Неравенство коши буняковского: Неравенство Коши-Буняковского и его доказательство

Неравенство Коши и Коши-Буняковского

Неравенства Коши и Коши-Буняковского

Звездина Ирина Александровна, учитель математики ГБОУ СОШ 692.

I. Неравенство Коши.

Среднее арифметическое — это сумма заданного количества чисел, деленная на количество чисел:

Среднее геометрическое находится как извлечение корня в степени количества чисел, где подкоренное выражение — это произведение этих чисел:

1.Формулировка:

Если

гдеn .

Данное неравенство превращается в равенство, когда

2.Название:

Это неравенство называют неравенством Коши, потому что оно было доказано французским математиком Огюстом Коши в первой половине XIX века. В сокращенном виде неравенство Коши утверждает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. 

3. Доказательство неравенства Коши:

Для его доказательства упростим выражения, представив, что находим среднее арифметическое и среднее геометрическое только двух чисел: a и b. Доказательство неравенства для двух положительных чисел будет верно и для множества положительных чисел.

В данном случае извлекается квадратный корень, так как находится среднее геометрическое только двух чисел.

Из свойств числовых неравенств известно, что если k – m в результате дает положительное число, то k>m; если числа одинаковы, то k = m. Значит, если доказать, что разность среднего арифметического и среднего геометрического есть положительное число (или равное нулю), то значит, будет доказано и само неравенство Коши.

Вычтем из среднего арифметического двух положительных чисел их среднее геометрическое:

Приведем к общему знаменателю:

Многочлен — это квадрат разности . Получаем:

Квадрат любого числа есть число положительное или равное нулю (если a = b). Значит, в числителе будет неотрицательное значение. Знаменатель дроби также положителен. Значит, при вычитании из среднего арифметического среднего геометрического получилось неотрицательное значение. Таким образом, , что и требовалось доказать.

4. Применение в доказательстве неравенств

1)Доказать неравенство

(a+b)(a+1)(b+4)≥16ab,

гдеa ≥0 и b ≥0

Доказательство.

a ≥0 и b ≥0⇒ неравенство Коши принимает вид

a+b ≥2

a+1 ≥2

b+4 ≥2

Отсюда следует, что (a+b)(a+1)(b+4)≥16ab

Неравенство доказано

2)Доказать неравенство

≥8ab

Доказательство.

Согласно неравенству Коши при условии, что n=4, можно записать

=≥

Неравенство доказано

II. Неравенство Коши-Буняковского

Для произвольных действительных чисел справедливо неравенство

+ ( +( +

гдеn

Это неравенство превращается в равенство, когда существует константаa(a такая,чтодля произвольных значений

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/471310-neravenstvo-koshi-i-koshi-bunjakovskogo

равенство в неравенстве Коши-Буняковского : Высшая алгебра

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Alexiii	равенство в неравенстве Коши-Буняковского 13. 02.2010, 17:29
10/03/08 208 течет река и откуда у мудреца мудрость	Здравствуйте! Надо доказать, что в любом Гильбертовом пространстве равенство в неравенстве Коши-Шварца достигается лишь при линейной зависимости векторов. То есть задача в следующем: показать, что для любых векторов в линейном пространстве над полем комплексных чисел (скалярное произведение — некое комплексное число) тогда и только тогда, когда . Одна сторона проверяется тривиально, а вот другая — не очень. Мои наброски таковы: так как лишь когда, то разберем : Если допустить, что , то имеем: , а это возможно лишь тогда, когда либо один из скалярных множителей в каждой стороне нулевой (то есть обе стороны равенства суть нулевые комплексные числа) и тогда в общем случае получается, что векторы колинеарны, либо. .. вот тут я не знаю, может есть и другие случаи и приведенное доказательство не полно! Еще вопрос — есть более внятное доказательство в общем (комплекном) случае? Тут на форуме есть топик по этой теме, но там разобран случай действительных чисел — там все наглядно!

Профессор Снэйп	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 13.02.2010, 17:34
Заморожен 18/12/07 8774 Новосибирск	Есть ещё аксиома , почему Вы её стесняетесь использовать?

Padawan	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 13. 02.2010, 18:04
Заслуженный участник 13/12/05 4420	Alexiii в сообщении #287608 писал(а): Здравствуйте! Надо доказать, что в любом Гильбертовом пространстве равенство в неравенстве Коши-Шварца достигается лишь при линейной зависимости векторов. То есть задача в следующем: показать, что для любых векторов в линейном пространстве над полем комплексных чисел (скалярное произведение — некое комплексное число) тогда и только тогда, когда . Одна сторона проверяется тривиально, а вот другая — не очень. Мои наброски таковы: так как лишь когда, то разберем : Если допустить, что , то имеем: , а это возможно лишь тогда, когда либо один из скалярных множителей в каждой стороне нулевой (то есть обе стороны равенства суть нулевые комплексные числа) и тогда в общем случае получается, что векторы колинеарны, либо. .. вот тут я не знаю, может есть и другие случаи и приведенное доказательство не полно! Еще вопрос — есть более внятное доказательство в общем (комплекном) случае? Тут на форуме есть топик по этой теме, но там разобран случай действительных чисел — там все наглядно! Надо брать доказательство неравенства Коши-Буняковского (в любой книге по функциональному анализу) и смотреть по доказательству, в каком случае возможно равенство. Обычно это прям в тексте отмечается.

Alexiii	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 13.02.2010, 23:36
10/03/08 208 течет река и откуда у мудреца мудрость	Профессор Снэйп в сообщении #287611 писал(а): Есть ещё аксиома , почему Вы её стесняетесь использовать? Не вижу,как это продвинет в доказательстве. Одним словом, мутно у меня все выглядит! Я вот подумал и додумался до следующего доказательства: если исключить вариант ,из чего тривиально следует,что для всякого будет равенство в неравенстве (кстати наиболее общим и верным выводом является именно вывод линейной зависимости векторов и Гильбертова пространства, а не вывод , так как в тривиальных случаях,к примеру,когда нулевой,ни при каком не получается ненулевой ,то есть нарушается общность), то прямо получаем: , где — некий комплексный коэффициент. То есть получили . А учтя и тривиальные выводы, получим в общем, что и линейно зависимы, так как нулевой вектор линейно зависим с любым вектором!

ewert	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 14. 02.2010, 10:34
Заслуженный участник 11/05/08 32162	Alexiii в сообщении #288933 писал(а): — некий комплексный коэффициент. То есть получили . То есть ничего не получили, кроме того, что . Наиболее разумная рекомендация: Padawan в сообщении #287619 писал(а): Надо брать доказательство неравенства Коши-Буняковского (в любой книге по функциональному анализу) и смотреть по доказательству, в каком случае возможно равенство. Обычно это прям в тексте отмечается. Имелось в виду, что неравенство Коши-Буняковского следует из неотрицательности дискриминанта выражения , рассматриваемого как квадратный трёхчлен относительно . А в частном случае равенства дискриминант равен нулю и, следовательно, при некотором это выражение обращается в ноль. (Это — в вещественном случае, а для комплексного надо подставить , где фиксировано, а — произвольное вещественное число.)

Alexiii	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 14.02.2010, 12:13
10/03/08 208 течет река и откуда у мудреца мудрость	ewert в сообщении #288982 писал(а): То есть ничего не получили, кроме того, что . ,да, я поспешил с выводами сгоряча! ewert писал(а): Наиболее разумная рекомендация: Padawan писал(а): Надо брать доказательство неравенства Коши-Буняковского (в любой книге по функциональному анализу) и смотреть по доказательству, в каком случае возможно равенство. Обычно это прям в тексте отмечается. Я смотрел в Фомине и Рудине — там не было!

ewert	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 14.02.2010, 12:16
Заслуженный участник 11/05/08 32162	Alexiii в сообщении #288997 писал(а): Я смотрел в Фомине и Рудине — там не было! ну, посмотрите прямо здесь

Padawan	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 14. 02.2010, 17:52
Заслуженный участник 13/12/05 4420	В Люстернике, Соболеве доказательство неравенства Коши-Буняковского начинается с неравенства .

Alexiii	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 17. 02.2010, 15:07
10/03/08 208 течет река и откуда у мудреца мудрость	ewert писал(а): ну, посмотрите прямо здесь Спасибо, в конце концов все получилось! Вот полное доказательство для будущих интересующихся: Во-первых, тривиальные случаи при или не в счет, так как прямо видно, что в этом случае будет равенство в неравенстве! Также тривиально проверяется одна сторона: коли , то . Так что остается проверить противоположную сторону: коли равенство в неравенстве, то : Тут же отмечу, что в действительном случае проблема решена, так как там все тривиально с нулевым дискриминантом и достаточно прямо следует линейная зависимость . Рассмотрим комплексный случай: тогда . Введем вспомогательный вектор . Тогда имеем: . Тогда из в действительном случае,как мы знаем, следует для некоего неотрицательного . Заметим, что , а . В итоге получаем, что из (то есть из ) следует , то есть . Значит получили: . Обозначим . Так как , то и . Значит получили желаемый результат .

ewert	Re: равенство в неравенстве Коши-Буняковского 17.02.2010, 16:30
Заслуженный участник 11/05/08 32162	Наверное, оно и верно, но как-то тягостно. Вот что имелось в виду. Обозначим , где , т.е. . Тогда (поскольку ). Неотрицательность при всех сразу даёт неположительность дискриминанта и, соответственно, неравенство Коши-Буняковского. А превращение этого неравенства в равенство означает, что дискриминант равен нулю и, следовательно, при некотором выполнено , т.е. .

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 10 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Искусство решения проблем

(перенаправлено из неравенства Коши-Шварца)

В алгебре Неравенство Коши-Шварца , также известное как Неравенство Коши-Буняковского-Шварца или неофициально как Ca учи-Шварц , есть неравенство со многими вездесущими формулировками в абстрактной алгебре, исчислении и соревновательной математике. В школьных соревнованиях его применение ограничено элементарной и линейной алгеброй.

Его элементарная алгебраическая формулировка часто упоминается как Неравенство Коши и утверждает, что для любого списка вещественных чисел и с равенством тогда и только тогда, когда существует константа такая, что для всех или если один список состоит только из нулей. Наряду с неравенством AM-GM, Коши-Шварц формирует основу для проблем неравенства в промежуточных и олимпиадных соревнованиях. Это особенно важно в конкурсах, основанных на доказательствах.

Его векторная формулировка гласит, что для любых векторов и в , где скалярное произведение и и является нормой , с равенством тогда и только тогда, когда существует скаляр, такой что , или если один из векторов равен нулю. Эта постановка пригодится в задачах линейной алгебры на промежуточных и олимпиадных задачах.

Полное неравенство Коши-Шварца записывается в терминах абстрактных векторных пространств. В этой формулировке элементарная алгебраическая, линейно-алгебраическая и исчисленная формулировки являются различными случаями общего неравенства.

Содержимое

• 1 Пробы
• 2 леммы
  • 2.1 Комплексная форма
• 3 Общая форма
  • 3.1 Доказательство 1
  • 3.2 Доказательство 2
  • 3.3 Доказательство 3
• 4 Проблемы
  • 4.1 Введение
  • 4.2 Промежуточный уровень
  • 4.3 Олимпиада
• 5 Другие ресурсы
  • 5.1 Книги

Доказательства

Вот список доказательств Коши-Шварца.

Рассмотрим векторы и . Если угол образован и , то левая часть неравенства равна квадрату скалярного произведения и , или .Правая часть неравенства равна . Тогда неравенство следует из , с равенством, когда одно из кратно другому, что и требовалось.

Леммы

Комплексная форма

Неравенство иногда появляется в следующей форме.

Пусть и комплексные числа. Затем Это кажется более мощным, но следует из

Общая форма

Пусть будет векторным пространством и пусть будет скалярным произведением. Тогда для любого , с равенством тогда и только тогда, когда существуют константы, отличные от нуля, такие, что .

Доказательство 1

Рассмотрим многочлен Это всегда должно быть больше или равно нулю, поэтому оно должно иметь неположительный дискриминант, т. е. должно быть меньше или равно , с равенством, когда или когда существует некоторый скаляр, такой что , по желанию.

Доказательство 2

Считаем Так как это всегда больше или равно нулю, мы имеем Теперь, если либо или равно , то . В противном случае мы можем нормализовать так, что , и мы имеем с равенством, когда и могут масштабироваться друг к другу по желанию.

Доказательство 3

Рассмотрим некоторый скаляр . Затем: (по тривиальному неравенству) . Теперь пусть. Тогда у нас есть: .

Задачи

Введение

• Рассмотрим функцию , где – натуральное число. Покажи то . (Источник)
• (APMO 1991 #3) Позвольте , , , , , , , быть положительными вещественными числами такими, что . Покажите, что

Промежуточный

• Пусть треугольник такой, что

где и обозначают его полупериметр и внутренний радиус соответственно. Докажите, что треугольник подобен треугольнику, все длины сторон которого являются целыми положительными числами без общего делителя, и определите эти целые числа. (Источник)

Олимпиада

• — точка внутри данного треугольника. основания перпендикуляров от к линиям соответственно. Найдите все, для чего

меньше всего.

(Источник)

Другие ресурсы

• Статья в Википедии

Книги

• Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств Дж. Майкла Стила.
Книга Артура Энгеля «Стратегии решения проблем
• » содержит значительный материал о неравенстве.

© 2023 ООО «АоПС Инкорпорейтед»

Неверное имя пользователя

Войти в АоПС

Имя пользователя:

Пароль:

Оставаться в системе Неравенство Коши-Шварца Коши-Шварц , это неравенство со многими вездесущими формулировками в абстрактной алгебре, исчислении и соревновательной математике. В школьных соревнованиях его применение ограничено элементарной и линейной алгеброй.

Его элементарная алгебраическая формулировка часто упоминается как Неравенство Коши и утверждает, что для любого списка вещественных чисел и с равенством тогда и только тогда, когда существует константа такая, что для всех или если один список состоит только из нулей. Наряду с неравенством AM-GM, Коши-Шварц формирует основу для проблем неравенства в промежуточных и олимпиадных соревнованиях. Это особенно важно в конкурсах, основанных на доказательствах.

Его векторная формулировка гласит, что для любых векторов и в , где скалярное произведение и и является нормой , с равенством тогда и только тогда, когда существует скаляр такой, что или если один из векторов равен нулю. Эта формулировка пригодится в задачах линейной алгебры на промежуточных и олимпиадных задачах.

Полное неравенство Коши-Шварца записывается в терминах абстрактных векторных пространств. В этой формулировке элементарная алгебраическая, линейно-алгебраическая и исчисленная формулировки являются различными случаями общего неравенства.

Содержание

• 1 Пробы
• 2 леммы
  • 2.1 Комплексная форма
• 3 Общая форма
  • 3.1 Доказательство 1
  • 3.2 Доказательство 2
  • 3.3 Доказательство 3
• 4 Проблемы
  • 4.1 Введение
  • 4.2 Промежуточный уровень
  • 4.3 Олимпиада
• 5 Другие ресурсы
  • 5.1 Книги

Доказательства

Вот список доказательств Коши-Шварца.

Рассмотрим векторы и . Если угол образован и , то левая часть неравенства равна квадрату скалярного произведения и , или .Правая часть неравенства равна . Тогда неравенство следует из , с равенством, когда одно из кратно другому, что и требовалось.

Леммы

Комплексная форма

Неравенство иногда появляется в следующей форме.

Пусть и комплексные числа. Затем Это кажется более мощным, но следует из

Общая форма

Пусть будет векторным пространством и пусть будет внутренним произведением. Тогда для любого , с равенством тогда и только тогда, когда существуют константы, отличные от нуля, такие, что .

Доказательство 1

Рассмотрим многочлен Это всегда должно быть больше или равно нулю, поэтому оно должно иметь неположительный дискриминант, т. е. должно быть меньше или равно , с равенством, когда или когда существует некоторый скаляр такой, что по желанию.

Доказательство 2

Считаем Так как это всегда больше или равно нулю, мы имеем Теперь, если либо или равно , то . В противном случае мы можем нормализовать так, что , и мы имеем с равенством, когда и могут масштабироваться друг к другу по желанию.

Доказательство 3

Рассмотрим некоторый скаляр . Затем: (по тривиальному неравенству) . Теперь пусть. Тогда у нас есть: .

Задачи

Введение

• Рассмотрим функцию , где – натуральное число. Покажи то . (Источник)
• (APMO 1991 #3) Позвольте , , , , , , , быть положительными вещественными числами такими, что .

  No related posts.