Натуральные целые и рациональные числа: Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные

Содержание

Числа натуральные целые рациональные иррациональные алгебраические трансцендентные. Трансцендентное число. Отрывок, характеризующий Трансцендентное число

Илья Щуров

Математик Илья Щуров о десятичных дробях, трансцендентности и иррациональности числа Пи.

Как «единица» помогла построить первые города и великие империи? Как вдохновляла выдающиеся умы человечества? Какую роль в появлении денег она сыграла? Как «единица» объединилась с нулем, чтобы править современным миром? История единицы неразрывно связана с историей европейской цивилизации. Терри Джонс отправляется в юмористическое путешествие с целью собрать воедино удивительную историю нашего самого простого числа. С помощью компьютерной графики в этой программе единица оживает в самых различных испостасях. Из истории единицы становится ясно, откуда появились современные числа, и каким образом изобретение нуля спасло нас от необходимости сегодня использовать римские цифры.

Жак Сезиано

Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом.

Георгий Шабат

Программа курса: История. Первые оценки. Проблема соизмеримости длины окружности с ее диаметром. Бесконечные ряды, произведения и другие выражения для π. Сходимость и ее качество. Выражения, содержащие π. Последовательности, быстро сходящиеся к π. Современные методы вычисления π, использование компьютеров. Об иррациональности и трансцендентности π и некоторых других чисел. Предварительных знаний для понимания курса не требуется.

Ученые из Оксфордского университета заявили, что самым ранним известным употреблением цифры 0 для обозначения отсутствия значения разряда (как в числе 101) следует считать текст индийского манускрипта Бахшали.

Василий Писпанен

Кто не играл в детстве в игру «назови самое большое число»? Миллионы, триллионы и прочие «-оны» представить в уме уже сложно, но мы с вами попробуем разобрать «мастодонта» в математике — число Грэма.

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема.

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших.

Трансцендентное число

число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение) с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам (См. Алгебраическое число). Существование Т. ч. впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраическое число

а удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа с зависит только от α ).

Поэтому, если для заданного иррационального числа α можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому неравенству ни при каких с и n (одних и тех же для всех приближений), то α есть Т. ч. Пример такого числа даёт:

Другое доказательство существования Т. ч. дал Г. Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраических чисел счётно (то есть все алгебраические числа могут быть перенумерованы; см. Множеств теория), тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Отсюда следовало, что множество Т. ч. несчётно, и далее, что Т. ч. составляют основную массу среди множества всех чисел.

Важнейшая задача теории Т. ч. — это выяснение того, являются ли Т. ч. значения аналитических функций, обладающих теми или иными арифметическими и аналитическими свойствами при алгебраических значениях аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач современной математики. В 1873 Ш. Эрмит доказал, что Неперово число

В 1882 немецкий математик Ф. Линдеман получил более общий результат: если α — алгебраическое число, то е α — Т. ч. Результат Липдемана был значительно обобщён немецким математиком К. Зигелем (1930), доказавшим, например, трансцендентность значения широкого класса цилиндрических функций при алгебраических значениях аргумента. В 1900 на математическом конгрессе в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешенных проблем математики указал на следующую: является ли трансцендентным числом

α β , где α и β — алгебраические числа, причём β — иррациональное число, и, в частности, является ли трансцендентным число е π (проблема трансцендентности чисел вида α β была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлер ом, 1744). Полное решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось получить лишь в 1934 А. О. Гельфонд у. Из открытия Гельфонда, в частности, следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (то есть «табличные логарифмы») суть Т. ч. Методы теории Т. ч. прилагаются к ряду вопросов решения уравнений в целых числах.

Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое «Трансцендентное число» в других словарях:

Число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число??3,14159…; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е=2,71828… и др … Большой Энциклопедический словарь

— (от лат. transcendere переходить, превосходить) это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами. Содержание 1 Свойства 2… … Википедия

Число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число π = 3,14159…; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828. .. и др … Энциклопедический словарь

Число, не удовлетворяющее никакому алгебр. ур нию с целыми коэффициентами. Т. ч. являются: число ПИ = 3,14159…; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828… и др … Естествознание. Энциклопедический словарь

Число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Областью определения таких чисел являются ноля действительных, комплексных и р адических чисел. Существование и явные построения действительных Т. ч. обосновал Ж. Лиувилль… … Математическая энциклопедия

Уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение это уравнение … Википедия

Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

E математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

Слово «трансцендентный» обычно ассоциируется с трансцендентальной медитацией и разнообразной эзотерикой. Но чтобы употреблять его правильно, нужно как минимум отличать его от термина «трансцендентальный», а как максимум — вспомнить его роль в работах Канта и других философов.

Это понятие произошло от латинского transcendens — «переступающий», «превосходящий», «выходящий за пределы». В целом он обозначает то, что принципиально недоступно для эмпирического познания или не основано на опыте. Предпосылки термина возникли еще в философии неоплатонизма — основатель направления Плотин создал учение о Едином — всеблагом первоначале, которое невозможно познать ни усилием мысли, ни с помощью чувственного опыта. «Единое не есть сущее, но родитель его» — объясняет философ.

Полнее всего термин «трансцендентный» был раскрыт в философии Иммануила Канта, где он использовался для характеристики , существующих независимо от сознания и действующих на наши органы чувств, оставаясь при этом принципиально непознаваемыми, как на практике, так и в теории. Противоположность трансцендентности — : она означает либо неотъемлемость, внутреннюю связь какого-либо качества объекта с самим объектом, либо познаваемость объекта на личном опыте. Например, если предположить, что Вселенная создана по какому-то высшему замыслу, сам замысел для нас трансцендентен — мы можем только строить гипотезы о нем. Но если этот замысел существует в действительности, его последствия для нас имманентны, проявляясь в физических законах и обстоятельствах, в которые мы попадаем. Поэтому в некоторых теологических концепциях Бог трансцендентен и находится вне созданного им бытия.

Некоторые вещи-в-себе все же доступны априорному познанию: например, пространство и время, идеи Бога, добра и красоты, логические категории. То есть трансцендентальные объекты — это, образно говоря, «предустановленные по умолчанию» в нашем разуме

Представление о трансцендентности существует и в математике: трансцендентное число — это число, которое не может быть вычисленным при помощи алгебры или выраженным алгебраически (то есть, не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами, не тождественного нулю). В их число входят, например, числа π и e.

Понятие, близкое к «трансцендентному», но иное по значению — «трансцендентальное». Изначально оно обозначало просто область отвлеченных умственных категорий, а впоследствии его развил Кант, попав в собственную ловушку: построить философскую систему только на эмпирических данных оказалось невозможно, а никаких других источников опыта, кроме эмпирики он не признавал. Чтобы выкрутиться, философу пришлось допустить, что некоторые вещи-в-себе все же доступны априорному познанию: например, пространство и время, идеи Бога, добра и красоты, логические категории. То есть трансцендентальные объекты — это, образно говоря, «предустановленные по умолчанию» в нашем разуме — при этом информация о них существует сама по себе и не следует из нашего опыта.

Существует и еще одно родственное понятие — трансценденция. В широком смысле слова оно означает переход границы между двумя разнородными областями, в особенности переход из сферы посюстороннего в сферу потустороннего, трансцендентного. Для простоты возьмем пример из фантастики: параллельный мир для обычного человека — трансцендентное явление. Но когда герой попадает в этот параллельный мир или каким-то образом оказывается способен его воспринимать, это трансценденция. Или более сложный пример из экзистенциальной философии: Жан-Поль Сартр считал, что человек трансцендентен, поскольку он выходит за рамки любого возможного собственного опыта: мы можем изучать себя и окружающий мир с разных сторон, но никогда даже не приблизимся к полному познанию себя. Но одновременно человек обладает способностью к трансценденции: он трансцендирует любую вещь, придавая ей какое-либо значение. Трансценденция — важный элемент и в религии: она помогает человеку освободиться от своей материальной природы и прикоснуться к чему-то запредельному.

Из философии понятие трансцендентальности перекочевало и в психологию: швейцарский психолог Карл Юнг ввел понятие «трансцендентальная функция» — это функция, объединяющая сознательное и бессознательное. В частности, трансцендентальную функцию может выполнять психоаналитик — он помогает пациенту проанализировать образы бессознательного (например, сновидения) и связать их воедино с сознательными процессами в его психике.

Как говорить

Неправильно «Я записалась на занятия по трансцендентной медитации». Правильно — «трансцендентальной».

Правильно «Когда я захожу в храм, я испытываю чувство слияния с чем-то трансцендентным».

Правильно «Искусство трансцендирует знакомые нам предметы из материального мира, наполняя их высшим смыслом».

Трансцендентное число — комплексное число, не являющееся алгебраическим, то есть не являющееся корнем никакого отличного от нуля многочлена с рациональными коэффициентами.

Существование трансцендентных чисел впервые установил Ж. Лиувилль в 1844 г.; он же построил первые примеры таких чисел. Лиувилль заметил, что алебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными числами . Именно, теорема Лиувилля гласит, что если алгебраическое число является корнем многочлена степени с рациональными коэффициентами, то для любого рационального числа справедливо неравенство

где постоянная зависит только от. Из этого утверждения следует достаточный признак трансцендентности: если число таково, что для любой постоянной существует бесконечное множество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенствам

то трансцендентно. Впоследствии такие числа получили название чисел Лиувилля. Примером такого числа является

Другое доказательство существования трансцендентных чисел было получено Г. Кантором в 1874 г. на основе созданной им теории множеств. Кантор доказал счётность множества алгебраических чисел и несчётность множества действительных чисел, откуда следует, что множество трансцендентных чисел несчётно. Однако, в отличие от доказательства Лиувилля, эти рассуждения не позволяют привести пример хотя бы одного такого числа.

Работа Лиувилля дала начало целому разделу теории трансцендентных чисел — теории приближения алгебраических чисел рациональными или, более общо, алгебраическими числами. Теорема Лиувилля усиливалась и обобщалась в работах многих математиков. Это позволило построить новые примеры трансцендентных чисел. Так, К. Малер показал, что если — непостоянный многочлен, принимающий целые неотрицательные значения при всех натуральных, то для любого натурального число, где — запись числа в системе счисления с основанием, является трансцендентным, но не является числом Лиувилля. Например, при и получаем следующий изящный результат: число

трансцендентно, но не является числом Лиувилля.

В 1873 г. Ш. Эрмит, используя другие идеи, доказал трансцендентность неперова числа (основания натурального логарифма):

Развив идеи Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность числа, тем самым поставив точку в древней проблеме о квадратуре круга: с помощью циркуля и линейки невозможно построить квадрат, равновеликий (то есть имеющий ту же площадь) данному кругу. Более общо, Линдеман показал, что при любом алгебраическом число трансцендентно. Эквивалентная формулировка: для любого алгебраического числа, отличного от и, его натуральный логарифм является трансцендентым числом.

В 1900 г. на конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешённых проблем математики указал на следующую, в частной форме сформулированную ещё Л. Эйлером :

Пусть и — алгебраические числа, причём трансцендентным? В частности, трансцендентны ли числа и?

Эта проблема может быть переформулирована в следующей форме, близкой к оригинальной формулировке Эйлера:

Пусть и — алгебраические числа, отличные от и, причём отношение их натуральных логарифмов иррационально. Будет ли число трансцендентным?

Первое частичное решение проблемы было получено в 1929 г. А. О. Гельфондом, который, в частности, доказал трансцендентность числа. В 1930 г. Р. О. Кузьмин усовершенствовал метод Гельфонда, в частности, ему удалось доказать трансцендентность числа. Полное решение проблемы Эйлера-Гильберта (в утвердительном смысле) было получено в 1934 г. независимо А. О. Гельфондом и Т. Шнайдером.

А. Бейкер в 1966 обобщил теоремы Линдемана и Гельфонда-Шнайдера, доказав, в частности, трансцендентность произведения произвольного конечного количества чисел вида и с алгебраическими при естественных ограничениях.

В 1996г. Ю.В. Нестеренко доказал алгебраическую независимость значений рядов Эйзенштейна и, в частности, чисел и. Это означает трансцендентность любого числа вида, где отличная от нуля рациональная функция с алгебраическими коэффициентами. Например, трансцендентной будет сумма ряда

В 1929-1930 гг. К. Малер в серии работ предложил новый метод доказательства трансцендентности значений аналитических функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям определённого вида (впоследствии такие функции получили название функций Малера).

Методы теории трансцендентных чисел нашли применение и в других разделах математики, в частности в теории диофантовых уравнений.

Натуральные, целые и рациональные числа – Opiq

Peatükk 1.1 (Математика 10)
Понятие числа начало формироваться тысячи лет назад, совершенствуясь и обогащаясь вместе с развитием человеческой цивилизации. Уже в древнем обществе возникла необходимость сравнивать множества, что стало возможным посредством счета элементов этих множеств. Так возникло первое из изученных нами в школьном курсе числовых множеств – множество N натуральных чисел:
N = {0; 1; 2; 3; …}.
Поскольку число 0 не столь естественным образом возникает при счете предметов, то неудивительно, что это число было введено в употребление значительно позднее. Только в VII веке индийскими математиками были сформулированы правила пользования числом 0.
Нами изучены четыре основных действия с натуральными числами. Это сложение и умножение, а также обратные к ним действия – вычитание и деление.
Задание 1. Натуральные числа
№
a
b
a + b
a · b
a – b
a : b
1.
3
7
10
21
–4
\frac{3}{7}
2.
3.
4.
5.
6.
Из предыдущего задания мы видим, что разность 3 – 7 не является натуральным числом. Таким образом, зная только натуральные числа, нельзя выполнить вычитание во всех случаях. Отсюда вытекает необходимость дополнения множества натуральных чисел такими числами, которые позволяли бы всегда выполнять вычитание в полученном более широком множестве чисел. Это становится возможным, если ввести в употребление числа, противоположные натуральным.
Для натурального числа n противоположное число –n мы определяем таким образом, что
n + (–n) = 0.
Натуральные числа вместе с противоположными им числами образуют множество Z целых чисел:
Z = {…; – 2; –1; 0; 1; 2; …}.
Отдельно рассматривают также множество Z⁺ положительных целых чисел:
Z⁺ = {1; 2; 3; . ..}
и множество Z^– отрицательных целых чисел:
Z^– = {…; –3; –2; –1}.
Таким образом,
Z = Z^– ∪ {0} ∪ Z⁺ и   N ⊂ Z  (рис. 1.1).
Рис. 1.1
В результате введения противоположных чисел действие вычитания можно рассматривать как сложение (а разность – как сумму):
a – b = a + (–b).
Так как для всякого целого числа существует противоположное ему число, то действие вычитания на множестве целых чисел всегда выполнимо – разность любых двух целых чисел всегда является целым числом.
Целые числа подразделяются еще на четные и нечетные. Целое число, делящееся на 2, называется четным числом. Taкое число представляется в виде 2n, где n ∈ Z. Нечетные, т. е. не делящиеся на 2, числа можно преставить в виде 2n + 1, гдe n ∈ Z.
Задание 2. Целые числа
№
a
b
a + b
a · b
a – b
a : b
1.
3
7
10
21
–4
\frac{3}{7}
2.
3.
4.
5.
6.
Из только что решенного задания вытекает, что частное от деления целых чисел не обязательно целое число. Если число a делится на число b (b ≠ 0), то частное является целым числом, в противном же случае оно оказывается дробным числом ab. Если a и b – числа одного знака, то эта дробь положительна, если разного знака, то отрицательна.
Дополнив множество целых чисел дробными числами, мы получим новое числовое множество, в котором всегда выполнимо и действие деления (кроме деления на нуль). Все целые числа, а также все положительные и отрицательные дробные числа вместе образуют множество Q рациональных чисел (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Поскольку всякое целое число можно представить в виде частного \frac{a}{b} (например, -5=-\frac{10}{2}; 0=\frac{0}{2}), то мы можем дать теперь следующее определение:
рациональным числом называется всякое число, которое можно представить в виде дроби ab, где a ∈ Z, b ∈ Z и b ≠ 0.
При изучении дробей мы уже пользовались следующими понятиями:
обыкновенная дробь: ab (a ∈ N, b ∈ N и b ≠ 0),
правильная дробь: ab (a ∈ N, b ∈ N, b ≠ 0 и a < b),
неправильная дробь: ab (a ∈ N, b ∈ N, b ≠ 0 и a ≥ b),
смешанное число: сумма натурального числа и правильной дроби: 2\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2},
десятичная дробь: дробь, которая записывается при помощи запятой, где первая цифра после запятой означает число десятых, вторая цифра – число сотых и т. д.: 3,75=3+\frac{7}{10}+\frac{5}{100}.
Одно и то же число может быть представлено несколькими различными способами: 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5.
Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. При этом результатом деления может быть:
в первом случае конечная десятичная дробь:
\frac{51}{40}=1,275;
во втором случае получающиеся при делении остатки начинают с некоторого момента повторяться, и возникает бесконечная периодическая десятичная дробь:
\frac{17}{6}=17\ :\ 6=2,833…=2,8\left(3\right).
Поскольку всякая конечная десятичная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби (1,275 = 1,27500… = 1,275(0)), то можно сказать, что:
всякое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Имеет место и обратное утверждение:
всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью рационального числа.
Пример.
Выразим бесконечную периодическую десятичную дробь x = 1,2(43) в виде обыкновенной дроби, т. е. в виде частного от деления двух целых чисел.
Решение.
a и 1a являются взаимно обратными числами.
Упражнения A
Задание 3. Натуральные, целые и рациональные числа
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
Задание 4.
Дроби
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
–1,5
1212
40
-75
21,01
10005
12,5
–15
-23
47
15
–40
2,3
0,005
Задание 5.
Натуральные, целые и рациональные числа
натуральными числами;
ни целыми числами, ни обыкновенными дробями;
целыми числами;
ни натуральными числами, ни десятичными дробями.
Задание 6. Натуральные, целые и рациональные числа
не являются целыми числами;
не являются целыми положительными числами;
являются рациональными числами;
являются целыми числами.
Задание 7. Натуральные, целые и рациональные числа
Всякое натуральное число является целым числом.
Всякое рациональное число является целым числом.
Ни одно целое число не является рациональным числом.
Любое натуральное число положительно.
Существуют рациональные числа, не являющиеся целыми числами.
Существуют натуральные числа, не являющиеся рациональными числами.
Существуют целые числа, являющиеся натуральными числами.
Существует натуральное число, не являющееся положительным.
Всякая обыкновенная дробь является целым числом.
Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
Существуют обыкновенные дроби, являющиеся целыми числами.
Существует правильная дробь, являющаяся натуральным числом.
Задание 8.
Противоположные и обратные числа
Ответ:  число, противоположное сумме чисел 7 и –13, есть  .
Ответ: для чисел 7 и –13 разность противоположных им чисел есть .
Ответ: для чисел 7 и –13 число, обратное их разности, равно .
Ответ: для чисел 7 и –13 сумма обратных им чисел есть .
Ответ: для чисел 7 и –13 частное от деления разности обратных им чисел на сумму противоположных им чисел есть .
Ответ: для чисел 7 и –13 произведение суммы противоположных им чисел на разность обратных им чисел есть .
Задание 9. Перевод обыкновенной дроби в десятичную
716 =
8180 =
-925 =
79 =
23 =
-518 =
Задание 10. Представление десятичной дроби в виде частного от деления двух целых чисел
0,(5) =
1,34(5) =
0,4(12) =
0,(9) =
1,(4) =
0,7(5) =
2,2(34) =
3,(9) =
Упражнения Б
Задание 11.
Конечная или бесконечная десятичная дробь?
\frac{7}{16}
\frac{81}{80}
-\frac{9}{25}
\frac{7}{9}
\frac{2}{3}
-\frac{5}{18}
У каких дробей знаменатели имеют своими простыми делителями лишь степени чисел 2 и 5?
Какие несократимые дроби выражаются конечными десятичными дробями, а какие нет?
Обоснуйте высказанную в пункте 2 гипотезу. Для этого изучите следующий пример:
\frac{3}{40}=\frac{3}{2\cdot2\cdot2\cdot5}=\frac{3\cdot5\cdot5}{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5}=\frac{75}{1000}=0,075
Задание 12. Представление десятичной дроби в виде частного от деления двух целых чисел
0,(7) = ,
0,(76) =  и
0,(765) = .
Сформулируйте правило преобразования в обыкновенную дробь аналогичных бесконечных периодических десятичных дробей.
Задание 13. Представление десятичной дроби в виде частного от деления двух целых чисел
0,2(5) = ;
0,2(54) = ;
0,2(543) =  и
0,12(54) = .
Сформулируйте правило преобразования в обыкновенную дробь аналогичных десятичных дробей.
Типы действительных чисел — натуральные, целые, целые, рациональные и иррациональные числа
Система действительных чисел
В математике числа классифицируются по типам в системе действительных чисел.
Системы счисления могут быть подмножествами других систем счисления.
Итак, число может иметь больше, чем 1 тип .
Чистый как грязь? ☺ Что ж, давайте узнаем больше, чтобы было понятнее!
Натуральные числа
Когда мы впервые научились считать, мы начали с 1, 2, 3, 4… и продолжали учиться, пока не дошли до миллионов и триллионов, верно? Эти счетные числа (1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000, 1 000 000…∞) называются натуральными числами.
Целые числа
Вы заметили, что чего-то не хватает в натуральных числах? Да, цифра 0! Хороший улов! Добавьте это к натуральным числам (0,1,2,3……∞), и вы получите целые числа!
Итак, как видите, натуральные числа — это подмножество целых чисел.
Кроме того, обратите внимание, что числа 1,2, 3… являются одновременно натуральными и целыми числами?
0 — это всего лишь целое число, а не натуральное число.
Целые числа
Целые числа включают все целые числа (0), а также отрицательные числа натуральных чисел: так (∞…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4 , …∞).
Итак, давайте еще раз посмотрим на шаблон –
Все натуральные числа являются целыми числами и целыми числами
Все целые числа являются целыми числами
Отрицательные числа являются только целыми числами
Рациональные числа
Эти числа включают все вышеперечисленное (натуральные, целые, целые числа) ПЛЮС некоторые типы дробей/десятичных чисел .
Итак, что же делает дроби/десятичные дроби рациональными?
Дробь x/y, где числитель x – целое число (…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,…) , а знаменатель y – натуральное число ( 1, 2, 3,4) рационально.
Точно так же десятичная дробь, которая не повторяется (например, ¼ = 0,25, ¾ = 0,75), также является рациональной. Их также называют завершающими десятичными знаками.
Итак, рациональные числа могут выглядеть так:
(∞…,-4, -3,5, -3, -2¾, -2, -1½, -1, 0, 0,88, 1, 1¼, 2, 2,38, 3 , 3.91, 4, 4¼, …∞)
Иррациональные числа
Иррациональное число — это действительное число , которое нельзя записать в виде простой дроби . Другими словами, это десятичное число , которое никогда не заканчивается и не имеет повторяющегося шаблона 9.0011 .
Десятичная дробь, которая постоянно повторяется, является хорошим примером этого.
Самый известный пример иррационального числа — Π или пи .
Π — отношение длины окружности к ее диаметру.
Хотя его можно приблизить к 3,14159, фактическое значение Π начинается только с 3,14159. Последнее известное рекордное вычисление Π составляет до 2,7 ТРИЛЛИОНОВ цифр!
Помните также, что это бесконечных цифр без повторяющегося шаблона .
Источник изображения: Википедия
Что еще более важно — Π = 3,14159 нельзя выразить дробью!
22/7 — это приближение, которое мы используем для расчетов.
Таким образом, Π не может быть выражено в виде дроби, десятичные цифры продолжают идти вечно и не повторяются в образце. Это делает его иррациональным числом!
Другим хорошим примером является √2 или квадратный корень из 2.
Если вычислить его значение, оно приблизительно равно 1,41421356237309.50…
Это также не может быть выражено в виде дроби, и поэтому иррационально
Другие примеры — √3, √5, √7, √11 и т. д.…
Автор
Последние сообщения
Дивья Почимчерла
Как соучредитель STEAMism и TimeforAI, Дивья представляет собой творческую силу с миллионом идей, проносящихся в ее голове в любой момент. Она целеустремленная и любознательная — участвует во многих инициативах, в том числе является волонтером в детском музее Thinkery и волонтером Teen Court.. Она любит спорить, писать, учиться, общаться с другими и наставничество.
Последние сообщения Дивья Почимчерла (посмотреть все)
Определения, свойства, примеры и часто задаваемые вопросы
Целые числа — это группы чисел, которые определяются как объединение положительных и отрицательных чисел, а ноль называется целым числом. «Целое число» происходит от латинского слова, которое означает «целый» или «неповрежденный». Целые числа не включают дроби и десятичные числа.
Что такое целое число?
Если построен набор полностью натуральных чисел, целых чисел и отрицательных чисел, то такой набор называется целым набором. Он может быть положительным, отрицательным или нулевым. Для примера 2, 5, -9, -17, 112 и т. д.
Определение целых чисел
Целые числа включают положительные числа, отрицательные числа и ноль. Целые числа представлены символом Z таким образом, что
Z = {… -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Положительные числа: Числа больше нуля называются положительными числами. Пример: 1, 2, 3 4 . . .
Отрицательные числа: Числа меньше нуля называются отрицательными числами. Пример: -1, -2, -3 -4. . .
Ноль (0) не является ни положительным, ни отрицательным.
Представление целых чисел в числовой строке
Числовая строка используется для визуального представления чисел с помощью линии. Положение любого числа можно легко определить с помощью числовой линии. В числовой строке центр представляет ноль, положительные числа включаются в правую часть, а отрицательные числа — в левую.
Операции над целыми числами
Мы можем выполнять различные операции с целыми числами, основные операции с целыми числами:
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Сложение целых чисел
Сложение целых чисел аналогично нахождению суммы двух целых чисел. Прочитайте правила, обсуждаемые ниже, чтобы найти сумму целых чисел.
Правила сложения целых чисел
Используйте следующие правила для выполнения сложения целых чисел.
Если оба целых числа имеют одинаковые знаки:
Мы складываем абсолютные значения обоих целых чисел, и к ответу добавляется знак любого целого числа.
Если оба целых числа имеют разные знаки:
Находим разницу между абсолютными значениями обоих целых чисел и к ответу добавляется знак целого числа с большим абсолютным значением.
Пример. Сложите указанные целые числа:
3 + (-9)
(-5) + (-11)
Решение:
3 + (-9) = -6
(-5) + (-11) = -16
90 019
Вычитание Целые числа
Вычитание целых чисел аналогично нахождению разницы между двумя целыми числами. Прочитайте правила, обсуждаемые ниже, чтобы найти разницу между целыми числами.
Правила вычитания целых чисел
Используйте следующие правила для выполнения вычитания целых чисел.
Изменен знак вычитаемого и изменена операция на сложение.
Используйте правило сложения, чтобы найти дальнейший результат.
Пример. Сложите указанные целые числа:
3 – (-9)
(-5) – (-11)
Решение:
3 – (- 9) = 3 + 9 = 12
(-5) – (-11) = -5 + 11 = 6
Умножение целых чисел
Умножение целых чисел выполняется по правилу:
Когда оба целых числа имеют одинаковый знак, произведение положительно.
Если оба целых числа имеют разные знаки, произведение отрицательное.
9030 2 +
Произведение знака Результирующий знак Пример
(+) × (+) 9 × 3 = 27
(+) × (–) – 9 × (-3) = -27
(–) × (+) – (-9) × 3 = -27
(–) × (–) + (-9) × (-3) = 27
Деление целых чисел
Деление целых чисел выполняется по правилу:
Когда оба целых числа имеют одинаковый знак, деление положительное.
Если оба целых числа имеют разные знаки, деление отрицательное.
903 02 +
Разделение знака Результирующий знак Пример
(+) ÷ (+) 9 ÷ 3 = 3
(+) ÷ (–) – 9 ÷ (-3) = -3
(–) ÷ (+) – (-9) ÷ 3 = -3
(–) ÷ (–) + (-9) ÷ (-3) = 3
Свойства целых чисел свойства целых чисел:
Замыкающее свойство
Ассоциативное свойство
Коммутативное свойство
Распределительное свойство
Свойство идентичности
Аддитивное обратное
Мультипликативное обратное
Свойство замыкания
Свойство замыкания целых чисел утверждает, что если два целых числа сложить или умножить вместе, их результат всегда будет целым числом. Для целых чисел p и q
p + q = целое число
p x q = целое число
Пример:
(-8) + 11 = 3 (целое число)
(-8) × 11 = -88 ( Целое число)
Коммутативное свойство
Переместительное свойство целых чисел утверждает, что для двух целых чисел p и q
p + q = q + p
p x q = q x p
Пример:
(- 8) + 11 = 11 + (-8 ) = 3
(-8) × 11 = 11 × (-8) = -88
Но свойство коммутативности неприменимо к вычитанию и делению целых чисел.
Ассоциативное свойство
Ассоциативное свойство целых чисел утверждает, что для целых чисел p, q и r
p + (q + r) = (p + q) + r
p × (q × r) = (p × q) × r
Пример:
5 + (4 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
5 × (4 × 3) ) = (5 × 4) × 3 = 60
Распределительное свойство
Распределительное свойство целых чисел утверждает, что для целых чисел p, q и r
p × (q + r) = p × q + p × r
Например, докажите: 5 × (9 + 6) = 5 × 9 + 5 × 6
RHS = 5 × 9 + 5 × 6
= 45 + 30
= 75
Таким образом, LHS = RHS Доказано.
Свойство идентичности целых чисел
Целые числа содержат элементы идентичности как для сложения, так и для умножения. Операция с элементом Identity дает те же целые числа, такие как
p + 0 = p
p × 1 = p
Здесь 0 — это аддитивная идентичность, а 1 — мультипликативная идентичность.
Аддитивное обратное
Каждое целое число имеет свою аддитивную обратную. Аддитивное обратное — это число, которое в дополнение к целому числу дает аддитивную идентичность. Для целых чисел аддитивная идентичность равна 0. Например, возьмите целое число p, тогда его аддитивная инверсия равна (-p), так что
p + (-p) = 0.
Обратный мультипликатив
Каждое целое число имеет свой обратный мультипликатив. Мультипликативное обратное — это число, которое при умножении на целое число дает мультипликативную идентичность. Для целых чисел мультипликативное тождество равно 1. Например, возьмите целое число p, тогда его мультипликативное обратное значение равно (1/p), так что
p × (1/p) = 1.
Также проверьте
Rational Число
Иррациональное число
Решенный пример для целых чисел
Пример 1. Можем ли мы сказать, что 7 является одновременно целым и натуральным числом?
Решение:
Да, 7 — это и целое, и натуральное число.
Пример 2. Является ли 5 целым и натуральным числом?
Решение:
Да, 5 — это и натуральное, и целое число.
Пример 3. Является ли 0,7 целым числом?
Решение:
Нет, это десятичное число.
Пример 4. Является ли -17 целым или натуральным числом?
Решение:
Нет, -17 не является ни натуральным, ни целым числом.
Пример 5. Распределите данные числа по категориям: целые числа, целые числа и натуральные числа,
-3, 77, 34,99, 1, 100
Решение: 90 011
9 0298
Числа Целые числа Целые числа Натуральные числа 900 11
-3 да нет нет
77 9030 3 да да да
34,99 нет нет нет
1 да да да
100 да да да 9030 3
Часто задаваемые вопросы о целых числах
Вопрос 1: Что такое целые числа?
Ответ:
Объединение нулей, натуральных чисел и их аддитивных инверсий называется целыми числами. Математически он обозначается символом Z.
Вопрос 2: Что такое последовательные целые числа?
Ответ:
Последовательные целые числа — это целые числа, расположенные рядом друг с другом на числовой прямой. Разница между двумя последовательными целыми числами равна «1».
Вопрос 3: Напишите примеры целых чисел.
Ответ:
Примеры целых чисел -1, -9, 0, 1, 87 и т. д.
Вопрос 4: Какие существуют типы целых чисел?
Ответ:
Существует три различных типа целых чисел:
Ноль
Положительные целые числа
Отрицательные целые числа быть отрицательным?
Ответ:
Да, целые числа могут быть отрицательными. Отрицательные целые числа — это -1, -4 и -55 и т.
No related posts.