Наклонные асимптоты: Как найти асимптоты графика функции, примеры решений

Примеры нахождения наклонных асимптот

В предыдущей статье наведены определения наклонных, вертикальных, горизонтальных асимптот. Сейчас же будут приведены примеры нахождения асимптот с применением правила Лопиталя. Его удобно применять при нахождении границ с неопределенностями типа ноль на ноль или бесконечность на бесконечность , то есть, когда есть границы вида

или

то по правилу Лопиталя ее значение равно

если функции дифференцируемы и определены в окрестности точки . Производную можно применять повторно до тех пор, пока не получим константу в числителе или знаменателе или дробь избавится особенности.

————————————

Примеры.

Найти асимптоты функций

І.

Решение:

Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль

Область определения будет разбита на два интервала

Точка которая разбивает область определения будет вертикальной асимптотой . Найдем наклонную асимптоту согласно формулы

Первую неизвестную найдем с предела

Вторую определяем по правилу

Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее

Функцию с асимптотой изображено на графике

——————————————

ІІ.

Решение:

Функция определена во всех точках кроме тех, в которых знаменатель равен нулю. Найдем решения квадратного уравнения

Оба корня разбивают область определения на три интервала

а также являются вертикальными асимптотами функции. Наклонную асимптоту находим с применением правила Лопиталя

При вычислении констант , входящих в уравнение прямой, пришлось применить правило Лопиталя трижды для первой и дважды для второй неизвестной. В конечном итоге получили следующее уравнение наклонной асимптоты

График функции приведен ниже

—————————————

III.

Решение:

С виду функции следует что она определена во всех точках где определены корни

Накладывая оба промежутка получим область определения

Точка является вертикальной асимптотой функции. Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение наклонной асимптоты. Применение правила Лопиталя к данному примеру никаких упрощений не даст поэтому используем другое

Упростим выражение в числителе

и подставим в границу

Уравнение наклонной асимптоты примет вид

График заданной функции с наклонной асимптотой следующий

—————————————

Приведенные решения частично ознакомили Вас с возможными примерами которые могут быть на практике. Для лучшего владения данной тематикой решайте задачи самостоятельно, изучайте удобные методики нахождения пределов функции которые позволят получить результаты быстрее.

————————————

Посмотреть материалы:

• Исследования функции и построения графика
• Интервалы монотонности функции
• Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
• Локальный экстремум функции. Примеры
• Выпуклость и вогнутисть графика функции
• Асимптоты функции
• Область определения функции

1.

13. Асимптоты кривой

Литература: [3], гл. V, § 10

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.5

Прямая называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность от начала координат (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальная асимптота имеет уравнение вида x = x₀ и является прямой, параллельной оси Оy. Наклонная асимптота имеет уравнение вида y = k x + b. В частном случае при k = 0 асимптота называется горизонтальной, так как ее уравнение y = b есть прямая, параллельная оси Ох.

Вертикальные асимптоты.

Пусть дана кривая y = f (x).

Для нахождения вертикальной асимптоты этой кривой находят точки ее бесконечного разрыва (точки разрыва второго рода).

Если, например,

и ,

то прямая x = x₀ ─ вертикальная асимптота кривой y = f (x) (рис. 1.8).

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Пусть задана кривая y = f (x). Для нахождения наклонной асимптоты, уравнение которой y = k x + b, находят коэффициенты k и b, вычисляя пределы: ,. Эти пределы вычисляются отдельно для случаеви. Если хотя бы один из пределов для вычисленияk и b равен ∞ или не существует, то кривая наклонных и горизонтальных асимптот не имеет.

В частном случае, когда k = 0, а b ─ конечное число, кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой

y = b.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение. Функция определена на всем множестве действительных чиселR, кроме точки x = 1. Определим характер разрыва, для чего вычислим пределы функции при x → 1 слева (x < 1) и справа (x > 1):

, .

Так как один из пределов бесконечен, то x = 1 является точкой разрыва второго рода, и, следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.

Определим, имеет ли кривая наклонную или горизонтальную асимптоту. Для этого вычисляем соответствующие пределы:

, Уравнение асимптотыy = k x + b принимает вид y = 1 (горизонтальная асимптота).

