Производная неявно заданной функции
— Если функция задается общим выражением относительно переменных x и y, то она называется заданной неявно:
F(x,y)=0,
(Сравните с явно заданной функцией: y=y(x)).
— Чтобы найти производную , функции, заданной неявно, надо найти производную по переменнойх обеих частей выражения, задающего функцию.
— При этом следует учитывать, что переменная y зависит от x (y=y(x)), и вычислять производную, как от сложной функции. Затем полученное уравнение разрешают относительно .
ПРИМЕР
Найти производную неявно заданной функции:
.
Найдем производные по х от левой и правой частей равенства, неявно задающего функцию y=y(x).
Здесь
использованы правила дифференцирования
суммы и вынесения постоянной за знак
производной (правила 3 и 5). | |
Первое слагаемое является произведением функций:и Используем правило дифференцирования произведения (правило 4). Второе и третье слагаемые дифференцируются как сложные функции. | |
Из полученного уравнения с помощью алгебраических преобразований выделяется искомая производная. | |
. | |
Производная параметрически заданной функции
— Параметрически заданная функция : , то есть переменныех и у задаются как функции третьей переменной t , которая называется параметром.
— Чтобы найти производную параметрически заданной функции, используют следующую формулу: .
ПРИМЕР
Найти производную параметрически заданной функции:
в
точке М(0;а).
Найдем производные по параметру t от x и у.
Используем правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5), а также дифференцирования сложной функции. | |
; | По формуле найдем производную . |
В заданной точке М: х=0; у=а; поэтому для определения значения параметра t, соответствующего точке М, следует решить систему. | |
Выбираем только те корни, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы и находим значение производной в точке М | |
—
Если значение
производной функции в некоторой точке
,
то это означает, что график функции в
этой точке имеет касательную,
расположенную вертикально ( по
геометрическому смыслу: производная
функции в точке численно равна тангенсу
угла наклона касательной
;). | |
Логарифмическое дифференцирование (логарифмическая производная)
К логарифмическому дифференцированию обращаются в двух случаях.
I случай | II случай |
Степенно-показательная функция: | Композиция (произведение/деление) более чем двух функций вида: . |
В обоих случаях перед дифференцированием соответствующие выражения логарифмируют по основанию е (натуральный логарифм), используя свойства логарифмов (см. справочный материал). Эти свойства позволяют преобразовать выражение I в произведение, а выражение II – в алгебраическую сумму функций.
; |
Затем
находят производную, как производную
неявно заданной функции, то есть,
дифференцируя обе части полученных
уравнений.
ПРИМЕР
Найти производную функции:.
II случай.
Логарифмируем функцию. | |
Вычисляем производную, как от неявно заданной функции. | |
Из полученного выражения найдем , учитывая задание функцииу. | |
. | |
Производные неявной функции. Практикум по математическому анализу. Урок 33
Если у есть неявная функция от
, т. е. задана уравнением , не разрешенным относительно , то для нахождения производной нужно продифференцировать по обе части равенства, помня, что есть функция от и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной.
Вторую производную от неявной функции получим, дифференцируя функцию по переменной и помня при этом, что есть функция от :
Заменяя здесь через получим выражение второй производной через и :
Совершенно так же и все высшие производные от неявной функции можно выразить только через и : каждый раз, когда при дифференцировании появляется производная , ее следует заменять через .
К тому же результату приводит последовательное дифференцирование равенства с последующим исключением из полученной системы всех производных низшего порядка.
Пример 1. Для данных неявных функций найти производные указанного порядка.
1) . Найти .
2) . Найти .
3) . Найти .
4) . Найти .
Каков геометрический смысл решения этой задачи?
5) . Найти .
6) . Найти и .
Решение.
.
Отсюда найдем .
2) Дифференцируя по и считая функцией , найдем
Из этого равенства определяем
Подставляя данное по условию значение в исходное уравнение, найдем соответствующее значение .
