Нестрогие неравенства как решать: Метод интервалов: случай нестрогих неравенств

Как решать строгие и нестрогие неравенства. Сложение и умножение неравенств. Строгие и нестрогие неравенства Методическая разработка учителя Поляковой Е. А

«Числовые неравенства» — Если a>b и mb, то а в степени n > b в степени n, где n — любое натуральное число. Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Если a>b и c>d, то a+c>b+d. Свойство 5. Свойство 1.

«Решение показательных неравенств» — Структура урока. Когда показательное неравенство не имеет решений? Альберт Эйнштейн. 1 Область определения функции. 3. Промежутки сравнения значений функции с единицей. Убывает на всей области определения, 8. При любых действительных значениях х и у; a>0, a?1; b>0, b?1. План лекции. Как решаются неравенства, сводящиеся к квадратным?

«Решение дробно-рациональных неравенств» — Решите неравенство. Знаменатель. Решение. Выколотые и невыколотые точки. Назовите числа. Числитель и знаменатель. Назовите выколотые и невыколотые точки. Точки. Найти «нули». Луч. Домножать на знаменатель, содержащий неизвестное. Решение дробно-рациональных неравенств. Определить знак. Решите. Выражение.

«Решение систем неравенств» — Закрепление. Записать неравенства, множеством решения которых служат промежутки. Решение систем неравенств. Повторение. Отрезки. Полуинтервалы. Чтобы решить систему линейных неравенств, достаточно решить каждое из входящих в неё неравенство и найти пересечение множеств их решений. Интервалы. Математический диктант.

«Показательные неравенства» — Что нужно учесть при решении показательных неравенств? Решение простейших показательных неравенств. Что нужно учесть при решении простейших показательных неравенств? Решение неравенства. Решение простейших показательных неравенств. Решите неравенство. Знак неравенства. Неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательным неравенством.

«Числовые неравенства и числовые промежутки» — Самостоятельная работа. Числовой луч. Неравенство. Проверка. Числовые промежутки. Понятие числового промежутка. Числовой отрезок. Множество действительных чисел. Полуинтервал. Изобразите промежутки на координатной прямой. Числовой промежуток. Открытый луч. Назовите промежутки. Множество всех чисел. Число.

Всего в теме 38 презентаций

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

Нестрогое неравенство — это неравенство вида f (x ) ≥ 0 или f (x ) ≤ 0, которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство f (x ) ≥ 0 — это объединение классического уравнения f (x ) = 0 и строгого неравенства f (x ) > 0. Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю .

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

• Интервал — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: (1; 5), (−7; 3), (11; 25) и т.д.;
• Отрезок — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: , [−7; 3], и т.д.

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал (9; 11). Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов.

Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

(x − 5)(x + 3) > 0

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

(x − 5)(x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

f (x ) = (x − 5)(x + 3)

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞)

Задача. Решите нестрогое неравенство:

(x − 5)(x + 3) ≥ 0

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

(x − 5)(x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

f (x ) = (x − 5)(x + 3)

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

x ∈ (−∞; −3] ∪ ∪ ∪ , а (−∞; −3] ∪

Задача. Решите неравенство:

x (12 − 2x )(3x + 9) ≥ 0

x (12 − 2x )(3x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2x = 0 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6;
3x + 9 = 0 ⇒ 3x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f (x ) = x (12 − 2x )(3x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Задача 1. Турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй более 25 км, значит, можно утверждать, что за два дня турист прошёл более 45 км. Задача 2. Длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, значит, можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см² При решении различных задач часто приходится складывать или умножать неравенства, т. е. складывать или умножать отдельно левые и правые части неравенств.

B и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 » title=»При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 «> 3 При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 1,2 6,5 1,8 b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 «> b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 1,2 6,5 1,8 b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 » title=»При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 «> title=»При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 «>

B, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 4 Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: а > b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, то а² > b². а > b а² > b² b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, то а² > b². а > b а² > b²»> b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 title=»Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: а > b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d.

Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8

B и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 5 Аналогично, если а, b положительные числа, а > b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 2 и 0 > 5 4 > 7 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 2 и 0 > 5 4 > 7″> b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 title=»Аналогично, если а, b положительные числа, а > b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5

2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не» title=»Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не»> 6 Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение невозможно 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не»> 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение невозможно»> 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не» title=»Блиц-опрос. Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не»> title=»Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не»>

4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше» title=»Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше»> 7 Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше 10 ед. Каким числом квадратных единиц может быть площадь S этого прямоугольника? Решение. По условию 2 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше»> 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше 10 ед. Каким числом квадратных единиц может быть площадь S этого прямоугольника? Решение. По условию 2 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше» title=»Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше»> title=»Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше»>

(больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и 8 Неравенства со знаками > (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и title=»Неравенства со знаками > (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и

B или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a 9 Неравенство a b означает, что a > b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a title=»Неравенство a b означает, что a > b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a

Записать условие задачи с помощью неравенств. 1)Рост Антона (h cm) не превышает роста Коли, равного 165 см, но больше роста Маши, равного 147 см. 2) Число дней в году (m) не меньше 365 и не больше) Чайник «Тефаль» (модель 208) вмещает (а л) не больше 1,7 л воды. 147____h_____ ____m_____165. а _____1,7.

Блиц-опрос. Записать условие задачи с помощью неравенства: 1) Сумма чисел х и 3 меньше 1 _________ 2) Разность чисел х и 8 больше 19 ________ 3) Произведение чисел 10 и х не больше 15 ________ 4) Утроенная сумма чисел х и 7 не больше числа 15 _________________

Метод интервалов, решение неравенств

Решение неравенств

Метод интервалов

Перенос знаков

Выбор точек

Система и совокупность

Точка знакопостоянства

---

Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:

1) Домножать на знаменатель.

2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.

3) Убирать бездумно логарифм или основание.

Начнем с простого: 

Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:

А само значение −4 нам подходит?

Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()

Ответ: x ∈ ( −4; +oo).

Разберемся со скобками:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>, <), скобки круглые «( )».

Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Следующий пример уже с дробью:

Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:

к.ч. (корни числителя)

к.з. (корни знаменателя)

Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки: 

Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем: 

Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>, <), скобки круглые «( )».

Ответ: x ∈  (2; 7].

Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности: 

Отметим на прямой решение каждого неравенства.

Решением системы «{» является тот участок, который подходит обоим неравенствам.

Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.

Мой любимый пример: 

Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!

А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:

Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем: 

В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».

Ответ: x ∈ (−3; 3).

Перейдем к квадратному уравнению:

Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак: 

Нам требуются положительные значения: 

Второй способ разложить на множители: 

Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).

А теперь простой, но крайне показательный пример:

Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример: 

Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:

Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).

Проверим это:

В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».

Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!

Ответ: x ∈ R \ {0} или x ∈ (−oo; 0) ∪ (0; +oo).

Переходим на новый уровень:

Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)

По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:

Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).

Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.

Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.

Ответ: (−oo; − 6) ∪ {0} ∪ [ 3; +oo).

Дальше интереснее:

По той же схеме корни числителя и знаменателя:

Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10: 

Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.

Ответ:  {−3} ∪ (−2; +oo).

Закрепляем последовательность:

Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя? 

Подставим x = 10 и расставим знаки:

Ответ: [ −oo; −5) ∪ [ 3; 5).

Все скользкие моменты разобрали, стало понятнее?

Резюме: 

1. Если знак строгий (>, <), все точки выколотые (в круглые скобки).
2. Если знак нестрогий (≥, ≤), корни числителя закрашенные, точки знаменателя выколотые [в квадратные скобки].
3. Если корень является решением уравнения четное кол-во раз (2, 4, 6, 8), то в этой точке знак меняться не будет.
4. Отдельная точка записывается {в фигурных скобках}.

Нашел ошибку/опечатку — напиши.

Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.

Общие сведения о неравенствах — Помощник для школьников Спринт-Олимпик.ру

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Содержание

• Определения и свойства
• Строгие и нестрогие неравенства
• Двойное неравенство
• Неравенство с переменной
• Как решать неравенства
• Числовые промежутки
  • Числовой луч
  • Открытый числовой луч
  • Отрезок
  • Интервал
  • Полуинтервал
• Изображение числовых промежутков на координатной прямой
• Примеры решения неравенств
• Когда решений нет
• Когда решений бесконечно много
• Задания для самостоятельного решения

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство неверно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 3. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.

Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.

Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9

Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство x ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.

Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2x > 6

Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2x > 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2x > 6.

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство x > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство x > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство x > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство x > 3 равносильно исходному неравенству 2x > 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству x > 3, будут подходить и неравенству 2x > 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство x > 3, а потом в исходное 2x > 6.

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства x > 3. Знак ∞ в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.

Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка.  Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8.

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид x ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x ≥ 3.

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

[ a ; +∞ )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈  [ 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство x ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≥ 3 является нестрогим.

Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a. 

К примеру, если a = 2, то неравенство примет вид x ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства x ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x ≤ 2.

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 ]

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

Пусть a = 3. Тогда неравенство примет вид x > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

( a ; +∞ )

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a. 

К примеру, если a = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2.  Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

( −∞ ; a )

Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 )

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

Отрезок

Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ x ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ x ≤ 8 является нестрогим.

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

[ a ; b ]

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8.

Интервал

Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Изобразим интервал на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < x < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x < 8 не принадлежат множеству его решений.

На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

( a ; b )

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < x < 8.

Полуинтервал

Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

[ a ; b )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < x ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 < x ≤ 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < x ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < x ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: ( a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < x ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8.

Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5

Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:

Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:

Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:

Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:

Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и [2; 5]

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.

Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и [2; 5] будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:

Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:

Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

Например, неравенство 2x > 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2

Получившееся неравенство x > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1. Решить неравенство x − 7 < 0

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

x − 7 + 7 < 0 + 7

В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

x < 7

Путём элементарных преобразований мы привели неравенство x − 7 < 0 к равносильному неравенству x < 7. Решениями неравенства x < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство x − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

x ∈  ( −∞ ; 7 )

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство x < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

2 < 7

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

4 < 7

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

А поскольку неравенство x < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства x < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству x > 4. Решениями неравенства x > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Изобразим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

3y − 6y> 1 − 1

Приведём подобные слагаемые:

−3y > 0

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства y < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Решениями неравенства  являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

 

Пример 5. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6x > 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

Решениями неравенства  являются все числа, которые больше . Граница  не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является строгим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 6. Решить неравенство 

Умножим обе части на 6

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5x < 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

Решениями неравенства x < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x < 6 строгим.

Изобразим множество решений неравенства x < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 7. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 10

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

Перенесем члены без x в правую часть

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 8. Решить неравенство 4 < 4x < 20

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4x < 20

Решениями неравенства 1 < x < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x < 5 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 < x < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

Получили неравенство 0,5 ≥ x ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

0 ≤ x ≤ 0,5

Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 10. Решить неравенство 

Умножим обе неравенства на 12

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 11. Решить неравенство 

Умножим все части неравенства на 3

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Когда решений нет

Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6x > 2(3x + 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6x > 6x + 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6x − 6x > 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Получили неравенство 0x > 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0x > 2 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x > 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6x > 2(3x + 1).

Пример 2. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 3

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x < −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x < −8, то не имеет решений и исходное неравенство .

Ответ: решений нет.

Когда решений бесконечно много

Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:

Решение:

Задание 2. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 3. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 4. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 5. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 6. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 7. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 8. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 9. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 10. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 11. Решите неравенство:

Решение:

 

Задание 12. Решите неравенство:

Решение:

 

Предыдущая

Математика с нуляСистемы линейных уравнений

Следующая

Математика с нуляСистемы линейных неравенств с одной переменной

Презентация по математике Неравенства (8 класс) доклад, проект

• Главная
• Разное
• Образование
• Спорт
• Естествознание
• Природоведение
• Религиоведение
• Французский язык
• Черчение
• Английский язык
• Астрономия
• Алгебра
• Биология
• География
• Геометрия
• Детские презентации
• Информатика
• История
• Литература
• Математика
• Музыка
• МХК
• Немецкий язык
• ОБЖ
• Обществознание
• Окружающий мир
• Педагогика
• Русский язык
• Технология
• Физика
• Философия
• Химия
• Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
• Экология
• Экономика

Презентация на тему Презентация по математике Неравенства (8 класс), предмет презентации: Алгебра.  Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 17 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Килачевская средняя общеобразовательная школа»

Неравенства

Проект ученицы 8 «а» класса
Делевин Екатерины Евгеньевны
Руководитель проекта
Шарапова Галина Геннадьевна

2019 год

---

Слайд 2Текст слайда:

Актуальность проекта

Данная тема выбрана мной, исходя из сложности изучения решения неравенств. Неравенства применяются как при решении алгебраических, так и геометрических задач.
Для успешного решения применяется алгоритм решения неравенств, которым я хочу овладеть. Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Например, неравенства используются при изучении свойств функции, решении текстовых задач, в которых построение математической модели приводит к неравенству или системе неравенств.
Знания, умения, навыки решения неравенств будут необходимы мне при подготовке к ОГЭ.

---

Слайд 3Текст слайда:

Цель исследования: изучить основные способы решения неравенств, рассматриваемые в основной школе. Задачи исследования: 1.Представить исторические сведения о возникновении в школьном курсе линии неравенств. 2.Выделить основные типы преобразований неравенств. 3.Применить основные способы решения неравенств.   Объект исследования: процесс решения неравенств основной школы.   Предмет исследования: линейные и квадратные неравенства.

---

Слайд 4Текст слайда:

Исторические сведения о возникновении неравенств

Архимед (III в. до н.э.)

Папп Александрийский

Евклид

---

Слайд 5Текст слайда:

Ученые, впервые использовавшие знаки строгих неравенств «», и нестрогих неравенств «≤ » и « ≥ »

Томас Гарриот

Пьер Бюге

---

Слайд 6Текст слайда:

Неравенства

Неравенствами называют выражения вида
а ≤ в , а≥ в или а ‹ в , а › в (нестрогие, строгие), где а и в могут быть числами или функциями.
Решением неравенства называется значение переменной (неизвестного), при котором неравенство превращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство это значить найти все его решения или установить что их нет.
Два неравенства называются равносильными, если их множества решений совпадают.

---

Слайд 7Текст слайда:

Вспомним

               

---

Слайд 8Текст слайда:

Основные виды преобразований неравенств

Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х) + d, равносильное исходному.
 Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)∙d > g(х)∙d, равносильное данному.
Если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)∙d

---

Слайд 9Текст слайда:

Основные виды решения линейных неравенств

---

Слайд 10Текст слайда:

Преобразование неравенства 5х – 5

.

---

Слайд 11Текст слайда:

Решение линейных неравенств

Решить неравенство: 3(х – 2) – 4(х + 1)  Упростим левую и правую части неравенства:
3х – 6 – 4х –х – 10 –3х х> – 2/3
Множество чисел х, удовлетворяющих конечному неравенству, на числовой оси изображается лучом, а точка х = –2/3 не принадлежит этому лучу (отмечается не закрашенной точкой на числовом луче), сам луч изображен штриховкой.
 
 Ответ: х∈(– 23 ;+∞).

---

Слайд 12Текст слайда:

Графический способ решения неравенства

Случаи решения неравенства ax² + bx + c > 0

---

Слайд 13Текст слайда:

Решить графически неравенство

Решить графически неравенство х²+5х-6≤0
Решение: рассмотрим у = х²+5х-6,
это квадратичная функция, графиком является парабола, т.к. а=1, то ветви направлены вверх.
у
+ +
-6 1 x
Ответ: [-6;1]

---

Слайд 14Текст слайда:

Решение неравенств методом интервалов

1. (x – 6)(x + 3) ≥ 0
1. Найдем корни уравнения (x – 6)(x + 3) = 0
x – 6 = 0 или x + 3 = 0
x = 6 x = — 3
2. Отметим корни на числовой оси.
+ — +
-3 6 х
Неравенству соответствуют промежутки со знаком «+»
3. Ответ: (–∞; –3] U [6; +∞).

---

Слайд 15Текст слайда:

Применение неравенств

---

Слайд 16Текст слайда:

Заключение

Я рассмотрела способы решения неравенств линейных и квадратных.
Научилась решать квадратные неравенства графическим способом и методом интервалов, а также записывать решение неравенства с помощью числовых промежутков.
Я проанализировала как используются неравенства, и какое применение находят в нашей жизни.
Поняла, что неравенства играют важную роль: каждый день мы что-то сравниваем, определяем форму необходимых нам предметов, приборов и механизмов. Неравенства просто необходимы при проектировании зданий, прокладывании дорог, они помогают в построении планов и схем, делают наш быт и повседневность проще, легче и удобней.
Неравенства – это интересно!

---

Слайд 17Текст слайда:

Спасибо за внимание

---

Скачать презентацию

Что такое shareslide.

ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

---

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Метод интервалов: примеры, решения

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f(x)<0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤, > или ≥). Здесь f(x) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

• произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х;
• произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

(x+3)·(x2−x+1)·(x+2)3≥0,

(x-2)·(x+5)x+3>0 ,

(x−5)·(x+5)≤0,

(x2+2·x+7)·(x-1)2(x2-7)5·(x-1)·(x-3)7≤0 .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

• находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
• определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
• определяем знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
• наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки < или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥, то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком «+».

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале (a, b), на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞).

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x-5x+1>0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞).

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток (−∞, −1). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t<−1, и так как −1<5, то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5.

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t+1<0 и t−5<0. Это значит, что t+1 и t−5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке (−∞, −1).

Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t-5t+1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x-5x+1 будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1). Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак «+».

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

Рассмотрим дробь x·(x-0,6)x7·(x2+2·x+7)2·(x+5)3. Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x·(x−0,6)=0 и x7·(x2+2·x+7)2·(x+5)3=0.

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x=0 и x−0,6=0, что дает нам два корня 0 и 0,6. Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x7=0, (x2+2·x+7)2=0, (x+5)3=0. Проводим ряд преобразований и получаем x=0, x2+2·x+7=0, x+5=0. Корень первого уравнения 0, у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения -5. Это нули знаменателя.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Возьмем неравенство x2-x+4x+3≥0. Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число -3. Получаем два промежутка на числовой прямой (−∞, −3) и (−3, +∞).

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x2-x+4x+3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Из первого промежутка (−∞, −3) возьмем −4. При x=−4 имеем (-4)2-(-4)+4(-4)+3=-24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком «-».

Для промежутка (−3, +∞)проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x=0 имеем 02-0+40+3=43. Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак «+».

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак «+».

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство (x-2)·(x-3)3·(x-4)2(x-1)4·(x-3)5·(x-4)≥0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2, 3, 4, знаменателя точки 1, 3, 4. Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток (4, +∞) будет знак +.

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4. Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения (x−4)2 и x−4. Сложим их степени 2+1=3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале (3, 4) будет знак минус.

Переходим к интервалу (2, 3) через точку с координатой 3. Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям (x−3)3 и (x−3)5, сумма степеней которых равна 3+5=8. Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.

Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х-2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

У нас остался последний интервал (−∞, 1). Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения (x−1)4, с четной степенью 4. Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

x+3-343·x2+6·x+112·x+2-34(x-1)2·x-235·(x-12)

в любой точке интервала 3-34,3-24.

Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь займемся применением полученных знаний и навыков на практике.

Пример 1

Решите неравенство (x-1)·(x+5)2(x-7)·(x-1)3≤0 .

Решение

Целесообразно применить для решения неравенства метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя. Нули числителя 1 и -5, нули знаменателя 7 и 1. Отметим их на числовой прямой. Мы имеем дело с нестрогим неравенством, поэтому нули знаменателя отметим пустыми точками, нуль числителя -5 отметим обычной закрашенной точкой.

Проставим знаки промежутков, используя правила изменения знака при переходе через нуль. Начнем с крайнего правого промежутка, для которого вычислим значение выражения из левой части неравенства в точке, произвольно взятой из промежутка. Получим знак «+». Перейдем последовательно через все точки на координатной прямой, расставляя знаки, и получим:

Мы работаем с нестрогим неравенством, имеющим знак ≤. Это значит, что нам необходимо отметить штриховкой промежутки, отмеченные знаком «-».

Ответ: (-∞,1)∪(1,7) .

Решение рациональных неравенств в большинстве случаев требует их предварительного преобразования к нужному виду. Только после этого появляется возможность использовать метод интервалов. Алгоритмы проведения таких преобразований рассмотрены в материале «Решение рациональных неравенств».

Рассмотрим пример преобразования квадратных трехчленов в записи неравенств.

Пример 2

Найдите решение неравенства (x2+3x+3)(x+3)x2+2·x-8>0.

Решение

Давайте посмотрим, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в записи неравенства отрицательны. Это позволит нам определить, позволяет ли вид данного неравенства применить для решения метод интервалов.

Вычислим дискриминант для трехчлена x2+3·x+3: D=32−4·1·3=−3<0. Теперь вычислим дискриминант для трехчлена x2+2·x−8: D’=12−1·(−8)=9>0. Как видите, неравенство требует предварительного преобразования. Для этого представим трехчлен x2+2·x−8 как (x+4)·(x−2), а потом применим метод интервалов для решения неравенства (x2+3·x+3)·(x+3)(x+4)·(x-2)>0 .

Ответ: (-4,-3)∪(2,+∞) .

Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод промежутков применяется для решения неравенств вида f(x)<0 (≤, >, ≥), где f(x) – произвольное выражение с одной переменной x.

Все действия проводятся по определенному алгоритму. При этом алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов будет несколько отличаться от того, что мы разобрали ранее:

• находим область определения функции f и нули этой функции;
• отмечаем на координатной оси граничные точки;
• наносим на числовую прямую нули функции;
• определяем знаки промежутков;
• наносим штриховку;
• записываем ответ.

На числовой прямой необходимо отмечать в том числе и отдельные точки области определения. К примеру, областью определения функции служит множество (−5, 1]∪{3}∪[4, 7)∪{10}. Это значит, что нам необходимо отметить точки с координатами −5, 1, 3, 4, 7 и 10. Точки −5 и 7 изобразим пустыми, остальные можно выделить цветным карандашом для того, чтобы отличать их затем от нулей функции.

Нули функции в случае нестрогих неравенств наносятся обычными (закрашенными) точками, строгих – пустыми точками. Если нули совпадают с граничными точками или отдельными точками области определения, то их можно перекрасить в черный цвет, сделав пустыми или закрашенными в зависимости от вида неравенства.

Запись ответа представляет собой числовое множество, которое включает в себя:

• промежутки со штриховкой;
• отдельные точки области определения со знаком плюс, если мы имеем дело с неравенством, знак которого > или ≥ или со знаком минус, если в неравенстве есть знаки < или ≤.

Теперь стало понятно, что тот алгоритм, который мы привели в самом начале темы, является частным случаем алгоритма применения обобщенного метода интервалов.

Рассмотрим пример применения обобщенного метода интервалов.

Пример 3

Решите неравенство x2+2·x-24-34·x-3x-7<0 .

Решение

Вводим функцию f такую, что f(x)=x2+2·x-24-34·x-3x-7 . Найдем область определения функции f:

x2+2·x-24≥0x≠7D(f)=(-∞,-6]∪[4,7)∪(7,+∞) .

Теперь найдем нули функции. Для этого проведем решение иррационального уравнения:

x2+2·x-24-34·x-3=0

Получаем корень x=12.

Для обозначения граничных точек на оси координат используем оранжевый цвет. Точки -6,4 у нас будут закрашенными, а 7 оставляем пустой. Получаем:

Отметим ноль функции пустой точкой черного цвета, так как мы работаем со строгим неравенством.

Определяем знаки на отдельных промежутках. Для этого возьмем по одной точке из каждого промежутка, например, 16, 8, 6 и −8, и вычислим в них значение функции f:

f(16)=162+2·16-24-34·16-316-7=264-159>0f(8)=82+2·8-24-34·8-38-7=56-9<0f(6)=62+2·6-24-34·6-36-7=24-152-1==15-2·242=225-962>0f(-8)=-82+2·(-8)-24-34·(-8)-3-8-7=24+3-15<0

Расставляем только что определенные знаки, и наносим штриховку над промежутками со знаком минус:

Ответом будет являться объединение двух промежутков со знаком «-»:(−∞, −6]∪(7, 12).

В ответ мы включили точку с координатой -6. Это не нуль функции, который мы бы не включили в ответ при решении строгого неравенства, а граничная точка области определения, которая входит в область определения. Значение функции в этой точке отрицательное, это значит, что она удовлетворяет неравенству.

Точку 4 мы в ответ не включили, точно также, как не включили весь промежуток [4, 7). В этой точке, точно также, как и на всем указанном промежутке значение функции положительно, что не удовлетворяет решаемому неравенству.

Запишем это еще раз для более четкого понимания: цветные точки необходимо включать в ответ в следующих случаях:

• эти точки являются частью промежутка со штриховкой,
• эти точки являются отдельными точками области определения функции, значения функции в которых удовлетворяют решаемому неравенству.

Ответ: (−∞, −6]∪(7, 12).

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

метод интервалов, алгоритм решения, определние, примеры

1. Понятие рациональных неравенств с одной переменной и их решения
2. Алгоритм решения неравенств первой степени
3. Алгоритм решения неравенств второй степени
4. Метод интервалов для неравенств первой и второй степени
5. Обобщение метода интервалов для целых рациональных неравенств любой степени
6. Примеры

Понятие рациональных неравенств с одной переменной и их решения

Общие свойства неравенств и линейные неравенства с одной переменной подробно рассматриваются в Главе 6, §§36-40 справочника для 8 класса. 3+1 \gt 3y-5 $$

Решением рационального неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.

При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 справочника для 8 класса), из которых следует:

• если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
• если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.

Алгоритм решения неравенств первой степени

Напомним, что неравенство первой степени также называют «линейным неравенством» (см. Главу 6, §§36-40 справочника для 8 класса)

На входе: неравенство $ax+b \gt 0$ или $ax+b \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x — переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R$ — некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$.

Ход решения:

$$ ax+b \gt 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c}a \gt 0 \\ x \gt -\frac{b}{a}, т.е. x \in (-\frac{b}{a};+ \infty)\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \lt -\frac{b}{a}, т.е. x \in(- \infty;-\frac{b}{a} )\end{array} \right.} \end{array} \right. $$

$$ ax+b \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a \gt 0\\x \ge -\frac{b}{a}, т.е. x \in [-\frac{b}{a};+ \infty) \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \le -\frac{b}{a}, т.е. x \in (- \infty;-\frac{b}{a}]\end{array} \right.} \end{array} \right. $$

Неравенства со знаками $ \lt $ и $ \le $ решаются аналогично.

Например:

1. $5x+8 \gt 0 \Rightarrow 5x \gt -8 \Rightarrow x \gt -1,6 \Rightarrow x \in(-1,6;+ \infty)$

2. $4-2x \le 0 \Rightarrow -2x \le -4 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow x \in [2;+ \infty)$

Алгоритм решения неравенств второй степени

На входе: неравенство $ax^2+bx+c \gt 0$ или $ax^2+bx+c \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x — переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R, c \in \Bbb R$ — некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$. 2+7x+10 \gt 0 $

D = 49-40 = 9

$x = \frac{-7 \pm 3}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -5 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$

$a = 1 \gt 0$, парабола ветками вверх, точки над осью OX соответствуют

промежуткам:

$x \in (-\infty;-5) \cup (-2;+\infty)$

Метод интервалов

Исследуем знаки (так называемые, промежутки знакопостоянства) для функции f(x) = x-a. Все x, расположенные левее a, меньше: $x \lt a \Rightarrow x-a \lt 0$. А все x, расположенные правее a, больше: $x \gt a \Rightarrow x-a \gt 0$.

Заметим, что при x = a, f(x) = 0.

Введём понятие «белой» (незакрашенной) и «чёрной» (закрашенной) точек.

Cформулируем следующее правило:

При решении строгих неравенств $(>, \lt)$ на числовой прямой следует отмечать «белые» точки, при решении нестрогих неравенств $(\le, \ge)$ на числовой прямой следует отмечать «чёрные» точки .

Получим такое соответствие схем и решений:

$x-a \lt 0, x \in (-\infty;a)$

$ x-a \gt 0, x \in (a;+\infty) $

$x-a \le 0, x \in (-\infty;a]$

$x-a \ge 0, x \in [a;+\infty)$

Теперь понятен смысл «белых» и «чёрных» точек.

Исследуем знаки для функции f(x) = (x-a)(x-b). Это – парабола, ветками вверх, и для неё, как было показано выше:

$$ f(x) \gt 0 при x \lt a \cup x \gt b, \quad f(x) \lt 0 при a \lt x \lt b $$

В качестве примера, для строгих и нестрогих неравенств получаем:

$(x-a)(x-b) \lt 0, x \in (a;b)$

$(x-a)(x-b) \gt 0,$

$x \in (- \infty ;a) \cup (b;+ \infty )$

$(x-a)(x-b) \le 0,x \in [a;b]$

$(x-a)(x-b) \ge 0,$

$ x \in (- \infty ;a] \cup [b;+ \infty )$

Посмотрим, как это работает на практике.

Решим неравенство: $(x-3)(x+2) \gt 0$.

Шаг 1. Неравенство строгое, поэтому отметим на числовой прямой «белые» точки -2 и 3.

Вся числовая прямая теперь разделена на три области:

1) левее -2; 2) между -2 и 3; 3) правее 3.

Шаг 2. Возьмём любой x из первой области, левее -2. Например, x = -5. Подставим его в исходное выражение: (-5-3)(-5+2). Не считая, определим знак каждой скобки-сомножителя: $ \underbrace{(-5-3)}_{\lt 0} \underbrace{(-5+2)}_{\lt 0}$. Поскольку «минус на минус даёт плюс», произведение двух скобок $ \gt 0$, т.е. положительное. Помечаем всю первую область знаком «+».

Шаг 3. Возьмём любой x из второй области, между -2 и 3. Например, x = 0. Подставим: $ \underbrace{(0-3)}_{\lt 0} \underbrace{(0+2)}_{\gt 0}$. Произведение двух скобок разных знаков $ \lt 0 $, т.е. отрицательное. Помечаем всю вторую область знаком «-».

Шаг 4. Возьмём любой x из третьей области, правее 3. Например, x = 10. Подставим: $\underbrace{(10-3)}_{\gt 0} \underbrace{(10+2)}_{\gt 0}$. Произведение двух скобок $ \gt 0$, т.е. положительное.

Помечаем всю третью область знаком «+».

Шаг 5. По условию нам нужно выбрать промежутки $\gt 0$, т.е. помеченные «+». Записываем ответ: $x \in (-\infty ;-2) \cup (3;+\infty )$.

Преимущества метода интервалов:

• если левая сторона неравенства может быть представлена в виде произведения линейных сомножителей, ответ получается «автоматически», не нужно задумываться о расположении точек параболы относительно оси OX, не говоря уже о более сложных графиках;
• с помощью метода можно решать неравенства любого порядка, т. 2+5 \cdot (-2)+6 = 0$

  При этом: $P_2 (x) = (x+3)(x+2)$

  Если c — корень многочлена $P_n (x)$, то многочлен делится на (x-c) без остатка.

  СЛУЧАЙ 1. Линейные сомножители в 1-й степени

  Пусть многочлен $P_n (x)$ имеет n различных корней $c_i,i = \overline{1,n}$. Тогда его можно представить в виде произведения:

  $$ P_n (x) = (x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) $$

  Алгоритм решения неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \gt 0$ методом интервалов

  Пусть для определенности $c_1 \lt c_2 \lt ⋯ \lt c_n$. Этого всегда можно добиться, т.к. от перестановки сомножителей произведение не изменяется.

  Шаг 1. Отметить на числовой прямой корни $c_1,c_2,…c_n$. Т.к. неравенство строгое, точки должны быть «белыми». Числовая прямая будет поделена на n+1 областей:

  1) левее $c_1$; 2) между $c_1$ и $c_2$; 3) между $c_2$ и $c_3$; …;n+1) правее $c_n$.

  Шаг 2. Из каждой области выбрать произвольный x, подставить в выражение слева, определить его знак, пометить область «+» или «-».

  Шаг 3. Выбрать области, помеченные «+». Записать ответ как объединение этих промежутков.

  При решении неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \lt 0$ последовательность шагов аналогична, только в ответ нужно отбирать области, помеченные «-».

  Для нестрогих неравенств действуем также, только точки на прямой должны быть «чёрными» и включаться в множество решений (с помощью квадратных скобок).

  Например:

  Решим неравенство $(x-4)(x+3)(x-1) \lt 0$

  Отмечаем на прямой корни (т.е. такие x, которые обращают каждую из скобок в 0).

  Неравенство строгое – все точки на числовой прямой «белые»:

  Числовая прямая делится на 4 области:

  1) левее -3; 2) между -3 и 1; 3) между 1 и 4; 4) правее 4.

  Из каждой области выбираем произвольный x, подставляем в (x-4)(x+3)(x-1), и находим знак произведения скобок:

  По условию произведение $ \lt 0$, т.е. выбираем промежутки, помеченные «-».

  Ответ: $x \in (-\infty;-3) \cup (1;4)$. 5 \le 0$

  Неравенство нестрогое. Убираем вторую скобку с чётной степенью, добавляем требование равенства корню в совокупность. Заменяем скобку с нечётной степенью на скобку в 1-й степени:

  $ \left[ \begin{array}{cc} (x+4)(x+6) \le 0 \\ x = 2 \end{array} \right.$

  $x \in [-6;-4] \cup \{2\}$

  Решение неравенств: объяснение и примеры

  В контексте алгебры неравенство можно определить как математическое утверждение, которое показывает отношение между двумя выражениями с помощью символов неравенства «>», «<», «≥» и «≤». . Выражения по обе стороны от знака неравенства не равны. Это означает, что алгебраическое выражение в левой части должно быть больше или меньше выражения в правой части или наоборот.

  Открытое предложение: Неравенство, содержащее только одну переменную.

  Пример: x < 10

  Двойные неравенства: Неравенство, представляющее двойное отношение числа/выражения.

  Пример: -5≤x<12 

  Строгое неравенство

  Меньше символа «<» и больше символа «>» называются строгими неравенствами, поскольку они показывают, что числа/выражения строго больше или меньше друг друга.

  Пример: 5 < 10

  Неравенство Слака

  Меньше или равно символу «≤» и больше или равно символу «≥» называются слабыми неравенствами, поскольку они представляют отношение между числами/выражениями не является строгим. Окончательное решение включает граничные условия.

  Пример: x ≥ 15

  Свойства неравенств

  Прежде чем мы начнем обсуждать решение неравенств, мы должны сначала понять некоторые свойства, необходимые для решения неравенств. Эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими им строгими неравенствами (< и >). В случае применения функции монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями.

  Converse

  Отношения ≤ и ≥ — обратные друг друга, что означает, что для любых реальных чисел A и B ,

  A ≤ B и B ≥ A B и B ≥ A B и B ≥ A B и B ≥ A B и B ≥ .

  Транзитивность

  Транзитивность неравенства утверждает, что для любых действительных чисел a , b и c, то если a ≤ b и b ≤ c, то a 3 c

  4 .

  Если любая из посылок является строгим неравенством, то и заключение является строгим неравенством.

  Если a ≤ b и b < c , то a < c .

  Если a < b и b ≤ c , то a < c .

  Сложение и вычитание

  Добавление или вычитание общей константы c из обеих частей неравенства не влияет на отношение. Отношение неравенства сохраняется при сложении и вычитании, а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

  Пусть a, b и c — действительные числа.

  Если a≤b, то a+c≤b+c и a-c≤b-c.

  Умножение и деление

  Отношение неравенства сохраняется при выполнении операции умножения и деления с положительной константой. Однако в случае отрицательной константы отношение неравенства меняется на противоположное.

  Пусть a и b — два действительных числа, учитывая, что a ≤ b .

  Если c>0 и c≠0, то ac ≤ bc и а/с ≤b/с .

  Если c<0 и c≠0, то ac ≥ bc и a/c≥b/c.

  Аддитивное обратное

  Свойство аддитивного обратного утверждает, что для любых вещественных чисел a и b , если a ≤ b , то − 904 b 9 04 9 ≥ .

  Мультипликативное обратное

  Для положительных чисел отношение неравенства между их мультипликативными обратными является обратным отношению между исходными числами. Для любых двух ненулевых действительных чисел a и b, которые являются как положительными, так и отрицательными, если a≤b, то 1/a≥1/b.

  Если 0 < a ≤ b, то 1/a≥1/b > 0.

  Если a ≤ b < 0, то 0>1/a ≥1/b.

  Если a < 0 < b, то 1/a < 0 < 1/b.

  Применение функции к обеим частям

  Соотношение неравенства остается в силе при применении монотонно возрастающей функции к обеим частям уравнения при условии, что эти выражения лежат в области определения функции. Однако применение монотонно убывающей функции меняет неравенство на противоположное. Если неравенство строгое, а функция строго монотонная, то неравенство остается строгим. Но если только одно из условий строгое, то неравенство становится нестрогим.

  Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (− n < 0), когда a и b — положительные действительные числа:

  0 ≤ a ≤ b; 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ

  0 ≤ a ≤ b; a ^-n ≥ b ^-n ≥ 0

  Возьмем натуральный логарифм обеих частей неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:

  0 < a ≤ b; ln(a) ≤ ln(b)

  0 < a < b; ln(a)< ln(b)

  Перейдем теперь к методам решения неравенств.

  Как решать неравенства?

  Есть два вида неравенства. Давайте изучим их один за другим.

  Как решать неравенства с одной переменной?

  Если линейное неравенство содержит только одну переменную, оно называется линейным неравенством с одной переменной. Итак, здесь нам нужно найти значение неизвестной переменной.

  Вопрос: 7x+3<5x+9

  Решение:

  Вычесть 5x из обеих частей неравенства

  Таким образом,

  7x+3-5x < 5x+9-5x

  =2x+3 <9

  =2×0

  =2x < 6

  =x < 3

  Следовательно, упрощенная форма линейного неравенства 7x+3 < 5x+9 равна x < 3.

  Если линейное неравенство имеет только одну переменную, то график может быть рисуется с помощью числовой прямой. Чтобы построить линейное неравенство, мы должны сначала решить для данной переменной. Найдя множество решений, мы будем использовать его для построения графика данного неравенства. Возьмем пример предыдущего вопроса, т.е. 7x+3<5x+9.

  Множество решений неравенства равно x <3, что равно (-∞, 3).

  Как решать неравенства с двумя переменными?

  Если линейное неравенство содержит две переменные, то оно называется линейным неравенством с двумя переменными. Здесь мы должны найти набор решений для пары значений x и y, то есть (x, y).  

  Вопрос: 40x+20y ≤ 120

  Решение:

  Сначала возьмем левую сторону уравнения, 40x+20y

  Пусть x=0, получаем

  40x+20y = 40(0)+20y

  = 20y

  Следовательно, 20y ≤ 120

  =y ≤ 6

  Таким образом, если y может быть равно 0, то принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6, то есть (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0,6). Точно так же, если мы возьмем x = 1, 2 и 3, возможны следующие решения: (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ( 2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0).

  График линейного неравенства с двумя переменными должен быть на декартовой плоскости или координатной плоскости X-Y. Рассмотрим проблему неравенства ранее решенного примера: 40x+20y ≤ 120,

  Чтобы представить это уравнение графически, сначала рассмотрим уравнение 40x+20y = 120 и нарисуем его график. Теперь нанесите точки (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0,6), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0) в координатной плоскости.

  Решение сложных неравенств

  Прежде чем перейти к решению сложных неравенств, давайте определимся, что они из себя представляют. Составное неравенство включает в себя два неравенства в одном утверждении. Например: -5≤x<12 означает, что -5≤x, а также x<12. Для решения составных неравенств мы можем разделить их на два простых оператора одиночного неравенства и решить их, как мы делали это раньше.

  Вопрос:

  3 ≤ 2x + 2 < 6

  Решение:

  Первым шагом является запись двух отдельных неравенств: 3 ≤ 2x + 2 и 2x + 2 < 0. 3 9002 Решим их 9002. независимо следующим образом.

  3 ≤ 2x + 2 и 2x + 2 < 6

  1 ≤ 2x и 2x < 4

  12 ≤ x и x < 2

  Тогда мы можем переписать решение в виде составного неравенства, так же как и задачу началось.

  12 ≤ х < 2

  В интервальной записи решение записывается как [ 1/2,2)

  Как решать абсолютные неравенства?

  Прежде чем мы ответим на вопрос, как решать неравенства абсолютного значения, давайте сначала поймем, что означает абсолютное значение.

  Абсолютное значение величины всегда является положительным числом или нулем. Его часто используют для описания расстояния между двумя числами, поскольку оно всегда положительно независимо от направления. Неравенства абсолютного значения представляют собой уравнения вида: 

  |А| < В, |А| ≤ В, |А| > В или |А| ≥ B

  Теперь давайте ответим на вопрос, как решать абсолютные неравенства. Для решения абсолютных неравенств нам нужно получить набор значений, который удовлетворяет задаче. Это будет интервал или объединение двух интервалов, включающее диапазон значений.

  Важные формулы для решения абсолютных неравенств

  Ниже приведены некоторые полезные формулы для решения абсолютных неравенств.

  Для алгебраического выражения X и k>0,

  |x|

  |x|>k эквивалентно x<-k или x>k.

  Эти операторы также применимы к |x|<=k и |x|>=k.

  Вопрос: Опишите все значения на расстоянии 4 от числа 5.

  Решение:

  Нам нужно, чтобы расстояние между x и 5 было меньше или равно 4. Это можно представить в виде символ абсолютного значения |x-5|≤4.

  Нам нужно написать два неравенства, так как всегда есть два решения уравнения с абсолютной величиной.

  x – 5 ≤ 4 и x – 5 ≥ -4

  x ≤ 9 и x ≥ 1

  и включая 1 и 9.

  Так |х – 5| ≤ 4 эквивалентно [1, 9] в интервальной записи.

  PSLV: Неравенства

  PSLV: Неравенства

  НЕРАВЕНСТВА

  Обратите внимание, что материалы на этом веб-сайте не являются исчерпывающими.

  
  Это краткий и дополнительный материал. Неравенство

  Таблица 1: Обозначения

  Символ	Значение
  	меньше
  ≤	меньше или равно
  ≥	больше или равно
  >	больше

  Неравенство

  означает, что одно выражение меньше, меньше или равно, больше или больше или равно другому выражению.

  Таблица 2: Свойства неравенства

  Пусть а , b и c — действительные числа. Если а , то а + с . Если a и если c > 0 , то ac . Если a и если c , то ac > bc .

  Замена на > или ≤ на ≥ приводит к аналогичным свойствам.

  Умножение может быть заменено делением в свойствах 2 и 3. Не забудьте изменить направление символа неравенства при умножении или делении на отрицательное число.

  Строгое неравенство

  — это неравенства, в которых используются символы и > .

  Нестрогое неравенство

  — это неравенства, в которых используются символы ≤ и ≥ .

  
  Линейное неравенство

  Линейное неравенство с одной переменной

  — неравенство, которое можно записать в виде ax + b , где a и b — действительные числа, где а ≠ 0 .

  Любой из символов ≤ , ≥ , > также может использоваться в линейном неравенстве.

  Таблица 3: Интервалы

  Типы интервалов	Набор нотаций конструктора	Обозначение интервала	График
  Открытый интервал	{ х | х > а } { х | { х | х	(а, ∞) (а, б) ( ∞, б)	←( → а ←( )→ а               б ← )→                       б
  Другой интервал	{ х | х ≥ а } { х | { х | а ≤ х { х | х ≤ б }	[а, ∞) (а, б] [а, б) ( ∞, б)	←[ → а ←( ]→ а               б ←[ )→ а               б ← ]→                       б
  Закрытый интервал	{ х | а ≤ х ≤ б }	[а, б]	←[ ]→ а               б
  Непересекающийся интервал	{ х | х	( ∞, а ) ∪ ( б , ∞ )	← )( → а               б
  Все действительные интервалы	{ х | х — действительное число }	( ∞, ∞ )	← →

  
  

  ПРИМЕРЫ: 14, 16, 18, 20, 22, 24,

  
  Трехчастное неравенство

  Неравенства в трех частях решаются с помощью расширения свойств неравенств, обрабатывая все три выражения одновременно.

  ПРИМЕРЫ: 30, 32, 34, 36, 38,

  
  Квадратичные неравенства

  Квадратное неравенство

  есть неравенство, которое можно записать в виде ax ² + bx + c , для вещественных чисел a , b и с , где а ≠ 0 .

  Любой из символов ≤ , ≥ , > также может использоваться в квадратном неравенстве.

  Решение квадратного неравенства

  1. Решите соответствующее квадратное уравнение.
  2. Определите интервалы, определяемые решениями уравнения.
  3. Используйте тестовое значение из каждого интервала, чтобы определить, какие интервалы составляют набор решений.

  ПРИМЕРЫ: 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 62, 64, 66, 68,

  
  Рациональные неравенства

  Рациональные неравенства

  — это неравенства, включающие одно или несколько рациональных выражений.

  Решение рационального неравенства

  1. При необходимости перепишите неравенство так, чтобы в одной части было 0 , а в другой — одна дробь.
  2. Определить значения, при которых либо числитель, либо знаменатель рационального выражения будут равны 0 , что приведет к рассмотрению интервалов.
  3. Используйте тестовое значение из каждого интервала, чтобы определить, какие интервалы составляют набор решений.

  Значение, при котором знаменатель равен 0 , никогда не будет включено в набор решений. Если неравенство является строгим, любое значение, при котором числитель равен 0 , будет исключено из набора решений. Если неравенство нестрогое, любое такое значение будет включено в набор решений.

  ПРИМЕРЫ: 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92,

  НЕОБХОДИМОЕ НАЗНАЧЕНИЕ : Проверьте крайний срок в календаре на сайте Angel.

  ИНДЕКС Неравенство Линейное неравенство Нестрогое неравенство Квадратное неравенство Рациональное неравенство Решение квадратных неравенств Решение рациональных неравенств Строгое неравенство Таблица 1: Обозначения Таблица 2: Свойства неравенства Таблица 3: Интервалы Трехчастное неравенство

  ---

  Источник упражнений: Колледж алгебры и тригонометрии Лиала, Хорнси, Шнайдера, Дэниэлса, пятое издание, раздел R4, стр. 145-149

  ---

  © 2012-05-25 cpsm rcm ; последнее обновление 2014-06-12 21:13

  ---

  Как решать линейные неравенства

  Ключевые термины

  o Линейное неравенство

  o Решение Набор

  Цели

  o Узнайте, как график линейный неравен для линейных уравнений

  o         Уметь решать линейные неравенства

   

   

  Линейные неравенства

   

  Линейное неравенство включает отношения между линейными функциями, как и линейные уравнения. Разница, однако, заключается в том, что линейные неравенства связывают две линейные функции с помощью символов <, ≤, > или ≥, которые соответствуют соответственно меньше, меньше или равно, больше и больше или равно. Поскольку эти отношения не включают строгое равенство, решения для выражений, которые их содержат, более сложны, чем аналогичные выражения, которые включают строгое равенство. По большей части те же самые правила, которые мы использовали для линейных уравнений, применимы и к линейным неравенствам, однако необходимо учитывать несколько нюансов.

   

  Рассмотрим простое линейное неравенство: f ( x ) > 2 x – 1. Это выражение просто означает, что выходом функции f являются те значения, которые больше 2 x – 1. Давайте посмотрим на это неравенство графически – сначала мы должны построить линию 2 x – 1, которая является границей между значениями, удовлетворяющими неравенству, и теми, которые не удовлетворяют.

   

   

  Линия на приведенном выше графике определяет функцию (или уравнение) f ( x ) = 2 x  – 1; однако мы хотим найти f ( x ) > 2 x  – 1. Другими словами, значения f ( x ), удовлетворяющие этому неравенству, равны больше , чем те, которые соответствуют выражению 2 x — 1. Поскольку f ( x ) и 2 x  – 1 являются наборами значений вдоль вертикальной оси, график f ( x ) > 2 x  – 1 должны быть все значения над линией, но не включая строку. (Если бы выражение было f ( x ) ≥ 2 x  – 1, то график включал бы линии.) Чтобы отобразить этот набор значений для f ( x ) на графике , мы затеняем область над линией, но делаем линию ломаной, чтобы показать, что линия не является частью области, удовлетворяющей выражению f ( x )> 2 x — 1.

  Если неравенство составило F ( x ) <2 x — 1 или F ( x 4) ≤ 2 F ( x ) ≤ 2 F ( x ) ≤ 2 F ( x x — 1 или F ( x ).  – 1, то область под линией 2 x  – 1 будет затенена (а линия будет или не будет сплошной в зависимости от того, какое выражение было использовано).

   

   

  Практическая задача: Нарисуйте неравенство k ( z ) ≤ – z + 4.

   

  Решение: Сначала начертим соответствующий набор осей и нарисуем линию – z + 4. Мы будем использовать сплошную линию, поскольку линия сам является частью набора решений (поскольку используется ≤). Далее мы заштрихуем область под линией. Результат должен выглядеть, как на следующем графике.

   

   

  Мы можем выполнить «необходимую, но недостаточную» проверку результата, чтобы придать нам больше уверенности в этом ответе: выберите любую точку в заштрихованной области и используйте эти значения, чтобы увидеть, выполняется ли для нее неравенство. точка. Попробуем точку (4, 0):

   

  –z + 4 = –4 + 4 = 0

  k (4) = 0 ≤ 0. , то решением являются все значения по одну или по другую сторону от некоторой вертикальной линии x = c , где c — некоторая константа. Например, давайте посмотрим на неравенство –7 x  – 5 ≤ –2 + x . Мы можем манипулировать неравенствами, используя те же правила алгебры, которые применяем к алгебраическим уравнениям. Однако есть одно отличие: если обе части неравенства умножить на отрицательное число, вы должны изменить направление неравенства на противоположное. Мы можем увидеть это на простых числах: 4 < 6, но –4 > –6. Выразим это правило в общем виде для функций F ( x ) и G ( x ) и постоянное значение — C (где C > 0):

  F ( x ) < F ( x ) < F ( x ). ( x ) → – cf ( x ) > – cg ( x )

  f ( x ) > g ( x ) → – cf ( x ) < – cg ( x )

  f ( x ) ≤ g ( x ) → – cf ( x ) ≥ – cg ( x )

  f ( x ) ≥ g ( x ) → – cf ( x ) ≤ – cg ( x )

   

  Теперь вернемся к нашему примеру.

   

  –7 x – 5 ≤ –2 + x

  –7 x – 5 – x ≤ –2 + x 04 –

  –8 x — 5 ≤ –2

  –8 x — 5 + 5 ≤ ~ –2 + 5

  –8 x ≤ 3

  Сейчас. Напомним новое правило:

  –8 x ≤ 3

  (-8 x ) ≥ (3)

  x ≥

  Это является решением. Обратите внимание, однако, что это диапазон значений, а не просто одно значение. Мы называем множество решений уравнения или неравенства набор решений . Давайте графически посмотрим на набор решений для этого неравенства. Обратите внимание: поскольку наше решение включает только независимую переменную, мы можем построить результаты, используя числовую прямую вместо плоского графика. При этом используйте открытый кружок (), если конечная точка набора решений включает , а не , и используйте закрытый кружок (), если включает . Мы используем стрелку (луч), чтобы указать набор решений.

   

   

  Обратите внимание, что мы используем сплошную линию, потому что неравенство имеет форму «больше или равно». Заштрихованная область на графике, включая сплошную линию, представляет собой набор решений неравенства –7 x  – 5 ≤ –2 + x .

   

   

  Практическая задача: Найдите и изобразите на графике набор решений 3 x  – 4 < 1 – x .

   

  Решение : Во-первых, мы можем манипулировать неравенством, чтобы найти соответствующее решение в терминах независимой переменной х .

   

  3 x  – 4 < 1 – x

  3 x  – 4 + 4 < 1 – x + 4

  3 x < 5 – x

  3 x + x <5 - x + x

  4 x <5

  x <5/4

  Мы можем проверить это результат, используя значение, которое удовлетворяет x. < 5/4 _{; попробуем x = 0.}

  3(0) – 4 < 1 – (0)

  –4 < 1 Неравенство выполняется

   

  Теперь давайте нанесем результат на график. Обратите внимание, что мы используем открытый кружок на x = _{5/4, потому что набор решений представляет собой строгое неравенство (используется символ <).}

   

   

    

  Введение в неравенства

  Этот материал может показаться трудным для понимания. Рекомендуется изучать его небольшими порциями.

  Определения и свойства

  Два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠, будем называть неравенством.

  Пример: 5 > 3

  Это неравенство говорит о том, что число 5 больше числа 3. Острый угол знака неравенства должен указывать на меньшее число. Это неравенство верно, потому что 5 больше 3.

  Если положить арбуз весом 5 кг на левые весы и арбуз весом 3 кг на правые весы, левые весы перевесят правые. ручные весы и экран весов покажет, что левые весы тяжелее правых:

  Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую части неравенства можно поменять местами, поменяв знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: на правую чашу можно положить большой арбуз, а на левую — маленький арбуз. Тогда правая чаша перевесит левую и на экране появится знак <

  Если поменять знак неравенства 5 > 3, не касаясь левой и правой частей, на <, получится неравенство 5 < 3. Это неравенство неверно, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

  Числа в левой и правой частях неравенства называются членами неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

  Рассмотрим некоторые важные свойства неравенства 5 > 3.
  В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

  Свойство 1.

  Если к левой и правой частям неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

  Например, прибавляем к обеим частям неравенства число 4:

  Видим, что левая часть все равно больше правой.

  Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 некоторое число, скажем, число 2

  Мы видим, что левая часть все же больше правой.

  Из этого свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив знак этого члена. Знак неравенства не изменится.

  Например, в неравенстве 5 > 3 переместите член 5 из левой части в правую, изменив знак члена. После переноса члена 5 в правую часть в левой части ничего не останется, поэтому мы пишем туда 0

  0 > 3 − 5

  0 > −2

  Мы видим, что левая часть все еще больше, чем право.

  ---

  Свойство 2.

  Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

  Например, умножьте обе части неравенства 5 > 3 на некоторое положительное число, скажем, на число 2. Тогда мы получим:

  Мы видим, что левая часть все еще больше правой.

  Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на некоторое число. Разделим их на 2

  Видим, что левая часть все равно больше правой.

  ---

  Свойство 3.

  Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

  Например, умножьте обе части неравенства 5 > 3 на некоторое отрицательное число, скажем -2. Тогда получаем:

  Видим, что левая часть меньше правой. То есть знак неравенства меняется на противоположный.

  Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на некоторое отрицательное число. Разделим их на -1

  Видим, что левая часть меньше правой. То есть знак неравенства меняется на противоположный.

  Само неравенство можно понимать как условие. Если условие выполнено, то неравенство верно. И наоборот, если условие не выполняется, неравенство неверно.

  Например, чтобы ответить на вопрос, верно ли неравенство 7 > 3, нужно проверить, верно ли условие «, если 7 больше 3 ». Мы знаем, что число 7 больше числа 3. То есть условие выполнено, значит, неравенство 7 > 3 верно.

  Неравенство 8 < 6 неверно, так как условие " 8 меньше 6 » не выполняется.

  Другой способ определить, верно ли неравенство, состоит в том, чтобы составить разницу между левой и правой частями данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой. Точнее это правило выглядит так:

  Число a больше числа b, если разность a — b положительна. Число а меньше числа b, если разность a — b отрицательна.

  Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 верно, поскольку число 7 больше числа 3. Докажем это, используя приведенное выше правило.

  Сопоставим слагаемые 7 и 3. Тогда получим 7 — 3 = 4. По правилу число 7 больше 3, если разность 7 — 3 положительна. У нас он равен 4, значит, разница положительная. Значит, число 7 больше числа 3.

  Используйте разницу, чтобы проверить, верно ли неравенство 3 < 4. Составляем разницу, получаем 3 - 4 = -1. По правилу число 3 меньше числа 4, если разность 3 - 4 отрицательна. У нас он равен -1, поэтому разница отрицательна. Значит, число 3 меньше числа 4.

  Проверим, верно ли неравенство 5 > 8. Составляем разницу, получаем 5 — 8 = -3. По правилу число 5 больше числа 8, если разность 5 — 8 положительна. Наша разница равна -3, значит, она 9.0005 не является положительным. Таким образом, число 5 равно и не больше числа 3 на . Другими словами, неравенство 5 > 8 неверно.

  ---

  Строгие и нестрогие неравенства

  Неравенства, содержащие знаки >, <, называются строгими . Неравенства со знаками ≥, ≤ называются нестрогими .

  Примеры строгих неравенств, которые мы рассмотрели ранее. Это неравенства 5 > 3, 7 < 9.

  Например, неравенство 2 ≤ 5 не является строгим. Это неравенство звучит так: «2 меньше или равно 5».

  Запись 2 ≤ 5 неполная. Полная запись этого неравенства такова:

  2 < 5 или 2 = 5

  Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: « два меньше пяти » и « два равно пяти «.

  Нестрогое неравенство верно, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верно условие «2 меньше 5». Значит, неравенство 2 ≤ 5 также верно.

  Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 верно, так как выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

  Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 неверно, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2, ни 5 = 2.

  ---

  Двойное неравенство

  Число 3 больше числа 2 и меньше числа 4. Запишем это в виде неравенства: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называется двойным неравенством.

  Двойные неравенства могут содержать признаки нестрогих неравенств. Например, если число 5 больше или равно числу 2 и меньше или равно числу 7, то мы можем написать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

  Чтобы правильно написать двойное неравенство, сначала напишите член посередине, затем член слева, затем член справа.

  Например, запишем, что число 6 больше числа 4, и меньше числа 9.

  Сначала запишем 6

  Слева запишем, что это число больше числа 4

  Справа запишите, что число 6 меньше числа 9

  ---

  Неравенство с переменной

  Неравенство, как и равенство, может содержать переменную.

  Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, т. е. выяснить, при каких значениях x это неравенство становится верным.

  Решить неравенство — значит найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

  Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решение неравенства .

  Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Мы видим, что это неравенство имеет не одно, а много решений.

  Другими словами, решением x > 2 является множество всех чисел больше 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

  3 > 2

  4 > 2

  5 > 2

  Число 2 в правой части неравенства x > 2 будем называть 9.0005 граница неравенства. В зависимости от знака неравенства граница может принадлежать или не принадлежать множеству решений неравенства.

  В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, так как подстановка числа 2 в неравенство x > 2 не дает правильного неравенства 2 > 2. Число 2 не может быть больше себя, потому что он равен самому себе (2 = 2).

  Неравенство x > 2 строгое. Читается как « x строго больше 2 ″. То есть все значения, принимаемые переменной x, должны быть строго больше 2. В противном случае неравенство будет неверным.

  Если бы нам дали нестрогое неравенство x ≥ 2, то решениями этого неравенства были бы все числа, большие 2, включая само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку подстановка числа 2 в неравенство x ≥ 2 приводит к правильному неравенству 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство верно, если при выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому верно само неравенство 2 ≥ 2.

  ---

  Как решать неравенства

  Процесс решения неравенств очень похож на решение уравнений. При решении неравенств мы будем применять изученные в начале этого урока свойства, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, изменение знака; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

  Эти свойства позволяют получить неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Эквивалентные неравенства — это неравенства, решения которых совпадают.

  Решая уравнения, мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не осталось переменной, а значение этой переменной осталось в правой части (например: x = 2, x = 5). То есть замените исходное уравнение эквивалентным уравнением, пока не получите уравнение вида x = a, где a — значение переменной x. В зависимости от уравнения может быть один, два, бесконечное число или вообще не быть корней.

  И при решении неравенств будем заменять исходное неравенство эквивалентным неравенством до тех пор, пока в левой части не будет переменной этого неравенства, а в правой его границы.

  Пример 1. Решить неравенство 2x > 6

  Итак, нам нужно найти значения x, которые при подстановке в 2x > 6 дадут правильное неравенство.

  В начале этого урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на некоторое положительное число, то знак неравенства не изменится. Если мы применим это свойство к неравенству, содержащему переменную, мы получим неравенство, равное исходному неравенству.

  В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на некоторое положительное число, мы получим неравенство, эквивалентное исходному неравенству 2x > 6. 

  Итак, делим обе части неравенства на 2.

  Переменная x остается в левой части, а правая часть равна 3. Мы получили равное неравенство x > 3. На этом решение закончено, так как левая часть содержит переменную, а правая часть содержит границу неравенства.

  Теперь мы можем заключить, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, большие 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так до бесконечности. При этих значениях будет выполняться неравенство x > 3.

  4 > 3

  5 > 3

  6 > 3

  7 > 3

  Заметим, что неравенство x > 3 является строгим. » Переменная x строго больше трех «.

  А так как неравенство x > 3 эквивалентно исходному неравенству 2x > 6, то их решения будут совпадать. Другими словами, значения, соответствующие неравенству x > 3, также будут соответствовать неравенству 2x > 6. Давайте покажем это.

  Например, возьмите число 5 и подставьте его сначала в эквациональное неравенство x > 3, а затем в исходное 2x > 6.

  Мы видим, что в обоих случаях неравенство верно.

  После решения неравенства ответ необходимо записать в виде так называемого числового интервала следующим образом:

  Это выражение говорит о том, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому интервалу из трех до плюс бесконечности.

  Другими словами, все числа от трех до плюс бесконечности являются решениями неравенства x > 3. Знак ∞ в математике означает бесконечность.

  Учитывая, что понятие числового интервала очень важно, остановимся на нем подробнее.

  ---

  Числовые интервалы

  Числовой интервал представляет собой набор чисел на координатной прямой, который может быть описан неравенством.

  Предположим, мы хотим представить набор чисел от 2 до 8 на координатной прямой. Для этого сначала на координатной линии отмечают точки с координатами 2 и 8, а затем выделяют штрихи, которые расположены между координатами 2 и 8. Представьте, что штрихи — это числа, расположенные между числами 2 и 8.

  Числа 2 и 8 называются границами числового интервала. При рисовании числового интервала точки его границ изображают не точками как таковыми, а окружностями, которые можно увидеть.

  Границы могут принадлежать или не принадлежать числовому интервалу.

  Если границы не принадлежат числовому интервалу, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков .

  Если границы принадлежат числовому интервалу, кружки должны быть закрашены поверх .

  На нашем рисунке кружки остались пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому пространству. Таким образом, наш числовой интервал будет включать в себя все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

  Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой интервал, кружки должны быть закрашены:

  В этом случае числовой интервал будет включать все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

  На письме числовой интервал обозначается указанием его границ в круглых или квадратных скобках.

  Если границы не принадлежат числовому интервалу, границы заключены в круглые скобки .

  Если границы принадлежат числовому диапазону, границы заключаются в квадратных скобок .

  На рисунке показаны два числовых интервала от 2 до 8 с соответствующими символами:

  На первом рисунке числовой интервал обозначен округлением   скобками , так как границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому интервалу.

  На втором рисунке числовой интервал отмечен квадратными скобками , так как границы 2 и 8 принадлежат этому числовому интервалу.

  Вы можете использовать числовые пробелы для записи ответов на неравенства. Например, ответ на двойное неравенство 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:

  x  ∈ [ 2 ; 8 ]

  То есть мы сначала записываем переменную, которая является частью неравенства, а затем используем тождественный символ ∈, чтобы указать, к какому числовому интервалу принадлежат значения этой переменной. В этом случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает, что переменная x в неравенстве 2 ≤ x ≤ 8 принимает все значения от 2 до 8. При этих значениях неравенство будет верным.

  Обратите внимание, что ответ записан в квадратных скобках, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а именно числа 2 и 8, принадлежат множеству решений этого неравенства.

  Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно представить с помощью координатной прямой:

  Здесь границы числового интервала 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x ≤ 8 , а выделенная область соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8.

  В некоторых источниках границы, не принадлежащие числовому интервалу, называются открытыми границами .

  Называются открытыми по той причине, что числовой интервал остается открытым, поскольку его границы не принадлежат этому числовому интервалу. Пустой кружок на координатной линии называется пунктирной точкой. Уколоть точку — значит исключить ее из числового интервала или из множества решений неравенства.

  В случае, когда границы принадлежат числовому интервалу, они называются закрытыми, потому что такие границы закрывают числовой интервал. Заштрихованный кружок на линии координат также указывает на то, что границы закрыты.

  Существуют разновидности числовых интервалов. Рассмотрим каждый из них.

  Числовой луч

  Числовой луч — это числовой интервал, определяемый неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

  Пусть a = 3. Тогда неравенство x ≥ a будет иметь вид x ≥ 3. Решениями этого неравенства являются все числа, большие 3, включая само число 3.

  Представим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметьте на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся площадь справа от нее отметьте штрихами. Правая часть выбрана потому, что решениями неравенства x ≥ 3 являются числа больше 3. И большие числа на координатной прямой расположены правее

  Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x ≥ 3, а область, выделенная штрихами, соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства x ≥ 3.

  Точка 3, т.е. граница числового луча показана заштрихованным кругом, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

  На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

  [ a  ; +∞ )

  Как видите, одна сторона границы обрамлена квадратной скобкой, а другая — круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, потому что сама бесконечность не имеет границ, и подразумевается, что с другой стороны нет числа, замыкающего числовой луч.

  Учитывая, что одна из границ числового луча замкнута, этот промежуток часто называют замкнутым числовым лучом .

  Запишем ответ на неравенство x ≥ 3, используя числовое обозначение лучей. У нас есть переменная a равная 3

  x  ∈  [ 3 ; +∞ )

  Это выражение говорит о том, что переменная x, входящая в неравенство x ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

  Или можно сказать по-другому, все числа от 3 до бесконечности являются решениями неравенства x ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≥ 3 нестрогое.

  Замкнутый числовой луч также называется числовым интервалом, который задается неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, меньшие a, включая само число a.

  Например, если a = 2, неравенство будет иметь вид x ≤ 2. На координатной линии граница 2 будет показана заштрихованным кругом, а вся область слева будет выделена штрихами. На этот раз выделена левая часть, так как решениями неравенства x ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой находятся слева

  Здесь точка 2 соответствует границе неравенство x ≤ 2, а заштрихованная область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x ≤ 2.

  Точка 2, являющаяся границей числового луча, показана заштрихованной окружностью, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

  Запишите ответ на неравенство x ≤ 2, используя обозначение числового луча:

  x  ∈  ( −∞ ; 2 ]

  Это выражение говорит о том, что все числа от минус бесконечности до 2 являются решениями неравенства x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, так как неравенство x ≤ 2 нестрогое.

  Открытый числовой луч

  открытый числовой луч — это числовой интервал, определяемый неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

  Открытый числовой луч очень похож на замкнутый числовой луч. Отличие состоит в том, что граница а не принадлежит интервалу, как и граница неравенства х > а не принадлежит множеству его решений.

  Пусть a = 3. Тогда неравенство будет иметь вид x > 3. Решениями этого неравенства являются все числа больше 3, кроме числа 3

  На координатной линии граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет показана в виде пустого круга. Вся область справа будет выделена штрихами:

  Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная область соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, показана пустым кружком, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

  На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

  ( a ; +∞ )

  Скобки указывают, что границы открытого числового луча ему не принадлежат.

  Запишем ответ на неравенство x > 3, используя обозначения открытого числового луча:

  x  ∈  ( 3 ; +∞ )

  Это выражение говорит, что все числа от 3 до плюс бесконечности являются решениями неравенству x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, так как неравенство x > 3 строгое.

  Открытый числовой луч также является числовым интервалом, который задается неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, меньшие a, за исключением числа a.

  Например, если a = 2, неравенство будет иметь вид x < 2. На координатной линии граница 2 будет показана пустым кружком, а вся область слева будет выделена штрихами:

  Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная область соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства x < 2. Точка 2, которая является границей открытого числа луч, показан пустым кружком, так как граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

  В письменной форме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

  ( −∞ ; a )

  Запишем ответ на неравенство x < 2, используя обозначения открытого числового луча: являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, так как неравенство x < 2 строгое.

  Отрезок

  Отрезок представляет собой числовой интервал, заданный двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

  Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b принимает вид 2 ≤ x ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 являются все числа, большие 2 и меньшие 8. Границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, так как неравенство 2 ≤ x ≤ 8 нестрогое.

  Представим на координатной прямой отрезок, заданный двойственным неравенством 2 ≤ x ≤ 8. Для этого отметьте на координатной линии точки с координатами 2 и 8, а область между ними отметьте штрихами:

  Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а заштрихованная область соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, показаны заштрихованными кружками, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

  На букве отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b, обозначается следующим образом:

  [ a ; б ]

  Квадратные скобки с обеих сторон означают, что границы сегмента принадлежат ему . Запишем ответ на неравенство 2 ≤ x ≤ 8, используя следующие обозначения:

  x  ∈ [ 2 ; 8 ]

  Это выражение означает, что все числа от 2 до 8 включительно являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8. b, где a и b — пределы данного неравенства, x — решение неравенства.

  Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа больше 2 и меньше 8, кроме числа 2 и 8.

  Представим интервал на координатной прямой:

  Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x < 8, а заштрихованная область соответствует множеству значений x являются решениями неравенства 2 < x < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, показаны пустыми кружками, так как границы неравенства 2 < x < 8 не принадлежат множеству ее решений.

  Письменно интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

  ( a ; b )

  Круглые скобки с обеих сторон означают, что границы интервала не принадлежат к этому. Запишем ответ на неравенство 2 < x < 8, используя следующие обозначения:

  x  ∈ ( 2 ; 8 )

  Это выражение говорит о том, что все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8, являются решениями неравенство 2 < x < 8,

  Полуинтервал

  Полуинтервал — это числовой интервал, заданный неравенством a ≤ x < b, где a и b — пределы данного неравенства, x — решение неравенства.

  Полуинтервал также является числовым интервалом, который определяется неравенством a < x ≤ b.

  Ему принадлежит одна из границ полуинтервала. Отсюда и название этого числового интервала.

  В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b он (полуинтервал) принадлежит левой границе.

  А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b он принадлежит правой границе.

  Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойственного неравенства являются все числа больше 2 и меньше 8, в том числе число 2, но исключая число 8.

  Представим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

  Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная область соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства 2 ≤ x < 8,

  Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, показана заштрихованной окружностью, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

  Точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, показана пустым кружком, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

  Письменно полуинтервал, определяемый неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

  [  а ; b  )

  Как видите, одна сторона границы обрамлена квадратной скобкой, а другая — круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала ему принадлежит, а другая нет. Запишите ответ на неравенство 2 ≤ x < 8, используя следующие обозначения:

  x  ∈  [ 2 ; 8 )

  Это выражение говорит о том, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

  Аналогично, на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < x ≤ 8. Решениями этого двойственного неравенства являются все числа, большие 2 и меньшие 8, за исключением числа 2, но включая число 8.

  Представим полуинтервал 2 < x ≤ 8 на координатной прямой:

  Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x ≤ 8, а выделенная область соответствует множеству значений x, являющихся решениями неравенства 2 < x ≤ 8,

  Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, показана пустым кружком, поскольку левая граница неравенства 2 < x ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

  Точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, показана закрашенным кружком, поскольку правая граница неравенства 2 < x ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

  Письменно полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается следующим образом: ( a ; b ]. Запишем ответ на неравенство 2 < x ≤ 8, используя это обозначение:

  x  ∈  ( 2 ; 8 ]

  Это выражение говорит, что все числа от 2 до 8, кроме числа 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8.

  ---

  Представление числовые интервалы на координатной линии

  Числовой интервал может быть задан неравенством или обозначением (круглые или квадратные скобки).В обоих случаях вы должны быть в состоянии представить этот числовой интервал на координатной линии.Давайте рассмотрим несколько примеров

  Пример 1. Представьте числовой интервал, заданный неравенством x > 5

  Напомним, что неравенство вида x > a определяет открытый луч чисел. В этом случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет представлена ​​в виде пустой окружности. Нас интересуют все значения x больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:

  ---

  Пример 2. Нарисуйте числовой интервал (5; +∞) на линии координат

  Это тот же числовой интервал, что и в предыдущем примере. Но на этот раз он определяется не неравенством, а обозначением числового интервала.

  Граница 5 заключена в круглую скобку, поэтому она не принадлежит пробелу. Следовательно, круг остается пустым.

  Символ +∞ означает, что нас интересуют все числа больше 5. Соответственно вся область справа от границы 5 выделена штрихами:

  ---

  Пример 3. Начертите числовой интервал (-5; 1) на линии координат.

  Круглые скобки с обеих сторон обозначают интервалы. Границы интервала ему не принадлежат, поэтому границы -5 и 1 будут представлены на координатной линии пустыми кружками. Вся область между ними будет выделена штрихами:

  ---

  Пример 4. Нарисуйте числовой интервал, заданный неравенством -5 < x < 1

  Это тот же числовой интервал, что и в предыдущем примере. Но на этот раз он определяется не обозначением пробела, а двойным неравенством.

  Интервал определяется неравенством вида a < x < b. В этом случае переменная a равна -5, а переменная b равна единице. Неравенство -5 < x < 1 является строгим, поэтому границы -5 и 1 будут представлены в виде пустых кружков. Нас интересуют все значения x, которые больше -5, но меньше единицы, поэтому вся область между -5 и 1 будет выделена штрихами:

  ---

  Пример 5. Нарисуйте интервалы чисел [-1; 2] и [2; 5] на координатной линии

  На этот раз мы проводим сразу два интервала на координатной линии.

  Квадратные скобки с обеих сторон обозначают интервалы. Ей принадлежат границы сегмента, поэтому границы сегментов [-1; 2] и [2; 5] будут представлены на координатной линии в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

  Чтобы четко видеть интервалы [-1; 2] и [2; 5], вы можете нарисовать первую в верхней области, а вторую в нижней области. Вот что мы будем делать:

  ---

  Пример 6. На координатной прямой обозначают числа интервалов [-1; 2) и (2; 5].

  Квадратная скобка с одной стороны и круглая скобка с другой стороны обозначают полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежит ему, а другая нет.

  В случае полуинтервала [-1;2] левая граница ему принадлежит, а правая нет, то есть левая граница будет нарисована в виде закрашенного круга, правая граница будет в виде пустой круг

  В случае полуинтервала (2; 5) он будет принадлежать только правой границе, а левой границе — нет. Это означает, что левая граница будет нарисована в виде пустого круга. Правая граница будет заполненным кругом.

  Представим интервал [-1; 2] на верхней области координатной прямой, а интервал (2; 5] на нижней:

  ---

  Примеры решения неравенств

  Неравенство, которое можно преобразовать к виду ax > b (или к форма ax линейное неравенство с одной переменной .

  В линейном неравенстве ax > b, x — переменная, значения которой необходимо найти, a — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая, в зависимости от знака неравенства, может или может не принадлежит множеству его решений.

  Например, неравенство 2x > 4 является неравенством вида ax > b. Переменная a имеет номер 2, а переменная b (границы неравенства) — номер 4.

  Неравенство 2x > 4 можно сделать еще проще. Если обе его части разделить на 2, то получится неравенство x > 2

  . Полученное неравенство x > 2 также является неравенством вида ax > b, т.е. линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве переменная а равна единице. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывается. А переменная b — это число 2.

  Исходя из этой информации, попробуем решить несколько простых неравенств. При решении проведем элементарные тождественные преобразования, чтобы получить неравенство вида ax > b

  Пример 1. Решить неравенство x — 7 < 0

  Прибавить к обеим частям неравенства число 7

  x  − 7 + 7 < 0 + 7 правая часть примет вид 7

  x < 7

  Элементарными преобразованиями мы привели неравенство x — 7 < 0 к эквивалентному неравенству x < 7. Решениями неравенства x < 7 являются все числа, меньшие 7. граница 7 не принадлежит множеству решений, так как неравенство строгое.

  Когда неравенство приводится к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решенным. Наше неравенство x — 7 < 0 также сводится к этой форме, а именно x < 7. Но большинство школ требуют, чтобы ответ был записан с использованием числового пространства и проиллюстрирован на координатной прямой.

  Запишем ответ через числовой интервал. В этом случае ответом является открытый числовой луч (напомним, что числовой луч задается неравенством x < a и обозначается как (-∞; a)

  x  ∈  ( −∞ ; 7 )

  На координатной линии граница 7 будет показана пустым кружком, а вся область слева от границы будет выделена штрихами:

  проверить, взять любое число из интервала ( -∞ ; 7 ) и подставить его в неравенство x < 7 вместо переменной x. Например, возьмем число 2

  2 < 7

  Мы получили правильное числовое неравенство, значит, и решение верное. Возьмем любое другое число, например, число 4

  4 < 7

  Числовое неравенство верно. Так что решение верное.

  А так как неравенство x < 7 эквивалентно исходному неравенству x - 7 < 0, то решения неравенства x < 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенстве x - 7 < 0

  2 − 7 < 0

  −5 < 0 — Правильное неравенство

  4 − 7 < 0

  −3 < 0 Исправить неравенство

  ---

  Пример 2. Решить неравенство -4x < -16

  Разделить обе части неравенства на -4. Помните, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный :

  Мы привели неравенство -4x < -16 к эквивалентному неравенству x > 4. Решения неравенством x > 4 будут все числа, большие 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

  Представим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового интервала:

  ---

  Изменить знак 6y с правой стороны на левую. Перенесем 1 с левой стороны на правую, снова поменяв знак:

  3 y  − 6 y > 1 − 1

  Поставим равные члены:

  −3 y  > 0

  Разделите обе части на -3. Помните, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

  Решениями неравенства y < 0 являются все числа, меньшие нуля. Начертите на координатной прямой множество решений неравенства y < 0 и запишите ответ в виде числового интервала:

  ---

  Пример 4. Решите неравенство 5(x — 1) + 7 ≤ 1 — 3(х + 2)

  Раскройте скобки в обеих частях неравенства:

  Переместите -3x из правой части в левую, меняя знак. Переносим слагаемые -5 и 7 из левой части в правую, снова меняя знаки:

  Приведем такие же слагаемые:

  Разделим обе части полученного неравенства на 8

  Решения неравенства все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, так как неравенство нестрогое.

  Представим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового интервала:

   

  ---

  2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

  Теперь переместим 5 из левой части в правую, поменяв знак:

  После сложения подобных членов получим неравенство 6x > 1 Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

  Решениями неравенства являются все числа, которые больше . Граница не принадлежит множеству решений, так как неравенство строгое.

  Представим множество решений неравенства на координатной прямой и ответ запишем в виде числового интервала:

  ---

  После добавления одинаковых членов получаем неравенство 5x < 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

  Решениями неравенства x < 6 являются все числа, меньшие 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, так как неравенство x < 6 строгое.

  Представим множество решений неравенства x < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового интервала:

  ---

  по 10

  В полученном неравенстве раскроем скобки в левой части:

  Перенесем члены без x в правую часть

  Дадим в обеих частях одинаковые члены: полученное неравенство на 10

  Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, меньшие 3,5. Граница 3.5 принадлежит множеству решений, так как неравенство x ≤ 3.5 нестрогое.

  Представим на координатной прямой множество решений неравенства x ≤ 3,5 и запишем ответ в виде числового интервала: Решая такое неравенство, нам нужно освободить переменную x от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать, в каком интервале находится решение этого неравенства.

  Чтобы освободить переменную x от коэффициента, мы можем разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах состоит в том, что если мы разделим член неравенства на любое число, то мы должны сделать то же самое с другими членами входящие в данное неравенство. В нашем случае все три члена неравенства 4 < 4x < 20 нужно разделить на 4.

  Решениями неравенства 1 < x < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, так как неравенство 1 < x < 5 является строгим.

  Представим множество решений неравенства 1 < x < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового пробела:

  ---

  0

  Разделить все члены неравенства на -2

  Получили неравенство 0,5 ≥ x ≥ 0. Двойное неравенство желательно записать так, чтобы меньший член был слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

  0 ≤ x ≤ 0,5

  Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, так как неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 не является строгим.

  Представим на координатной прямой множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 и запишем ответ в виде числового пространства:

  ---

  Пример 10. 12

  В полученном неравенстве раскроем скобки и запишем такие члены:

  Разделим обе части полученного неравенства на 2

  Решениями неравенства x ≤ -0,5 являются все числа, меньшие — 0,5. Граница -0,5 принадлежит множеству решений, так как неравенство x ≤ -0,5 не является строгим.

  Представим множество решений неравенства x ≤ -0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового пространства:

  ---

  Пример 11. неравенство на 3

  Теперь из каждой части полученного неравенства вычтем 6

  Разделим каждую часть полученного неравенства на -1. Помните, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

  Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, так как неравенство 3 ≤ a ≤ 9 нестрогое.

  Представим на координатной прямой множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 и запишем ответ в виде числового интервала:

  ---

  При отсутствии решений решения.

  Таково, например, неравенство 6х > 2(3х + 1). Решая это неравенство, мы придем к выводу, что знак неравенства > не оправдывает его расположения. Посмотрим, как это выглядит.

  Раскрываем скобки в правой части этого неравенства, и получаем 6х > 6х + 2. Переносим 6х из правой части в левую, меняя знак, получаем 6х — 6х > 2. Приводим такие же члены и получаем неравенство 0 > 2, что неверно.

  Для лучшего понимания перепишем приведение однородных слагаемых в левой части следующим образом:

  Получили неравенство 0x > 2. В левой части находится произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше числа 2. Значит, неравенство 0x > 2 не имеет решений.

  И если данное эквациональное неравенство 0x > 2 не имеет решений, то исходное неравенство 6x > 2(3x + 1) также не имеет решений.

  ---

  Пример 2. Решить неравенство

  Умножить обе части неравенства на 3

  В полученном неравенстве член 12х перенести из правой части в левую, поменяв знак. Тогда приведем такие члены:

  Правая часть полученного неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше -8. Значит, неравенство 0x < -8 не имеет решений.

  И если приведенное выше неравенство уравнений 0x < -8 не имеет решений, то исходное неравенство также не имеет решений

  Ответ: состоит в том, что решений нет.

  ---

  Когда существует бесконечно много решений

  Существуют неравенства, которые имеют бесконечно много решений. Такие неравенства выполняются при любом x.

  Пример 1. Решить неравенство 5(3x — 9) < 15x

  Раскрыть скобки в правой части неравенства:

  Перенесём 15x из правой части в левую, меняя знак:

  Приведем в левой части такие же члены:

  Получили неравенство 0x < 45. Слева стороны есть произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше 45. Значит, решением неравенства 0x < 45 является любое число.

  И если приведенное выше неравенство уравнений 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то исходное неравенство 5(3x - 9) < 15x имеет те же решения.

  Ответ можно записать в виде числового интервала:

  x  ∈ ( −∞; +∞ )

  Это выражение говорит о том, что решениями неравенства 5(3x — 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

  ---

  Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) — 12x > 50x

  Раскрыть скобки в левой части неравенства:

  Переместить 50x из правой части в левую, изменение знака. И перенесем член 31 из левой части в правую, снова поменяв знак:

  Приведем такие члены:

  Получили неравенство 0x > -31. В левой части находится произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше -31. Таким образом, решением неравенства 0x < -31 является любое число.

  И если приведенное выше неравенство уравнений 0x > -31 имеет бесчисленное множество решений, то исходное неравенство 31(2x + 1) — 12x > 50x имеет те же решения.

  Ответ запишем в виде числового интервала:

  x  ∈ ( −∞; +∞ )

  ---

  Задачи для самостоятельного решения

  Задача 1. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  3

  Решение неравенства: 2.

  Показать решение

  Задание 3. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  Задание 4. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  Задание 5.9 Решить неравенство0003

  Решение:

  Показать решение

  Задача 6. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  Задача 7. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение :

  Решение:

  Показать решение

  Задача 9. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  Задача 10. Решить неравенство:

  Решение: Решение

  Показать 9

  003

  Задание 11. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  Задание 12. Решить неравенство:

  Решение:

  Показать решение

  ---

  Написание и обработка неравенств | Колледж Алгебра

  Результаты обучения

  • Используйте интервальную запись для выражения неравенств.
  • Использовать свойства неравенств.

  Указание решения неравенства типа [latex]x\ge 4[/latex] может быть достигнуто несколькими способами.

  Мы можем использовать числовую строку, как показано ниже. Синий луч начинается в точке [latex]x=4[/latex] и, как показано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.

  Мы можем использовать нотация конструктора наборов : [латекс]\{х|х\ге 4\}[/латекс], что переводится как «все действительные числа x , такие что x больше или равно 4». Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения набора.

  Третий метод — это интервальная нотация , где наборы решений обозначаются скобками или квадратными скобками. Решения [латекс]x\ge 4[/латекс] представлены как [латекс]\влево[4,\infty \вправо)[/латекс]. Это, пожалуй, самый полезный метод, поскольку он применяется к понятиям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим математическим курсам более высокого уровня.

  Основная концепция, которую следует помнить, заключается в том, что круглые скобки обозначают решения, большие или меньшие, чем число, а скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу. Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервал , или набор чисел, в которые попадает решение, это [латекс]\влево[-2,6\вправо)[/латекс], или все числа между [латекс]-2[/латекс] и [латекс ]6[/латекс], включая [латекс]-2[/латекс], но не включая [латекс]6[/латекс]; [латекс]\влево(-1,0\вправо)[/латекс], все действительные числа между, но не включая [латекс]-1[/латекс] и [латекс]0[/латекс]; и [latex]\left(-\infty ,1\right][/latex], все действительные числа меньше и включая [latex]1[/latex]. В приведенной ниже таблице показаны возможные варианты.

  The entries in the tenth row are: all real numbers less than a and greater than b; {x| x < a and x > b}; (negative infinity, a) union (b, infinity). The entries in the eleventh row are: All real numbers; {x| x is all real numbers}; (negative infinity, infinity).»>

  Набор указан	Обозначение Set-Builder	Обозначение интервала
  Все действительные числа между a и b , кроме a или b	[латекс]\{х|а<х	[латекс]\влево(а,б\вправо)[/латекс]
  Все действительные числа больше a , но не включая a	[латекс]\{х|х>а\}[/латекс]	[латекс]\влево(а,\infty\вправо)[/латекс]
  Все действительные числа меньше b , кроме b	[латекс]\{х|х	[латекс]\влево(-\infty,b\вправо)[/латекс]
  Все действительные числа больше a , включая a	[латекс]\{х|х\ге а\}[/латекс]	[латекс]\влево[а,\infty\вправо)[/латекс]
  Все действительные числа меньше б , в том числе б	[латекс]\{х|х\ле б\}[/латекс]	[латекс]\влево(-\infty,b\вправо][/латекс]
  Все действительные числа между a и b , включая a	[латекс]\{х|а\ле х	[латекс]\влево[а,б\вправо)[/латекс]
  Все действительные числа между a и b , включая b	[латекс]\{х|а<х\ле б\}[/латекс]	[латекс]\влево(а,б\вправо][/латекс]
  Все действительные числа между a и b , включая a и b	[латекс]\{х|а\ле х\ле б\}[/латекс]	[латекс]\влево[а,б\вправо][/латекс]
  Все действительные числа меньше a или больше b	[латекс]\{х|х<а\текст{ и }х>б\}[/латекс]	[латекс]\влево(-\infty,а\вправо)\чашка \влево(b,\infty\вправо)[/латекс]
  Все действительные числа	[латекс]\{х|х\текст{все действительные числа}\}[/латекс]	[латекс]\влево(-\infty,\infty\вправо)[/латекс]

  Пример: использование интервальной нотации для выражения всех вещественных чисел, больших или равных

  a

  Используйте интервальную нотацию для обозначения всех действительных чисел, больших или равных [latex]-2[/latex].

  Показать решение

  Попробуйте

  Используйте интервальную нотацию для обозначения всех действительных чисел между [латекс]-3[/латекс] и [латекс]5[/латекс] включительно.

  Показать решение

  Пример: использование записи интервалов для выражения всех действительных чисел, меньших или равных

  a или больших или равных b

  Запишите интервал, выражающий все действительные числа, меньшие или равные [латекс]-1[/ латекс] или больше или равно [латекс]1[/латекс].

  Показать решение

  Попробуйте

  Выразите все действительные числа, меньшие [латекс]-2[/латекс] или большие или равные 3, в интервальной записи.

  Показать решение

  Использование свойств неравенств

  Когда мы работаем с неравенствами, мы обычно можем обращаться с ними так же, как и с уравнениями, но не совсем так. Мы можем использовать свойство сложения и свойство умножения , чтобы решить их. Единственным исключением является то, что когда мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны перевернуть символ неравенства.

  Общее примечание: свойства неравенств

  [латекс]\begin{array}{ll}\text{Свойство сложения}\hfill& \text{Если }a< b,\text{ then }a+c< b+ c.\hfill \\ \hfill & \hfill \\ \text{Свойство умножения}\hfill & \text{Если }a< b\text{ и }c> 0,\text{, то }ac< bc.\hfill \\ \hfill & \text{Если }a< b\text{ и }c< 0,\text{, то }ac> bc.\hfill \end{массив}[/latex]

  Эти свойства также применимы к [латексу]a\le b[/latex], [латексу]a>b[/латексу] и [латексу]a\ge b[/латексу].

  Пример: демонстрация свойства сложения

  Проиллюстрируйте свойство сложения для неравенств, решая каждое из следующих действий:

  1. [латекс]х — 15<4[/латекс]
  2. [латекс]6\ge x — 1[/латекс]
  3. [латекс]x+7>9[/латекс]

  Показать решение

  Попробуйте

  Решите [латекс]3x — 2<1[/латекс].

  Показать решение

  Пример: демонстрация свойства умножения

  Проиллюстрируйте свойство умножения для неравенств, решая каждое из следующих действий:

  1. [латекс]3x<6[/латекс]
  2. [латекс]-2x — 1\ge 5[/латекс]
  3. [латекс]5-x>10[/латекс]

  Показать решение

  Попробуйте

  Решите [латекс]4x+7\ge 2x — 3[/латекс].

  Показать решение

  Алгебраическое решение неравенств с одной переменной

  Как показали примеры, мы можем выполнять одни и те же операции с обеими частями неравенства, как и с уравнениями; мы объединяем подобные термины и выполняем операции. Чтобы решить, мы изолируем переменную.

  Пример: Алгебраическое решение неравенства

  Решите неравенство: [latex]13 — 7x\ge 10x — 4[/latex].

  Показать решение

  Попробуйте

  Решите неравенство и запишите ответ, используя запись интервалов: [латекс]-x+4<\frac{1}{2}x+1[/latex].

  Показать решение

  Пример. Решение неравенства с дробями

  Решите следующее неравенство и запишите ответ в виде интервалов: [latex]-\frac{3}{4}x\ge -\frac{5}{8}+\frac {2}{3}x[/латекс].

  Показать решение

  Попробуйте

  Решите неравенство и запишите ответ в интервальной записи: [латекс]-\frac{5}{6}x\le \frac{3}{4}+\frac{8}{3}x [/латекс].

  Показать решение

  Поддержите!

  У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

  Улучшить эту страницуПодробнее

  Введение в неравенства и обозначения интервалов

  Это «Введение в неравенства и обозначения интервалов», раздел 2.7 из книги «Начальная алгебра» (v. 1.0). Для получения подробной информации об этом (включая лицензирование) нажмите здесь.

  Для получения дополнительной информации об источнике этой книги или о том, почему она доступна бесплатно, посетите домашнюю страницу проекта. Там вы можете просматривать или скачивать дополнительные книги. Чтобы загрузить ZIP-файл с этой книгой для использования в автономном режиме, просто нажмите здесь.

  Помогла ли вам эта книга? Рассмотрите возможность передачи:

  Помощь Creative Commons

  Creative Commons поддерживает свободную культуру от музыки до образования. Их лицензии помогли сделать эту книгу доступной для вас.

  Помогите государственной школе

  DonorsChoose.org помогает таким людям, как вы, помогать учителям финансировать их школьные проекты, от художественных принадлежностей до книг и калькуляторов.

  2.7 Введение в неравенства и обозначения интервалов

  Цели обучения

  1. Нанесите решения одного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.
  2. Нанесите решения сложного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.

  Неограниченные интервалы

  Выражения алгебраического неравенства, связанные с символами ≤, <, ≥ и >. , такие как x≥2, читаются как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для х . Некоторые из решений 2, 3, 3,5, 5, 20 и 20,001. Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это графическое изображение их на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства выражаются штриховкой решения на числовой прямой. и использование интервальной записи. Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства..

  Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, которые являются решениями неравенства. Обозначение интервала является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

  Определите обозначение интервала после построения графика набора решений на числовой прямой. Числа в интервальной записи следует записывать в том же порядке, в котором они появляются в числовой строке, причем меньшие числа в наборе появляются первыми. В данном примере имеет место инклюзивное неравенство. Неравенство, включающее граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и закрытую точку на числовой прямой, означает, что нижняя граница 2 входит в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервала. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает на то, что интервал не ограничен справа. и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой. Интервальное обозначение требует скобок для заключения бесконечности. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки означают, что граница не включена. Бесконечность — это верхняя граница действительных чисел, но сама она не является действительным числом: она не может быть включена в набор решений.

  Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере со строгим, или неинклюзивным, неравенством в следующем:

  Строгие неравенстваВыражайте отношения порядка, используя символ < для «меньше чем» и > для «больше чем». подразумевают, что решения могут подойти очень близко к граничной точке, в данном случае 2, но на самом деле не включать ее. Обозначим эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​записи интервала.

   

  Пример 1: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3.

  Решение: Используйте открытую точку на 3 и заштрихуйте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность Символ (-∞) указывает на то, что интервал неограничен слева. (−∞), чтобы указать, что набор решений не ограничен слева на числовой прямой.

  Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

   

  Пример 2: Нарисуйте график и дайте эквивалент обозначения интервала: x≤5.

  Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

  Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]

   

  Важно видеть, что 5≥x совпадает с x≤5. Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5. Во избежание путаницы рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева.Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенная форма бесконечности. Например, (−∞, 5] может быть выражено текстуально как (−inf, 5].

  Составное неравенствоДва неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». на самом деле два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». Составные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий. Следовательно, множество решений этого типа составного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы соединяем эти отдельные наборы решений, это называется объединением. Набор, образованный путем соединения отдельных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., обозначаемым ∪. Например, решения составного неравенства x<3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:

  Иногда мы сталкиваемся с составными неравенствами, когда отдельные наборы решений перекрываются. В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих множеств, чтобы создать одно множество, содержащее все элементы каждого из них.

   

  Пример 3: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x≤−1 или x<3.

  Решение: Объедините все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой строке ниже.

  Ответ: Интервальное обозначение: (−∞, 3)

   

  Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет хотя бы одному из двух заданных неравенств.

   

  Пример 4: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3 или x≥−1.

  Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

  Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)

   

  Когда вы объедините оба набора решений и сформируете объединение, вы увидите, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

  Таким образом,

  и

  Ограниченные интервалы

  Неравенство, такое как

  , гласит: «−1 единица меньше или равна x , а x меньше трех». Это составное неравенство, потому что его можно разложить следующим образом:

  Логическое «и» требует, чтобы оба условия были истинными. Обоим неравенствам удовлетворяют все элементы пересечения. Множество, образованное общими значениями отдельных множеств решений, на что указывает логическое использование слова «и», обозначаемого символом ∩., обозначаемого ∩, множеств решений каждого.

   

  Пример 5: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3 и x≥−1.

  Решение: Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения пересечения, которое изображено на числовой строке ниже.

  Здесь x=3 не является решением, поскольку решает только одно из неравенств.

  Ответ: Обозначение интервала: [−1, 3)

   

  В качестве альтернативы мы можем интерпретировать -1≤x<3 как все возможные значения для x между или ограниченными -1 и 3 на числовой прямой. Например, одним из таких решений является x=1. Обратите внимание, что 1 находится между -1 и 3 на числовой прямой или что -1 < 1 < 3. Точно так же мы можем видеть, что другие возможные решения - это -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 и 2,99. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел между -1 и 3, мы должны выразить решение графически и/или с помощью интервальной записи, в данном случае [-1, 3).

   

  Пример 6: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: −32

  Решение: Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между -32 = -112 и 2.

  Ответ: Интервальное обозначение: (-32, 2)

   

  Пример 7: Постройте график и дайте эквивалент записи интервала: −5

  Решение: Заштрихуйте все действительные числа от −5 до 15 и укажите, что верхняя граница 15 входит в набор решений, используя закрытую точку.

  Ответ: Обозначение интервала: (−5, 15]

   

  В предыдущих двух примерах мы не разлагали неравенства; вместо этого мы решили думать обо всех действительных числах между двумя заданными границами.

  Таким образом,

  Нотация построителя наборов

  В этом тексте мы используем интервальную нотацию.Однако в других ресурсах, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используется альтернативный метод описания множеств, называемый нотация построителя наборовСистема описания множеств с использованием знакомой математической нотации. использовали набор обозначений для перечисления таких элементов, как целые числа

  Фигурные скобки группируют элементы множества, а многоточие указывает, что целые числа продолжаются вечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например, действительные числа, большие или равные 2.

  Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация построителя набора позволяет нам описать его, используя знакомую математическую запись. . Ниже приводится пример записи построителя множества:

  Здесь x ∈ R описывает тип числа, где символ (∈) читается как «элемент». Это означает, что переменная x представляет собой действительное число. Вертикальная черта (|) читается как «такой, что». Наконец, утверждение x≥2 является условием, описывающим множество с помощью математических обозначений. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа. По этой причине вы можете опустить «∈ R » и написать {x|x≥2}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких что x больше или равно 2. ”

  Для описания сложных неравенств, таких как x<3 или x≥6, напишите {x|x<3 или x≥6}, что читается как «множество всех действительных чисел x , так что x меньше 3 или x больше или равно 6».

  Запишите ограниченные интервалы, такие как −1≤x<3, как {x|−1≤x<3}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких что x больше или равно до −1 и меньше 3».

  Основные выводы

  • Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой прямой, либо в текстовом виде с использованием интервальной записи.
  • Инклюзивные неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​интервальной записи.
  • Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой на числовой строке и круглыми скобками с использованием интервальной записи.
  • Составные неравенства, в которых используется логическое «или», решаются путем решения любого неравенства. Набор решений представляет собой объединение каждого отдельного набора решений.
  • Составные неравенства, в которых используется логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением. Набор решений является пересечением каждого отдельного набора решений.
  • Составные неравенства вида n A как ограниченный между значениями n и m .

  Упражнения по теме

  Часть A: Простые неравенства

  Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

  1. x≤10

  2. x>−5

  3. x>0

  4. x≤0

  5. x≤−3

  6. x≥−1

  3

  3 −4

  8. 1≥x

  9. x<−12

  10. x≥−32

  11. x≥−134

  12. x<34

  Часть Б. Неравенства.0003

  Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

  13. −2

  14. −5≤x≤−1

  15. −5

  16. 0≤x<15

  17. 10

  18. −40≤x<−10

  19. 0

  20. −30

  21. −58

  22. −34≤x≤12

  23. −1≤x<112

  24. −112

  25. x<−3   или   x>3

  26. x<-2   или   x≥4

  27. x≤0   или   x>10

  28. x≤-20   или  x≥-10

  29. x<-23   или   x>13

  3

  . x≤−43   или   x>−13

  31. x>−5 или x<5

  32. x<12 или x>−6

  33. x<3 или  x≥3

  34. x ≤0 или x>0

  35. x<−7 или x<2

  36. x≥−3 или x>0

  37. x≥5 или x>0

  38. x<15 или x ≤10

  39. x>−2   и   x<3

  40. x≥0   и x<5

  41. x≥−5   и x≤−1

  42. x<−4   и x>2

  43. x≤3 и x>3

  44. x≤5 и x≥5

  45. x≤0 и x≥0

  46. x <2 и x≤ - 1

  47. x> 0 и x≥ — 1

  48. x <5 и x<2

  Часть C: Обозначение интервалов

  Определите неравенство, учитывая ответы, выраженные в обозначении интервалов.

  49. (−∞, 7]

  50. (−4, ∞)

  51. [−12, ∞)

  52. (−∞, −3)

  53. (−8, 10]

  54. (−20, 0]

  , 55. (−14−14−10) 2)

  56. [23, 43]

  57. (−34, 12)

  58. (−∞, −8)

  59. (8, ∞)

  −4

  60, ( )∪[8, ∞)

  61. (−∞, −2]∪[0, ∞)

  62. (−∞, −5]∪(5, ∞)

  63. (−∞, 0 )∪(2, ∞)

  64. (−∞, −15)∪(−5, ∞)

  Запишите эквивалентное неравенство

  65. Все действительные числа меньше 27,

  66. Все действительные числа меньше или равные нулю.

  67. Все действительные числа больше 5.

  68. Все действительные числа больше или равные -8.

  69. Все действительные числа строго между -6 и 6.

  70. Все действительные числа строго между -80 и 0.

  Часть D: Темы на форуме

  71. Сравните запись интервала с записью построителя множеств. Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.

  72. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервала, когда бесконечность является конечной точкой.

  No related posts.