«Построение графика квадратной функции, содержащей модуль»
Тема: “Построение графика квадратной
функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х2— 6x + 3.)
Цель.
- Исследовать расположение графика функции на координатной плоскости в зависимости от модуля.
- Развить навыки построения графика функции, содержащей модуль.
Ход урока.
1. Этап актуализации знаний.
а) Проверка домашнего задания.
Пример 1. Построить график функции у = х2 — 6х + 3. Найти нули функции.
Решение.
1. Направление “ветвей” параболы: если а = 1, а > 0, то “ветви” параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы: х= — b/2а = — (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = — 6, А(3; -6).
3. Уравнение оси симметрии: х = 3.
4. Нули функции: у(х) = 0, х2 — 6х + 3 = 0, D = 36 — 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,
x 1,2 = (6 ± )/2
= 3 ± ; В(3 — ;0), С(3 + ;0).
График на рис.1.
Рис.1.
Алгоритм построения графика квадратной функции.
1. Определить направление “ветвей” параболы.
2. Вычислить координаты вершины параболы.
3. Записать уравнение оси симметрии.
4. Вычислить несколько точек.
б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:
1. у = |х|. График функции на рисунке 2.
Рис. 2.
2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.
Рис.3.
3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.
Рис.4.
Вывод.
1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.
2. График функции у = |х + 1| получается из графика
функции у = |х| параллельным переносом на вектор
{-1;0}.
2.Опирационно-исполнительная часть.
Этап исследовательской работы. Работа в группах.
Группа 1. Построить графики функций:
а) у = х2 — 6|x| + 3,
б) у = |х2 — 6х + 3|.
Решение.
а)
1.Построить график функции у = х2-6х+3.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.
График на рисунке 5.
Рис.5.
б) 1. Построить график функции у = х2 — 6х + 3.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.
График функции на рисунке 6.
Рис. 6.
Вывод.
1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.
2. График функции у = |f(x)| получается из графика
функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.
Группа 2.Построить графики функций:
а) у = |x2 — 6|x| + 3|;
б) y = |x2 — 6x + 3| — 3.
Решение.
а)
1. График функции у = х2 + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х2 — 6|x| + 3.
2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.
График функции на рисунке 7.
Рис.7.
Вывод.
График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.
б)
1. График функции у = х2 — 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.
2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.
График функции на рисунке 8.
Рис.8.
Вывод. График функции у = |f(x)| + a
получается из графика функции у = |f(x)|
параллельным переносом на вектор {0,a}.
Группа 3.Построить график функции:
а) у = |x|(х — 6) + 3; б) у = х|x — 6| + 3.
Решение.
а) у = |x| (x — 6) + 3, имеем совокупность систем:
Строим график функции у = -х2 + 6x + 3 при х < 0 для точек у(0) = 3, у( — 1) = — 4.
График функции на рисунке 9.
Рис.9.
б) у = х |х — 6| + 3, имеем совокупность систем:
Строим график функции у = — х2 + 6х + 3 при х 6.
1. Направление “ветвей” параболы: а = — 1, а < 0, “ветви” параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы: х = — b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).
3. Уравнение оси симметрии: х = 3.
4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = — 4.
Строим график функции у = х2 — 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.
График на рис.10.
Рис.10.
Вывод. При решении данной группы
уравнений необходимо рассматривать нули
модулей, содержащихся в каждом из уравнений.
Затем строить график функции на каждом из
полученных промежутков.
(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)
Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.
Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.
| Вид функции | Способ построения графика функции |
| 1. у = f(|x|) 2. у = |f(x)| 3. у = |f(|x|)| 4. у = |f(x)| + a |
1. Отобразить график функции у = f(x)
симметрично относительно оси Оу. 2. Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Ох. 3. Последовательно отобразить график функции у =
f(x) симметрично относительно осей координат. 4. Параллельный перенос перенос графика функции у = |f(x)|на вектор {0;а}. |
Группа 4.
Построить график функции:
а) у = х2 — 5x + |x — 3|;
б) у = |x2 — 5x| + x — 3.
Решение.
а) у = х2 — 5х + |х — 3|, переходим к совокупности систем:
Строим график функции у = х2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х2 — 4х — 3 при х > 3 по
точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.
График функции на рисунке 11.
Рис.11.
