Неравенств с модулем: Ничего не найдено для Ru Ege Materialy Matematika Uravneniya I Neravenstva S Modulem %23Sleva Modul Sprava Chislo

виды неравенств и способы их решения, примеры задач

Определение модуля

Определение 1

Модуль, или абсолютная величина, числа х в алгебре является самим числом «х» при x≥0 и числом «–х» при x<0:

|x|=x,  x≥0-x,  x<0

Модуль числа обладает следующими свойствами:

1. Модуль числа является неотрицательным числом: x≥0, x=0⇔x=0.
2. Противоположные числа обладают равными модулями: -x=x.
3. Модуль произведения из пары или более чисел равен произведению модулей этих чисел: x·y=x·y.
4. Модуль частного пары чисел равен частному модулей этих чисел: xy=xy, где у отличен от нуля.
5. Модуль суммы чисел в любом случае меньше по сравнению с суммой их модулей, либо равен сумме модулей данных чисел:x+y≤x+y.
6. Неизменяемый множитель, который больше нуля, допускается выносить за знак модуля: cx=c·x при c>0.
7. Квадрат модуля числа равен квадрату данного числа: x2=x2.

Виды неравенств с модулем

Определение 2

Неравенствами называют выражения, включающие в себя числа, либо выражения с переменной и записанные в виде:

a>b,a<b,a≤b и a≥b.

Пример 1

Пример неравенства:

x>5

Определение 3

Числовым называют такое неравенство, в котором a и b являются числами или числовыми выражениями.

Числовое неравенство представляет собой сравнение пары чисел. Смысл такой записи заключается в определении, какое из чисел больше или меньше по сравнению со вторым.

Виды числовых неравенств:

• верные;
• неверные.

Пример 2

Неравенство -5<2 является верным, так как в действительности -5 меньше по сравнению с числом 2.

Неравенство 17+3≥115 является неверным. Правая часть неравенства равна 20:

17+3=20

Число 20 меньше по сравнению с числом 115. Этот вывод противоречит записанному неравенству, что позволяет назвать его неверным.

Определение 4

Неравенством с переменной называют такое неравенство, которое содержит переменную.

При решении задач можно столкнуться с разными видами неравенств с переменными:

1. Линейное, с переменной в первой степени, например: 2x+1≥4(5-x).
2. Квадратное, с переменной, возведенной в квадрат, например: 3×2-x+5>0.
3. Логарифмическое, где переменная записана под знаком логарифма, например: log4(x+1)<3.
4. Показательное, переменная записана в показателе степени, как 2x≤85x-2.

Определение 5

Строгие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения > (больше) или < (меньше).

Пример 3

Пример строгого неравенства:

х>4

Заметим, что в случае строгого неравенства не допускается равенство между правой и левой частью выражения. По этой причине такие неравенства и называют строгими.

Определение 6

Нестрогие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения \geq (больше или равно) либо ≤ (меньше или равно).

Пример 4

Пример нестрого неравенства:

x≤4

Заметим, что в случае нестрого неравенства допускается равенство левой и правой частей выражения. По этой причине такие неравенства называются нестрогими.

Определение 7

Неравенства с модулем представляют собой такие неравенства, в которых неизвестные находятся под знаком модуля.

Решить неравенство с модулем можно, руководствуясь определением модуля числа:

|x|=x,  x≥0,-x,  x<0

Способы решения неравенств с модулем, пояснения на примерах

Существует определенный алгоритм, который удобно применять для решения заданий на неравенства с модулем:

1. Неравенство, записанное в виде |x|<a, где а больше нуля, является равносильным системе . Когда а меньше нуля, у неравенства отсутствуют решения.
2. Неравенство, записанное в виде |x|>a , где а больше нуля, является равносильным совокупности неравенств:  . При а=0 корни неравенства соответствуют множеству x∈(-∞;0)∪(0;+∞). При a меньше нуля решения расположены на всей числовой оси: x∈(-∞;+∞).

В том случае, когда требуется решить неравенство в виде |f(x)| > |g(x)| или |f(x)| < |g(x)|, все части выражения, в том числе, дробные, следует возвести в квадрат. Неравенства, содержащие больше одного выражения, записанного под знаком модуля, решают с применением графического метода интервалов. Этот способ часто применяют в классе на уроке алгебры и при решении домашних заданий.

