций к приращению аргумента, в случае если таковой предел имеется, и при условии, что данный аргумент стремится к нулевому значению.

Рассмотренный ниже небольшой пример поможет наглядно понять, что такое производная.

1. Для поиска производной функции f в точке х, нам нужно определить значения данной функции непосредственно в точке х, а так же в точке х+Δх. Причем Δx – это приращения аргумента х.
2. Найти приращение для функции у приравненное к f(х+Δх) – f(х).
3. Записать производную при помощи предела отношения f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, исчислить при Δх → 0.

Обычно производная обозначается знаком апострофа — «’» непосредственно над дифференцируемой функцией. Обозначение в виде одного апострофа обозначает первую производную, в виде двух – вторую. (n) – что означает производную n-го порядка, где буква «n» – целое число, которое? 0. Производная нулевого порядка — это и есть сама дифференцируемая функция.

С целью облегчения дифференцирования усложненных функций, были разработаны и приняты определенные правила дифференцирования функций:

• С’ = 0, где С – обозначение константы;
• х’ равняется 1;
• (f + g)’ приравнивается f’ + g’;
• (С*f)’ приравнено C*f’ и так далее.
• Для N-кратного дифференцирования удобнее применять формулу Лейбница в виде: (f*g) (n) = Σ C(н) k *f (н-k) *g к, в которой С(н) к – обозначения биномиальных коэффициентов.

Производная и геометрия

Геометрическое осмысление производной заключается в том, что если для функции f имеется конечная производная в пункте х, то значение данной производной будет равняться тангенсу угла от наклона в касательной к функции f в данной точке.

Дата: 20.11.2014 Таблица производных. Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств. Это знакомство позволит: Понимать суть несложных заданий с производной; Успешно решать эти самые несложные задания; Подготовиться к более серьёзным урокам по производной. Сначала — приятный сюрприз.) Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний! Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует. Приступим к знакомству?) Термины и обозначения. В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т. д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках. Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная. Дифференцирование — действие над функцией. Производная — результат этого действия. Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления. Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания. Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y» или f»(x) или S»(t) и так далее. Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…) Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 )» , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем. Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного. Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита: 1. Таблица производных (формулы дифференцирования). 3. Производная сложной функции. Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных. Таблица производных. В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п. Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.) Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная. Функция y Производная функции y y» 1 C (постоянная величина) C» = 0 2 x x» = 1 3 x n (n — любое число) (x n)» = nx n-1 x 2 (n = 2) (x 2)» = 2x 4 sin x (sin x)» = cosx cos x (cos x)» = — sin x tg x ctg x 5 arcsin x arccos x arctg x arcctg x 4 a x e x 5 log a x ln x (a = e ) Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!) Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету… Рассмотрим несколько примеров: 1. Найти производную функции y = x 3 Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат: (x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2 Вот и все дела. Ответ: y» = 3x 2 2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0. Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция. По табличке находим синус и соответствующую производную: y» = (sin x)» = cosx Подставляем ноль в производную: y»(0) = cos 0 = 1 Это и будет ответ. 3. Продифференцировать функцию: Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет. Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает… Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается! Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла: Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем: Ответ: y» = — sin x . Пример для продвинутых выпускников и студентов: 4. Найти производную функции: Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так: А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем: Вот и всё. Это будет ответ. Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ Касательной к кривой y=ƒ(x) в точке М называется предельное положение секущей, проведенной через точку М и соседнюю с ней точку М 1 кривой, при условии, что точка М 1 неограниченно приближается вдоль кривой к точке М . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Производная функции y=ƒ(x) в точке х 0 численно равна тангенсу угла наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой y=ƒ(x) в точке М (х 0 ; ƒ(x 0)). ВИЗНАЧЕННЯ ДОТИЧНОЇ ДО КРИВОЇ Дотичною до кривої y=ƒ(x) в точці М називається граничне положення січної, проведеної через точку М і сусідню з нею точку М 1 кривої, за умови, що точка М 1 необмежено наближається вздовж кривої до точки М . ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ Похідна функції y=ƒ(x) в точці х 0 чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу до осі Ох дотичної, проведеної до кривої y=ƒ(x) в точці М (х 0 ; ƒ(x 0)). Практический смысл производной Рассмотрим, что практически означает величина, найденная нами как производная от некоторой функции. Прежде всего, производная — это основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Что такое «скорость изменения»? Представим себе функцию f(x) = 5 . Вне зависимости от значения аргумента (х) ее значение никак не изменяется. То есть, скорость ее изменения равна нулю. Теперь рассмотрим функцию f(x) = x . Производная х равна единице. Действительно, легко заметить, что на каждое изменение аргумента (х) на единицу, значение функции прирастает также на единицу. С точки зрения полученной информации теперь посмотрим в таблицу производных простых функций . Исходя из этого сразу же становится понятен физический смысл нахождения производной функции. Такое понимание должно облегчить решение практических задач. Соответственно, если производная показывает скорость изменения функции, то двойная производная показывает ускорение. 2080.1947