б) у = |х2 — 5х| + х — 3, переходим к совокупности систем:
Строим каждый график на соответствующем интервале.
График функции на рисунке 12.
Рис.12.
Вывод.
Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на
вид графика.
Самостоятельная работа.
Построить график функции:
а) у = |х2 — 5х + |x — 3||,
б) у= ||x2 — 5x| + х — 3|.
Решение.
Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.
Рис.13.
Рис. 14.
Группа.5
Построить график функции: у =| х — 2| (|x| — 3) — 3.
Решение.
Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.
Имеем совокупность систем уравнений:
Строим график на каждом из интервалов.
График на рисунке 15.
Рис.15.
Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.
Учащиеся записывали выступления каждой из
групп, записывали выводы, участвовали в
самостоятельной работе.
3. Задание на дом.
Построить графики функций с различным расположением модуля:
1. у = х2 + 4х + 2;
2. у = — х2 + 6х — 4.
4. Рефлексивно – оценочный этап.
1.Оценки за урок складываются из отметок:
а) за работу в группе;
б) за самостоятельную работу.
2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?
3. Трудное ли домашнее задание?
Урок окончен.
Новые нули дзета-функции / Хабр
Астрологи объявили на хабре неделю профанных доказательств великих теорем.
- Теорема о четырёх красках.
- Теорема Ферма.
- Перед вами «доказательство гипотезы Римана».
А ещё, статья же для плюсов пишется, а не для минусов. Так что, вспоминаем о существовании юмора и продолжаем читать.Итак, сначала по-быстрому (и не по-настоящему) докажем потрясающее очень хорошо сбалансированное равенство
Для любого .
С детского сада всем известно, что сумма геометрической прогрессии равна
А сейчас полезно узнать, что существует такая особенная функция
На графике она похоже на синус, только без колебаний. Другими словами, нечётная.
Доказали. (Даже похоже получилось)
Если , то
Эту сумму можно разделить на одну единицу и две суммы единиц, тогда получится, что сумма единиц будет минус одной второй
Вот и дзета-функция от нуля тоже минус одна вторая.
Только, знак не так однозначен, ведь можно поделить и так:
Или даже вот так:
В общем, половинная сумма известна, а вот её знак уже подозрительно шатается.
Вот так забудешь поставить где надо различный знак и всё — сумма уже не нулевая, всё доказательство насмарку. Такое чувство, что при равенство может быть немножечко не очень верное.
Ладно, при нуле, может, и нет. Но при остальных значениях точно ноль. Поэтому даже верен интеграл
— Если не равен нулю.
На этом, кстати, работает преобразование Фурье — интеграл имеет не нулевое значение только если частотная составляющая и колебательный множитель в показателе экспоненты под интегралом гасят друг друга в ноль.
Да, всё понятно… При нуле и не должно работать. А так работает всегда. (Честно-честно)
Теперь надо вспомнить про дзета-функцию.
И про гамма функцию
Для дзеты можно повторить за гаммой и оставить аргумент в правой части уменьшенным на единицу
И тогда, если эти две функции перемножить
После замены переменной
Магия суммы геометрической прогрессии приведёт вот к такому простенькому интегралу:
Который на самом деле выглядит вот так
Да, это интеграл нашей знакомой функции, только второе и третье слагаемое в обычной ситуации дают нулевой вклад.
Но у нас гипотеза Римана, реальная часть меньше единицы. А так как там ещё единица отнимается, так и вообще степень становится меньше нуля. Особый случай, второе слагаемое вдруг обретает свою важную роль и начинает активно балансировать всё, чтобы не улетело в бесконечность. А третье слагаемое как-то теряется.
После замены переменных наша дзета-функция выглядит как приготовленная для разделки жареная курочка:
Да, перед нами обратное преобразование Фурье, а поиск нулей — это всего лишь поиск выпадающих частот. При частоты выпадают одна за другой, как на параде. А вот при других значениях — надо разбираться.
Ах да, надо ещё с тривиальными нулями что-то порешать. А то они внаглую идут только по чётным целым отрицательным числам, а у нас дробь из отрицательных целых зануляет и те и другие. Не сходится.
Но сам Риман сразу при открытии этой функции сказал: да [разве нужны нам]ер эти нули, вместе с полюсом.
