Необходимый и достаточный признак сходимости числового ряда: Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть.

=

    [критерий Коши ] Необходимое и достаточное условие сходимости ряда: для любого > 0 существует натуральное число N = N ( ), так что 3 , поэтому N , for all positive integers p , the following inequality holds:

[Необходимое условие сходимости рядов] Необходимым условием сходимости рядов является то, что общий член a _n стремится к нулю, то есть a _n =0.

    2. Метод различения сходимости рядов одного и того же числа (1)

с (2)                               

представляют собой два ряда с одинаковым знаком (то есть ряды с одинаковым знаком для каждого элемента, когда все они положительные, они называются рядами с положительными членами), и показан метод оценки сходимости таких рядов в следующей таблице.

Сходимость, затем ряд со сменой знака (то есть ряд, в котором положительные и отрицательные члены могут появляться произвольно)

(4)

также сходится, и ряд (4) называется абсолютно сходящимся.

Если ряд (4) сходится, а ряд (3) расходится, то (4) называется условно сходящимся (неабсолютно сходящимся).

Для определения абсолютной сходимости ряда необходимо только применить указанный выше критерий сходимости рядов одного знака к ряду с положительными членами . Но мы должны быть осторожны с критерием дивергенции. Хотя ряд расходится, ряд все же может быть сходящимся (не абсолютно сходящимся), за исключением метода Коши и метода Даламбера.

Сумма абсолютного сходящегося ряда равна сумме всех положительных членов ряда за вычетом суммы абсолютных значений всех отрицательных членов ряда.

    [теорема Римана]  задается как .

    [Метод различения Даллембелла]  Если ряд со сменой знака удовлетворяет условию0032 l < 1 , сходится абсолютно; при l > 1 расходится.

    [ Leibniz discriminant ]     If the interleaved series

Satisfy the condition: ( i ) c _n c _{n +1} ( n =1,2,(ii) c _n = 0, то ряд сходится (вообще говоря, неабсолютная сходимость) . Для серии остаток

There are the following estimates:

And the sign of the remainder is the same as that of the first item, and its absolute value is smaller чем абсолютное значение первого элемента.

    [критерий Дирихле ]   Если частичная сумма A _n = ограниченная, а когда n , b _n монотонно стремится к нулю, то ряд сходится .

[Метод дискриминанта Абелиана], если серия сближается и номера B _N 33333233.23333.10033 2 2 ( 2 (33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333н. последовательность:

| б _н | К   ( n =1 ,2 ,)

Тогда ряд сходится .

2. The discriminant method for the convergence of function term series

    1. Convergence and Uniform Convergence

[ Convergence and Convergence Region ]   Assuming that u _n ( x ) ( n = ) — это все функции , определенные на определенном интервале [ a , b ] , тогда он называется

— ряд функциональных терминов , определенных в [ a , b ] . Если частичная сумма каждой точки на интервале [ A , B ]

S _N ( x ) =

, когда n 333333333 гг. S ( x ), т.е.0032 x )

Затем, как называется серия функций, сходящейся на интервале [ A , B ], это функция S (, Sum S (. , а интервал [ a , b ] является областью сходимости .

r _n ( 0022

называется остаток. Очевидно, что в каждой точке x сходящейся области имеется

r _n ( x )=0

То есть для любой данной точки > 9003 на области сходимости [ a , b ] имеется натуральное число N ( , x ) (размер N связан не только с данным положительным числом , And it is related to the value of x ) , so that when n N , there are

| r _n ( x )|< или | |<

[ Непротиворечивая сходимость ]   Пусть ряд функций

сходится для каждой точки интервала [ a , b ], сумма которых равна S ( x ).

Если для данного 0 существует натуральное число N ( ), которое связано только со значением , но не связано со значением n 3 , то когда N , неравенство

| r _n ( x )|< или | |<

Для всех x на [ a , b ] верно, то говорят, что ряд функций сходится равномерно на отрезке [ 9003 3 b 0 2, 90 32 a 90] , то есть частичная сумма S _n ( x ) сходится равномерно к сумме ряда S ( х ).