алгоритм и примеры решений. Производные высших порядков показательной функции

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)» = C(u)» $$
2. Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)» = (u)» \pm (v)» $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)» = u»v + uv» $$
4. Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)» = \frac{u»v — uv»}{v^2} $$
5. Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))» = f»(g(x)) \cdot g»(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y» = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)» = (x^3)» — (2x^2)» + (7x)» — (1)» = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)» = px^{p-1} $ имеем: $$ y» = 3x^{3-1} — 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. 2 — 4x + 7 $$

Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

Правила дифференцирования

Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

— правило дифференцирования произведения функций

— правило дифференцирования частного функций

0″> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

— правило дифференцирования сложной функции

— правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g» означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

1. (sin x)»=cos x
2. (cos x)»= –sin x
3. (x n)»=n x n-1
4. (e x)»=e x
5. (ln x)»=1/x
6. (a x)»=a x ln a
7. (log a x)»=1/x ln a
8. (tg x)»=1/cos 2 x
9. (ctg x)»= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)»= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)»= — 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)»= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)»= — 1/(1+x 2)

Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)»=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)»=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)» = 6*(x 8)»=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)»=f» + g»

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)»=100 x 99 и (sin x)»=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)»= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)»=f» – g»

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x.

(x 100 – cos x)»= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)»=e x , (tg x)»=1/cos 2 x, (x 2)»=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)»= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)»=f» * g + f * g»

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)»=–sin x и (e x)»=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)»= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)»= f» * g – f * g»/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)»=50 x 49 и (sin x)»= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)»= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))»=u»(v)*v»

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) — сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v — внутренней.

Например:

y=sin (x 3) — сложная функция.

Тогда y=sin(t) — внешняя функция

t=x 3 — внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)»=cos (t) — производная внешней функции (где t=x 3)

(x 3)»=3x 2 — производная внутренней функции

Тогда (sin (x 3))»= cos (x 3)* 3x 2 — производная сложной функции.

Навигация по странице.

Производная постоянной.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является , так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Пример.

Найти производные следующих постоянных функций

Решение.

В первом случае мы имеем производную натурального числа 3 , во втором случае нам приходится брать производную от параметра а , который может быть любым действительным числом, в третьем — производную иррационального числа , в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной дроби .

Ответ:

Производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x (на всей области определения)

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле :

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x .

Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма:

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:

Осталось провести доказательство для отрицательных x .

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел ). То есть, . В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, . В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:

Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1 ), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство .

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p .

Пример.

Найти производные функций .

Решение.

Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

При решении задач дифференцирования мы будем постоянно обращаться к таблице производных основных функций, иначе зачем мы ее составляли и доказывали каждую формулу. Рекомендуем запомнить все эти формулы, в дальнейшем это сэкономит Вам массу времени.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

calc deriv tutorial

В большинстве школ учащиеся должны иметь графический калькулятор TI к тому времени, когда они достигают исчисления. Таким образом, учебник по калькулятору будет охватывать основы производных на калькуляторах серии TI.

TI-82, TI-83, TI-83 Plus, TI-83 Silver

Чтобы вычислить производную функции в известной точке:
1. Перейдите к MATH, затем 8 (это должно быть nDeriv(…)
2. Введите функцию для получения производной от использования x в качестве переменной, затем запятая, затем x, затем запятая, затем значение x для оценки функции производная at, затем закрыть скобки.
Пример: nDeriv(x²+3x+4, x, 3) берет производную x²+3x+4 по x, когда x=3.

Чтобы вычислить производную функции на графике:
1. Нарисуйте график функции.
2. На экране графика нажмите 2nd TRACE (CALC), затем 6 (dy/dx).
3. В этот момент на графике функции должна появиться точка, проследите функцию, чтобы приблизиться к значению x, чтобы взять производную.
4. Нажмите клавишу ввода.
Внизу экрана появится скажем, dy/dx = некоторое число. Это число является производной при этом значении x.

TI-85, TI-85

Чтобы вычислить производную функции в известной точке:
1. Нажмите 2, затем ÷. Это должно быть меню CALC.
2. Нажмите F2 или F3. Они должны соответствовать nDer и дер1. Обе эти функции выполняют одну и ту же задачу.
3. Введите функцию для получения производной от использования x в качестве переменной. затем запятая, затем x, затем запятая, затем значение x для оценки функции производная at, затем закрыть скобки.
Пример: nDer(x²+3x+4, x, 3) берет производную x²+3x+4 по x, когда x=3.
дер1(х²+3х+4, x, 3) берет производную от x²+3x+4 по x, когда x=3.

Чтобы вычислить производную функции на графике:
1. Нарисуйте график функции.
2. Нажмите ЕЩЕ, затем F1 (MATH), затем F4 (dy/dx).
3. В этот момент на графике функции должна появиться точка, проследите функцию, чтобы приблизиться к значению x, чтобы взять производную.
4. Нажмите клавишу ввода.
Внизу экрана появится скажем, dy/dx = некоторое число. Это число является производной при этом значении x.

