Материал для подготовки к заданию номер 12 из ЕГЭ по профильной математике — Егор Бородин на vc.ru
Все уравнения можно разделить на несколько групп:
1264 просмотров
— Целые рациональные уравнения
— Дробно-рациональные уравнения
— Иррациональные уравнения
— Тригонометрические уравнения
— Показательные уравнения
Каждая группа уравнений имеет свои особенности. На первый взгляд может показаться, что это очень большой материал и на его изучение понадобится много времени, однако на самом деле для подготовки в экзамену и выполнению задания номер 12 можно подготовиться достаточно быстро, используя верно подобранные материалы и разбирая примеры заданий
Комбинируя все представленные в данных материалах способы и обладая базовыми знаниями математики, можно успешно решить большинство уравнений, которые могут встретиться учащимся во время обучения в средней и старшей школе а так же успешно решить задания на данную тему в контрольно-измерительных материалах
СОВЕТ: после прохождения какой-либо темы в моём пособии, необходимо прорешать похожие уравнения (этой же группы) на одном из подобранных мной сайтов (смотрите ниже)
Часть I.
Способы решения уравнений. Метод “Замена переменной”
Уравнение вида af²(x)+bf (x)+c=0 Такие уравнения (их иногда называют трехчленными) являются одними из наиболее распространенных. Скорее всего, самый известный и яркий пример этого типа уравнений — биквадратное уравнение ax⁴ + bx2 + c = 0 (здесь f (x) = x 2 ). Заменой переменной t = f (x) трехчленное уравнение сводится к квадратному относительно переменной t уравнению at² + bt + c = 0
Решить уравнение (2x² – 3x + 1) = 22x² – 33x + 1.
Решение:
Пример1
Перепишем уравнение в виде
(2x² – 3x + 1)² = 11(2x² – 3x) + 1. Произведем замену. Пусть 2x² – 3x = a, тогда уравнение примет вид:
(a + 1)² = 11a + 1.
a² + 2a + 1 = 11a + 1;
a² – 9a = 0.
В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки и получим следующее:
a(a – 9) = 0;
a= 0 или a= 9 (записывается как система).
2x² – 3x = 0 или 2x² – 3x = 9
x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2
Ответ: x=0, x=3, x=+-3/2
Пример 2
Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297
Решение: Попытаемся перемножить между собой множители и получим
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x² + 5x – x – 5)(x² + 7x – 3x – 21) = 297;
(x² + 4x – 5)(x² + 4x – 21) = 297.
Замечаем замену x² + 4x = a, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
(a – 5)(a – 21) = 297.
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:
a² – 21a – 5a + 105 = 297;
a² – 26t – 192 = 0.
По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.
После обратной замены будем иметь:
x² + 4x = -6 или x² + 4x = 32
x² + 4x + 6 = 0 x² + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0
Нет корней x1 = -8; x2 = 4
Ответ: x=-8; x=4
Метод “Применение свойств функции”
Некоторые (не обязательно целые) уравнения могут быть решены с помощью таких свойств функций, как монотонность и ограниченность. Приведем простой пример решения уравнения таким методом
Решим данное нам уравнение:
Решение.
Каждая из корней в правой части уравнения — возрастающая функция, которая при любом x будет принимать только положительные значения. Значит и их сумму тоже будет принимать значение больше или равные нулю.
Значение в правой части уравнения меньше 0, из этого следует, что уравнение не будет иметь решения
Ответ: нет корней
Для дробно-рациональных уравнений метод “применения свойств” функции также будет очень эффективным
Алгебраические преобразования для решения уравнений
Одним из основных способов сведения уравнения к одному или нескольким простейшим являются алгебраические преобразования одной или обеих его частей, позволяющие свести дробно-рациональное уравнение к целому. В некоторых случаях для решения рациональных уравнений приходится применять искусственные приемы: добавление и вычитание одного и того же числа и т. п.