Из определения униформы сходящегося, что можно увидеть, что не сходятся в функции. b ] выше, чем на [ a , b ] сходимости точка-точка. Функциональный член, равномерно сходящийся на некотором интервале [ a , b ] Ряд сходится по точкам на [ a , b ] , но ряд функциональных членов, которые сходятся по точкам на интервале [ a , b ] не сходится обязательно сходятся равномерно на [ a , b ].

    2. Критерий равномерной сходимости

    Необходимые и достаточные условия равномерной сходимости ряда по [критерию Коши] на отрезке [ A , B ]:

Для любого данного > 0, существует , натуральный номер N = N ( 3 3 . but not related to x , such that when n N , the inequality

It holds for all natural numbers p и все точки x на отрезке [ a , b ].

    [ Weierstrass Discrimination Method ]   For series , if there is a convergent numerical series , such that for all points x on the interval [ a , b ] , the inequality

, то ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [ A , B ]

[Абеляйский дискриминант] Если серия равномерно сходится в интервале [ A , B ], функциональная последовательность {(333, B ], функциональная последовательность {(333, B ], функциональная последовательность {(333, B ]. на каждые x и ограничен для любых x и N: 9008 |

, то ряд

( x )

Сходится последовательно на интервале [ a , b ] .

[Тест Дирихлета] Если частичная сумма серии ограничена для любых x и N:

. Последовательность функций { V 9003

. Последовательность { V 9008

. Последовательность { V 9008

. Последовательность { V _{9003 9003}

. x )} (для каждого x ) — монотонная последовательность, равномерно стремящаяся к нулю на интервале [ а , б ]. Тогда ряд

( x )

сходится последовательно на интервале [ a , b ].

3 . Действие функционального ряда и его условия

Три, двойная серия

[Double Series] Известный бесконечный набор чисел, определяемых двумя натуральными числами. Такая матрица называется бесконечной матрицей с двумя индексированными элементами.

называется двойной серией.

Ограничено первыми m строками и первыми n столбцами с учетом конечной суммы чисел

Эта сумма называется частичной суммой двойного ряда .

Если существует двойной предел

А =

Этот предел конечен или бесконечен (но имеет определенный положительный или отрицательный знак), то этот предел называется суммой двойного ряда, обозначается как

А =

Ряд называется сходящимся, если он имеет конечную сумму, в противном случае он называется расходящимся .

Необходимым условием сходимости двойного ряда является стремление общего члена к нулю, т. е. серия строк

Затем сложите все серии строк (сначала по столбцу, а затем по строке), то есть

Называется накопительный ряд. Если элементы данной бесконечной матрицы складывать по строкам, а затем по столбцам, получается второй тип кумулятивного ряда

, то кумулятивный ряд называется сходящимся и имеет сумму . Если совокупный лимит

=

, то кумулятивный ряд называется сходящимся и имеет сумму .

    [ Связь между двойным рядом и накопительным рядом ]  Если (i) сходится двойной ряд и (ii) сходится ряд-строка, то накопительный ряд сходится и имеет ту же сумму, что и двойной ряд

= А =

Аналогичные результаты получены для второго типа кумулятивных рядов (ср. 1, 3, 2).

    [ Положительный ряд ]

    1   , то необходимым и достаточным условием сходимости ряда является его частичная суммируемость и ограниченность .

2 SET, если три серии

,

, если один из серий сходится, то две другие серии также сходится и имеют ту же сумму.

    3 Пусть двойной ряд и простой ряд состоят из одних и тех же терминов. В этом случае сходимость одного ряда может быть выведена из сходимости другого, и суммы двух равны.

    [Абсолютно сходящийся ряд ]

    1 Если ряд, состоящий из абсолютных значений членов ряда, сходится, то этот ряд также сходится.

Если ряд сходится, то последний ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если ряд сходится, но ряд расходится, то итоговый ряд называется условно сходящимся рядом.

    2 Если ряд  абсолютно сходится, то все ряды строк (или столбцов) абсолютно сходятся . Кроме того, ряд, составленный из суммы ряда строки (или столбца), также абсолютно сходится и имеет то же самое, что и двойной ряд. и .

    3  Если двойной ряд и простой ряд составлены из одних и тех же членов, то абсолютная сходимость одного из них может быть выведена из абсолютной сходимости другого, и сумма двух равна.