Берём, умножаем на всё что под руку попадётся.
Получается Кси-функция, в которой нет тривиальных нулей, и даже если менять на , то получится то же самое — добавилась симметрия вокруг оси. А все остальные нули остались.
Убрали. Но! Нам же это только мешает! До этого сигму можно было в любую сторону шатать, вдруг на ноль попадёшь, а теперь надо обязательно, чтобы если слева ноль то и справа ноль. Это как два раза подряд выиграть в лотерею. Но математики же оптимисты! Шансы существуют. Это как выиграть один раз, но в дважды крутой лотерее.
Так что, составим соответствующее равенство, верное при таких нулях.
Ничего особенного, одинаковые выражения справа и слева, только знак у сигмы поменялся. Доказанная симметрия — она сразу и у знак переключает. А вот так — только у сигмы, без , выполнить равенство слабо?
«Новые» нули функции именно это и обязаны делать.
Конечно, если интеграл ноль, без разницы, что там за конечный множитель перед ним. Но и убирать этот множитель не надо, он должен помочь найти такое место, ведь прежде чем обнулиться функция должна потихонечку симметричненько уронить логарифм своего значения.
Смотря на это равенство, можно начать сомневаться, что и осевые нули бывают. Но нет — доказано, на оси нулей столько, что забирай — не закончатся. А вот то что не при любом такое бывает — уже намекает на ограничения.
А ещё, может ли выполняться это равенство при не нулевых значениях интеграла? Мнимая часть точно должна быть нулевой, ведь она меняет знак. А реальная? Ну вот, даже прямое уравнение и то с подвохом — при нулевом выполняется с любой сигмой. И такие линии выполнения равенства есть и при комплексных значениях, они изогнутые. Если оставшаяся реальная часть на такой линии обнулится, то это именно то что мы ищем. Такие линии даже напрямую чередуются с нулями: на графике значений кси-функции около оси она то пересекает линию нулевых мнимых значений, то пересекает линию нулевых действительных значений.
График с выделением линий нулевых мнимых значений кси-функции, пересечения не совпадают, а чередуются с нулями дзета-функции.
Будет, конечно прикол, если «новый» ноль окажется не на этой линии. Он, конечно, может быть на линии, но я же не проверял, что только на ней. У кси-функции линии нулевой реальной части и линии нулевой мнимой части чередуются, но ещё по оси идёт линия нулевой мнимой части. Так что, если пересечения отходящих в сторону от оси линий не будет, новых нулей не ожидается.
***
Немного объясню прикол с нулевой суммой из начала статьи, а то может быть не понятно. Дело в том, что сумма всех натуральных степеней одного числа сходится только если число меньше единицы. Для комплексных чисел сравнение превращается из больше/меньше в направление изменения фазы — меня до сих пор удивляет, почему для математиков было открытием, что кроме вперёд/назад можно ходить и вправо/влево, и ещё разворачиваться в любом направлении. А больше/меньше определять можно отдельно для реальных или мнимых частей, или модуля.
Для схождения модуль числа должен быть меньше единицы. Если число равно единице, то для суммы слагаемые аналогичны нулевой степени натурального основания, и сходиться такая сумма из бесконечности единиц точно не будет. А если модуль больше единицы, то тем более.
Если модуль равен единице, но фаза отличается, то сумма превращается в постоянное кружение вокруг одной точки, и вопрос спорный — эта точка как-то относится к тому, что должно получиться, или нет? А если добавить такое кружение с противоположной фазой, и значит, в другую сторону? Общее значение будет реальным и равным единице — за счёт того, что первый шаг — в котором фаза ещё не проявлена — дублируется. Но имеет ли такая сумма отношение к понятию суммы, и можно ли расширить нулевое значения сложения этих сумм для всех комплексных степеней? Условно, очень условно. Если говорить точно, то нет. Но если в аналитическом смысле, то совсем же другое дело.
Только, аналитика тоже может быть неожиданной. Например. Преобразование Фурье можно было бы считать суммой из двух различных преобразований Лапласа.
