| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | ||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Извлечение корня из комплексного числа.
Рассмотрим задачу извлечения корня натуральной степени $n$ из произвольного комплексного (в частности, действительного) числа $z$; при этом будем искать все возможные значения корня, действительные и комплексные.
{n}$ равен одному из значений аргумента числа $z$. Из этого равенства находим
$\omega \frac{ \phi_{0} + 2k \pi}{n}$. (5)
и оказывается, что при разных значениях $k$ получаются, вообще говоря, разные значения корня $w$. Обозначим значение $\omega$, соответствующее каждому выбору числа $k$, через $\omega_{k}$:
$\omega_{k} = \frac{\phi_{0} + 2k \pi}{n}$
Будем давать $k$ значения $0, 1, 2, \cdots, n – 1$. При этом получим $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ и вместе с тем $n$ значений корня
$w_{k} = \sqrt[n]{r} \left ( \cos \frac{\phi_{0} + 2k \pi}{n} + i \sin \frac{\phi_{0} + 2k \pi}{n} \right )$. (6)
Покажем, что все эти значения различны, а при остальных возможных значениях $k$ новых значений корня $w$ уже не получится. Для этого заметим, что разность аргументов $\omega_{k}$ и $\omega_{l}$ будет равна
$\omega_{k} — \omega_{l} = \frac{ \phi_{0} + 2k \pi}{n} — \frac{\phi_{0} + 2l \pi}{n} = 2 \pi \cdot \frac{k-l}{n}$
Числа $w_{k}$ и $w_{l}$ совпадут в том и только в том случае, если $k – l$ делится на $n$ нацело.
Для $k = 0, 1, 2, \cdots , n-1$ разность любых двух значений на $n$ не разделится. Если же теперь брать $k=n, n+1, \cdots$ или $k = — 1, -2$ то значения корней $w_{k}$ будут повторяться:
$w_{n}=w_{0}, w_{n+1} = w_{1}, \cdots$;
$w_{-1} = w_{n-1}, w_{-2} = w_{n-2}, \cdots$.
Таким образом, все значения корня степени $n$ получаются из формулы (6) при $k = 0, 1, 2, \cdots , n-1$. Корень степени $n$ из любого числа, отличного от нуля, имеет в комплексной области ровно $n$ различных значений.
В случае $z = 0$ единственное значение $\sqrt[n]{0}$ также равно нулю; для достижения общности формулировки можно говорить, что корень степени $n$ из нуля также имеет $n$ значений, которые все совпадают между собой (и равны нулю).
Пример 1. Найти все значения корней: а) $\sqrt[4]{-16}$; б) $\sqrt[3]{27}$.
Решение, а) Записываем $-16$ в тригонометрической форме:
$-16 = 16 (\cos (\pi + 2k \pi) + i \sin (\pi + 2k \pi))$.
Теперь
$w_{k} = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left ( \cos \frac{\pi + 2k \pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k \pi}{4} \right )$.
При $k = 0,1,2,3$ получим
$w_{0} = 2 \left ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{ \pi}{4} \right ) = \sqrt{2} (1 + i)$,
$w_{1} = 2 \left ( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right ) = \sqrt{2} (-1 + i)$,
$w_{2} = 2 \left ( \cos \frac{5 \pi}{4} + i \sin \frac{5 \pi}{4} \right ) = — \sqrt{2} (1 + i)$,
$w_{3} = 2 \left ( \cos \frac{7 \pi}{4} + i \sin \frac{7 \pi}{4} \right ) = \sqrt{2} (1 — i)$,
или, вообще,
$w = \sqrt{2} (\pm 1 \pm i)$.
6) $27 = 27 ( \cos (0 + 2k \pi) + i \sin (0 + 2k \pi))$;
$w_{k} = \sqrt[3]{27} = 3 \left ( \cos \frac{2k \pi}{3} + i \sin \frac{2k \pi}{3} \right )$;
$w_{0} = 3, w_{1} = 3 \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right ) = \frac{3}{2} (- \sqrt{3} + i)$,
$ w_{2} = 3 \left ( — \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{i}{2} \right ) = — \frac{3}{2} (\sqrt{3} + i)$.
Пример 2. Вычислить: a) $\sqrt[4]{-8-8\sqrt{3i}}$; б) $\sqrt[3]{27i}$.
Решение, а) Находим
$r = \sqrt{(-8)^{2} + (-8 \sqrt{3})^{2}} = 16$.
{\circ}) = — 3i $.
Как найти квадратный корень без калькулятора?