С

Рис. 1.9

хематический график функции представлен на рис. 1.9.

Литература: [3], гл. V, § 11

[5], Ч. 1, гл. 6, § 6.6

1. Находим область определения функции.

2. Устанавливаем четность, нечетность функции, периодичность. Находим характерные точки, например, точки пересечения с осями координат.

3.Находим точки разрыва функции, определяем их характер. При наличии точек разрыва второго рода (точек бесконечного разрыва) устанавливаем наличие вертикальных асимптот графика функции.

4. Находим производную функции, критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в этих точках.

5. Находим вторую производную функции, интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба графика функции.

6.Устанавливаем наличие у исследуемой кривой наклонных и горизонтальных асимптот.

7. По полученным данным строим график функции.

Замечание. Если функция является четной или нечетной, то исследование проводят не на всей числовой оси, а на промежутке [0, +∞). Затем график продолжают симметрично относительно оси ординат на промежуток (-∞, 0), если функция четная, и относительно центра системы координат, если функция нечетная.

Если функция периодическая, то ее график строят для одного периода, а затем периодически продолжают на всю числовую ось.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек

x = ± 2.

2. Функция нечетная, так как для нее выполняется условие . Поэтому достаточно провести исследование на промежутке [0, +∞).

3. В промежутке [0, +∞) имеется одна точка разрыва x = 2. Исследуем характер точки разрыва, для чего вычислим следующие пределы:

,

Так как односторонние пределы бесконечные, то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

4. Находим первую производную:

.

Находим критические точки на промежутке [0, +∞): ,. В точкепроизводная не существует, но эта точка не является критической, так как функция в ней не определена.

5. Находим вторую производную:

.

Вторая производная на промежутке [0, +∞) обращается в ноль в точке

x₁ = 0 и не существует в точке x₃ = 2, которая не входит в область определения функции.

По полученным данным строим таблицу:

x	0	(0, 2)	2	(2, )
	0	−	Не существует	–	0	+
	0	−	Не существует	+	+	+
y	0		Не существует		min

В первой строке таблицы указаны интервалы, на которые критические точки и точки, где вторая производная равна нулю или не существует, разбивают промежуток [0, +∞). Во второй строке указан знак первой производной в этих интервалах, в третьей − знак второй производной. В четвертой строке условно изображено возрастание или убывание функции на промежутке (по знаку первой производной), и выпуклость или вогнутость кривой (по знаку второй производной).

6. Ищем наклонную асимптоту:

,

.

Кривая на промежутке [0, +∞) имеет наклонную асимптоту .

Строим вертикальную x = 2 и наклонную y = 2x асимптоты, а затем по данным таблицы строим график исследуемой функции на промежутке [0, +∞), который затем продолжаем на промежуток (-∞, 0) симметрично относительно центра системы координат.

Исчисление

— Почему вы должны выполнять полиномиальное длинное деление, чтобы найти наклонные асимптоты рациональных функций?

Вам не «нужно» делать деление в большую сторону; но это быстрый способ попытаться понять это, когда вы имеете дело с рациональными функциями.

По сути, наклонная асимптота — это прямая $y=ax+b$, $a\neq 0$, обладающая тем свойством, что $\lim_{x\to\infty}(f(x)-(ax+b) ) = 0$. Это то же самое, что проверить, что $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) = b$.

Проблема в том, что вы заранее не знаете значение $a$. Как мы можем найти возможное значение $a$? Итак, если $f(x)$ приближается к $ax+b$, то $\frac{f(x)}{x}$ приближается к $a + \frac{b}{x}$, что переходит в $ a$ как $x\to\infty$. То есть:

$\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$ существует, только если $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = a$.

Доказательство. Если $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) = b$, то $\lim_{x\to\infty}(f(x)-(ax+b))=0$ , поэтому $\lim_{x\to\infty}(\frac{f(x)}{x} — a — \frac{b}{x}) = 0$.

Поскольку $\lim_{x\to\infty}(a+\frac{b}{x}) = a$, предел разности существует тогда и только тогда, когда $\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{x}$ существует и равен $a$. $\Box$

Итак: мы можем сначала проверить, существует ли $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$; если это так и равно $a$, тогда мы можем проверить, существует ли $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$; если это так и равно $b$, то мы заключаем, что $\lim_{x\to\infty}(f(x) — (ax+b)) = 0$, поэтому $y=ax+b$ является асимптота к $f(x)$.