Преобразование Лапласа — это интеграл, в котором множитель состоит из натурального основания в степени минус параметра — как преобразование Фурье, только без мнимого множителя, и с уменьшенным вдвое диапазоном интегрирования. Для комплексной функции колебания с одной частотой преобразование будет давать
На есть ограничения, при их нарушении интеграл не сходится. Если посмотреть, как будет выглядеть результат, если объединить отрицательный и положительный диапазон, чтобы было похоже на преобразование Фурье, то получится
Вот так. Оказывается, такие манипуляции не учитывают, что частота может совпадать с параметром, и не всегда будет давать ноль. Иногда это может быть дельта-функцией.
Кроме того, ограничение на преобразование Лапласа определяют только одно из этих двух слагаемых — это максимум, другое при тех же параметрах не сходится. Так что, это тоже условно. Но условность интересная. Преобразование Фурье-то здесь равно дельта-функции не условно.
Различие у нас уже встречалось, когда нечётность «особенной» функции упрощалась.
И слева что-то, что при нуле не рассчитывается, и справа претендент на дельта-функцию. Кругом подвох.
Второе слагаемое в особенной функции, конечно, подозрительное. С другой стороны, именно это слагаемое балансирует интеграл при определении нетривиальных нулей дзета-функции. И здесь, похоже, тоже балансирует.
Так что же за этим всем стоит? Если порассуждать: первое слагаемое понятное, второе слагаемое подозрительное, третье слагаемое не участвует в интеграле. И возникает по этому поводу такая мысль. А что, если существует и четвёртое слагаемое, только оно на столько странное, что даже не проявляется? Или, наоборот, всё доказательство сводится к тому, что такого слагаемого нет? Как доказать, что чего-то нет, если его нет? А, ну да, у нас тут гипотеза Римана, был бы наглядный пример.
Рассмотрим подробнее преобразование Фурье.
Если задать функцию затухающего колебания
То преобразование Лапласа с ней справится.
А вот преобразование Фурье как интеграл по всему диапазону — разойдётся.
Если ограничить диапазон интегрирования, точнее, обнулить функцию для , то
Результаты аналогичны. Аналитически, что полный диапазон, что закрытый диапазон, должны давать ноль. А здесь, промежуточный вариант, даёт какое-то не нулевое распределение.
— Ещё один промежуточный вариант, симметричный.
Если сложить то что получится при изменение знака у :
Если при этом сменить знак фазы, то всё упрощается как надо:
Преобразование Фурье двух встречных экспонент давало бы ноль, если бы знак не влиял на сходимость.
Эта статья ничем не заканчивается. Пойду чай попью.
С++ — Не удается модифицировать ноль?
спросил
Изменено 1 год, 8 месяцев назад
Просмотрено 70 тысяч раз
Почему X % 0 является недопустимым выражением?
Я всегда думал, что X % 0 должно равняться X. Поскольку вы не можете делить на ноль, не должен ли ответ, естественно, быть остатком, X (все, что осталось)?
- С++
- по модулю
- делить на ноль
7
Стандарт C++ (2003) говорит в §5.6/4,
[…] Если второй операнд / или % равен нулю, поведение undefined ; […]
То есть следующие выражения вызывают неопределенное поведение (UB):
X / 0; //УБ Х % 0; //УБ
Обратите внимание, что -5 % 2 НЕ равно -(5% 2) (как, кажется, предлагает Петар в своем комментарии к своему ответу).
Это определяется реализацией. В спецификации указано (§5.6/4),
.[…] Если оба операнда неотрицательны, то и остаток неотрицательный; , если нет, знак остатка определяется реализацией .
6
Этот ответ не для математика. Этот ответ пытается дать мотивацию (за счет математической точности).
Математики: См. здесь.
Программисты: Помните, что деление на 0 равно undefined . Таким образом, mod , основанный на делении, также является неопределенным .
Представляет деление на положительные X и D ; состоит из целой части и дробной части:
(X / D) = целое число + дробная часть
= пол (X / D) + (X % D) / D
Переставив, вы получите:
(Х % Д) = Д * (Х / Д) - Д * этаж (Х / Д)
Замена 0 на D :
(X % 0) = 0 * (X / 0) - 0 * этаж (X / 0)
С момента деления на 0 равно undefined :
(X % 0) = 0 * undefined - 0 * floor(undefined)
= не определено - не определено
= не определено
2
X % D по определению число 0 <= R < D , такое, что существует Q , так что
X = D*Q + R
Итак, если D = 0 , такого числа не может существовать (поскольку 0 <= R < 0 )
4
Я думаю, потому что, чтобы получить остаток от X % 0 , вам нужно сначала вычислить X / 0 , что дает бесконечность, а попытка вычислить остаток от бесконечности на самом деле невозможна.