Искомое частное значение производной при будет
3) Логарифмируем обе части данного уравнения (по основанию ), затем дифференцируем по , рассматривая как функцию :
Отсюда найдем:
4) Дифференцируя по , получим
Отсюда имеем .
Подставляя заданное значение в исходное уравнение, найдем два соответствующих ему значения :
Поэтому при и производная имеет два значения:
Геометрически, в прямоугольной системе координат, заданное в условии задачи уравнение определяет окружность, у которой абсциссу имеют две точки: (6; 2) и (6; 8). Найденные значения производной представляют угловые коэффициенты касательных к этой окружности в той и другой точке (рис.
Рис.1
5) 1-й способ. Дифференцируем по
и находим :
Последнее равенство снова дифференцируем по и находим :
Заменяя здесь через , окончательно получим
2-й способ. Данное равенство последовательно дифференцируем по два раза:
Из уравнения (a) определяем и, подставляя в уравнение (b), получаем соотношение между и из которого и выражаем через и . Результат будет тот же, что и при решении 1-м способом.
Дифференцируем последнее равенство по и определяем
Подставляя вместо его значение, имеем
б. Дифференцируем данное равенство по и определяем :
Дифференцируем полученное равенство по и определяем :
youtube.com/embed/fg70JUcR7TY» frameborder=»0″ allowfullscreen=»»> 2} = 0, \;\;\;xy — \sin\left( {x + y} \right) = 0.\]Хорошей новостью является то, что нам не нужно преобразовывать неявно определенную функцию в явную форму, чтобы найти производную \(y’\left( x \right).\) Если \(y\) определено неявно как функция \(x\) уравнением \(F\left( {x,y} \right) = 0,\) поступим следующим образом:
- Продифференцируйте обе части уравнения по \(x\), предполагая, что \(y\) является дифференцируемой функцией \(x\), и используя цепное правило. Производная нуля (в правой части) также будет равна нулю. Примечание: Если правая часть отлична от нуля, то неявное уравнение имеет вид
\[f\влево( {x,y} \вправо) = g\влево({x,y} \вправо),\]
затем дифференцируем левую и правую части уравнения. - Решите полученное уравнение для производной \(y’\left( x \right)\).
В приведенных ниже примерах найдите производную неявной функции.
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1 9\основной },\;\; \Стрелка вправо 2yy’ = 2p,\;\; \Rightarrow y’ = \frac{p}{y},\;\;\text{где}\;\;y \ne 0. \]
Пример 2.
Неявно дифференцировать функцию \(y\left( x \right)\), заданную уравнением \(y = \cos \left( {x + y} \right).\)
Раствор.
Дифференцировать обе стороны относительно \(x:\)
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\cos \left( {x + y} \right),\;\; \Rightarrow y’ = — \sin \left( {x + y} \right) \cdot \left( {1 + y’} \right), \Rightarrow y’ = — \sin \left( {x + y} \right) — y’\sin \left( {x + y} \right), \rightarrow y’\left( {1 + \sin \left( {x + y} \right)} \right) = — \ sin \left( {x + y} \right), \] 94}}} = \frac{2}{2} = 1.\]
Дополнительные проблемы см. на стр. 2.
3.8 Неявное дифференцирование – исчисление, том 1
Цели обучения
- Найти производную сложной функции с помощью неявного дифференцирования.
- Используйте неявное дифференцирование для определения уравнения касательной.
Мы уже изучили, как находить уравнения касательных прямых к функциям и скорость изменения функции в конкретной точке. Во всех этих случаях мы имели явное уравнение для функции и явно дифференцировали эти функции. Предположим вместо этого, что мы хотим определить уравнение касательной к произвольной кривой или скорость изменения произвольной кривой в точке. В этом разделе мы решаем эти проблемы, находя производные функций, которые неявно определяют [latex]y[/latex] через [latex]x[/latex]. 92+1[/latex] неявно.