Если ни один из этих пределов не существует, то наклонной асимптоты нет.

Примечание: это работает для всех видов функций , а не только рациональных.

Теперь, в свете этого, что происходит с рациональной функцией? Что ж, если $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, вы сначала попробуете сделать $\lim_{x\to\infty}\frac{p(x)}{xq (x)}$ и посмотреть, существует ли он; если он есть и равен $a$, то вы проверяете $\lim_{x\to\infty}(\frac{p(x)}{q(x)} — ax)$ и смотрите, существует ли он; и если да, то вы получите асимптоту.

Но можно сократить путь: $\lim_{x\to\infty}\frac{p(x)}{xq(x)}$ существует тогда и только тогда, когда $\deg(xq(x))\geq \deg(p(x))$, которое выполняется тогда и только тогда, когда $\deg(q(x))+1\geq \deg(p(x))$. Поскольку случаи с $\deg(q)\geq \deg(p)$ уже известны (они дают горизонтальные асимптоты), можно ограничиться случаем $\deg(q)=\deg(p)-1$. Но в этом случае, выполняя деление в длину, мы можем выразить $\frac{p(x)}{q(x)}$ как $ax+b + \frac{r(x)}{q(x)}$ (с $r(x)$ — многочлен степени, строго меньшей, чем $q(x)$, так что дробь стремится к $0$ при $x\to\infty$), и в этом случае сразу видно, что $f( x)$ приближается к $ax+b$ как $x\to\infty$.

То есть: вам на самом деле не нужно делать ограничения в этом случае, вам просто нужно заниматься алгеброй.

То, что вы предлагаете делить оба числа на наивысшую степень $x$ в знаменателе, не определяет и $a$, и $b$. Фактически, это обнаруживает только горизонтальных асимптот. Поскольку вы умножаете на $1$, вы просто вычисляете $\lim_{x\to\infty} f(x)$. Это существует тогда и только тогда, когда $f(x)$ приближается к горизонтальной линии $y=b$ (то есть $a=0$).

Очевидно, что те же аргументы работают и для $x\to-\infty$.

Нахождение наклонных асимптот

что это
специальный план
означает?

Бросьте предмет высоко над Землей, и он будет падать все быстрее и быстрее — какое-то время.

Действительно, поскольку ускорение свободного падения примерно равно $\frac{9,8 \text{ метров в секунду}}{\text{секунда}}\,$,
его скорость первоначально увеличивается примерно на 9,8 м/с каждую секунду.

Но скорость не увеличивается.
Благодаря силам трения он достигает так называемой «предельной скорости».

Если вы математически смоделируете пройденное расстояние в зависимости от времени, вы увидите наклонную асимптоту.

Когда они «вырастают», все больше и больше напоминая «наклонную» линию (т. е. не горизонтально и не вертикально)
тогда говорят, что функция имеет наклонную асимптоту .

Как обсуждалось во Введении в асимптоты, асимптота есть кривая (обычно линия) что другая кривая делает сколь угодно близкой к когда $\,x\,$ приближается к $\,+\infty\,$, $\,-\infty\,$ или к конечному числу. Вот как это общее определение «специализируется», чтобы получить наклон асимптота: Наклонная асимптота — это невертикальная, негоризонтальная линия . что другая кривая произвольно приближается к когда $\,x\,$ приближается к $\,+\infty\,$ или $\,-\infty\,$. Что является ключом к ситуации с наклонной асимптотой? Выходы ведут себя все больше и больше как $\,y = mx + b\,$ для $\,m\ne 0\,$ поскольку входные данные становятся сколь угодно большими (большими и положительными или большими и отрицательными). В этом разделе дается точное обсуждение наклонных асимптот, 90 037 а также условия, при которых рациональная функция имеет наклонную асимптоту.

Красная линия представляет собой наклонную асимптоту для синей кривой. Как $\,x\стрелка вправо\infty\,$, синяя кривая приближается к красной линии.

