Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости онлайн: Извлечение корня из комплексного числа онлайн

извлечение из корня комплексных чисел

Вы искали извлечение из корня комплексных чисел? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и извлечение квадратного корня из комплексного числа, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «извлечение из корня комплексных чисел».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как извлечение из корня комплексных чисел,извлечение квадратного корня из комплексного числа,извлечение корней из комплексных чисел,извлечение корня из комплексного числа,извлечение корня из комплексных чисел,извлечение корня квадратного из комплексного числа,извлечения корня из комплексного числа формула,как извлечь корень из комплексного числа,квадратный корень из комплексного числа,комплексные числа извлечение корня,комплексные числа корень из отрицательного числа,комплексные числа корень из числа,комплексные числа найти все значения корня,корень n степени из комплексного числа,корень из n степени комплексного числа,корень из комплексного числа,корень из комплексного числа формула,корень комплексного числа,корень степени n из комплексного числа,корни из комплексных чисел,найти все значения корня,найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости,найти все значения корня комплексные числа,найти значения корня комплексного числа,формула извлечения корня из комплексного числа,формула корень из комплексного числа.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и извлечение из корня комплексных чисел. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, извлечение корней из комплексных чисел).

Решить задачу извлечение из корня комплексных чисел вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Учебные материалы по математике | Комплексные числа и комплексная плоскость