Неявное дифференцирование позволяет нам найти наклоны касательных к кривым, которые явно не являются функциями (они не проходят тест вертикальной прямой). Мы используем идею о том, что части [latex]y[/latex] являются функциями, которые удовлетворяют заданному уравнению, но что [latex]y[/latex] на самом деле не является функцией [latex]x[/latex].
В общем случае уравнение неявно определяет функцию, если эта функция удовлетворяет этому уравнению.
Уравнение может неявно определять множество различных функций. Например, функции 92}[/латекс]. Однако не всегда легко решить функцию, неявно заданную уравнением. К счастью, техника неявного дифференцирования позволяет нам найти производную неявно определенной функции без явного решения этой функции. Процесс нахождения [latex]\frac{dy}{dx}[/latex] с использованием неявного дифференцирования описан в следующей стратегии решения задач.
Стратегия решения задач: неявное дифференцирование
Чтобы выполнить неявное дифференцирование уравнения, которое неявно определяет функцию [latex]y[/latex] через переменную [latex]x[/latex], выполните следующие действия:
- Возьмите производную от обеих частей уравнения. Имейте в виду, что [latex]y[/latex] является функцией [latex]x[/latex]. Следовательно, тогда как [латекс]\frac{d}{dx}(\sin x)= \cos x, \, \frac{d}{dx}(\sin y)= \cos y\frac{dy}{dx }[/latex], потому что мы должны использовать цепное правило, чтобы дифференцировать [латекс]\sin y[/латекс] по отношению к [латекс]х[/латекс].
- Перепишите уравнение так, чтобы все члены, содержащие [латекс]\frac{dy}{dx}[/latex], были слева, а все члены, не содержащие [латекс]\frac{dy}{dx}[/latex] находятся справа. 92)=2y\frac{dy}{dx}. \end{array} \\ 2y\frac{dy}{dx} = -2x & & & \begin{array}{l}\text{Шаг 2. Сохраните условия с} \, \frac{dy}{dx } \, \text{слева.} \\ \text{Переместите оставшиеся члены вправо.} \end{массив} \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} & & & \begin{array}{l}\text{Шаг 4. Разделите обе части уравнения на} \\ 2y. \, \text{(Шаг 3 в данном случае неприменим.)} \end{array} \end{array}[/latex]
Использование неявного дифференцирования и правила произведения
92=25[/латекс] в точке [латекс](3,-4)[/латекс].Решение
Хотя мы могли бы найти это уравнение без использования неявного дифференцирования, использование этого метода значительно упрощает задачу. На (рис.) мы нашли [латекс]\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}[/latex].
Наклон касательной определяется подстановкой [латекс](3,-4)[/латекс] в это выражение.
92=100[/latex] в точке [latex](3,\frac{8}{3})[/latex] пересекает ось [latex]x[/latex]. Начните с неявного поиска [latex]\frac{dy}{dx}[/latex]. Следовательно, наклон касательной равен [латекс]\frac{dy}{dx}|_{(3,-4)} =-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4} [/латекс].Дифференцируя, имеем
[латекс]8x+50y\frac{dy}{dx}=0[/latex].
Решая для [латекс]\frac{dy}{dx}[/latex], мы имеем
[латекс]\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{25y}[/latex].
Наклон касательной равен [латекс]\frac{dy}{dx}|_{(3,\frac{8}{3})}=-\frac{9}{50}[/latex] . Уравнение касательной имеет вид [latex]y=-\frac{92=16[/латекс] в точке [латекс](5,3)[/латекс].
Подсказка
Используя неявное дифференцирование, вы должны найти, что [latex]\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}[/latex].
Раствор
[латекс]y=\frac{5}{3}x-\frac{16}{3}[/latex]
Ключевые понятия
- Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
- Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
Следовательно, наклон касательной равен [латекс]\frac{dy}{dx}|_{(3,-4)} =-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4} [/латекс].