TI-89

Чтобы вычислить производную функции в известной точке:
1. Нажмите 2, затем 8. ( d )
2. Введите функцию для получения производной от использования x в качестве переменной, затем запятая, затем x, затем запятая, затем значение x для оценки функции производная at, затем закрыть скобки.
Пример:   d (x²+3x+4, x, 3) берет производную от x²+3x+4 по x, когда x=3.

Чтобы вычислить производную функции на графике:
1. Нарисуйте график функции.
2. На экране графика нажмите F5, чтобы открыть меню Math.
3. Перейдите к пункту 6 (Производные инструменты), затем дважды нажмите клавишу ввода.
4. В этот момент на графике функции должна появиться точка, проследите функцию, чтобы приблизиться к значению x, чтобы взять производную.
5. Нажмите клавишу ввода.
Внизу экрана появится скажем, dy/dx = некоторое число. Это число является производной при этом значении x.

Вернуться на главную страницу

Пошаговый калькулятор производных | Калькулятор дифференцирования

Знакомство с калькулятором производных

Калькулятор дифференцирования — это интерактивный инструмент дифференцирования, предназначенный для расчета основных концепций производных.

Калькулятор дифференцирования функций является бесплатным инструментом для дифференцирования функций. Можно получить производную данной функции, выполнив несколько кликов.

Решатель производных является бесплатным инструментом, вам не нужно платить за подписку до или после использования этого калькулятора. Этот калькулятор вычисляет функцию быстро и быстро.

Что такое Калькулятор дифференциации с шагами?

Расчет производной на точечном калькуляторе основан на важном правиле исчисления. Этот решатель дифференцирования вычисляет скорость изменения любой функции в определенной точке.

Решатель производных основан на концепции скорости изменения. Этот производный калькулятор дает вам ответы за доли секунды.

Формула, используемая дифференциальным калькулятором

Калькулятор дифференцирования функции — это инструмент для определения чувствительности функции. Он вычисляет чувствительность одной величины, отличающейся от другой.

Решатель дифференцирования использует следующую формулу для нахождения производных.

$$ f'(x) \;=\; \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Используя эту формулу, наш предварительный калькулятор упрощает решение задач дифференцирования для пользователей.

Пошаговый метод нахождения калькулятора производных?

Ниже приведены три различных правила нахождения производных. Для вычисления производной в точке используются эти методы решения производной.

Здесь постоянное правило, постоянное множественное правило и правило степени разработаны для оценки производных.

• Правило продукта

Правило произведения производных формулируется так: «Произведение двух функций всегда будет равно первой функции, умноженной на производную второй функции, плюс вторая производная, умноженная на производную первой функции». Математически,

$$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d}{dx}g(x) $$

• Постоянное правило

Производная постоянной функции всегда будет ноль .

$$ \frac{d}{dx}[c] \;=\; 0 $$

• Правило суммы и разности

$$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d}{dx}g(x) $$

• Частное правило
92} $$

Как работает дифференциальный калькулятор с шагами?

Решатель дифференциации делает жизнь студентов, учителей и особенно начинающих, он делает дифференциацию настолько легкой. Можно легко получить решение своих проблем, сделав несколько кликов на вашем устройстве.

Следуя приведенным ниже шагам, вы можете найти значение производных с помощью онлайн-калькулятора:

Шаг 1: Прежде всего, введите функцию относительно переменной x в необходимые поля. Или можете загрузить пример из выпадающего списка.

Шаг 2: Теперь выберите «ВРЕМЯ», сколько раз вы хотите различать функцию. Выберите число из раскрывающегося меню.

Шаг 3: Затем нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы оценить значение производной функции.

Шаг 4: Результат появится в новом окне.

Шаг 5: Нажмите кнопку «Обновить», чтобы очистить все поля и подготовиться к вводу другой функции.

Как найти решатель производных?

Дифференциальный калькулятор — это производный инструмент, основанный в основном на концепции дифференцирования для нахождения производных. Но у вас возникает вопрос: «Как найти калькулятор производной», который является точным, надежным и экономит время.

Итак, вам нужно выполнить следующие действия, чтобы найти производный калькулятор с шагами:

• Прежде всего, введите ключевые слова в строку поиска.
• Google показывает вам несколько предложений по искомым калькуляторам.
• Теперь выберите Калькулятор дифференциации в предложениях Google.
• Затем выберите калькулятор для расчета производной, который отображается на вашем экране.
• После выбора калькулятора дифференцирования с шагами, теперь введите функцию в нужные поля и рассчитайте свои результаты.

Преимущества калькулятора дифференцирования

Калькулятор функции дифференцирования имеет следующие преимущества, которые пользователь получает при использовании этого онлайн-инструмента:

1. Дифференциальный калькулятор имеет простой и удобный интерфейс, просто введя значения можно получить решение своей задачи.
2. Инструмент прост в использовании и избавляет пользователя от лихорадочных ручных вычислений, вычисляя их онлайн.

   No related posts.