Однако лучшим решением в соответствии с вашими мыслями было бы сделать что-то вроде этого
REMAIN = Y ? Х % Г : Х
Другой способ, который может быть концептуально простым для понимания проблемы:
На данный момент игнорируя проблему знака аргумента, a % b можно легко переписать как a - ((a / b) * b) . Выражение a / b не определено, если b равно нулю, поэтому в этом случае общее выражение должно быть таким же.
В конце концов, модуль — это фактически операция деления, так что если a / b не определено, вполне разумно ожидать, что a % b также будет.
X % Y дает результат в целочисленном диапазоне [ 0, Y ) . X % 0 должен был бы дать результат больше или равный нулю и меньше нуля.
2
вы можете избежать случая «деления на 0» (A%B) для его типа float identity mod(a,b) for float(B)=b=0.
0 , который не определен или определен по-разному между любыми двумя реализациями , чтобы избежать логических ошибок (жестких сбоев) в пользу арифметических ошибок...
путем вычисления mod([a*b],[b])==b*(a-этаж(a))
INSTREAD OF
вычисления mod([a],[b])
где [a*b]==ваша ось X с течением времени [b] == максимум кривой качания (который никогда не будет достигнут) == первая производная функции качания
https://www.shadertoy.com/view/MslfW8
Я полагаю, потому что для получения остаток от X % 0, вам нужно сначала вычислить X / 0, что дает бесконечность, и попытка вычислить остаток от бесконечности на самом деле невозможна.
Однако лучшим решением в соответствии с вашими мыслями было бы сделать что-то вроде этого,
ans = Y ? Х % Г : Х
Кроме того, в документах C++ написано, что X % 0 или X / 0 приводит к неопределенному значению.
Как компьютеры делят:
Начните с делимого и вычитайте делитель, пока результат не станет меньше делителя.
Количество вычитаний — это результат, а то, что у вас осталось, — это остаток. Например, чтобы разделить 10 и 3:
10 - 3 = 7 7 - 3 = 4 4 - 3 = 1
Так
10/3 = 3 10 % 3 = 1
Чтобы разделить 1 и 0:
1 / 0 1 - 0 = 1 1 - 0 = 1 1 - 0 = 1 ...
So
1/0 = Бесконечность (технически даже бесконечность слишком мала, но ее легко классифицировать как таковую) 1 % 0 = NaN
Если ничего не мешает, ЦП будет продолжать выполнять это до тех пор, пока не перегрузится и не вернет абсолютно случайный результат. Итак, на уровне процессора есть инструкция, что если делитель равен 0, вернуть NaN или Infinity (в зависимости от вашей платформы).
Это никогда не закончится, поэтому остаток не определен (для компьютеров это NaN ).
4
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
элементарная теория чисел - Полиномы, индуцирующие нулевую функцию по модулю $n$ 9{\ underline k} = x(x-1)\cdots(x-k+1)$.
{\underline p} = (n/p) x(x-1)\cdots(x-p+1)$. Возможны и другие многочлены степени $p$. 9p - x$ по модулю $p$.Какой унитарный многочлен наименьшей степени индуцирует нулевую функцию по модулю $n$?
Для этого нам нужно $c_d = 1$, где $d$ — степень полинома, которая должна быть кратна $n / \gcd(n, d!)$, поэтому $n / \gcd(n , d!)$ должно быть равно $1$, или, другими словами, $\gcd(n, d!) = n$, что означает, что $n$ делит $d!$. Это называется функцией Кемпнера. Таким образом, мы можем принять $c_d = 1$, а все остальные $c_k$ равны $0$.
Это дает следующую таблицу для примеров в вопросе: 9r$ унитарный многочлен наименьшей степени, индуцирующий нулевую функцию по модулю $n$?
Поскольку «монический полином наименьшей степени» не уникален (см. примеры чуть выше), уместно спросить, когда степени совпадают. Для этого $r + \lambda(n)$ должна быть функцией Кемпнера от $n$ (назовем ее $K(n)$), то есть наименьшим $k$ таким, что $n$ делит $k! $.