Тригонометрические уравнения
Основной идеей при решении тригонометрических уравнений является сведение большого многочлена к простейшему уравнению вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. А потом они уже решаются при помощи числовой окружности. Но при этом для решения этого типа уравнений так же подходят изученные нами ранее способы: замена переменной, алгебраические преобразования и, конечно, применение свойств функции
Представленный выше пример является простейшим тригонометрическим уравнением вида tg x = a, который мы решали используя тригонометрический круг
Теперь рассмотрим пример уравнения, где необходимо выполнить преобразования для того, чтобы прийти к простейшему тригонометрическому уравнению
Теперь предлагаю разобрать одно из самых сложных заданий на эту тему по данным сайта Решуегэ.
РФ
Логарифмические уравнения
Основная идея решения любого логарифмического уравнения —
сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, а ос-
новными средствами реализации этой идеи являются следующие:
• равносильные преобразования,
• переход к уравнению-следствию,
• разложение на множители,
• замена переменной,
• применение свойств функций.
Решение большинства логарифмических уравнений после некото-
рых преобразований сводится к решению логарифмического уравне-
ния вида logh(x)
f (x)=logh(x)
g(x) или совокупности таких уравнений.
Приведем соответствующее равносильное преобразование:
Часть II. Решение систем уравнений. Системы целых алгебраических уравнений
Основными методами решения систем, содержащих нелинейные урав-
нения, являются следующие:
• подстановка,
• замена переменной,
• алгебраическое сложение,
• разложение на множители.
Рассмотрим пример решения систем целых алгебраических уравнений:
При возможности, нужно решать по одному уравнению день за днём.
Причём я рекомендую делать так: 2 дня решать тригонометрические уравнения, 1 день показательные и 1 день логарифмические. Это будет наиболее эффективный метод подготовки к решению задания номер 12 из егэ по профильной математике
Ссылки для тренировки:
Тригонометрические уравнения
Иррациональные уравнения
Показательные уравнения
Уравнения смешанного типа
Банк заданий с уравнениями от ФИПИ
Задача 12 ЕГЭ математика профиль, сортировка по темам
Задача 12 ЕГЭ математика профиль, сортировка по темамMATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>
задача 12
ЗАДАЧА 12
сортировка
по сложности
ЗАДАЧА 12
сортировка
по темам
СПИСОК ТЕМ
Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет
Тема 2: Тригонометрические уравнения
Тема 3: Тригонометрические уравнения с ОДЗ
Тема 4: Показательные уравнения (с тригонометрией и без)
Тема 5: Логарифмические уравнения (с тригонометрией и без)
Тема 6: Рациональные и иррациональные уравнения
Задачи разделены на темы.
Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи
мы постарались расположить по возрастанию сложности.Тема 1: Реальные задачи ЕГЭ последних лет
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Тема 2: Тригонометрические уравнения
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Тема 3: Тригонометрические уравнения с ОДЗ
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Тема 4: Показательные уравнения (с тригонометрией и без)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Тема 5: Логарифмические уравнения (с тригонометрией и без)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Тема 6: Рациональные и иррациональные уравнения
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Тема 7: Ответы с arcsin или arccos или arctg
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
посмотреть ответ
посмотреть решение а)
посмотреть решение б)
Решение логарифмических уравнений — предварительное исчисление
Все ресурсы для предварительного исчисления
12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →
Precalculus Help » Экспоненциальные и логарифмические функции » Свойства логарифмов » Решить логарифмические уравнения
Вычислить логарифм.
Что такое?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Определение логарифма:
В этой задаче
Следовательно,
Сообщите об ошибке
Решите следующее логарифмическое уравнение: 5
Возможные ответы:
Ни один из других вариантов
Правильный ответ:
Ни один из вариантов
Объяснение:
Используя правила логарифмирования,
Следовательно,
Итак, возведите обе части в степень по основанию 10:
Этот ответ не соответствует ни одному из вариантов ответа, поэтому ответ «Ни один из других вариантов».
