Накрест лежащие углы односторонние углы соответственные углы: Трапеция: свойства, признаки, площадь, средняя линия

Трапеция: свойства, признаки, площадь, средняя линия

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

,

,

,

.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

,

.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

,

.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

,

,

,

.

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что

Пусть

Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что сумма углов и равна

Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.

как смежные. Значит,

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:

Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой

На прямой от точки В отложим отрезок равный отрезку AH

по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна например

Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна

Мы получили, что

AF — биссектриса угла А,

BF — биссектриса угла В, поэтому

тогда

Из треугольника AFB получим, что

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора,

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,

Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.

по двум углам.

Отсюда ;

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.

Значит, и – внутренние односторонне углы.

Отсюда

Ответ:

 

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна

Это значит, что

AК — биссектриса угла А,

BК — биссектриса угла В, поэтому

тогда

Из треугольника AKB получим, что

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е.

по гипотенузе и острому углу

Аналогично, по гипотенузе и острому углу

Получили:

Тогда ;

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что Найдите Ответ дайте в градусах.

Решение:

и – это внутренние односторонние углы,

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.

Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.

и – это односторонние углы, а значит, они равны:

Ответ:

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если Ответ дайте в градусах.

Решение:

как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна

Для треугольника на рисунке:

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 и 45 Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

и – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ, их сумма равна

Тогда

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD,

и – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ. Их сумма равна значит,

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: тогда – равнобедренный, в нем Значит,

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, то есть

Углы и – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

по свойству односторонних углов.

Итак,

тогда

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

и – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

и и секущей BC; их сумма равна

BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и

Значит

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

и – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей BC, их сумма равна

Значит,

– ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ.  Угол между стороной и диагональю ромба равен Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. 

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна

Тогда Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в и равный половине гипотенузы, т. е.

Отсюда

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.

По условию,

и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых

и и секущей BC. Их сумма равна

Получили:

Сложив два уравнения, получим: тогда

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол трапеции равен 30 Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, и Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен

Нам дана трапеция, в которой Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .

и параллельны, BD секущая, тогда

Ответ: 70.

Задание 4.

 В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит,

как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.

Получили, что – равнобедренный и

значит

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если Ответ дайте в градусах.

Решение:

(как накрест лежащие углы).

(развернутый угол).

Тогда

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.

и параллельны, АС – секущая,

– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

 

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Теорема о накрест лежащих углах / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Теорема о накрест лежащих углах

Теорема

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано: , АВ — секущая, 1 и 2 — накрест лежащие (Рис.1).

Доказать: 1 =2.

Доказательство:

Предположим,что углы 1 и 2 не равны друг другу. Отложим от луча АВ угол РАВ, равный углу 2, так, чтобы

РАВ и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых АР и секущей АВ (Рис.2).

По построению накрест лежащие углы РАВ и 2 равны, значит АР (по признаку параллельности двух прямых). То есть мы получили, что через точку А проходят две прямые и АР, параллельные прямой . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше предположение неверно и 1 = 2. Что и требовалось доказать.

Следствие

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

 Дано: , (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:

Прямая пересекает прямую , при этом , значит пересекает и прямую (смотри следствие 2⁰ из аксиомы параллельных прямых). При пересечении параллельных прямых и секущей образуются равные накрест лежащие углы: 1 =2 (по теореме о накрест лежащих углах). По условию , т.е. 1 = 90⁰, значит и 2 = 90⁰ , т.е. . Что и требовалось доказать.

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 204, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 210, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 374, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 605, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 625, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 861, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1069, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Внутренние углы с одной стороной — определение, теорема, примеры

Внутренние углы с одной стороной — это два угла, которые находятся внутри (между) двух прямых и, в частности, на одной стороне поперечной. Внутренние углы одной стороны в сумме составляют 180 градусов. При пересечении двух параллельных прямых поперечной они образовали 4 внутренних угла. Два несмежных внутренних угла, лежащих по одну сторону от секущей, являются дополнительными.

Теорема об односторонних внутренних углах Теорема об обратном преобразовании внутренних углов одной стороны

1.	Что такое внутренние углы с одной стороны?
2.	.
3.
4.	Часто задаваемые вопросы об односторонних внутренних углах

Что такое внутренние углы с одной стороны?

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Односторонние внутренние углы — это пара несмежных внутренних углов, лежащих по одну сторону от секущей.

Таким образом, внутренние углы одинаковых сторон:

• не имеют общих вершин или имеют разные вершины
• лежать между двумя линиями
• и формируется на той же стороне поперечной

«Внутренние углы одной стороны» также известны как «совместные внутренние углы».

Сформированные таким образом 8 углов классифицируются по различным типам углов, перечисленных ниже:

• Альтернативные внутренние углы
• Соответствующие углы
• Альтернативные внешние углы
• Внутренние углы с одной стороны или совмещенные внутренние углы

На данном рисунке линия AB || CD и прямая l является секущей.

Из «Внутренних углов одной стороны — определение» пары внутренних углов одной стороны на рисунке выше:

• 4 и 5
• 3 и 6

Внутренние углы одной стороны Теорема

Рассмотрим приведенный выше рисунок. На приведенном выше рисунке прямые AB и CD параллельны, а L — поперечной. Мы только что прочитали, что пары внутренних углов с одной и той же стороной на приведенном выше рисунке равны:

• ∠4 и ∠5
• ∠3 и ∠6

Отношение между внутренними углами одной и той же стороны определяется теоремой о внутреннем угле одной и той же стороны.

Теорема для «теоремы об одном и том же внутреннем угле» утверждает: Если секущая пересекает две параллельные прямые, каждая пара односторонних внутренних углов является дополнительной (их сумма равна 180°).

Внутренние углы одной стороны Доказательство теоремы

Еще раз обратимся к приведенному выше рисунку:

∠4 = ∠8 и ∠3 = ∠7 [соответствующие углы равны].
∠5 + ∠8 = 180° и ∠6 + ∠7 = 180° [линейная пара углов].

Из двух предыдущих уравнений
∠4 + ∠5 = 180°
Аналогично, ∠3 + ∠6 = 180°

Отсюда доказано, что каждая пара односторонних внутренних углов является дополнительной.

Обращение внутренних углов одной стороны Теорема

Теорема, обратная теореме об одностороннем внутреннем угле, утверждает, что если секущая пересекает две прямые так, что пара односторонних внутренних углов является дополнительной, то эти две прямые параллельны.

Обратное преобразование внутренних углов одной стороны Доказательство теоремы

Учитывая тот же рисунок выше,
Предположим, что

∠4 + ∠5 = 180° ⇒ (1)

Поскольку ∠5 и ∠8 образуют линейную пару,

∠5 + ∠8 = 180° ⇒ (2)

Из (1) и (2),

∠4 = ∠8

Таким образом, пара соответствующих углов равна, что может произойти только в том случае, если две прямые параллельны.

Таким образом, доказана обратная теорема о внутреннем угле той же стороны.

Важные примечания

Ниже приведены важные моменты, относящиеся к внутренним углам одной стороны.

• Односторонние внутренние углы несмежны и образованы на одной стороне поперечной.
• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда внутренние углы с одинаковыми сторонами являются дополнительными.

☛ Статьи по теме

Ознакомьтесь с этими интересными статьями, чтобы узнать больше о внутренних углах с одной и той же стороной и связанных с ними темах.

• Сегмент линии
• Линии и углы. Основные термины
• Формула параллельных линий
• Дополнительные уголки
• Пересекающиеся и непересекающиеся линии
• Параллельные линии

Часто задаваемые вопросы об односторонних внутренних углах

Почему внутренние углы с одной и той же стороной равны?

Внутренние углы с одинаковыми сторонами НЕ равны. Они являются дополнительными. Такие же боковые внутренние углы образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Внутренние углы с одинаковыми сторонами могут быть равны только тогда, когда каждый угол равен 90 градусов, потому что тогда сумма внутренних углов одной и той же стороны равна 180 градусам.

Смежны ли внутренние углы одной стороны?

Внутренние углы с одинаковыми сторонами всегда несмежны, потому что углы образованы на двух разных прямых, параллельных друг другу.

Чему равна сумма двух одинаковых боковых внутренних углов на поперечной?

При пересечении двух параллельных прямых секущей они образуют односторонние внутренние углы, сумма которых равна 180 градусам. Так как сумма внутренних углов одной и той же стороны равна 180 градусов, то углы являются дополнительными.

Чему равно обратное значение внутренних углов одной стороны?