Разберем несколько примеров для доказательства удобства использования записанной ранее схемы. Попробуем найти решения такого неравенства:

1≤|x-2|≤5

Заметим, что данное выражение можно представить, как систему:

Первое из неравенств системы является равносильным совокупности неравенств:

Неравенство под номером два соответствует системе:

В результате оба неравенства будут решены:

Рассмотрим простое задание с неравенством, которое требуется решить с подробными действиями:

|x+1|>1

Запишем равносильную совокупность неравенств по правилам:

Если объединить интервалы со всех сторон, то получится:

x∈(-∞;-2)∪(0;+∞)

Решим следующее неравенство аналогичного типа несколько другим способом:

|2x-1|<9

Запишем совокупность неравенств:

При пересечении найденных интервалов получим, что:

x∈(-4;5)

Разберем метод решения неравенства с модулем путем возведения в квадрат:

|x+1|≤|x-2|

Возведем все части выражения во вторую степень:

(x+1)2≤(x-2)2

Заметим, что в данном случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно: распишем квадрат суммы и квадрат разности:

x2+2x+1≤x2-4x+4

С помощью приведения подобных упростим выражение:

6x≤3 ⇒ 2x≤1 ⇒ x≤12 ⇒ x∈(-∞;0,5]

Попробуем справиться с более сложным примером:

|x-1|+|x-2|≤3

Здесь целесообразно применить метод интервалов. Для этого сначала вычислим нули выражений, которые записаны под знаком модуля:

x-1=0 ⇒ x=1

x-2=0 ⇒ x=2

Заметим, что если перенести полученные значения на числовую ось, то получится три интервала:

x∈(-∞;1] ; (1;2] ; (2;+∞].

Рассмотрим каждый из промежутков:

x∈(-∞;1]

В результате:

-(x-1)-(x-2)≤3

-x+1-x+2≤3

-2x≤0 ⇒ x≥0

На пересечении этого решения и первого интервала x∈(-∞;1] получим, что:

x∈[0;1]

Рассмотрим второй интервал:

x∈(1;2]

Здесь неравенство можно записать таким образом:

x-1-(x-2)≤3

x-1-x+2≤3

0·x≤2

Сделаем вывод о том, что для х приемлемы любые значения на данном промежутке, то есть:

x∈(1;2]

Третий интервал:

x∈(2;+∞]

Раскроем модули:

x-1+x-2≤3

2x≤6 ⇒ x≤3

На пересечении этого решения и третьего интервала:

x∈(2;3]

Результат можно определить, если объединить найденные решения:

x∈[0;1]∪(1;2]∪(2;3] ⇒  x∈[0;3]

Примеры решения задач

Задача 1

Дано неравенство, которое нужно решить:

|2×2-9x+15|≥20

Решение

|x| — x = 10

Если x∈R, получим:

2×2-9x+15>0

2×2-9x+15≥20

2×2-9x-5≥0

2(x-5)(x+12)≥0

В результате:

x≤-12 или x≥5

Ответ: x∈-∞;-12∪[5;+∞)

Задача 2

Нужно решить неравенство:

|x-3|2×2-7x>1

Решение

|x-3|2×2-7x>|x-3|0

0<|x-3|<1,2×2-7x<0;|x-3|>1,2×2-7x>0

-1<x-3<1,x-3≠0,x(2x-7)<0;x-3>1,x-3<-1,x(2x-7)>0

2<x<4,x≠3,0<x<72;x>4,x<2,x>72,x<0.

В случае системы:

2<x<4,x≠3,0<x<72

решение будет таким:

(2;3)∪(3;72)

Для системы:

x>4,x<2,x>72,x<0.

решение следующее:

(-∞;0)∪(4;+∞)

В результате:

x∈(-∞;0)∪(2;3)∪(3;72)∪(4;+∞)

Ответ: x∈(-∞;0)∪(2;3)∪(3;72)∪(4;+∞)

Задача 3

Нужно определить решения следующего неравенства:

|x-6|>|x2-5x+9|

Решение

Если x∈R,то:

x2-5x+9>0

|x-6|>x2-5x+9

x-6>x2-5x+9

x2-5x+9<0 — решения отсутствуют;

x-6<-x2+5x-9

x2-4x+3<0

1 < x < 3

Ответ: x∈(1;3).