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Поле комплексных чисел. . Напомним, что комплексными называют числа вида , где  и  – действительные числа,  – мнимая единица. Число  называется действительной частью комплексного числа, число  – мнимой частью. Вводятся обозначения .   Для комплексных чисел определяют арифметические действия: Если  и , то   В частности, если , то . Если  — действительное число, то . Иными словами с выражениями  поступают как с многочленами с переменной , при этом считаем, что . В частности, два числа  и считаются равными, если  и .         Если  (т. е. ), то существует обратное к  число. Действительно, попробуем найти  в виде . Тогда должно выполниться равенство   Вычисляя произведение, получим , откуда  и .   В алгебре показывается, что множество комплексных числе с введенными операциями образует поле. Это, в частности, означает, что общие правила действий с комплексными числами такие же как и с вещественными. Это поле обозначается буквой С.   Кроме арифметических операций в С вводится операция сопряжения: .   Легко проверяется, что и , .   Множество действительных чисел рассматривается как множество всех тех комплексных чисел, для которых мнимая часть равна нулю. Для таких комплексных числе действия совпадают с обычными арифметическими.   Заметим, что                       (1.1)   Комплексная плоскость. Комплексные числа естественно изображаются точками на плоскости. Если на плоскости выбрать прямоугольную систему координат и на оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть, то этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Тем самым комплексному числу  ставится в соответствие точка с абсциссой  и ординатой . Точку плоскости можно еще описывать ее радиусом–вектором. Тогда становится ясным, что сложению комплексных чисел отвечает сложение радиусов-векторов, их изображающих.   Легко видеть также, что точки  и  симметричны относительно оси абсцисс. Ось абсцисс теперь естественно называть действительной осью, поскольку на оси абсцисс лежат вещественные числа.   Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Обозначается она также, как поле комплексных чисел через С.   Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число  иногда удобно записывать в следующей форме , где  вещественное число строго большее нуля, а  некоторое вещественное число. Такая форма записи называется тригонометрической.   Величина  в силу периодичности функции  и  определяется с точностью до целого кратного . Она называется аргументом комплексного числа. Иногда, чтобы подчеркнуть многозначность, ее обозначают через , иногда пишут , помня, что она определяется с точностью до слагаемого вида , где  — целое. Из равенства  и                            (1.2) следует, что . Это число называется модулем комплексного числа и обозначается . Геометрически модуль комплексного числа представляет собой расстояние от начала координат до точки с координатами  и , то есть длину радиуса-вектора, изображающего на плоскости число   Равенство (1.1) теперь означает, что . Формулу для числа, обратного к можно записать в виде .   Модуль обладает свойствами: 1.   (неравенство треугольника) 2.  3.  .   Свойства 1 и 3 геометрически очевидны, как только мы изобразим комплексные числа точками плоскости. Обоснование свойства 2 дается ниже.   Рассмотрим вопрос о том, у всякого ли комплексного числа есть тригонометрическая форма и сколькими способами можно записать число в этой форме?   Если на плоскости ввести систему полярных координат , то, как известно из курса аналитической геометрии, декартовы координаты  и  выражаются через полярные координаты по формулам   , следовательно, любое комплексное число  имеет вид   Значит  и . Иными словами аргумент комплексного числа -это угол, образованный радиусом-вектором, идущим из начала координат в точку а модуль – это длина этого радиуса-вектора. То есть для отыскания тригонометрической формы достаточно найти полярные координаты соответствующей точки на комплексной плоскости. Так как для начала координат (нуля) вторая полярная координата (угол) не определяется, то тригонометрическая форма нулевого комплексного числа не рассматривается.   Если каким–то образом получены две тригонометрические формы одного числа, то есть то очевидно . Поэтому, сокращая равные между собой  и , получим , или   Из тригонометрии известно, что отсюда следует  для некоторого целого.   Таким образом разные тригонометрические формы могут отличаться только своими аргументами, причем разные аргументы отличаются на слагаемое кратное .   Для чего нужна тригонометрическая форма?   Пусть  и  Тогда   Таким образом при перемножении комплексных числе их модули перемножаются, а аргументы складываются:   (последнее равенство понимается с точностью до слагаемого , где  целое).    В частности, при возведении числа в целую положительную степень, аргумент умножается на показатель степени: Частным случаем этого равенства при  является замечательная формула Муавра                          (1.3)   Извлечение корней из комплексных чисел. Корнем -ой степени из комплексного числа  называется решение уравнения .           (1.4)   Основное преимущество от введения комплексных чисел состоит в том, что во множестве комплексных числе это уравнение всегда имеет решение, чего как известно, не было, когда мы находились во множестве вещественных чисел. Например, извлечь корень из отрицательного числа во множестве вещественных чисел невозможно. Покажем как можно решить уравнение (1.4). Если , то решение, очевидно, равно нулю. Если , рассмотрим число  в тригонометрической форме  Тогда и поэтому  и для некоторого целого   Следовательно, . Поэтому решение уравнения (1. 4) равно где  — любое целое число. На первый взгляд получается бесконечное множество корней, соответствующих бесконечному множеству целых чисел . На самом же деле, как известно, при разных  числа вида повторяются при разных , и получается ровно  различных комплексных корней вида при   В частности при  получается ровно два корня.   Множества на комплексной плоскости. Если  и  – точки на комплексной плоскости, то расстояние между ними равно длине вектора, соединяющего  и , то есть расстояние между ними равно .   Окрестностью точки  радиуса  называется множество всех  для которых . Геометрически такая окрестность является открытым кругом с центром в  и радиусом . В дальнейшем окрестность точки  радиуса  будем обозначать через .   Множество  называется открытым, если каждая его точка входит в него вместе с некоторой окрестностью. Дополнение к открытому множеству называется замкнутым.   Открытое множество называется связным, если две любые его точки можно соединить ломаной, целиком лежацей в этом множестве.   Открытое связное множество называется областью. Это понятие является основным для всего курса.   Области часто описываются с помощью неравенств. ПРИМЕРЫ 1.  Im z > 0 — верхняя полуплоскость без вещественной оси. 2.  0 < Re z < 1 — вертикальная бесконечная полоса, лежащая между прямыми x = 0 и x = 1, не включая эти прямые. 3.  |z — z0| < r — внутренность круга радиусом r с центром в z0. 4.   — внутренность кольца между окружностями  и . 5.   — внутренность прямого угла, биссектриса которого совпадает с положительной полуосью .   Множество  называется ограниченным, если существует такое число , что  при всех . Геометрически это означает, что множество  лежит внутри некоторого круга с центром в начале координат. Из всех перечисленных выше примеров только круг из примера 3 является ограниченным множеством.

РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ПРИМЕРОВ Найти действительную мнимую части следующих комплексных чисел: ; ; . Решение: Так как , то . Преобразуем следующим образом: . Тогда . Аналогичным образом преобразуем : . Тогда , . Найти модули и аргументы комплексных чисел: ; ; ; . Решение: . Находим . Отсюда . Таким образом . Для аналогично находим . Поэтому . . Тогда . . Следовательно, . Итак, ; . Представить в тригонометрической форме число , считая . Решение: , так как при . Имеем , где , . Таким образом, . Вычислить, пользуясь формулой Муавра: ; . Решение: Представим число в тригонометрической форме: . По формуле Муавра . Найти все значения следующих корней: ; ; . Решение: 1.  Запишем число в тригонометрической форме: . Тогда , следовательно, . . Тогда , следовательно, . . Тогда , поэтому .