    4 абсолютно сходящихся двойных ряда коммутативны , то есть ряд по-прежнему сходится после произвольного изменения порядка суммирования и имеет ту же сумму, что и исходный ряд .

    5 Если  ряд абсолютных значений кумулятивного ряда является сходящимся рядом, то сходится не только сам кумулятивный ряд, но и кумулятивный ряд, и сумма двух равна .

    6 Если простой ряд  абсолютно сходится, то после произвольного расположения его членов в виде бесконечной матрицы с двумя индексированными элементами ряд можно заменить кумулятивным рядом или .

Основные концепции и свойства двойной серии могут быть распространены на несколько серий.

4. Бесконечный продукт

    [базовая концепция]   набор

is a given infinite sequence , then the notation

= , q _n 0 ( n =1, )    

называется бесконечным произведением.

называется частичным произведением. Если последовательность частичных произведений { P _n } имеет конечный или бесконечный (но определенный положительный или отрицательный знак) предел в виде N

P _N = P

Затем P называется стоимостью продукта Infinite, Denotled

P. _n 0 ( N = 1,)

Если это не является неэнергетическим значением P333333333 годы, это не наносит на себя неэнергетическое значение P 33333, это не наносит на себя неэнерге. называется расходящимся. Если P = 0, называется расходящейся от нуля.

Чтобы ценность бесконечного произведения равнялась нулю, достаточно, чтобы один из множителей произведения был равен нулю. В последующем обсуждении всегда предполагается, что q _n 0 ( n =1, ).

называется копроизведением бесконечных произведений.

[ Критерий сходимости бесконечного продукта ]

Необходимое условие сходимости 1 бесконечного произведения: 

_m =1 or q _n =1

where _m = .

    Необходимое и достаточное условие сходимости 2 бесконечного произведения : ряд сходится . Пусть L сумма предыдущего ряда, тогда P = e ^L .

    3 Let q _n   =1+ a _n ( n =1,2,) , for a sufficiently большое n , если есть a _n >0 (или a _n <0) , то = необходимые и достаточные условия сходимости: Числа сходятся .

    4   = Сходимость, если ряд и ряд сходятся одновременно.

    Достаточным и необходимым условием для того, чтобы 5 бесконечное произведение или имело нулевое значение, является то, что сумма ряда или равна .

В частности, бесконечный продукт имеет нулевое значение, если <0 _и серии Divergings, или I.

     Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости бесконечного произведения является абсолютная сходимость ряда.

.0008

Сходимость равномерная, а предел не всегда равен нулю, то бесконечное произведение функциональных членов называется

Сходится сходится .

Если он сходится равномерно на некотором интервале и , то бесконечное произведение также сходится равномерно на этом интервале .

    [ Бесконечное расширение продукта ]

₃₀₀₀₈

   ( | x | <1)

(где является константой Эйлера)

(где P пробегает по всем основным числам, ( x ) называется Riemann ).

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Унифицированные критерии сходимости для итеративных банаховозначных методов с приложениями

1. Введение

Многочисленные приложения из математики, экономики, техники, физики, химии, биологии и медицины, среди прочих, могут быть смоделированы следующим образом:

с оператором F:Ω⊆T1→T2, действующим между T1 и T2, которые являются банаховыми пространствами, тогда как Ω непусто. Вот почему определение решения, обозначенного x* уравнения (1), имеет чрезвычайно важное значение. Однако в целом задача эта трудна. В идеале желательно, чтобы x* был в закрытой форме, но эта задача решается лишь в некоторых случаях. Практики и исследователи прибегают в основном к итерационным методам, генерируя последовательность, аппроксимирующую x* при определенных условиях на исходных данных. Наиболее популярными одношаговыми методами являются следующие:

Ньютона [1,2]

Секанс [3]

где [.,.;F]:Ω×Ω⟶L(T1,T2).

Штеффенсена [4]

для T1=T2 и λ1,λ2 — параметры.

Ньютона [5,6,7,8]

где Am=A(xm),A:Ω⟶L(T1,T2).

Stirling’s [9]

где T1=T2 и G(y)=y−F(y) используются для нахождения неподвижных точек уравнения x=G(x).

Пикар [10,11]

Многочисленные другие одношаговые методы можно найти в [12,13,14] и ссылках в них.