Задача 4

Найти решения неравенства:

log0,252x+1x+3+12>12

Решение

0<2x+1x+3+12<12

0<4x+2+x+32(x+3)<12

0<5x+52(x+3)<12

5x+52(x+3)≠0,5x+52(x+3)<12,5x+52(x+3)>-12;

x≠-1,x≠-3,2x+1x+3<0,3x+4x+3>0

x≠-1,x≠-3,-3<x<-12,x>-43,x<-3

x∈-43;-1∪-1;-12

Ответ: x∈-43;-1∪-1;-12

Задача 5

Определить решения неравенств:

|x2+5x|<6,|x+1|≤1.

Решение

-6<x2+5x<6,-1≤x+1≤1.

x2+5x<6,x2+5x>-6,x+1≤1,x+1≥-1

x2+5x-6<0,x2+5x+6>0,x≤0,x≥-2

-6<x<1,x>-2,x<-3-2≤x≤0.

x∈(-2;0]

Ответ: x∈(-2;0]

Задача 6

Дано неравенство, решения которого требуется найти:

|x2-4x|<5,|x+1|<3.

Решение

x2-4x<5,x2-4x>-5,-3<x+1<3

x2-4x-5<0,x2-4x+5>0,-4<x<2

-4<x<2,x∈R,-4<x<2

-1 < x < 2

x∈(-1;2)

Ответ: x∈(-1;2)

Задача 7

Дано неравенство, которое требуется решить:

32|x-1|+34<3|x-1|

Решение

32|x-1|-4·3|x-1|+3<0

Заметим, что это квадратное неравенство по отношению к 3|x-1|:

1<3|x-1|<3

0 < |x — 1| < 1

-1<x-1<1,x-1≠0

0<x<2,x≠1

x∈(0;1)∪(1;2)

Ответ: x∈(0;1)∪(1;2)

Задача 8

|x3-1|>1–x

Решение

x3-1>1-x,x3-1<-1(1-x)

(x3-1)+(x-1)>0,x(x2-1)<0

(x-1)(x2+x+1)+(x-1)>0,x(x+1)(x-1)<0

(x-1)(x2+x+2)>0,x(x+1)(x-1)<0

x>1,x<-1,0<x<1.

x∈(-∞;-1)∪(0;1)∪(1;+∞)

Ответ: x∈(-∞;-1)∪(0;1)∪(1;+∞)

Задача 9

Дано неравенство, которое требуется решить:

x2-|x|-12x-3≥2x

Решение

x<0,x2-x-12x-3≥2x;x≥0,x2-x-12x-3≥2x,

x<0,x2-x+12x-3≤0;x≥0,x2-x+12x-3≤0,

x<0,(x2-x+12)(x-3)≤0,x-3≠0;x≥0,(x2-x+12)(x-3)≤0,x-3≠0

x<0,(x-4)(x-3)3≤0,x-3≠0;x≥0,x-3<0

x<0,x≤4,x≠3;x≥0,x>3,

x<0,0≤x<3.

x∈(-∞;3)

Ответ: x∈(-∞;3)

Решение неравенств с модулем

Download 278 Kb. bet 1/6 Sana 16.11.2022 Hajmi 278 Kb. #902658 Turi Решение

  1   2   3   4   5   6

Bog’liq
Решение неравенств с модулем
История физики-кудратов, Адабитё, 4-Mavzu ma’ruza., 1-MM, 9-ma’ruza. Xartli formulasi, kompyuterning ishlashining mantiqiy, 11 A sinf , Noaniq integral haqida ma’ruza va yechish usullari , 1-Test, xosmas integrallarning geometriya va fizikaga tatbiqlari, 2013, 1367254467.0182english-grammar-tests, ielts speaking, art-spok, fizika oqitish metodikasi, Algoritmlash va dasturlash ingliz tili

Bu sahifa navigatsiya:

• Что уже нужно знать
• Определение модуля

Решение неравенств с модулем Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса. Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:) Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока. Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи: Как решаются неравенства; Что такое модуль. Начнём со второго пункта. Определение модуля Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое: Определение. Модуль числа x — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный x — всё-таки отрицателен. Записывается это так: Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников. Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня). Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка a. Тогда модулем |x−a| называется расстояние от точки x до точки aa на этой прямой. Если начертить картинку, то получится что-то типа этого: Графическое определение модуля Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование. Download 278 Kb. Do’stlaringiz bilan baham:

  1   2   3   4   5   6

---

Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
ma’muriyatiga murojaat qiling

Как решать неравенства, содержащие абсолютные значения

Авторы: Ян Куанг и Эллейн Кейс и

Обновлено: 26 марта 2016 г. Исследуйте книгу Купить на Amazon

Уравнение абсолютного значения обычно имеет два возможных решения. С абсолютным значением немного сложнее обращаться, когда вы решаете неравенства. Два возможных решения:

В математической терминологии неравенство

, где a, b, и c — действительные числа — всегда превращается в два неравенства:

«И» происходит от графика набора решений на числовой прямой, как показано на рисунке (а) ниже. «И» означает, что вам нужны только значения для x , которые одновременно являются решениями обоих неравенств.

Неравенство

становится

«ИЛИ» также исходит из графа набора решений, который вы можете видеть на Рисунке (b) выше. «ИЛИ» означает, что вы хотите, чтобы все значения для x , которые являются решениями хотя бы одного из неравенств.

При работе с абсолютными значениями следует помнить два предостережения:

• Если абсолютное значение меньше (<) или меньше или равно

  отрицательное число, оно не имеет решения. Абсолютное значение всегда должно быть нулевым или положительным (единственное, что меньше отрицательных чисел, — это другие отрицательные числа). Например, абсолютное неравенство |2 x – 1| < –3 не имеет решения, потому что неравенство меньше отрицательного числа.

  Получение нуля в качестве возможного решения — это прекрасно. Однако важно отметить, что отсутствие решений — это совсем другое. Отсутствие решений означает, что никакое число вообще никогда не работает, тогда как получение нуля в качестве решения означает, что решение есть, а именно ноль.

• Если результат больше или равен отрицательному числу, решением являются все действительные числа

  . Например, учитывая уравнение | х – 1| > –5, x — все действительные числа. Левая часть этого уравнения представляет собой абсолютное значение, а абсолютное значение всегда представляет собой положительное число (или ноль). Поскольку положительные числа (или ноль) всегда больше отрицательных, у этих типов неравенств всегда есть решение. Любое действительное число, которое вы подставите в это уравнение, работает.

Чтобы решить и построить график неравенства с абсолютным значением, например, 2|3 x – 6| < 12 — выполните следующие действия:

1. Изолировать выражение абсолютного значения.

   В этом случае разделите обе стороны на 2, чтобы получить |3 x – 6| < 6.

2. Разбейте неравенство надвое.

   Этот процесс дает вам 3 x – 6 < 6 и 3 x – 6 > –6. Вы заметили, как изменился знак неравенства для второй части? Когда вы переключаетесь с плюсов на минусы в неравенстве, вы должны изменить знак неравенства.

   Не попадитесь в ловушку изменения уравнения внутри столбцов абсолютного значения. Например, |3 x – 6| < 6 не меняется на 3 x + 6 < 6 или 3 x + 6 > –6.

3. Решите оба неравенства.

   Решения этой задачи таковы: x < 4 и x > 0. Это сокращается до 0.

4. График решения.

   Создайте числовую прямую и покажите ответы на неравенство. На предыдущем рисунке показано решение задачи 2|3 х – 6| < 12 на числовой прямой.

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительное исчисление,

Математическая сцена — Неравенства — Урок 3 Абсолютные значения

Математическая сцена — Неравенства — Урок 3 Абсолютные значения

2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

Печать

Урок 3 Абсолют values ​​

---

На прямой с действительными числами расстояние точки x от нуля называется абсолютное значение x и записывается как |x|. Каждая из двух маленьких вертикальных линий сторона х является символом для абсолютного значения.

Если x = 2, расстояние x от нуля записывается |2| и имеет значение 2. Итак, |2| = 2.

Если x = −2, расстояние x от нуля записывается как  |−2| и имеет значение 2. Итак, |−2| = 2.

Расстояние и, следовательно, абсолютное значение всегда является положительным числом.