Обратное значение внутреннего угла с одной и той же стороной утверждает, что если две прямые пересекаются секущей, а внутренние углы с одной и той же стороны являются дополнительными, или мы можем сказать, что сумма внутренних углов с одной и той же стороны равна 180 градусам, то прямые равны говорят параллельны.

Каково другое название внутренних углов одной стороны?

Внутренние углы с одной и той же стороной также известны как последовательные внутренние углы, поскольку углы находятся на одной стороне поперечной, но внутри двух параллельных линий.

В чем разница между одинаковыми боковыми внутренними углами и одинаковыми боковыми внешними углами?

При пересечении двух параллельных прямых поперечной линией образовалось 8 углов. Внутренние углы с одинаковыми сторонами — это углы внутри параллельных прямых по одну сторону от секущей, а внешние углы с одинаковыми сторонами — это углы вне параллельных прямых по ту же сторону от секущей.

В чем разница между внутренними углами одной стороны и соответствующими углами?

Разница между внутренними углами одной стороны и соответствующими углами состоит в том, что соответствующие углы равны, тогда как в случае внутренних углов одной стороны сумма внутренних углов одной стороны равна 180 градусам, только если поперечная линия пересекает две параллельные линии.

Соответствующие углы — определение, теорема, примеры

Соответствующие углы — это один из видов углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Они формируются в соответствующих углах или соответствующих углах с поперечной.

Соответствующие углы имеют важные применения в области математики и физики. Понимание соответствующих углов также полезно при решении задач, связанных с геометрией, таких как нахождение неизвестных углов или определение соответствия между фигурами и т. д.

1.	Что такое соответствующие углы?
2.	Как найти соответствующие углы?
3.	Теорема о соответствующих углах
4.	Часто задаваемые вопросы о соответствующих углах

Что такое соответствующие углы?

Соответствующее определение углов говорит нам, что когда две параллельные прямые пересекаются третьей (поперечной), известно, что углы, которые занимают одно и то же относительное положение при каждом пересечении, являются соответствующими углами друг к другу.

Согласно геометрии и определению соответствующих углов, мы можем сказать, что:

• Линии 1 и 2 параллельны. Таким образом имеем две параллельные линии
• Прямая 3 пересекает прямые 1 и 2. Таким образом, у нас есть секущая.
• Из диаграммы видно, что углы 1 и 2 занимают одинаковое взаимное положение — верхние правые боковые углы в области пересечения.

Следовательно, наше соответствующее определение углов кажется оправданным. Следовательно, можно сказать, что углы ∠1 и ∠2 являются соответствующими углами.

Соответствующие углы Определение

Мы определяем соответствующие углы математически следующим образом: «Пара углов, образованная двумя параллельными прямыми и секущей, называется соответствующими углами тогда и только тогда, когда

• один из них внутренний, а другой внешний
• они находятся на одной стороне поперечной и
• они не в одной вершине»

По этому определению углы ∠1 и ∠2 на приведенном выше рисунке образуют пару соответствующих углов. Соответственные углы НЕ всегда равны.

• Соответствующие углы, образованные секущей, пересекающей две «параллельные прямые», являются конгруэнтными углами.
• Когда секущая пересекает две «непараллельные прямые», соответствующие углы НЕ равны.

Как найти соответствующие углы?

Мы знаем, что каждая точка пересечения имеет 4 угла. Теперь каждый из четырех углов в первой области пересечения будет иметь еще один с таким же относительным положением во второй области пересечения.

Теперь мы разделим каждый из этих четырех углов на разные категории. Посмотрите в таблице ниже, чтобы лучше понять различные типы соответствующих углов.

Пара соответствующих углов	Местоположение
Углы 1 и 5	Верхний правый угол
Углы 2 и 6	Верхний левый боковой угол
Углы 3 и 7	Нижний правый угол
Уголки 4 и 8	Нижний левый боковой угол

Теорема о соответствующих углах

Согласно теореме о соответствующих углах утверждение « Если прямая пересекает две параллельные прямые, то соответствующие углы конгруэнтны (равны)» верно в любом случае. Эту теорему также называют «постулатом о соответствующих углах».

Теорема, обратная для соответственных углов

Теорема, обратная для соответствующих углов, будет выглядеть так: «Если соответствующие углы конгруэнтны, то две прямые называются параллельными» .

Важные замечания о соответствующих углах:

• При пересечении двух параллельных прямых третьей углы, занимающие одно и то же относительное положение при разных пересечениях, называются соответствующими друг другу углами.
• Соответствующие углы конгруэнтны друг другу.
• Если соответствующие углы в двух областях пересечения равны, то говорят, что две прямые параллельны.

☛Также проверьте: Соответствие углов Рабочие листы

 

Соответствующие углы Примеры

1. Пример 1: Вы когда-нибудь замечали высокое здание? В большинстве высотных зданий каждый из его этажей спроектирован точно так же, особенно стены дома на каждом этаже. Сравните соответствующие углы в таком случае.

   Решение:

   Давайте рассмотрим нижние плитки пола 1 как линию 1, а плитку пола 2 как линию 2. Теперь мы знаем, что линия 3 пересекает линии 1 и 2. На этом рисунке вы можете заметить геометрия соответствующих углов.

   Видите ли вы сходство между углами 1 и 2? Вы можете видеть, что углы 1 и 2 являются соответствующими углами. Мало того, что все этажи всегда строятся параллельно друг другу, можно сказать, что линии 1 и 2 параллельны.

   Ответ: Следовательно, ∠1 соответствует ∠2

2. Пример 2: Вы когда-нибудь замечали параллельные линии на железнодорожных путях? Есть несколько пересечений различных меньших линий с двумя основными параллельными линиями пути. Сравните углы, образованные пересечением.

   Решение:

   Видите ли вы какое-либо сходство между понятиями равных углов и углов 1 и 2 на приведенной ниже диаграмме? Вспомните определение, которое мы использовали для соответствующих углов, чтобы соответствовать нашим углам, показанным здесь.

   Как видите, если мы считаем, что линии пути параллельны, то углы 1 и 2 можно считать соответствующими углами. Таким образом, если угол 1 равен 90 градусов, то угол 2 также будет равен 90 градусам.

   Ответ: Следовательно, ∠1 соответствует ∠2 и угол 1 = угол 2 = 90 градусов.

3. Пример 3: Вы когда-нибудь встречали две параллельные улицы? Обычно между двумя улицами есть соединительная дорога, которая также пересекает ее. Теперь попробуйте связать углы, образуемые улицей в каждой точке пересечения, с двумя параллельными дорогами.

   Решение:

   Примените наше определение соответствующих углов к углам, показанным здесь. Вы увидите, что по нашему определению эти углы совпадают!

   Мало того, что все улицы всегда построены параллельно друг другу, мы также можем сказать, что углы, находящиеся на одних и тех же относительных позициях на улицах, всегда будут соответствующими углами.

   Ответ: Следовательно, углы, образованные параллельными улицами, являются соответствующими углами.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по соответствующим углам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о соответствующих углах

Что означают соответствующие углы в геометрии?

Соответствующие углы в геометрии определяются как углы, которые образуются при соответствующих углах при пересечении двух параллельных прямых секущей. т. е. два угла называются соответствующими углами если:

• углы лежат в разных углах
• лежат на одной (соответствующей) стороне поперечной
• один угол внутренний, а другой внешний угол

Какие бывают два типа соответствующих углов?

В соответствии с определением соответствующих углов, мы можем классифицировать соответствующие углы далее на два типа, перечисленных ниже:

• Соответствующие углы — по поперечным и параллельным линиям: Образующиеся соответствующие углы конгруэнтны.
• Соответствующие углы — поперечными непараллельными прямыми: Образуемые соответствующие углы не равны.

Сумма соответствующих углов равна 180?

Соответствующие углы НЕ должны постоянно составлять 180 градусов. В некоторых случаях, когда оба угла по 90 градусов каждый, сумма будет 180 градусов. Эти углы называются дополнительными соответственными углами.

Что такое альтернативные и соответствующие углы?

Альтернативные углы — это углы, которые находятся в относительно противоположных положениях друг к другу; в то время как соответствующие углы — это углы, которые находятся в относительно одинаковых положениях друг к другу.

Могут ли соответствующие углы быть последовательными внутренними углами?

Никакие соответствующие углы не могут считаться последовательными внутренними углами, поскольку последовательные внутренние углы — это углы, лежащие по одну сторону от поперечной, но находящиеся внутри двух параллельных прямых.