Система счисления — это система, определенная для различных чисел и способов их расположения. Существует много типов систем счисления, но в основном хорошо известны 4 типа. Это двоичные системы счисления, десятичные системы счисления, восьмеричные системы счисления и шестнадцатеричные системы счисления. Десятичная система счисления в основном используется в математике, она включает числа от 0 до 9. Над числами выполняется несколько операций, например, нахождение квадратов и квадратных корней чисел, давайте подробно узнаем о квадратных корнях чисел,
Квадратный корень
Квадратный корень из числа — это значение, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 9 равен 3, при умножении 3 на себя получается исходное число 9. Символ, обозначающий квадратный корень в математике, — √.
Этот символ (√) называется подкоренным, а число внутри подкоренного символа называется подкоренным.
Число или значение внутри корневого символа может быть правильным квадратом или несовершенным квадратом. Например, 4 — правильный квадрат, а 3 — несовершенный квадрат. Таким образом, исходя из характера значения внутри корня, окончательный ответ или квадратный корень может быть натуральным числом десятичного числа.
Теперь давайте узнаем, как вычислять квадратный корень из разных чисел.
Квадратные корни без калькулятора
Как определено выше, квадратный корень числа — это значение, которое при умножении само на себя дает только исходное число. Есть три способа найти квадратный корень без калькулятора
Разложение на простые множители
Это длинный, но простой метод нахождения квадратного корня из любого числа. Простая факторизация включает в себя поиск множителей этого числа, а затем объединение общих чисел в пары по два. наконец, извлечение квадратных корней из простых множителей. Давайте посмотрим на пример этого,
Вопрос: найти квадратный корень из 484
Решение:
484=2 × 2 × 11 × 11
Итак, √484= √( 2 × 2 × 11 × 11) = 2 × 11 =22
Метод «Угадай и проверь»
Этот метод используется для получения приблизительного значения любого числа.
Метод предположения экономит время, поскольку он дает приблизительный диапазон значений, между которыми существует корень. это более эффективно, когда число внутри корня является несовершенным числом. Давайте посмотрим на пример этого,
Вопрос: найдите квадратный корень из 20.
Решение:
Начните метод угадывания и проверки, отметив, что, поскольку √16 = 4 и √25 = 5, то √20 должно быть между 4 и 5 В качестве второго шага, чтобы приблизиться к реальному ответу, возьмем число от 4 до 5. Предположим, что оно равно 4,5. Давайте возьмем квадрат 4,5, который будет равен 20,25, что больше 20, поэтому корень должен быть меньше 4,5, давайте выберем 4,4, квадрат 4,4 равен 19..36. таким образом, наиболее приближенный и точный корень из 20 равен 4,4
Метод деления в длину
Это очень простой способ получить квадратный корень из несовершенных квадратов. Метод длинного деления в основном предпочтительнее других методов, поскольку он дает точный ответ.
Разберем этот алгоритм на примере
Вопрос: найдите квадратный корень из 627
Решение:
Шаг 1 Сгруппируйте числа попарно справа налево, оставив одну или две цифры слева (здесь это 6).
Шаг 2 Задумайте число, квадрат которого меньше первого числа (6), его 2, Итак, запишите его так: Возвести в квадрат число 2 и запишите результат под 6, а затем вычтите, как показано ниже,
Шаг 4 Умножьте частное на 3 и запишите его в скобках с пустой строкой рядом с ним, как показано ниже,
Шаг 5 Теперь найдите число, которое при умножении на сорок будет меньше 225. Давайте угадаем 5. Тогда 45×5=225, что меньше 227. Запишите его, как показано ниже. —
Шаг 6 Затем, повторяя шаг 4, умножьте частное на 2, запишите его в скобках с пустой строкой, как показано ниже,
9000 3
Шаг 7 Повторяя шаг 5, выяснить число, которое при умножении на пятьсот будет меньше 2000.
Давайте угадаем 5, тогда 505×5=2525, что больше 2000, давайте угадаем 4, тогда 504×3=1512. Так что напишите это, как показано ниже,
Квадратный корень из 627 с двумя десятичными знаками равен 25,03, что является точным значением.
Давайте угадаем 5, тогда 505×5=2525, что больше 2000, давайте угадаем 4, тогда 504×3=1512. Так что напишите это, как показано ниже, Примеры задач
Вопрос 1. Найдите квадратный корень из 144 2 × 3 × 3
Итак, √144= √(2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 2 × 3 = 12
Вопрос 2: Найдите квадратный корень из 169
Решение:
169=13 × 13
Итак, √144= √(13 × 13) = 13
Вопрос 3: Найдите квадратный корень из 6 методом «Угадай и проверь».