Расстояние между двумя точками, a и b, равно b − a, если
b > a и  a − b, если b < а. Если мы не знаем, какое число больше, то говорят, что расстояние между a и b есть  |a − b|.

Мы можем думать об абсолютном значении как об измерении с помощью линейка. При нахождении длины интервала между двумя точками с помощью линейка, не имеет значения, измеряем ли мы слева направо или справа влево расстояние всегда является одним и тем же положительным числом.

Абсолют значение удаляет отрицательный знак из значения, которое мы получаем из выражения, которое находится между знаком абсолютного значения.

---

Пример 1

Нарисуйте график функция  f(x) = |x|.

Мы составляем таблицу значений и затем строим график.

Пример 2

Нарисуйте график функции f(x) = |x − 2| − |х|.

Мы делаем таблицу значений, а затем построить график.

Запомнить удалить отрицательный знак при взятии абсолютного значения отрицательного число.

Обратите внимание, что график состоит из 3 прямых линий.

Когда x < 0, оба абсолютных значения содержат отрицательные числа, которые становятся положительно, когда мы берем абсолютное значение. Мы можем сделать это алгебраически с помощью замена знака абсолютного значения скобкой и умножение на −1.

При x < 0 функция может быть записана следующим образом:

е(х) = (−1)∙(x − 2) − (−1)∙(x) = −x + 2 + x = 2

На интервале 0 x < 2 , только значение в первом члене абсолютного значения является отрицательным.

Следовательно, мы можем написать так:

   f(x) = (−1)∙(x − 2) − x = −2x + 2

Когда х 2 оба абсолютные значения содержат положительные значения, поэтому ничего менять не нужно. Сейчас функция может быть записана как:

   f(x) = (х — 2) — (х) = х — 2 — х = -2

Обратите внимание, что уравнение |х — 2| − |х| «=» 2 удовлетворяется всеми значениями x 0 тогда как уравнение |x − 2| − |х| = 0 имеет только одно решение, x = 1.

Пример 3

Решите неравенство  |x − 1| < 4.

Важным моментом в этом уравнении является x = 1. Именно здесь абсолютная знак значения содержит число 0, положителен, если x > 1, но отрицателен, когда x < 1. Мы можем думать об этом как о поворотной точке уравнения. поворотный момент, когда абсолютное значение изменяется между положительным и быть отрицательным. Это означает, что мы можем изменить это уравнение абсолютного значения на два простые уравнения, одно верно, когда x > 1, а другое верно, когда x < 1. Затем мы решаем каждую отдельно.

       x < 1  ( изменить знак). х > 1 (знак без изменений).

---

 

 Полное решение от обоих уравнения:

−3 < х < 5

Рассмотрим теперь геометрически, что неравенство |x − 1| < 4 говорит нам.

|х — 1| расстояние между x и номер 1.

|х — 1| < 4 говорит нам, что расстояние между x и 1 меньше чем 4.

Это соответствует приведенному выше решению.

Теперь решим это же неравенство графически.

Это включает в себя построение графиков функций f(x) = |x − 1| и г(х) = 4, затем найти, где f (x) лежит ниже (меньше) g (x).

График показывает, что е (х) = | х — 1 | лежит ниже линии g(x) = 4 (см. закрашенную область), на интервале −3 < х < 5,

Пример 4

Решите неравенство  |x + 2| > |2x − 8|.

Снова решаем задачу, взглянув отдельно на три области между значениями x   которые делают выражения между знаками абсолютного значения равными нулю.

Этих точек  x = −2 из выражения в левой части и x = 4  из выражение в правой части.

Эта таблица показывает, когда выражения меняют знак:

Обе стороны. Правая сторона. Без изменений.

х > 10 не является решением, поскольку эти расчеты справедливы только для х < −2. Следовательно, при x < −2 решения нет.

                                                                      Окончательное решение: 2 < х < 10

Теперь решим уравнение графически.

Сначала мы делаем таблицу из значения для каждой стороны неравенства.

Из графика видно, что  f(x) = |х + 2| лежит выше
г (х) = | 2х — 8 | между x = 2 и x = 10 (закрашенная область).

Таким образом, решение 2 < х < 10.

---

Пройди тест 3 по неравенствам.