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

Функции комплексного переменного. Говорят, что на множестве  комплексных чисел определена функция, если каждому числу  поставлено в соответствие комплексное число . Если положить , то функцию  можно записать в виде . Таким образом, функция  задается парой функций, определенных на  и принимающих действительные значения. Если положить , то функцию  можно записать в виде , и, значит, функция  может быть задана парой действительных функций двух действительных переменных.

  Комплексная линейная функция. Простейшей является линейная функция

,

где  — комплексное число, неравное нулю. Чтобы найти соответствующую пару действительных функций, расписываем

  Откуда

,                      (2.1)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Выражение и построение комплексных чисел

Результаты обучения

• Выражение квадратных корней из отрицательных чисел как кратных [latex]i[/latex] .
• Нанесение комплексных чисел на комплексную плоскость.

Мы знаем, как найти квадратный корень из любого положительного действительного числа. Аналогичным образом мы можем найти квадратный корень из отрицательного числа. Отличие в том, что рут не настоящий. Если значение подкоренной черты отрицательное, говорят, что корень равен 9.{2}=-1[/latex]

Мы можем записать квадратный корень из любого отрицательного числа как кратное [latex]i[/latex]. Возьмем квадратный корень из –25.

[латекс]\begin{align}\sqrt{-25}&=\sqrt{25\cdot \left(-1\right)}\\&=\sqrt{25}\cdot\sqrt{-1} \\ &=5i\end{align}[/latex]

Мы используем [latex]5i[/latex]   , а не [latex]-\text{5}i[/latex] , поскольку основной корень числа 25 является положительным корнем.

Комплексное число представляет собой сумму действительного числа и мнимого числа. Комплексное число выражается в стандартной форме, когда пишется [латекс]а+би[/латекс], где [латекс]а[/латекс] – действительная часть, а [латекс]би[/латекс] – мнимая часть. Например, [латекс]5+2i[/латекс] — это комплексное число. Так же и [латекс]3+4\sqrt{3}i[/латекс].

Мнимые числа отличаются от действительных чисел, потому что возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число. Вспомните, когда возводится в квадрат положительное действительное число, результатом является положительное действительное число, а когда возводится в квадрат отрицательное действительное число, снова получается положительное действительное число. Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел.

Общее примечание: мнимые и комплексные числа

Комплексное число — это число в форме [латекс]а+би[/латекс], где

• [латекс]а[/латекс] — действительная часть комплексного числа.
• [латекс]би[/латекс] — мнимая часть комплексного числа.

Если [латекс]b=0[/латекс], то [латекс]а+би[/латекс] — действительное число. Если [latex]a=0[/latex] и [latex]b[/latex] не равен 0, комплексное число называется мнимым числом . Мнимое число – это четный корень из отрицательного числа.

Как: Имея мнимое число, выразить его в стандартной форме.

1. Напишите [латекс]\sqrt{-a}[/латекс] как [латекс]\sqrt{a}\cdot\sqrt{-1}[/латекс].
2. Выразите [латекс]\sqrt{-1}[/латекс] как i .
3. Напишите [латекс]\sqrt{a}\cdot i[/латекс] в простейшей форме.

Пример. Выражение мнимого числа в стандартной форме

Выразите [латекс]\sqrt{-9}[/латекс] в стандартной форме.

Показать решение

Попробуйте

Экспресс [латекс]\sqrt{-24}[/латекс] в стандартной форме.

Показать решение

Нанесение комплексных чисел на комплексную плоскость

Мы не можем наносить на числовую прямую комплексные числа, как настоящие числа. Однако мы все еще можем представить их графически. Чтобы представить комплексное число, нам нужно обратиться к двум компонентам числа. Мы используем комплексную плоскость , которая представляет собой систему координат, в которой горизонтальная ось представляет действительную составляющую, а вертикальная ось представляет мнимую составляющую. Комплексные числа — это точки на плоскости, выраженные в виде упорядоченных пар [латекс](а, b)[/латекс], где [латекс]а[/латекс] представляет собой координату горизонтальной оси, а [латекс]b[/латекс ] представляет координату вертикальной оси.

Рассмотрим число [латекс]-2+3i[/латекс]. Действительная часть комплексного числа – [латекс]–2[/латекс], а мнимая часть – [латекс]3i[/латекс]. Мы строим упорядоченную пару [латекс]\влево(-2,3\вправо)[/латекс] для представления комплексного числа [латекс]-2+3i[/латекс] .