Сообщите об ошибке
Решите следующее логарифмическое уравнение:
Возможные ответы:
64
Пояснение:
Чтобы решить это уравнение, мы должны применить несколько свойств логарифмов. Сначала заметим член в левой части уравнения, который мы можем переписать, используя следующее свойство:
Где a — коэффициент логарифма, а b — произвольное основание. Далее мы смотрим на правую часть уравнения, которое мы можем переписать, используя следующее свойство для сложения логарифмов:
Используя оба этих свойства, мы можем переписать логарифмическое уравнение следующим образом:
У нас одинаковое значение основания логарифма с каждой стороны, поэтому уравнение упрощается до следующего:
Которые мы можем затем решить для:
Сообщить об ошибке
Решить уравнение для .
Возможные ответы:
Ни один из других ответов.
Правильный ответ:
Пояснение:
Решим уравнение следующим образом:
Возведем в степень обе части.
Примените степенное правило справа.
Умножить на .
Разделить на .
Сообщить об ошибке
Решить для:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Во-первых, упростим логарифмические выражения в левой части уравнения:
можно переписать как .
Теперь у нас есть:
.
Левое значение можно объединить в одно логарифмическое выражение, используя правило вычитания:
.
Теперь у нас есть журнал с обеих сторон, поэтому мы можем быть уверены, что все, что находится внутри этих функций, равно:
для продолжения решения умножьте на обе стороны:
извлеките кубический корень:
Сообщить об ошибке
.
Решите для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала поместите внутреннюю экспоненту перед натуральным логарифмом.
.
Затем упростите первый член и поместите все члены в одну часть уравнения.
.
Далее, пусть установлено
, так что .
Теперь используйте квадратичную формулу, чтобы найти .
и, таким образом, и .
Теперь замените на .
Итак, так как и .
Таким образом, .
Сообщить об ошибке
Решить логарифмическое уравнение:
Возможные ответы:
Ни один из других ответов.
Правильный ответ:
Объяснение:
Возведение в степень каждой стороны, чтобы исключить натуральное логарифмическое:
Квадрат с обеих сторон:
Изолировать x:
5 4 Сообщить об ошибке
Решить для x:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Основание логарифма по умолчанию равно 10:
преобразовать в экспоненту, чтобы изолировать x
вычесть 1 из обеих сторон
разделить обе части на 2
Сообщить об ошибке 005
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала сконденсируйте левую часть в один логарифм:
преобразуйте в показатель степени
умножьте обе части на 7
Сообщить об ошибке
Найти x:
Возможные ответы:
нет решения
4 16
Правильный ответ:Объяснение:
Сначала объединим левую часть в один логарифм:
преобразуем в экспоненту
вычтем 64 из обеих частей
теперь мы можем решить по квадратичной формуле:
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 4 Далее →
Уведомление об авторских правах 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
10.
5 Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений — Алгебра среднего уровня 2eЦели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Решение логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов
- Решение показательных уравнений с использованием логарифмов
- Использование экспоненциальных моделей в приложениях
Будь готов 10.13
Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.
Решите: x2=16.x2=16.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 6.46.
Будь готов 10.14
Решите: x2−5x+6=0.x2−5x+6=0.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 6.45.
Будь готов 10.15
Решить: х(х+6)=2х+5.х(х+6)=2х+5.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 6.47.
Решение логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов
В разделе, посвященном логарифмическим функциям, мы решили некоторые уравнения, переписав уравнение в экспоненциальной форме.
Теперь, когда у нас есть свойства логарифмов, у нас есть дополнительные методы, которые мы можем использовать для решения логарифмических уравнений.
Если наше уравнение имеет два логарифма, мы можем использовать свойство, которое говорит, что если logaM=logaNlogaM=logaN, то верно, что M=N.M=N. Это однозначное свойство логарифмических уравнений.
Однозначное свойство логарифмических уравнений
Для M>0,N>0,a>0,M>0,N>0,a>0 и a≠1a≠1 любое действительное число:
IflogaM=logaN,thenM=N.IflogaM= logaN, тогда M=N.
Чтобы использовать это свойство, мы должны быть уверены, что обе части уравнения записаны с одним и тем же основанием.
Помните, что логарифмы определяются только для положительных вещественных чисел. Проверьте свои результаты в исходном уравнении. Возможно, вы получили результат, который дает логарифм нуля или отрицательного числа.