Ясно, что все предыдущие методы можно записать единым образом следующим образом:

где φ:Ω×Ω×Ω⟶T1 и x−1,x0,x1∈Ω.

Обычно мы изучаем два типа сходимости итерационных методов. Локальная сходимость использует информацию о x * для нахождения радиусов шаров сходимости. Полулокальная использует информацию об x0, которая гарантирует сходимость к x*. Достаточные критерии сходимости этих методов были предоставлены многими авторами [2,12,13].

При полулокальном изучении этих методов возникают следующие общие вопросы (Q):

Q1

Можно ли расширить область сходимости, поскольку она в общем случае мала?

Q2

Могут ли оценки на ∥xm−x*∥,∥xm+1−xm∥ стать более точными? В противном случае мы вычисляем больше итераций, чем должны, чтобы достичь заранее определенной устойчивости к ошибкам.

Q3

Можно ли ослабить критерии сходимости?

Q4

Можно ли уточнить местонахождение раствора?

Q5

Существует ли единый способ изучения одноэтапных методов?

Q6

Существуют ли единые критерии сходимости для одношаговых методов?

Новизна нашей статьи в том, что мы отвечаем положительно на все эти вопросы (Q) без дополнительных условий.

Чтобы иметь дело с одношаговыми методами, мы сначала рассмотрим следующую итерацию:

где ψ:[0,∞)×[0,∞)×[0,∞) — функция, связанная с начальными данными. Задача выбора ψ так, чтобы последовательность {tn} была мажорирующей для всех перечисленных выше методов, вообще говоря, очень сложна.

Определим частный случай последовательностей (9) следующим образом:

для каждого m=1,2,…, где α,β,γ,a¯i,b¯i,ai,bi,i=1,2,…,6 — неотрицательные параметры. Мы покажем, что все мажорирующие последовательности, используемые для изучения предыдущих методов, являются специализациями {tm}, заданными (10).

Аналогично, в случае локальной сходимости мы показываем, что все предыдущие методы могут быть изучены с использованием следующей оценки:

где c1,c2,c3,d1,d2,d3 — неотрицательные параметры, em=∥xm−x*∥ и λm=c1em+c2em−1+c31−(d1em+d2em−1+d3).

Теперь мы предполагаем, что {tm} является мажорирующей последовательностью для {xn}. Напомним, что возрастающая вещественная последовательность {tm} является мажорирующей для последовательности {xm} в банаховом пространстве T1, если ∥xm+1−xm∥≤tm+1−tm для каждого m=0,1,2,… [11]. ]. Необходимы дополнительные условия, чтобы показать, что F(ρ)=0, где ρ:=limm⟶∞xm.

Статья содержит также полулокальную и локальную сходимость метода (10) в разделе 2. Численные эксперименты можно найти в разделе 3. Выводы представлены в разделе 4.

2. Мажорирующие последовательности и анализ сходимости

В этом разделе мы используем мажорирующую последовательность (10), чтобы сначала разобраться с анализом полулокальной сходимости для последовательности {xn}.

Приведем очень общие достаточные критерии сходимости последовательности (10).

Для последующего анализа сходимости удобно разрабатывать реальные функции, параметры и последовательности. Определим функции на интервале [0,1) для µ=t2−t1 следующим образом:

и последовательность

Предположим, что уравнения

и

имеют минимальные решения δ и λ соответственно в интервале (0,1), удовлетворяющие следующему:

Обратите внимание, что

и

Действительно, по определению последовательности {fi} и функции h мы, в свою очередь, получаем, добавляя и вычитая fi(t) (в определении fi+1(t)) следующее:

В частности, по определению δ и (20) получаем (21), так как h(δ)=0.

Далее покажем сходимость последовательности {tn} при условиях (17)–(19).

Далее мы специализируем a¯i,b¯i,ai,bi в некоторых интересных случаях, оправдывая уже заявленные преимущества.

Посмотрим, что получится в наших условиях. Предположим, что выполнены следующие условия (A):

Установить U=Ω∩U(x0,1ℓ0).

и

где ℓ¯=18(4ℓ0+ℓ0ℓ+8ℓ02+ℓ0ℓ).