A Общее примечание: комплексная плоскость

В комплексной плоскости горизонтальная ось является реальной осью, а вертикальная ось — мнимой осью.

Как: Имея комплексное число, представить его компоненты на комплексной плоскости.

1. Определите действительную и мнимую части комплексного числа.
2. Перемещайтесь по горизонтальной оси, чтобы показать действительную часть числа.
3. Перемещение параллельно вертикальной оси для отображения мнимой части числа.
4. Нанесите точку.

Пример: построение комплексного числа на комплексной плоскости

Нанесение комплексного числа [латекс]3 — 4i[/латекс] на комплексную плоскость.

Показать решение

Попробуйте

Нанесите комплексное число [латекс]-4-i[/латекс] на комплексную плоскость.

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Онлайн-калькулятор: Комплексные числа

  Учеба  Математика  Алгебра

Калькулятор отображает комплексное число на плоскости, вычисляет абсолютное комплексное число и его сопряженное значение. значение аргумента. Он также демонстрирует элементарные операции над комплексными числами.

Начиная с 16-го века, математики столкнулись с необходимостью специальных чисел, также известных сегодня как комплексные числа. Комплексное число — это число вида a+bi, где a,b — действительные числа, а i — мнимая единица является решением уравнения: i ² =-1.

Интересно проследить эволюцию взглядов математиков на проблемы комплексных чисел. Вот несколько цитат из древних сочинений на эту тему:

• 16 век : Так прогрессирует арифметическая тонкость, конец которой… столь же утончен, сколь и бесполезен. ¹
• XVII век: Это чудо анализа, это чудо мира идей, почти амфибийный объект между Бытием и Небытием, который мы называем мнимым числом. ²
• 18 век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, они не меньше нуля, они не больше нуля. Квадратные корни отрицательных чисел не могут принадлежать действительным числам, поэтому они являются недействительными числами . Это обстоятельство заставляет использовать мыслительные числа, которые по своей сути невозможны и обычно называются мнимыми, потому что их только в уме можно представить. ³
• XIX век Никто не подвергает сомнению точность результатов, которые мы получаем с помощью исчисления мнимых величин, хотя они являются всего лишь алгебраическими формами и иероглифами недействительных величин. ⁴

Используется несколькими способами при определении комплексного числа. Приведем три из них

Алгебраическая форма

,
где a и b — действительные числа, i — мнимая единица, так что i ² = -1. а — соответствует действительной части, б — мнимой части.

Полярная форма

,
где r — абсолютное значение комплексного числа:

— расстояние между точкой 0 и комплексной точкой на комплексной плоскости, а φ — угол между положительной действительной осью и комплексным вектором (аргумент).

Экспоненциальная форма (форма Эйлера)

является упрощенной версией полярной формы, полученной из формулы Эйлера.

Комплексный номер

Комплексный номер

Точность вычисления

Знаки после запятой: 2

В полярной форме

 

В форме Эйлера

 

Комплексное число

 

Абсолютное значение

6 Аргумент

900 главное значение

 

Главное значение аргумента (градусы)

 

Сопряжение

 

Сложная плоскость

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.

Аргумент комплексного числа является многозначной функцией для целого числа k. Главное значение аргумента — одно значение в открытом периоде (-π..π].
Основное значение можно рассчитать в алгебраической форме по следующей формуле:

Этот алгоритм реализован в функции javascript Math.atan2.

Все элементарные арифметические операции определены для комплексного числа:

Элементарные операции с комплексными числами

Число 1 (z1)

OperationAddSubtractMultiplyDivideExponentiateTake n-th root

Точность вычислений

Цифры после запятой: 2

Результат (z)

 

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.

Сложение комплексных чисел

Одно комплексное число может быть добавлено к другому так же, как многочлены:

Умножение комплексных чисел

Используя определение комплексного числа i*i=-1, мы можем легко объяснить формулу умножения комплексных чисел:

Деление комплексных чисел

Чтобы получить формулу деления комплексных чисел, умножаем числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число (чтобы исключить мнимую единицу в знаменателе):

Сопряженное число определяется как:

Итак, окончательная формула деления:

Возведение комплексного числа в степень

Используя форму Эйлера, это просто:

Эта формула получена из формулы де Муавра:

n корень

степени

Из формулы де Муавра n n-ых корней z (степень 1/n) задаются как:
,
есть n корней, где k = 0..n-1 — целочисленный корневой индекс.