Пример 10.38
Решите: 2log5x=log581.2log5x=log581.
Решение
| 2log5x=log5812log5x=log581 | |
| Используйте свойство Power. | log5x2=log581log5x2=log581 |
| Использовать свойство «один к одному», если logaM=logaNlogaM=logaN, то M=NM=N | х2=81х2=81. |
| Решение с использованием свойства квадратного корня. | х=±9х=±9 |
| Мы исключаем x=−9x=−9, поскольку мы не можем логарифмировать отрицательное число. | х=9,х=-9х=9,х=-9 |
| Чек. | |
| x=92log5x=log5812log59=?log581log592=?log581log581=log581✓x=92log5x=log5812log59=?log581log592=?log581log581=log581✓ |
Попробуй 10,75
Решить: 2log3x=log3362log3x=log336
Попробуй 10,76
Решить: 3logx=log643logx=log64
Еще одна стратегия, используемая для решения логарифмических уравнений, заключается в сведении сумм или разностей к одному логарифму.
Пример 10.39
Решите: log3x+log3(x−8)=2.log3x+log3(x−8)=2.
Решение
| log3x+log3(x−8)=2log3x+log3(x−8)=2 | |
| Используйте свойство продукта, logaM+logaN=logaM⋅NlogaM+logaN=logaM⋅N. | log3x(x−8)=2log3x(x−8)=2 |
| Переписать в экспоненциальной форме. | 32=х(х-8)32=х(х-8) |
| Упрощение. | 9=х2-8х9=х2-8х |
| Вычтите 9 с каждой стороны. | 0=х2-8х-90=х2-8х-9 |
| Фактор. | 0=(х-9)(х+1)0=(х-9)(х+1) |
| Используйте свойство Zero-Product. | х-9=0,х+1=0х-9=0,х+1=0 |
| Решите каждое уравнение. | х=9,х=-1х=9,х=-1 |
| Чек. | |
| x=-1log3x+log3(x-8)=2log3(-1)+log3(-1-8)=?2x=-1log3x+log3(x-8)=2log3(-1)+log3 (−1−8)=?2 | |
Мы не можем взять журнал отрицательного числа. | |
| x=9log3x+log3(x−8)=2log39+log3(9−8)=?22+0=?22=2✓x=9log3x+log3(x−8)=2log39+log3(9 −8)=?22+0=?22=2✓ |
Попробуй 10,77
Решите: log2x+log2(x−2)=3log2x+log2(x−2)=3
Попробуй 10,78
Решить: log2x+log2(x−6)=4log2x+log2(x−6)=4
Когда с обеих сторон есть логарифмы, мы сжимаем каждую сторону в один логарифм. Не забудьте использовать свойство Power по мере необходимости.
Пример 10.40
Решите: log4(x+6)−log4(2x+5)=−log4x.log4(x+6)−log4(2x+5)=−log4x.
Решение
| log4(x+6)−log4(2x+5)=−log4xlog4(x+6)−log4(2x+5)=−log4x | |
| Используйте свойство Quotient слева и свойство Power справа. | log4(x+62x+5)=log4x-1log4(x+62x+5)=log4x-1 |
Переписать x−1=1xx−1=1x. | log4(x+62x+5)=log41xlog4(x+62x+5)=log41x |
| Используйте свойство «один к одному», если logaM=logaNlogaM=logaN, то M=NM=N. | х+62х+5=1хх+62х+5=1х |
| Решите рациональное уравнение. | х(х+6)=2х+5х(х+6)=2х+5 |
| Распространение. | х2+6х=2х+5х2+6х=2х+5 |
| Пишите в стандартной форме. | х2+4х-5=0х2+4х-5=0 |
| Фактор. | (х+5)(х-1)=0(х+5)(х-1)=0 |
| Используйте свойство Zero-Product. | х+5=0,х-1=0х+5=0,х-1=0 |
| Решите каждое уравнение. | х=-5,х=1х=-5,х=1 |
| Чек. | |
| Мы оставляем вам чек. |
Попробуй 10,79
Решите: log(x+2)−log(4x+3)=−logx.
log(x+2)−log(4x+3)=−logx.
Попробуй 10.80
Решите: log(x-2)-log(4x+16)=log1x.log(x-2)-log(4x+16)=log1x.
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
В разделе, посвященном экспоненциальным функциям, мы решили некоторые уравнения, записав обе части уравнения с одним и тем же основанием. Затем мы написали новое уравнение, приравняв показатели степени.
Не всегда возможно или удобно писать выражения с одной и той же основой. В этом случае мы часто берем десятичный логарифм или натуральный логарифм обеих частей после выделения экспоненты.
Пример 10.41
Решите 5x=11,5x=11. Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
Решение
| 5х=115х=11 | |
Поскольку экспонента изолирована, возьмем логарифм обеих частей. Используйте свойство Power, чтобы получить xx как множитель, а не показатель степени. Решите для х.х. Найдите точный ответ. Приблизительный ответ. | log5x=log11xlog5=log11x=log11log5x≈1,490log5x=log11xlog5=log11x=log11log5x≈1,490 |
| Поскольку 51=551=5 и 52=25,52=25, имеет ли смысл 51,490≈11?51,490≈11? | |
Попробуй 10,81
Решите 7x=43,7x=43. Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
Попробуй 10,82
Решите 8x=98,8x=98. Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
Когда мы логарифмируем обе части, мы получаем один и тот же результат независимо от того, используем ли мы десятичный или натуральный логарифм (попробуйте использовать натуральный логарифм в последнем примере. Вы получили тот же результат?) Когда экспонента имеет основание e , мы используем натуральный логарифм.
Пример 10.42
Решите 3ex+2=24,3ex+2=24. Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
Решение
| 3ex+2=243ex+2=24 | |
| Изолируйте экспоненту, разделив обе части на 3. | ех+2=8ех+2=8 |
| Возьмем натуральный логарифм обеих частей. | lnex+2=ln8lnex+2=ln8 |
| Используйте свойство Power, чтобы получить xx как множитель, а не показатель степени. | (x+2)lne=ln8(x+2)lne=ln8 |
| Используйте свойство lne=1lne=1 для упрощения. | х+2=ln8x+2=ln8 |
| Решите уравнение. Найдите точный ответ. | х=ln8-2x=ln8-2 |
| Приблизительный ответ. | х ≈ 0,079 х ≈ 0,079 |
Попробуй 10,83
Решите 2ex−2=18,2ex−2=18.
Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
Попробуй 10,84
Решите 5e2x=25,5e2x=25. Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
Использование экспоненциальных моделей в приложениях
В предыдущих разделах мы смогли решить некоторые приложения, которые были смоделированы с помощью показательных уравнений. Теперь, когда у нас есть так много вариантов решения этих уравнений, мы можем решать больше приложений.
Мы снова воспользуемся формулами сложных процентов и приведем их здесь для справки.
Сложные проценты
Для основного долга, P , инвестировано под процентную ставку, р , для t лет, новый баланс, A :
A=P(1+rn)nt при начислении процентов n раз в год. A=Pert при непрерывном начислении.
.A=Pert при непрерывном компаундировании.
Пример 10.43
Родители Джермаэля вложили 10 000 долларов на его расходы в колледже в день его первого дня рождения. Они надеются, что инвестиции будут стоить 50 000 долларов, когда ему исполнится 18 лет. Если проценты будут накапливаться постоянно, какой примерно темп роста им потребуется для достижения своей цели?
Решение
| А = 50 000 долларов А = 50 000 долларов | |
| Р = 10 000 долл. США Р = 10 000 долл. США | |
| Определите переменные в формуле | г=?г=? |
| t=17yearst=17years | |
| А=ПертА=Перт | |
| Подставьте значения в формулу. | 50 000=10 000эр·1750 000=10 000эр·17 |
| Решите для r.r. Разделите каждую сторону на 10000. | 5=e17r5=e17r |
Возьмите натуральное бревно с каждой стороны. | ln5=lne17rln5=lne17r |
| Используйте свойство Power. | ln5=17rlneln5=17rlne |
| Упрощение. | пер5=17рлн5=17р |
| Разделите каждую сторону на 17. | ln517=rln517=r |
| Приблизительный ответ. | r≈0,095r≈0,095 |
| Преобразование в проценты. | г≈9,5%г≈9,5% |
| Им нужно, чтобы скорость роста составляла примерно 9,5%9,5%. |
Попробуй 10,85
Гектор инвестирует 10 000 долларов США 10 000 долларов США в возрасте 21 года. Он надеется, что инвестиции будут стоить 150 000 долларов США 150 000 долларов США, когда ему исполнится 50 лет. Если проценты постоянно увеличиваются, какой примерно темп роста ему потребуется для достижения своей цели?
Попробуй 10,86
Рэйчел инвестирует 15 000 долларов 15 000 долларов в возрасте 25 лет. Она надеется, что инвестиции будут стоить 90 000 долларов 90 000 долларов, когда ей исполнится 40 лет.
Если проценты постоянно увеличиваются, какой примерно темп роста ей потребуется для достижения своей цели?
Мы видели, что рост и затухание моделируются экспоненциальными функциями. Для роста и распада мы используем формулу A=A0ekt.A=A0ekt. Экспоненциальный рост имеет положительную скорость роста или константу роста, kk, а экспоненциальный спад имеет отрицательную скорость роста или константу спада, к .
Экспоненциальный рост и упадок
Для исходной суммы A0,A0, которая растет или уменьшается со скоростью k , в течение определенного времени t , окончательная сумма A составляет:
A=A0ektA=A0ekt
Теперь мы можем решать приложения, которые дают нам достаточно информации для определения скорости роста. Затем мы можем использовать эту скорость роста для прогнозирования других ситуаций.
Пример 10.
44Исследователи зафиксировали, что популяция определенных бактерий выросла со 100 до 300 за 3 часа. При такой скорости роста сколько бактерий будет через 24 часа после начала эксперимента?
Решение
Эта проблема требует двух основных шагов. Сначала мы должны найти неизвестную скорость k . Затем мы используем это значение k , чтобы найти неизвестное количество бактерий.
| Определите переменные в формуле. | A=300A0=100k=?t=3hoursA=A0ektA=300A0=100k=?t=3hoursA=A0ekt |
| Подставьте значения в формулу. | 300=100эк·3300=100эк·3 |
| Найдите kk. Разделите каждую сторону на 100. | 3=e3k3=e3k |
| Возьмите натуральное бревно с каждой стороны. | ln3=lne3kln3=lne3k |
Используйте свойство Power. | ln3=3klneln3=3klne |
| Упрощение. | лн3=3клн3=3к |
| Разделите каждую сторону на 3. | лн33=клн33=к |
| Приблизительный ответ. | к≈0,366к≈0,366 |
| Мы используем эту скорость роста, чтобы предсказать количество бактерий через 24 часа. | A=?A0=100k=ln33t=24 часаA=A0ektA=?A0=100k=ln33t=24hoursA=A0ekt |
| Подставьте значения. | А=100eln33·24A=100eln33·24 |
| Оценить. | А ≈ 656 100 А ≈ 656 100 |
| При такой скорости роста можно ожидать 656 100 бактерий. |
Попробуй 10,87
Исследователи зафиксировали, что популяция определенных бактерий выросла со 100 до 500 за 6 часов. При такой скорости роста сколько бактерий будет через 24 часа после начала эксперимента?
Попробуй 10,88
Исследователи зафиксировали, что популяция определенных бактерий уменьшилась с 700 000 до 400 000 через 5 часов после введения лекарства.
При такой скорости разложения сколько бактерий останется через 24 часа после начала эксперимента?
Радиоактивные вещества распадаются или разлагаются по формуле экспоненциального распада. Время, за которое вещество распадается до половины своего исходного количества, называется периодом полураспада вещества.
Как и в предыдущем примере, мы можем использовать данную информацию для определения константы распада, а затем использовать эту константу для ответа на другие вопросы.