Далее мы представляем нашу расширенную версию теоремы Ньютона–Канторовича 3.

Комментарии, подобные приведенным в предыдущих пяти замечаниях, могут быть сделаны для методов, следующих в этом разделе.

Случай   2:   Секущая   метод   [14] =b¯2, a¯3=a¯4=a¯5=a¯6=b3=b4=b5=b6=0,a1=a2 и b1=b2.

Ненулевые параметры снова связаны со следующим:

для каждого v1,v2∈Ω,

для каждого v1,v2,z,w∈V при условии, что

Стандартное условие, используемое в связи с методом секущих [14], следующее:

для каждого v1,v2,z,w∈Ω. Тогда у нас снова есть следующее:

и

Старая мажорирующая последовательность {un} [14] определяется следующим образом:

со следующими оценками:

Однако наша оценка следующая:

с соответствующими оценками

которые более жесткие, где

ℓ˜=ℓ0,k=0ℓ,k=1,2,…

Старый критерий достаточной сходимости [14] равен β+2ℓ1η≤1, а новый (для ℓ0=ℓ) β+2ℓη≤1, что слабее. Отсюда получаем полулокальную сходимость метода секущих.

Случай   3:   Ньютон-тип   метод   [8,16]

Выбрать: 2=0,а¯3=ℓ5,а¯4=а¯5=0,а¯6=ℓ6,а1=ℓ42,а2=0,а3=ℓ5,а4=а5=0,а6=ℓ6, b¯ 1=ℓ2,b¯2=0,b¯3=ℓ2,b¯4=b¯5=0,b¯6=ℓ3,b1=ℓ2,b2=0,b3=ℓ2,b4=b5=0 и b6=ℓ3.

Параметры связаны со следующим:

и

Установить V1=Ω∩U[x0,1−ℓ3ℓ2],ℓ2≠0,ℓ3∈[0,1).

и

Условия в [8,16] используют следующее:

и

У нас есть:

так

и

Старая мажорирующая последовательность {un} [8,16] определяется для u−1=0,u0=0,u1=η,σ1=max{ℓ7,ℓ8+ℓ2} по формуле

со следующими оценками:

Однако наша оценка для t−1=0,t0=0,t1=η,σ=max{ℓ4,ℓ5+ℓ2}

со следующими оценками:

Старый критерий достаточной сходимости [8,16] следующий:

Новый:

Однако σ≤σ1, так что снова условие C слабее, чем C1.

Отсюда получаем полулокальную сходимость метода типа Ньютона.

В нашем случае рассмотрим условия (D):

x*∈Ω является простым решением уравнения F(x)=0.

Установить V=Ω∩U(x*,1L0).

U(x*,R)⊂Ω, где R=22L0+L.

Те же преимущества можно получить и для других одноэтапных методов. Более того, наша идея может быть аналогичным образом распространена на многошаговые и многоточечные методы [4, 5, 13, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,33,34,35,36,37].

3. Численные эксперименты

Мы связываемся с некоторыми экспериментами, показывающими, что старые критерии сходимости не проверяются, а наши проверяются. Следовательно, нет уверенности в том, что методы сходятся в старых условиях. Однако при нашем подходе конвергенция может быть установлена.

4. Заключение

Мы привели единственный достаточный критерий полулокальной сходимости одношаговых методов. Специализируя задействованные параметры, мы показали, что, хотя наша мажорирующая последовательность является более общей, чем предыдущие, критерии сходимости слабее (т. е. полезность методов расширена), верхние оценки ошибки более точны (т. требуется несколько итераций для достижения заданной устойчивости к ошибкам), и у нас есть, самое большее, такой же маленький шарик, содержащий решение. Эти преимущества получены без дополнительных гипотез. В соответствии с нашей новой техникой мы находим более точную область, чем более ранние, содержащие итерации, что приводит к более точному условию Липшица (по крайней мере, такому же малому).

Наши теоретические результаты подтверждаются численными экспериментами. В будущем мы планируем расширить эти результаты, заменив константы Липшица обобщенными функциями в том же духе [2,12,13].

Финансирование

Это исследование не получило внешнего финансирования.

Заявление Институционального контрольного совета

Неприменимо.