Условия, при которых $\,y = mx + b\,$ ($\,m\ne 0\,$)
— наклонная асимптота для функции $\,f\,$

Пусть $\,f\,$ — нелинейная функция.
То есть $\,f(x)\,$ есть , а не вида $\,f(x) = cx + d\,$ для любых действительных чисел $\,c\,$ и $\,d \, $.

Пусть $\,m \ne 0\,$.
Прямая $\,y = mx + b\,$ является наклонной асимптотой для $\,f\,$
если и только если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• как $\,x\стрелка вправо\infty\,$, $\,f(x) — (mx + b) \стрелка вправо 0\,$
• как $\,x\стрелка вправо -\infty\,$, $\,f(x) — (mx + b) \стрелка вправо 0\,$

То есть расстояние по вертикали между прямой $\,y = mx + b\,$ и графиком $\,f\,$ стремится к нулю, когда $\,x\rightarrow\infty\,$ или $\,x\rightarrow -\infty\,$ (или оба).

• Функция может иметь не более двух наклонных асимптот.
  Он может приближаться к одной строке как $\,x\rightarrow\infty\,$, а к другой строке как $\,x\стрелка вправо -\infty\,$.
• Функция может иметь наклонную асимптоту и горизонтальную асимптоту.
  Например, он может приближаться к горизонтальной линии как $\,x\стрелка вправо\infty\,$, и наклонная линия как $\,x\стрелка вправо -\infty\,$. 9{-х}\стрелка вправо 0} \конец{собрать} $$ Таким образом, $\,y = 3x\,$ (красная линия справа) является наклонной асимптотой для $\,f\,$.

  Пример:

  
  Рациональная функция с наклонной асимптотой;
  степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя 92 — 4х — 5}{х — 3}\,$.

  Когда $\,x\,$ велико, выходные данные $\,R(x)\,$ выглядят как $\,\frac{\text{big}}{\text{big}}\,$, что не очень полезно.
  Как обычно, мы переименуем функцию в , чтобы лучше понять, что происходит, когда $\,x\,$ является большим :

  Ключ в том, чтобы сделать длинное деление:

  9{\text{эта часть стремится к нулю}}} $$

  Обратите внимание, что как $\,x\стрелка вправо\pm\infty\,$,   $\displaystyle\,\frac{-8}{x-3}\стрелка вправо 0\,$.

  Таким образом, по мере того, как входные данные становятся большими, функция все больше и больше становится похожей на строку $\,y = x — 1\,$.
  Таким образом, $\,y = x — 1\,$ является наклонной асимптотой для функции $\,R\,$.

  	$x$	$-$ 92$	$-$	$3x$	$)$
  			$-x$	$-$	$5$
  		$-($	$-x$	$+$	$3)$
  					$- 8$

  График функции $\,\color{blue}{R}\,$ (синим цветом), вместе с наклонной асимптотой $\,\color{red}{y = x — 1}\,$ (выделено красным), показан справа. 91\,$ появиться в частном $\,x — 1\,$? Дело в том, что степень числителя на единицу больше степени знаменателя! Это ключевой ингредиент для определения того, имеет ли рациональная функция наклонную асимптоту. (Есть пара других технических требований, которые указаны ниже.)

  Итак, имеем:

  Условия, при которых
  рациональная функция имеет наклонную асимптоту

  Пусть $\,N(x)\,$ и $\,D(x)\,$ — многочлены, так что $\displaystyle\,R(x) = \frac{N(x)}{D(x)}\,$ — рациональная функция.

  Функция $\,R\,$ имеет наклонную асимптоту при выполнении следующих условий:

  • $\deg{N(x)} = \deg{D(x)} + 1$
    (степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя)
  • $\deg{N(x)} \ge 2$
    (числитель не менее квадратичен)
  • при делении $\,D(x)\,$ на $\,N(x)\,$ остаток не равен нулю
  • Почему мы требуем, чтобы $\deg{N(x)}\ge 2\,$?
    Обратите внимание, что $\displaystyle \,y = \frac{x-1}{3}\,$ — рациональная функция, поскольку и числитель, и знаменатель — многочлены.
    Степень числителя $\,1\,$.
    Степень знаменателя $\,0\,$.

    No related posts.