Пример 10.45
Период полураспада радия-226 составляет 1590 лет. Какая часть образца массой 100 мг останется через 500 лет?
Решение
Эта проблема требует двух основных шагов. Сначала мы должны найти постоянную распада k . Если мы начнем со 100 мг, в период полувыведения останется 50 мг. Мы будем использовать эту информацию, чтобы найти к . Затем мы используем это значение 90 751 k 90 008, чтобы найти объем выборки, который останется через 500 лет.
| Определите переменные в формуле. | A=50A0=100k=?t=1590летA=A0эктA=50A0=100k=?t=1590летA=A0экт |
| Подставьте значения в формулу. | 50=100эк·159050=100эк·1590 |
| Найдите kk. Разделите каждую сторону на 100. | 0,5=e1590k0,5=e1590k |
| Возьмите натуральное бревно с каждой стороны. | ln0.5=lne1590kln0.5=lne1590k |
| Используйте свойство Power. | ln0.5=1590klneln0.5=1590klne |
| Упрощение. | ln0.5=1590kln0.5=1590k |
| Разделите каждую сторону на 1590. | ln0.51590=точный ответln0.51590=точный ответ |
| Мы используем эту скорость роста, чтобы предсказать количество, которое останется через 500 лет. | А=?A0=100k=ln0,51590t=500летA=A0эктA=?A0=100k=ln0,51590t=500летA=A0экт |
Подставьте значения. | А=100eln0,51590·500A=100eln0,51590·500 |
| Оценить. | А≈80,4 мгА≈80,4 мг |
| Через 500 лет останется примерно 80,4 мг. |
Попробуй 10,89
Период полураспада магния-27 составляет 9,45 минут. Какой объем образца массой 10 мг останется через 6 минут?
Попробуй 10,90
Период полураспада радиоактивного йода составляет 60 дней. Какой объем образца массой 50 мг останется через 40 дней?
Раздел 10.5 Упражнения
Практика ведет к совершенству
Решение логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов
В следующих упражнениях найдите x .
288.
log464=2log4xlog464=2log4x
289.
лог49=2логхлог49=2logx
290.
3log3x=log3273log3x=log327
291.
3log6x=log6643log6x=log664
292.
log5(4x-2)=log510log5(4x-2)=log510
293.
log3(x2+3)=log34xlog3(x2+3)=log34x
294.
log3x+log3x=2log3x+log3x=2
295.
log4x+log4x=3log4x+log4x=3
296.
log2x+log2(x−3)=2log2x+log2(x−3)=2
297.
log3x+log3(x+6)=3log3x+log3(x+6)=3
298.
logx+log(x+3)=1logx+log(x+3)=1
299.
logx+log(x-15)=2logx+log(x-15)=2
300.
log(x+4)-log(5x+12)=-logxlog(x+4)-log(5x+12)=-logx
301.
log(x-1)-log(x+3)=log1xlog(x-1)-log(x+3)=log1x
302.
log5(x+3)+log5(x−6)=log510log5(x+3)+log5(x−6)=log510
303.
log5(x+1)+log5(x−5)=log57log5(x+1)+log5(x−5)=log57
304.
log3(2x-1)=log3(x+3)+log33log3(2x-1)=log3(x+3)+log33
305.
лог(5х+1)=лог(х+3)+лог2лог(5х+1)=лог(х+3)+лог2
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
В следующих упражнениях решите каждое показательное уравнение. Найдите точный ответ и аппроксимируйте его до трех знаков после запятой.
306.
3x=893x=89
307.
2x=742x=74
308.
5x=1105x=110
309.
4x=1124x=112
310.
ех=16ех=16
311.
ех=8ех=8
312.
(12)х=6(12)х=6
313.
(13)х=8(13)х=8
314.
4ex+1=164ex+1=16
315.
3ex+2=93ex+2=9
316.
6e2x=246e2x=24
317.
2e3x=322e3x=32
318.
14ex=314ex=3
319.
13ex=213ex=2
320.
ех+1+2=16ех+1+2=16
321.
ex−1+4=12ex−1+4=12
В следующих упражнениях решите каждое уравнение.