Заявление об информированном согласии

Неприменимо.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Ссылки

1. Аргирос, И.К. сходимость и приложения итераций ньютоновского типа; Springer: Berlin, Germany, 2008. [Google Scholar]
2. Ezquerro, J.A.; Эрнандес, М.А. Метод Ньютона: обновленный подход теории Канторовича; Springer: Cham, Switzerland, 2018. [Google Scholar]
3. Шахно С.М.; Гнатышин О.П. Об итерационном алгоритме порядка 1,839… для решения нелинейных задач наименьших квадратов. заявл. Мат. Мат. 2005 , 161, 253–264. [Академия Google]
4. Штеффенсен, Дж. Ф. Замечания по итерации. Сканд Актуар Тидср. 1993 , 16, 64–72. [Google Scholar] [CrossRef]
5. Cătinaş, E. Неточные, неточные возмущенные и квазиньютоновские методы являются эквивалентными моделями. Мат. Комп. 2005 , 74, 291–301. [Google Scholar] [CrossRef]
6. Dennis, JE, Jr. О ньютоновоподобных методах. Число. Мат. 1968 , 11, 324–330. [Google Scholar] [CrossRef]
7. Nashed, MZ; Чен, X. Сходимость ньютоновских методов для сингулярных операторных уравнений с использованием внешних обратных. Число. Мат. 1993 , 66, 235–257. [Google Scholar] [CrossRef]
8. Ямамото, Т. Теорема сходимости для ньютоновоподобных методов в банаховых пространствах. Число. Мат. 1987 , 51, 545–557. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
9. Аргирос, И.К. Вычислительная теория итерационных методов; Серия: Исследования по вычислительной математике, 15; Чуи, С.К., Вуйтак, Л., ред.; Издательство Эльзевир. Co.: New York, NY, USA, 2007. [Google Scholar]
10. Канторович Л.В.; Акилов, Г.П. Функциональный анализ; Pergamon Press: Оксфорд, Великобритания, 19 лет.82. [Google Scholar]
11. Ортега, Дж. М.; Рейнбольдт, В.К. Итеративное решение нелинейных уравнений с несколькими переменными; Впервые опубликовано Academic Press, Нью-Йорк и Лондон, 1997 г. ; Публикации SIAM: Филадельфия, Пенсильвания, США, 2000. [Google Scholar]
12. Аргирос, И.К.; Магреньян, А.А. Итерационные методы и их динамика с приложениями; CRC Press: New York, NY, USA, 2017. [Google Scholar]
13. Аргирос, И.К.; Магреньян, А.А. Современное исследование итерационных методов; Elsevier Academic Press: New York, NY, USA, 2018. [Google Scholar]
14. Потра, Ф.А.; Птак, В. Недискретная индукция и итерационные процессы; Исследовательские заметки по математике, 103; Pitman (Advanced Publishing Program): Boston, MA, USA, 1984. [Google Scholar]
15. Argyros, IK; Хайлаут, С. Более слабые условия сходимости метода Ньютона. Дж. Комплекс. 2012 , 28, 364–387. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
16. Chen, X.; Ямамото, Т. Области сходимости некоторых итерационных методов решения нелинейных уравнений. Число. Функц. Анальный. Оптим. 1989 , 10, 37–48. [Google Scholar] [CrossRef]
17. Rheinboldt, W.C. Адаптивный процесс решения систем нелинейных уравнений; Банахов центр. Опубл. 3; Польская академия наук: Варшава, Польша, 1978; стр. 129–142. [Google Scholar]
18. Трауб, Дж. Ф. Итерационные методы решения уравнений; Chelsea: Prentice Hall, NJ, USA, 1964. [Google Scholar]
19. Behl, R.; Марою, П .; Мартинес, Э.; Сингх, С. Исследование локальной сходимости итерационного метода пятого порядка. Индийский J. Pure Appl. Мат. 2020 , 51, 439–455. [Google Scholar]
20. Deuflhard, P. Методы Ньютона для решения нелинейных задач. В аффинной инвариантности и адаптивных алгоритмах; Серия Springer по вычислительной математике, 35; Springer: Berlin, Germany, 2004. [Google Scholar]
