Объединение и пересечение множеств примеры: Пересечение и объединение множеств — урок. Алгебра, 9 класс.

Урок по математике_Пересечение и объединение множеств

 

 

Урок по математике

в 6 классе

Тема: «Пересечение и объединение множеств»

 

 

 

Учитель математики

МБОУ «Кабановская СОШ»

Жукова В.В.

 

 

 

 

 

 

 

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

 

 

Тема урока: «Пересечение и объединение множеств».

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

ü формирование знаний о пересечении и объединении множеств;

ü развитие умений и нахождение числа элементов пересечения и объединения множеств, выявлять закономерность, обобщать и делать выводы, воспитание ответственного отношения к учебе.

 

 

 

Ход урока.

 

1. Организационный момент.

2. Повторение изученного по теме «Множества».

 

      Вопросы для учащихся:

1)    Что такое множество?

2)    Что такое элементы множества?

3)    Какое множество конечно и бесконечно?

4)    Какое множество называется пустым?

 

3. Изучение нового материала «Пересечение множеств».

 

Учитель. Рассмотрим следующие два множества: М – множество всех точек круга, N – множество точек прямой, пересекающей круг. Каждый видит, что пересечение круга с прямой – это отрезок; обозначим его концы буквами А и В. Задумаемся: каким свойством обладают точки этого отрезка по отношению к множествам

М и N? Ответ ясен: точки отрезка АВ – это в точности те точки, которые принадлежат и множеству М, и множеству N. Так что множество всех точек отрезка АВ естественно назвать пересечением множеств М и N.

 

      Точно так же можно определить пересечение любых двух множеств М и N. Пересечением множеств М и N называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М и N. Пересечение множеств М и N обозначают МN. Читают: «пересечение М и N» или «М пересечение N». Знак  называется знаком пересечения.

      Обсудим несколько примеров.

      Пример 1. М – множество всех учениц какой-то школы, N

– множество всех учащихся данного класса этой школы. Тогда  МN – это множество всех девочек из данного класса.

      Пример 2. М – множество всех квартир на 1-м этаже в каком-то доме, N – множество всех квартир в данном подъезде этого дома. Тогда  МN – это множество всех квартир на 1-м этаже в данном подъезде.

 

      Пересечение множеств точек двух фигур на плоскости легче представить, если нарисовать эти фигуры. Сделаем это, например, для двух кругов. Множество всех точек первого круга обозначим М, второго – N. Для пересечения МN могут быть три варианта; они изображены на рисунке.

 

                                                                     Ø

      Если конечные множества записаны при помощи фигурных скобок списками своих элементов, то легко записать их пересечение. Примеры:

=;=     ;

=;  .

      Пересечение можно образовывать не только для двух множеств, но и для любого их числа. Определяется это точно так же, как и для двух множеств: пересечением данных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств. Пересечение множеств М, N и Р обозначается МNР.

      Вопрос для учащихся:

Что обозначает запись РQRS? Какому множеству равно это пересечение, если Р=; Q=; R=; S=?

 

4. Первичное закрепление понятия пересечения множеств.

      Вопросы:

1)    Что такое пересечение двух множеств; нескольких множеств?

2)    Что значит, что два множества не пересекаются? Приведите 2-3 примера непересекающихся множеств.

3)    Какое множество обозначается знаком      ?

      Практические задания:

1. Для каждой пары множеств М и N запишите  их пересечение:

а)     М=, N=;

б)    М=, N=;

в)     М=, N=;

г)                   

д)   , N – множество всех неправильных дробей.

 

2. Для каждой пары множеств М и N укажите их пересечение:

а)    М – множество всех нечетных чисел, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 4;

б)   М – множество всех правильных дробей, N – множество всех десятичных дробей;

в)   М – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 5.

3. Дан многоугольник. Каждую его сторону будем рассматривать как множество всех точек, принадлежащих этой стороне. Для каждой пары сторон многоугольника укажите множество, равное пересечению этих двух сторон, если многоугольник – это: а) треугольник АВС; б) прямоугольник KLMN.

4. Рассмотрите три множества ,  и . Убедитесь, что их пересечение пусто, а пересечение любых двух из этих множеств не пусто.

5. Пусть М – множество всех букв слова СЛОН, N – множество всех букв слова СТОН, Р – множество всех букв слова СТОГ, S – множество всех букв слова СЛОГ.

а)    Запишите всевозможные попарные пересечения этих множеств. Имеются ли среди них равные?

б)   Запишите всевозможные пересечения троек этих множеств. Имеются ли среди них равные?

в)   Запишите пересечение всех этих множеств. Равно ли оно какому-то из множеств, найденных вами в пунктах а) и б)?

 

5. Изучение нового материала «Объединение множеств».

Учитель. Объединением множеств М и N называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств М и N. Объединение множеств М и N обозначают  МN. Читают: «объединение М и N» или «М объединение N». Знак  называется знаком объединения.

      Разберем несколько примеров. Обдумайте каждый из них.

      Пример 1. М – множество всех учеников данного класса, получивших на сегодняшний день пятерку по какому-нибудь предмету, N – множество всех учеников того же класса, получивших в этот день четверку по какому-нибудь предмету. Тогда  МN – это множество всех учеников данного класса, получивших за сегодняшний день повышенные отметки.

      Пример 2. М – множество всех правильных дробей,

N – множество всех неправильных дробей. Тогда  МN – это множество всех обыкновенных дробей.

      Пример 3. М – множество всех букв слова КОШКА, N – множество всех букв слова МЫШКА. Тогда  МN =.

      Задание для учащихся:

Приведите сами какой-нибудь пример объединения двух множеств.

Учитель. Как и пересечение, объединение можно образовать не только для двух множеств, но и для любого их числа: объединением данных множеств называется множество, состоящее…

      Закончите определение. Догадайтесь, как записать объединение трех множеств М, N и Р.

      Если конечные множества записаны при помощи фигурных скобок списками своих элементов, то, как и для пересечения, легко записать их объединения.

     

=;

      =;

      =;

      =.

      Для любых множеств М и N  можно образовать их пересечение  МN и объединение МN. Это похоже на то, что происходит при действиях над числами: для любых двух чисел m и  n можно образовать их произведение   m  n и сумму m+n. Так получаются действия, которые назвали умножением и сложением. Поэтому образование пересечения и образование объединения можно назвать действиями над множествами.

      Выполняются ли те же законы для пересечения и объединения множеств?  Давайте рассуждать. Начнем с переместительного закона. Повторим, что такое пересечение двух множеств: множество МN состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М и N, а множество

NМ состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств N и М. Но сказать «каждому из множеств М и N» или «каждому из множеств N и М» — значит сказать одно и то же: ведь ясно, что неважно, в каком порядке перечислять здесь множества. Значит, множества МN и NМ состоят из одних и тех же элементов, т.е.

МN=NМ

      Данное равенство и означает, что переместительный закон для пересечения верен.

      Чтобы проверить сочетательный закон, надо убедиться, что для любых трех множеств М, N и Р выполняется равенство

М(NР)= (МN)Р

      Легко понять, что в левой и правой частях этого равенства записаны множества, состоящие из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств

М, N и Р, т.е. состоящие из одних и тех же элементов. Это и означает, что требуемое равенство выполняется.

 

6. Первичное закрепление изученного понятия объединения множеств.

      Вопросы:

1)    Что такое объединение двух множеств; нескольких множеств?

2)    О выполнении каких законов для действий пересечения и объединения множеств идет речь в объяснительном тексте этого параграфа?

3)    Каким множеством – конечным или бесконечным – будет объединение: а) двух конечных множеств; б) двух бесконечных множеств; в) конечного и бесконечного множеств?

 

      Практические задания:

1. Для каждой пары множеств М и N запишите их объединение:

а)    М=, N=;

б)   М=, N=;

в)   М=, N=.

2. Для каждой пары множеств М и N укажите их объединение:

а)    М – множество всех нечетных чисел, N – множество всех четных чисел;

б)   М – множество всех квадратов на плоскости, N – множество всех прямоугольников на той же плоскости, четырехугольников;

в)   М – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 15.

3. Пусть М – множество всех букв слова СЛОН, N – множество всех букв слова СТОН, Р – множество всех букв слова СТОГ, S – множество всех букв слова СЛОГ.

а)    Запишите всевозможные попарные объединения этих множеств. Имеются ли среди них равные?

б)   Запишите всевозможные объединения троек этих множеств. Имеются ли среди них равные?

в)   Запишите объединение всех этих множеств. Равно ли оно какому-то из множеств, найденных вами в пунктах а) и б)?

 

7. Изучение нового – вывод правила подсчета числа элементов объединения и пересечения множеств.

Учитель. Чтобы вывести правило давайте разберем конкретный пример. Пусть      М=, т.е. m=4;

             N=, т.е. n=3.

      Запишем объединение этих множеств:

             МN=.

      В множестве МN пять элементов, а m+n=4+3=7. Вот мы и видим, что в МN элементов меньше чем 7.

      Почему так получилось? Да потому, что в данном примере можно указать учеников, которые в этот день получили и пятерку, и четверку. Другими словами здесь пересечение МN не пусто: МN=. Но в объединении-то МN каждый элемент пересечения МN присутствует (и подсчитывается) только один раз, а не два раза.

      Давайте-ка изобразим ситуацию нашего примера на рисунке.

Если бы подсчитали здесь сумму m+n (т.е. 4+3), то каждый элемент пересечения (в данном примере Валя и Игорь, т.е. 2 элемента) оказался бы подсчитанным дважды. Значит, чтобы узнать число элементов объединения, надо из суммы m+n вычесть число лишний раз сосчитанных элементов пересечения. В данном примере получаем 4+3-2=5.

      Данная задача была решена с помощью рисунка, этот способ называется «Круги Эйлера». Леонард Эйлер – швейцарский математик, который в 18 веке работал в Российской академии наук и сделал много открытий для нашей науки.

      Итак, если мы возьмем сумму m+n, то в ней элементы пересечения МN будут сосчитаны дважды. Значит, чтобы определить число элементов объединения, надо из суммы m+n вычесть число лишний раз сосчитанных элементов из МN, т.е. число р. Получим такую формулу:

q=m+n-p.

      Сформулируем правило для нахождения числа элементов объединения множеств:

Чтобы найти число элементов объединения двух множеств, надо сложить числа элементов этих множеств и вычесть из полученной суммы число элементов их пересечения.

 

      Сформулируем правило для нахождения числа элементов пересечения множеств:

Чтобы найти число элементов пересечения двух множеств, надо сложить числа элементов этих множеств и вычесть из полученной суммы число элементов их объединения.

 

8. Первичное закрепление изученного.

      Практические задания (устно):

1. Вычислите число элементов в объединении множеств М и N, если:

а)    М содержит 10 элементов, N – 15 элементов, а МN – 7 элементов;

б)   М содержит 27 элементов, N – 18 элементов, а МN – 13 элементов;

в)   М содержит 45 элементов, N – 57 элементов, а МN – 1 элемент.

2. Вычислите число элементов в пересечении множеств М и N, если:

а)    М содержит 10 элементов, N – 15 элементов, а МN – 17 элементов;

б)   М содержит 27 элементов, N – 18 элементов, а МN – 45 элементов;

в)   М содержит 45 элементов, N – 57 элементов, а МN – 100 элементов.

      Решение задач с помощью кругов Эйлера:

№1. В классе 28 учеников. Каждый из них начертил у себя в тетради один из двух четырехугольников – прямоугольник или ромб. При проверке прямоугольников оказалось 17, а ромбов – 15. Как такое могло случиться?

№2. В осенние каникулы 12 учеников класса участвовали в междугородных экскурсиях в Москву и Санкт-Петербург, при этом 8 из них посетили Санкт-Петербург, а 6 – Москву. Сколько из этих учеников побывало и в Москве, и в Санкт-Петербурге?

 

      Задание на дом:

№1. Найдите пересечение множеств учителей, которые вели уроки в вашем классе: а) вчера и сегодня; б) вчера и позавчера. Оказалось ли какое-то из этих двух пересечений пустым?

№2. Вася, рассматривая свой дневник погоды, обнаружил, что в сентябре 17 раз отмечен дождь и 19 раз – сильный ветер. При этом дней, когда одновременно шел дождь и дул сильный ветер, оказалось 7. Был ли хоть один день, когда не было ни дождя, ни сильного ветра?

 

 

Пересечение и объединение множеств

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не определяется через другие, уже известные понятия. Его смысл раскрывается лишь путём описания.

Например, множество знаков зодиака, множество животных, множество деревьев, множество точек на прямой, множество треугольников на плоскости и т.д. .

Т.е. под понятием «множества» мы понимаем совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Определение:

Предметы, которые составляют определённое множество, называют его элементами.

Например, множество времён года состоит из элементов: зима, весна, лето и осень. А множество дней недели из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота и воскресенье.

Так, в алгебре выделяют следующие множества, которые вам уже знакомы: это множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита:

А его элементы – строчными:

Если  – элемент множества А, то записывают так: .

Если  не является элементом множества А, то записывают так: .

Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством.

Примером, пустого множества может служить множество всех точек пересечения двух параллельных прямых. Понятно, что две параллельные прямые никогда не пересекутся и, следовательно, точек пересечения они не имеют вовсе.

Существует два типа множеств – конечные и бесконечные.

Пусть есть некоторые два множества А и В.

Пусть два множества А и В.

И пусть каждый элемент множества В является элементом множества А.

Тогда множество В является подмножеством множества А.

 

Пример:

Пусть А – множество натуральных делителей числа 24.

В – множество натуральных делителей числа 36.

Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.

Сделаем вывод: пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Соотношение между множествами А, В и С можно изобразить с помощью специальных схем, которые называются кругами Эйлера. Смотрите, фигура, получившаяся при пересечении кругов (множества А и множества В), изображает множество С.

Пересечение множеств можно использовать тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.

Замечание: если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество.

Напомним, что пустое множество принято обозначать таким знаком

Например:

Теперь рассмотрим объединение множеств.

Пример:

Пусть А – множество натуральных делителей числа 24.

В – множество натуральных делителей числа 36.

Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.

Сделаем вывод: объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Замечание: если элемент входит в оба множества, то в объединённое он входит один раз.

Задание: даны множества А и В, причём А – множество чётных чисел не превосходящих 15, а В – множество двузначных чисел не превосходящих 20. Задайте множества А и В перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.

Решение:

Задание: на экране изображены два отрезка АВ и CD. Какая фигура является: пересечением этих отрезков, объединением этих отрезков?

Решение:

Итоги:

Множество это совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Предметы, которые составляют определённое множество, называют его элементами.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

10.2: Объединение, пересечение и дополнение

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

51627

Обычно наборы взаимодействуют. Например, вы с новым соседом по комнате решаете устроить домашнюю вечеринку и приглашаете друзей. На этой вечеринке объединяются два набора, хотя может оказаться, что есть друзья, которые были в обоих наборах.

Объединение, пересечение и дополнение

Объединение двух наборов содержит все элементы, содержащиеся в любом наборе (или в обоих наборах).

The union is notated A ⋃ B.

More formally, x ∊ A ⋃ B if x ∊ A or x ∊ B (or both)

Пересечение двух наборов содержит только те элементы, которые есть в обоих наборах.

The intersection is notated A ⋂ B.

More formally, x ∊ A ⋂ B if x ∊ A and x ∊ B

The дополнение набора А содержит все, что является , а не в наборе А .

Дополнение обозначается как A’ , или Ac , или иногда ~ A .

Пример 5

Рассмотрим наборы:       A = {красный, зеленый, синий}             B = {красный, желтый, оранжевый}

C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, фиолетовый}

a ) Найдите A ⋃ B

Объединение содержит все элементы любого из наборов: A ⋃ B = {красный, зеленый, синий, желтый, оранжевый}

Обратите внимание, что мы перечисляем красный только один раз.

б) Найдите A ⋂ B

Пересечение содержит все элементы обоих наборов: A ⋂ B = {red}

c) ​​Найдите Ac ⋂ C

Здесь мы ищем все элементы, которые не в наборе C и 90 9033 A также 900 в наборе A 900 .

Ac ⋂ C = {orange, yellow, purple}

Try it Now 2

Using the sets from the previous example, find A ⋃ C and Bc ⋂ A

Обратите внимание, что в приведенном выше примере было бы сложно просто запросить Ac , так как в комплект входит все, от цвета фуксии до щенков и арахисового масла. По этой причине дополнения обычно используются только с пересечениями или когда у нас есть универсальный набор.

Универсальный набор

Универсальный набор — это набор, содержащий все интересующие нас элементы. Это должно определяться контекстом.

Дополнение относится к универсальному набору, поэтому Ac содержит все элементы универсального набора, которых нет в А .

Пример 6

a)     Если бы мы обсуждали поиск книг, универсальным набором могли бы быть все книги в библиотеке.

b)    Если бы мы группировали ваших друзей на Facebook, универсальный набор состоял бы из всех ваших друзей на Facebook.

c)     Если вы работали с наборами чисел, универсальный набор мог бы состоять из всех целых чисел, всех целых чисел или всех действительных чисел

Пример 7

Предположим, что универсальный набор равен U = все целые числа от 1 до 9. Если А = {1, 2, 4}, то

Ас = {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Как мы видели ранее с выражением Ac ⋂ C , операции над множествами можно группировать вместе. Символы группировки можно использовать так же, как и с арифметикой — для принудительного порядка операций.

Пример 8

Допустим H = {кошка, собака, кролик, мышь}, F = {собака, корова, утка, свинья, кролик}

W = {утка, кролик, олень, лягушка , мышь}

A) Найти ( H ⋂ F ) ⋃ W

Мы начинаем с пересечения: H ⋂ F = {Dog, Rabbit}

Теперь мы приведем к W. W. W. : ( H ⋂ F ) ⋃ W = {собака, утка, кролик, олень, лягушка, мышь}

b) Найти H ⋂ ( F 02 W start) 3 We start с союзом: F ⋃ W = {собака, корова, кролик, утка, свинья, олень, лягушка, мышь}

Теперь мы пересекаем этот результат с H : H ⋂ ( F ⋃ W ) = {Dog, Rabbit, мышь}

C) находка H ⋂ F 3) 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333.3333333333333333333333333333333333333.9.923) ) ⋂ W

Начнем с пересечения: H ⋂ F = {собака, кролик}

Теперь мы хотим найти элементы W , которые равны , а не 90 033 H в

( Н ⋂ Ж ) c ⋂ W = {утка, олень, лягушка, мышь}

Контент по лицензии CC, ранее опубликованный

• Математика в обществе. Автор: : Open Textbook Store, Transition Math Project и Open Course Library. Расположен по адресу : http://www.opentextbookstore.com/mathinsociety/. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Пересечение

В теории множеств пересечением набора множеств является множество, содержащее их общие элементы. Для двух наборов A = {2, 3, 4, 7, 10} и B = {1, 3, 5, 7, 9}, их пересечение выглядит следующим образом:

A ∩ B = {3, 7}

Пересечение двух множеств обычно представляется с помощью диаграммы Венна. На диаграмме Венна множество представлено кругом. Пересечение множеств A и B на приведенной ниже диаграмме Венна — это заштрихованная область, где две окружности перекрываются.

A = {1, 2, 3, 4, 5,} и B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, поэтому A ∩ B = {4, 5}. Обратите внимание, что A и B являются частью 𝕌, универсального набора (представленного прямоугольником), который содержит другие элементы, не являющиеся частью A или B.

Подобно другим базовым операциям, таким как сложение, операции над множествами, такие как пересечения, также обладают определенными свойствами. При необходимости обратитесь к странице набора за таблицей символов, обычно используемых в теории множеств.

Пересечения и подмножества

Если множество A является подмножеством множества B, то пересечение двух множеств равно множеству A. Используя обозначение множества:

, если A ⊆ B, то A ∩ B = A

Например, если A = {4, 5, 6} и B = {4, 5, 6, 7, 8}, их пересечение равно {4, 5, 6} или A.

Коммутативный закон

Коммутативный закон гласит, что порядок пересечения двух множеств не имеет значения. Для двух наборов A и B:

A ∩ B = B ∩ A

Пусть A = {1, 2, 3} и B = {3, 5, 7}. Единственный общий элемент этих двух множеств равен 3. Таким образом, A ∩ B = B ∩ A = {3}. Неважно, рассмотрим ли мы сначала A или B, результат будет один и тот же.

Ассоциативный закон

Ассоциативный закон гласит, что перестановка скобок на пересечении множеств не меняет результат. Даны наборы A, B и C:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Положение круглых скобок не имеет значения, поскольку операция пересечения не меняет отношения между множествами. Сравнение сначала множеств A и B, затем B и C или сначала B и C, а затем A и B не меняет отношения между A и B или B и C.

Распределительный закон

Для множеств A, B , и C, распределительный закон гласит

А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ (А ∪ С)

А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) )∪ 

, где A распределяется на B и C. Это похоже на распределительное свойство умножения, при котором умножение распределяется над сложением. Диаграмма Венна ниже демонстрирует первый из перечисленных выше законов:

Из рисунка A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 } и С = {4, 5, 6, 7, 8, 11, 12}. Таким образом:

B ∩ C = {4, 5, 7, 8}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

А ∪ С = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12}

Левая часть уравнения:

А ∪ (В ∩ С)	=	{1, 2, 3, 4, 6, 6} ∪ {4, 5, 7, 8}
	=	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Правая часть уравнения:

(А ∪ В) ∩ (А ∪ С)	=	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12}
	=	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Левая и правая части равны, что подтверждает распределительный закон.

No related posts.