322.
33x+1=8133x+1=81
323.
64x−17=21664x−17=216
324.
ex2e14=e5xex2e14=e5x
325.
ex2ex=e20ex2ex=e20
326.
loga64=2loga64=2
327.
loga81=4loga81=4
328.
lnx=-8lnx=-8
329.
lnx=9lnx=9
330.
log5(3x−8)=2log5(3x−8)=2
331.
log4(7x+15)=3log4(7x+15)=3
332.
lne5x=30lne5x=30
333.
lne6x=18lne6x=18
334.
3logx=log1253logx=log125
335.
7log3x=log31287log3x=log3128
336.
log6x+log6(x-5)=log624log6x+log6(x-5)=log624
337.
log9x+log9(x−4)=log912log9x+log9(x−4)=log912
338.
log2(x+2)-log2(2x+9)=-log2xlog2(x+2)-log2(2x+9)=-log2x
339.
log6(x+1)-log6(4x+10)=log61xlog6(x+1)-log6(4x+10)=log61x
В следующих упражнениях найдите x , что даст точный ответ, а также приближение к трем знакам после запятой.
340.
6х=916х=91
341.
(12)х=10(12)х=10
342.
7ex−3=357ex−3=35
343.
8ex+5=568ex+5=56
Использование экспоненциальных моделей в приложениях
В следующих упражнениях решите.
344.
Сунг Ли инвестирует 5 000 долларов 5 000 долларов в возрасте 18 лет. Он надеется, что инвестиции будут стоить 10 000 долларов 10 000 долларов, когда ему исполнится 25 лет. Если проценты постоянно увеличиваются, какой примерно темп роста ему потребуется для достижения своей цели? Это разумное ожидание?
345.
Алиса инвестирует 15 000 долларов 15 000 долларов в возрасте 30 лет из подписного бонуса на новой работе. Она надеется, что инвестиции будут стоить 30 000 долларов 30 000 долларов, когда ей исполнится 40 лет. Если проценты будут увеличиваться непрерывно, какой примерно темп роста ей потребуется для достижения своей цели?
346.
Корали инвестирует 5000 долларов 5000 долларов на счет, который ежемесячно начисляет проценты и зарабатывает 7%.7%. Через какое время ее деньги удвоятся?
347.
Симона инвестирует 8000 долларов 8000 долларов на счет, который ежеквартально начисляет проценты и зарабатывает 5%.
5%. Через какое время его деньги удвоятся?
348.
Исследователи зафиксировали, что популяция определенных бактерий сократилась со 100 000 до 100 за 24 часа. При такой скорости разложения сколько бактерий останется за 16 часов?
349.
Исследователи зафиксировали, что популяция определенных бактерий уменьшилась с 800 000 до 500 000 через 6 часов после введения лекарства. При такой скорости разложения сколько бактерий будет через 24 часа?
350.
Вирусу требуется 6 дней, чтобы удвоить свою первоначальную популяцию (A=2A0).(A=2A0). За какое время его население утроится?
351.
Бактерии удваивают свою первоначальную популяцию за 24 часа (A=2A0).(A=2A0). Насколько большим будет его население через 72 часа?
352.
Углерод-14 используется для археологического радиоуглеродного датирования.
Его период полураспада составляет 5730 лет. Сколько 100-граммового образца углерода-14 останется через 1000 лет?
353.
Радиоактивный технеций-99m часто используется в диагностической медицине, так как он имеет относительно короткий период полураспада, но действует достаточно долго, чтобы провести необходимые анализы пациента. Если период его полураспада составляет 6 часов, сколько радиоактивного материала из 0,5 мл инъекции будет в организме через 24 часа?
Письменные упражнения
354.
Объясните метод, который вы использовали бы для решения этих уравнений: 3x+1=81,3x+1=81,3x+1=75,3x+1=75. Требует ли ваш метод логарифмирования обоих уравнений? Почему или почему нет?
355.
В чем разница между уравнением экспоненциального роста и уравнением экспоненциального распада?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.