21. Grau-Sánchez, M.; Грау, А.; Ногера, М. Методы типа Островского для решения систем нелинейных уравнений. заявл. Мат. вычисл. 2011 , 281, 2377–2385. [Google Scholar] [CrossRef]
22. Гутьеррес, Дж. М.; Магренан, А.А.; Ромеро, Н. О полулокальной сходимости метода Ньютона-Канторовича в условиях центра-Липшица. заявл. Мат. вычисл. 2013 , 221, 79–88. [Google Scholar] [CrossRef]
23. Магреньян, А.А.; Аргирос, И.К.; Райнер, Дж. Дж.; Сицилия, Дж.А. Шаровая сходимость ньютоновского метода шестого порядка на основе средних при слабых условиях. Дж. Матем. хим. 2018 , 56, 2117–2131. [Google Scholar] [CrossRef]
24. Magréñan, AA; Гутьеррес, Дж. М. Реальная динамика для демпфированного метода Ньютона, примененного к кубическим полиномам. Дж. Вычисл. заявл. Мат. 2015 , 275, 527–538. [Академия Google] [CrossRef]
25. Сулеймани, Ф.; Лотфи, Т .; Бахтиари, П. Многошаговый класс итерационных методов для нелинейных систем. Оптим. лат. 2014 , 8, 1001–1015. [Google Scholar] [CrossRef]
26. Аргирос, И. К. О гипотезе Ньютона—Канторовича для решения уравнений. Дж. Вычисл. Мат. 2004 , 169, 315–332. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
27. Аргирос, И.К.; Хайлаут, С. Об улучшенном анализе сходимости метода Ньютона. заявл. Мат. вычисл. 2013 , 225, 372–386. [Академия Google] [CrossRef]
28. Деннис, Дж. Э., младший; Шнабель, Р. Б. Численные методы безусловной оптимизации и нелинейных уравнений; Впервые опубликовано Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983; SIAM: Philadelphia, PA, USA, 1996. [Google Scholar]
29. Deuflhard, P.; Хайндл, Г. Аффинно-инвариантные теоремы сходимости для метода Ньютона и расширения связанных методов. СИАМ Дж. Нумер. Анальный. 1979 , 16, 1–10. [Google Scholar] [CrossRef]
30. Эскерро, Дж. А.; Гутьеррес, Х.М.; Эрнандес, Массачусетс; Ромеро, Н.; Рубио, М. Дж. Метод Ньютона: от Ньютона до Канторовича (испанский). Гак. Р. Соц. Мат. особ. 2010 , 13, 53–76. [Google Scholar]
31. Ортега, Дж. М.; Рейнбольдт, В.К. Итеративное решение нелинейных уравнений с несколькими переменными; Academic Press: New York, NY, USA, 1970. [Google Scholar]
32. Проинов П.Д. Общая теория локальной сходимости для одного класса итерационных процессов и ее приложения к методу Ньютона. Дж. Комплекс. 2009 , 25, 38–62. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
33. Проинов П.Д. Новая общая теория сходимости итерационных процессов и ее приложения к теоремам типа Ньютона-Канторовича. Дж. Комплекс. 2010 , 26, 3–42. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
34. Шахно С.М.; Якимчук Р.П.; Ярмола, Е.П. Анализ сходимости двухшагового метода решения нелинейной задачи квадратов с декомпозицией оператора. Дж. Нумер. заявл. Мат. 2018 , 128, 82–95. [Google Scholar]
35. Sharma, J.R.; Гуха, Р.К.; Шарма, Р. Эффективный взвешенный метод Ньютона четвертого порядка для систем нелинейных уравнений. Число. Алгоритмы 2013 , 62, 307–323. [Академия Google] [CrossRef]
36. Верма, Р. Новые тенденции в дробном программировании; Издательство Nova Science: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2019 г. [Google Scholar]
37. Забрейко П.П.; Нгуен, Д.Ф. Метод мажорант в теории приближений Ньютона-Канторовича и оценки ошибки Птака. Число. Функц. Анальный. Оптим. 1987 , 9, 671–684. [Google Scholar] [CrossRef]

Таблица 1. Сравнительная таблица критериев (30) и (31).

Таблица 1. Сравнительная таблица критериев (30) и (31).

d	ξ*	2H 1	2H
2. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт