Определение синуса угла: Синус, косинус, тангенс и котангенс

Содержание

Синус, косинус, тангенс и котангенс: формулы, таблица

Определение

Тригонометрия — один из видов науки о математике, изучающий функции по тригонометрии с применением их в геометрии.

Начало своего изучения данный научный раздел берет где-то в античной Греции, считается что первыми стали применять такие функции астрономы, а после в землемерии и строительстве. В средние века, большое внимание тригонометрии уделяли учёные Индии и Востока.

В этой статье будут рассмотрены понятия и различные определения тригонометрической науки. А также основные функции которыми являются: синус, косинус, тангенс, котангенс.

В начале стоит поговорить об определениях:

Угол определяется в двух величинах: градусы и радианы.
Так как окружность определяется 360 единицами, то 1∘равен 1\360 части окружности.
Гипотенуза — напротив лежащая сторона относительно прямого угла;
Катеты — две стороны, отходящие от прямого угла.

Определения основных функций

По началу понятие функций тригонометрии, значением которого был угол, вычислялось через отношение сторон треугольника, который обладает прямым углом.

Определения для острого угла прямоугольника.

Функция Sin a — Синус угла — отношение напротив лежащего катета к гипотенузе
Cos a — Косинус угла — отношение стороны треугольника (катета), который прилегает к данному углу и гипотенузы;
Tg a — Тангенс угла — отношение стороны треугольника который называется катетом и лежит напротив угла к прилежащему углу катету ;
Ctg a — Котангенс угла — прилежащего катета к противолежащему.

Теорема синусов в формуле:

\[ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma} \]

Угол поворота.

Как уже говорилось выше определения, которые мы рассмотрели относятся к острым углам треугольника. Но существует и понятие угол поворота, в котором исчисляемый угол не будет равен значению от 0 градусов до 90. При этом угол поворота может быть любым числом, от +бесконечности и до — бесконечности.

В данной связи можно выдвинуть определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла любой величины. Для этого представим окружность в системе координат с двумя взаимно перпендикулярными осями.

Заданная точка А, имеющая координатные значения 1,0, делает поворот вокруг центра оси на угол α, переходя в точку А1. рассматривая определение через координаты А1(х,у).

Sin угла поворота α, это ордината точки А1(х,у), то есть sinα=у

Косинус α — абсцисса точки А1 (cosα=х)

Tg данного угла — ‘это деление (отношение) ординаты А1 к абсциссе. tgα=у\х

Котангенс поворотного угла α — отношение её абсциссы к ординате, ctgα=х\у

Заметим, что синус и косинус можно выделить для любого угла, а вот тангенс и котангенс нет. И это абсолютно логично, так как при переходе точки в значение ноля для абсциссы, тангенс посчитать невозможно, так как невозможно деление на 0. Тоже самое со значением ординаты равным нулю, котангенс не исчисляется.

Sin и cos можно вычислить для любых углов α. тогда как tg всех кроме α = 90°+180°* k , k ∈ Z ( α = π 2 + π * k , k ∈ Z ) α=90°+180°*k, k∈Z (α=π2+π*k, k∈Z)

Котангенс так же можно вычислить не для всех углов, например для α = 180 ° * k , k ∈ Z ( α = π * k , k ∈ Z , это сделать нельзя.

Отметим, что на практике при решении примеров словосочетание угол поворота опускается из речевого оборота.

Для удобства существуют таблицы значений часто используемых углов, которые вычисляются в тригонометрических функциях, к примеру, для первой четверти круга:

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1 2	√2 2	√3 2	1
cos	1	√3 2	√2 2	1 2	0
tg	0	1 √3	1	√3	–
ctg	–	√3	1	1 √3	0

Здесь можно посмотреть таблицу синусов, косинусов и других функций.

Вычисление тригонометрических функций числа

В данном пункте рассмотрим случай, когда определение рассматриваемых нами функций тригонометрии, происходит из числового значения, а не угла. Таких подходов два:

Sin, cos, tg, ctg числа n, является число которое равно sin, сos, tg, ctg n радиан. Где Радиа́н это угол, который соответствует дуге, которая в свою очередь равна длине, её радиуса. Пример: sin числа2k=sin угла2k радиан. Используя формулы можно получить таблицу часто встречаемых углов, которая поможет быстро перевести значения из градусов в радианы и в противоположную сторону.
На прямоугольной системе координат, в единичной окружности, ставится точка, которой соответствует любое действительное значение числа d. тригонометрические функции можно определить, узнав координаты этой точки.
Считая начальной точкой А с координатами (1,0). Поэтому для того чтобы найти взаимодействие между точкой на окружности и числом, нужно найти отрицательное и положительное значение числа d, положительным будет значение при движении точки А(1,0) в противоположную сторону движения часовой стрелки и её движение будет равным open t \ t, а отрицательным движение по часовой стрелке.

В связи с этим выделяют следующие функции:

(sin f = y) Синус числа f- определяется ординатой точки единичной окружности, которая равна числу f;
(cos f = x) Косинус числа f — абсцисса окружности, которая соответствующая числу f;
(tg f = y\x=sin f\cos f) тангенс f определяется делением ординаты на абсциссу точки, равной числу f.

Функции аргумента угла и числа

Каждому значению угла а, существует своё значение sin, сos, данного угла, которое ему соответствует. А также углам α, кроме от α = 90 ° + 180 ° * k , k ∈ Z ( α = π 2 + π * k , k ∈ Z ) будет соответствовать определенное значение тангенса. Так же котангенс α, кроме α = 180 ° * k , k ∈ Z ( α = π * k , k ∈ Z ).

Из чего следует что синус а, косинус а, тангенс а, котангенс а — это и есть функции углового аргумента.

Точно также определяются функции числового аргумента. Выбранное любое действительное число, имеет своё соответственное значение функций тригонометрии, все кроме перечисленных исключений.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Определения функций и их связь

Вернемся к единичной окружности в прямоугольной системе координат, где центр окружности и системы координат совпадает. Точку А(1,0) повернём на 90°, и из полученной точки А1 проведём перпендикуляр к абсциссе. В результате получится прямоугольный треугольник, где угол А1 ОН это угол поворота а. длины катета ОН и абсциссы точки А1 также равны. А катет, который находится напротив угла равен ординате точки А1, а длина гипотенузу это единица.

Получается исходя из определения, синус угла а, это отношение катета напротив к гипотенузе.

sin α = A 1 H\ O A 1 = y \1 = y

sin α=A1H\OA1=y\1=y

Из чего следует, что определение sin острого угла, одинаково определению синуса угла поворота а, если а лежит в пределе 0-90°. Точно так же и с вычислением косинуса, тангенса и котангенса.

Положительные и отрицательные знаки функций

Знаки sin и cos в изобразительном виде системы координат.

	I	II	III	IV
sin	+	+	—	—
cos	+	—	—	+
tg	+	—	+	—
ctg	+	—	+	—

Знаки sin, cos, tg, ctg в виде таблицы.

Знаки тангенса и котангенса на оси

Для того чтобы сделать проверку знаков функций тангенса и котангенса , можно также воспользоваться такой окружностью и её четвертями. Если мы берём угол из третьей четверти и проводим прямую через точку на окружности и начало координат, пока прямая не пересечёт ось тангенсов. Мы увидим что значение tg угла и угла в первой четверти будет положительным. Таким же образом значение из второй четверти и четвёртой отрицательно.

Тождества в тригонометрии

Рассмотрим подробнее тождества функций. {2} t}, \quad t \neq \pi n, n \in Z \]

Таблица функций тригонометрии

Эта таблица представляет из себя уже посчитанные значения sin, cos, tg, ctg углов от 0до 360 градусов. Такая таблица заменит специальный калькулятор если нужны значения, нужно просто найти нужный угол в таблице.

Области применения тригонометрии

Приведём для примера несколько областей в которых применяются функций:

В астрономии. Во-первых, как отмечалось выше область астрономии стала первой, где стали применять тригонометрические функции. Именно по этой причине довольно долго этот раздел науки относили к астрономии. Одним из крупных открытий в этой науке при помощи тригонометрических основ стала возможность вычисления наступления темноты, а также составление первых звёздных карт.
В физике. Мир, который нас окружает построен на колебательных процессах, это такие явления и процессы, которые повторяются через определённый цикл;
В окружающей нас природе. Например, отражение лучей солнца от различных поверхностей;
В медицине. К примеру, существует такое понятие как формула сердца;
В биологии. Биологические ритмы, модель которых строят при помощи тригонометрии;
В музыке, звуковые ритмы, построение моделей.
Важную роль тригонометрия играет и для морского флота и авиации;
В изучении сейсмической активности.

Как мы видим тригонометрия очень важная наука, которая пронизывает практически все сферы нашей жизни.

Запоминание через понимание. Визуализация синуса

Запоминание через понимание

Смотрим определение синуса в учебнике геометрии. «Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе».

Дает ли это определение понимание синуса? Нет, не дает. Определение не полное. Потому что оно рассматривает только частный случай треугольника — прямоугольный треугольник.

Смотрим определение синуса в учебнике алгебры. «Ордината точки Р, полученной при повороте точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол а-радиан, называется синусом числа а, а абсцисса этой точки — косинусом».

Это определение вообще из области математической абстракции, так как вводит отрицательные значения синуса и косинуса. И с пониманием синуса по этому определению ещё больше сложностей.

Есть простой тест на понимание синуса и косинуса. Попросите школьника нарисовать линию косинуса для произвольного треугольника (не прямоугольного). Если он этого сделать не может — он не понимает, что такое синус и косинус.

Иллюстрация 1. Тест на понимание. Где линия косинуса?
(Предполагается описанная окружность с единичным диаметром)

Итак, школьные учебники не дают информации для понимания понятий «синус» и «косинус». Основное понятие тригонометрии (и элементарное понятие) «засекретили», спрятали в частных случаях и в математических абстракциях.

При возникновении проблем с пониманием сейчас можно обратиться к поисковым системам и найти в них недостающую информацию. Чтобы визуализировать синус и косинус, нужно вернуться к истокам тригонометрии, понять, откуда эти понятия появились, и для каких целей.

Изначально синус не связан с треугольником. Синус появился из окружности и вписанного в окружность угла.

В окружности с единичным диаметром синус — это хорда, на которую опирается вписанный угол. А косинус — это перпендикулярная хорде-синусу хорда. На иллюстрации видно, что для любого вписанного угла в окружности имеется две линии синуса и две линии косинуса, которые образуют прямоугольник.

Вот эту иллюстрацию и следует использовать для запоминания понятий «синус» и «косинус». По этой иллюстрации можно дать определение синусу своими словами.

Иллюстрация 2. В окружности с единичным диаметром линии синуса и косинуса (для вписанного угла)

образуют прямоугольник. На картинке виден частный случай — прямоугольный треугольник,
в котором линия косинуса совпадает с катетом.

Связан ли синус (длина хорды) с противолежащим углом? Ведь мы привыкли говорить «синус угла». Связь длины хорды с углом очень не простая. .. Скорее, можно говорить о табличном соответствии длины хорды и величины вписанного в окружность угла.

Синус напрямую связан с другим элементом в окружности — с её диаметром. Если мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус — это коэффициент пропорциональности стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие «синус» напрямую связано со стороной треугольника. Но традиции есть традции — принято говорить «синус угла».

Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр. Величины углов нам для этого не нужны.

Иллюстрация 3. Опишем вокруг треугольника окружность
и точно измерим стороны треугольника и диаметр окружности

В результате мы получим пропорционально уменьшенный треугольник, вписанный в окружность с единичным диаметром, стороны которого и будут синусами сторон исходного треугольника.

Иллюстрация 4. Стороны треугольника стали синусами,
когда мы уменьшили окружность до единичного диаметра

Усвоив понятие синуса, визуализировав его у себя в воображении, поняв, откуда оно появилось, можно переходить к частным случаям синуса и косинуса, изложенным в учебниках. Легко заметить, что в прямоугольном треугольнике одна из сторон (гипотенуза) одновременно является и диаметром описанной окружности. Теперь становится более понятным определение из учебника геометрии, по которому синус угла — это отношение катета к гипотенузе (т.е., к диаметру окружности). На иллюстрации 2 видно, что косинус совпадает со стороной треугольника только в прямоугольном треугольнике. В любом другом треугольнике линия косинуса находится вне треугольника. В учебнике алгебры, где синус рассматриваются как проекция точки окружности на ось координат, переходят на половины углов и полухорды, и с единичного диаметра на единичный радиус. Для чего? Чтобы ввести отрицательные значения тригонометрических функций.

На иллюстрации 3 и 4 видна теорема синусов. Теорема синусов является очевидной и не нуждается в доказательстве. Если синусы сторон (углов) изначально получены нами путем деления каждой стороны треугольника на диаметр описанной окружности, то отношение любой стороны треугольника к синусу стороны (синусу угла) будет одной и той же величиной, равной диаметру окружности. Это и есть теорема синусов.

a/sinA = b/sinB = c/sinC = d

(sin A — коэффициент пропорциональности стороны «a»)

————————————————-

А как же все таки угол связан со своим синусом?

Ведь для решения задач удобно находить синус угла по значению самого угла. Сейчас это не проблема. На любом калькуляторе вы можете набрать sin (вставить угол) и получить результат с заданной точностью.

Изменение значения синуса при равномерном изменении величины угла визуально похоже на перемещение с равноускоренным движением (представьте падающий на землю шарик и его ускорение в каждую секунду).

{9}}{9!} — \dots{/latex}

Примеры предложений

Недавние примеры в Интернете Хотя доказательство представляет собой впечатляющую часть математики, другие математики использовали аналогичные подходы раньше, используя синус и косинус, чтобы независимо доказать теорему Пифагора, не полагаясь на sin²α + cos²α = 1. — Даррен Орф, 9 лет.0019 Популярная механика , 31 марта 2023 г. Это будет самый сильный годовой прирост с 1951 года. — Арканзас Онлайн

, 28 мая 2021 г. Ответ: ничего. Помните, что основные тригонометрические функции ( синус , косинус, тангенс) — это просто отношения сторон прямоугольных треугольников.

— Ретт Аллен, Wired , 14 марта 2022 г. В 1807 году Жозеф Фурье обнаружил, что любая периодическая функция — уравнение, значения которого циклически повторяются, — может быть выражена в виде суммы тригонометрических функций, таких как синус и косинус. — Журнал Quanta , 13 октября 2021 г. Эта геометрическая структура тесно связана с важными идеями тригонометрии, такими как формулы суммы и разности углов для синуса и косинуса, теория вращения плоскости и e, основание функции натурального логарифма. — Журнал Quanta , 23 сентября 2021 г. Рынки движутся через что-то вроде sine , косинусоидальная модель от рынка продавца к рынку покупателя и обратно. — Дэвид Фридман, Forbes , 24 мая 2021 г. Чем больше этот угол, тем больше синус и, следовательно, сильнее их взаимное влияние.

— Журнал Quanta , 4 апреля 2019 г. Когда пара стрел сцеплена, сила их взаимного влияния зависит от синус угла между их направлениями наведения. — Натали Волховер, WIRED , 7 апреля 2019 г. Узнать больше

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «синус». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Этимология

Средневековая латынь sinus , от латыни, кривая

Первое известное использование

1593, в значении, определенном в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование sine было в 1593 г.

Посмотреть другие слова того же года

Словарные статьи Около

синус

Синдри

синус

пожиратель грехов

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Синус.»

Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/sine. Доступ 6 мая. 2023.

Копировать цитату

Детское определение

синус

существительное

ˈsīn

: тригонометрическая функция, которая для острого угла прямоугольного треугольника представляет собой отношение стороны, противоположной углу, к гипотенузе

04 Британика Английский: Перевод of

sine для говорящих на арабском языке

Britannica. com: статья в энциклопедии о sine

Последнее обновление: 3 апр. 2023 — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Синус Определение и значение | Dictionary.com

Основные определения
Викторина
Примеры
Британский
Научный

Показывает уровень сложности слова.

[ sahyn ]

/ saɪn /

Сохранить это слово!

Показывает уровень сложности слова.

сущ.

Тригонометрия.

(в прямоугольном треугольнике) отношение стороны, противолежащей данному острому углу, к гипотенузе.
(угла) тригонометрическая функция, равная отношению ординаты конечной точки дуги к радиус-вектору этой конечной точки с началом в центре окружности, на которой лежит дуга, и началом точка дуги лежит на оси абсцисс. Сокращение: sin

Геометрия. (первоначально) перпендикулярная линия, проведенная от одного конца дуги окружности к диаметру, проходящему через другой ее конец.

Математика. (действительного или комплексного числа x) функция sin x, определяемая бесконечным рядом x − (x3/3!) + (x5/5!) − + …, где ! обозначает факториал. Сравните косинус (по умолчанию 2), факториал (по умолчанию 1).

ВИКТОРИНА

МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ОТВЕЧАТЬ НА ЭТИ ОБЫЧНЫЕ ГРАММАТИЧЕСКИЕ СПОРЫ?

Есть грамматические дебаты, которые никогда не умирают; и те, которые выделены в вопросах этой викторины, наверняка снова всех разозлят. Знаете ли вы, как отвечать на вопросы, которые вызывают самые ожесточенные споры по грамматике?

Вопрос 1 из 7

Какое предложение верно?

Происхождение синуса

1585–95; <Новая латынь, латинский sinus кривая, складка, карман, перевод арабского jayb буквально, карман, по народной этимологии <санскрит jiyā, jyā аккорд дуги, буквально, тетива

Слова рядом с sine

Синд, Синдбад-мореход, Синдхи, синдон, синдонология, синус, синекура, синусоида, синусоида, Синемет, синусоида

Как использовать синус в предложении

Музыка может быть представлена в виде группы синусоидальных волн, и каждая синусоида имеет свою особую частоту.
Как Spotify обучил ИИ расшифровывать музыку|Шарлотта Ху|21 ноября 2022 г.|Popular-Science
Напротив, некоторые недорогие модели выдают смоделированную синусоидальную форму, что может быть проблематичным для некоторых более дорогих игровых ноутбуков и аудиооборудования.
Лучшие резервные батареи для поддержания вашего снаряжения в рабочем состоянии|Терри Салливан|10 сентября 2021 г.|Popular-Science
Такое накопление идентичностей уже является непременным условием, когда речь идет о выходцах из Латинской Америки, таких как Циммерман.
Джордж Циммерман, Выходцы из Латинской Америки и беспорядочная природа американской идентичности | Илан Ставанс | 6 апреля 2012 г. | DAILY BEAST
В стране промышленной революции иностранная собственность и управление являются непременным условием промышленного успеха.
Великобритания не в состоянии править волнами|Ноа Кристула-Грин|8 марта 2012 г.|DAILY BEAST

Эта некопченая вяленая ветчина является обязательным условием парижских мясных магазинов: легкая, эфемерное мясо, сладкое, но умами.
Пять лучших радиолюбителей Пасхи|Марк Скарбро|30 марта 2010 г.|DAILY BEAST
Он учит не торопиться, или, как говорят немцы, дает вам «Ruhe (отдых)», grand sine qua non!
Обучение музыке в Германии|Amy Fay
Vnica hc adest D. Potrincurtij familia, sine feminis capita sumus viginti.
Отношения иезуитов и союзнические документы, Vol. II: Acadia, 1612-1614|Various
Multa erat in Nov Franci messis, ubi incol pene belluarum more sine Numinis cognitione vivebant.
Отношения иезуитов и союзнические документы, Vol. II: Акадия, 1612-1614|Разное
Habemus hic Petronium integrum, quem vidi meis oculis non sine admiratione.
Философский словарь, том 1 (из 10)|Франсуа-Мари Аруэ (он же Вольтер)
O pulerae sine luxes aedes, vitaeque decore Splendida paupertas ingenuusque pudor!
Джулиан Хоум|Дин Фредерик В. Фаррар
существительное (угла)
1. тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике является отношением длины противоположной стороны к длине гипотенузы
2. функция, которая в окружности с центром в начале декартовой система координат представляет собой отношение ординаты точки на окружности к радиусу окружности
Сокращение: sin
Слово Происхождение синуса
C16: от латинского sinus — изгиб; в новой латыни sinus был ошибочно принят за перевод арабского jiba sine (от санскритского jīva, буквально: тетива) из-за путаницы с арабской кривой jaib 9.
No related posts.