Решение:
Начните угадывать и проверять метод, отметив, что, поскольку √9 = 3 и √4 = 2, то √6 должно быть между 2 и 3. В качестве второго шага, чтобы приблизиться к реальному ответу возьмем число от 2 до 3.
Предположим, что оно равно 2,5. Возьмем квадрат 2,5, который будет равен 6,25, что больше 6, поэтому корень должен быть меньше 2,5. Выберем 2,4, квадрат 2,4 равен 15,76. Таким образом, наиболее приближенный и точный корень из 6 равен 2,4·9.0011 Видео с вопросами: поиск решения системы корневых уравнений с абсолютным значением
Стенограмма видео
Найдите систему решений уравнения квадратный корень из четырех 𝑥 в квадрате минус 28𝑥 плюс 49 равно абсолютной величине 𝑥 плюс четыре.
В этом вопросе нас просят найти множество решений заданного уравнения с радикалами и абсолютным значением. Для этого сначала напомним, что множество решений — это множество всех решений этого уравнения. Итак, нам нужно начать с решения этого уравнения. Это нахождение всех значений 𝑥 таких, что левая часть равна правой части уравнения. Итак, чтобы решить это уравнение, давайте начнем с рассмотрения уравнения.
В левой части у нас есть квадратный корень из четырех 𝑥 в квадрате минус 28𝑥 плюс 49.
Обычно самый простой способ решить уравнение с квадратным корнем — возвести в квадрат обе части уравнения. Однако если мы это сделаем, то сможем ввести дополнительные решения. Так что нам нужно быть осторожными. Это особенно важно, потому что мы извлекаем квадратный корень из числа. Например, если мы возьмем квадратный корень из отрицательного числа, мы получим комплексное число.
Однако в этом примере стоит отметить одну интересную вещь. В левой части этого уравнения мы берем квадратный корень, что означает, что мы берем положительное значение. И с правой стороны мы берем абсолютное значение. Так что это тоже положительное значение. Таким образом, обе части уравнения уже положительны. Это может помочь оправдать взятие квадратов обеих частей уравнения. Это дает нам четыре 𝑥 в квадрате минус 28 𝑥 плюс 49.равно абсолютному значению 𝑥 плюс четыре в квадрате.
И мы можем упростить правую часть этого уравнения, вспомнив, что абсолютное значение числа — это его величина. Не имеет значения знак.
Но если мы возводим это значение в квадрат, не имеет значения, возьмем ли мы положительное или отрицательное значение. Другими словами, для любого действительного числа 𝑎 величина 𝑎 в квадрате просто равна 𝑎 в квадрате. Следовательно, мы можем использовать это, чтобы упростить правую часть нашего уравнения до 𝑥 плюс четыре в квадрате.
А теперь мы можем еще больше упростить правую часть этого уравнения, распределив показатель степени по скобкам. Мы можем сделать это, используя метод FOIL или биномиальное разложение. В любом случае мы получаем 𝑥 в квадрате плюс восемь 𝑥 плюс 16. И помните, это должно быть равно четырем 𝑥 в квадрате минус 28𝑥 плюс 49. А сейчас мы просто решаем квадратное уравнение. Мы можем сделать это, собирая подобные термины. Таким образом, мы вычитаем 𝑥 в квадрате из обеих частей уравнения, восемь 𝑥 из обеих частей уравнения и 16 из обеих частей уравнения и упрощаем. Получаем три 𝑥 в квадрате минус 36𝑥 плюс 33 равно нулю.
А теперь есть много разных способов решения квадратного уравнения.
Начнем с того, что заметим, что все три термина делят коэффициент три. Так что мы можем просто разделить на три. Это дает нам 𝑥 в квадрате минус 12𝑥 плюс 11 равно нулю. И мы можем решить это с помощью факторинга. Нам нужны два числа, которые умножаются, чтобы получить 11, и складываются, чтобы получить отрицательные 12. И, конечно же, отрицательное, умноженное на отрицательное 11, равно 11, а отрицательное, плюс отрицательное 11, равно отрицательному 12.
Следовательно, мы можем разложить этот квадрат, чтобы получить 𝑥 минус один, умноженный на 𝑥 минус 11, равно нулю. И, наконец, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, один из двух множителей должен быть равен нулю. Другими словами, либо 𝑥 равно единице, либо 𝑥 равно 11. И в этом случае фактически нет необходимости проверять, верны ли эти два решения, потому что, как мы уже говорили, обе части уравнения уже были положительный. И если бы мы подставили эти значения в левую часть этого уравнения и получили отрицательное значение, решения не было бы, потому что правая часть уравнения уже положительна.