Объем конуса формула через высоту: Объем конуса можно вычислите по формуле V = 1/3 w *r ( в квадрате) *…

Содержание

Объем конуса

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = ¹/₃ Sh,

где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.

Окончательно V = ¹/₃ πR²h, где R — радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:

Пусть дан конус (рис). Впишем в него правильную пирамиду, т. е. построим внутри конуса такую пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основанием служит правильный многоугольник, вписанный в основание конуса.

Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = ¹/₃ S’h, где V — объём пирамиды,

S’ — площадь её основания, h — высота пирамиды.

Если при этом за основание пирамиды взять многоугольник с очень большим числом сторон, то площадь основания пирамиды будет весьма мало отличаться от площади круга, а объём пирамиды — весьма мало отличаться от объёма конуса. Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:

V = ¹/₃Sh, где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.

Заменив S через πR², где R — радиус круга, получим формулу: V = ¹/₃ πR²h, выражающую объём конуса.

Примечание. В формуле V = ¹/₃Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

V = ¹/₃Sh точное, а не приближённое.

Объем произвольного конуса

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = ¹/₃QH, (1)

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф_n и Ф’_n с площадями Q_n и Q’_n таких, что

Ф_n ⊂ Ф_n ⊂ Ф’_n и $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q’_n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q_n = Q.

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’_n будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Ф_n — описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

V_n = ¹/₃Q_nH , V’_n = ¹/₃Q’_nH

Так как

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ V_n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ V’_n = ¹/₃QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = ¹/₃π abH (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V = ¹/₃π R²H (3)

где Н — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если а = b = R, то получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле

V = ¹/₃π R²H

Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох (рис.).

Треугольник ОАВ является криволинейной трапецией, соответствующей функции

у = ^R/_Hх, х ∈ [0; H]. 2 + Rr) $$

Как находить объем конуса. Найти объем правильной пирамиды

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = 1 / 3 Sh ,

где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.

Окончательно V = 1 / 3 πR 2 h , где R — радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:

Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = 1 / 3 S’h , где V — объём пирамиды,

S’ — площадь её основания, h — высота пирамиды.

Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:

V = 1 / 3 Sh , где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.

Заменив S через πR 2 , где R — радиус круга, получим формулу: V = 1 / 3 πR 2 h , выражающую объём конуса.

Примечание. В формуле V = 1 / 3 Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

V = 1 / 3 Sh точное, а не приближённое.

Объем произвольного конуса

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = 1 / 3 QH, (1)

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф

n и Ф’ n с площадями Q n и Q’ n таких, что

Ф n ⊂ Ф n ⊂ Ф’ n и $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q’ n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q n = Q.

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’ n будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Ф n — описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

V n = 1 / 3 Q n H , V’ n = 1 / 3 Q’ n H

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ V n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ V’ n = 1 / 3 QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π ab

H (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

где Н — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab , и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab . Если а = b = R, то получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. 2 + Rr) $$

Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.

Решение

Пусть a — это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a 3 .

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен V ш = (4/3)πR 3 и равен 8π, поэтому

(4/3)πR 3 = 8π,

А объем куба равен V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Рассмотрим задачи:

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Другие задачи с жидкостями.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

Геометрия наука непростая, но полезная. Все мы в школе проходили вычисление объемов трехмерных тел, но не все хорошо помнят формулы этих вычислений. Эта статья поможет вам освежить в памяти знания о том, как найти объем конуса. Данная трехмерная фигура образована круговым вращением прямоугольного треугольника. Вычислить его объем можно разными способами, в зависимости от того, какими исходными данными вы владеете.

Инструкция:

В большинстве случаев для вычисления используется радиус окружности основания и высота. Формула объема конуса в таком случае имеет вид: V= πRh , где π=3.14 , R – радиус основания, h – высота фигуры. Проще говоря, этой формулой мы вычисляем площадь основания, и умножаем ее на высоту.
2.
Но, как найти объем конуса, если ни длина боковой стороны, ни радиус основания неизвестны? В таком случае вам необходимо знать градус угла при вершине конуса и его высоту. Владея этими данными, вы можете вычислить радиус основания. Не забываем о том, что конус – фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Если угол при вершине разделить надвое, вы получите градус одного из двух острых углов этого треугольника. Используя определения тригонометрических функций, мы можем выяснить длину стороны противоположной этому углу, то есть, в нашем случае, радиуса основания. Он, в этом случае будет равен l*sin(α) , где l – длина от вершины конуса до основания, высота, соответственно, будет равна l*cos(α) , используя эти значения, выводим следующую формулу радиуса основания R= h/cos(α)*sin(α) или, равнозначно, R = h*tg(α) .

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.

Геометрия как наука сформировалась в Древнем Египте и достигла высокого уровня развития. Известный философ Платон основал Академию, где пристальное внимание уделялось систематизации имеющихся знаний. Конус как одна из геометрических фигур впервые упоминается в известном трактате Евклида «Начала». Евклид был знаком с трудами Платона. Сейчас мало кто знает, что слово «конус» в переводе с греческого языка обозначает «сосновая шишка». Греческий математик Евклид, живший в Александрии, по праву считается основоположником геометрической алгебры. Древние греки не только стали преемниками знаний египтян, но и значительно расширили теорию.

История определения конуса

Геометрия как наука появилась из практических требований строительства и наблюдений за природой. Постепенно опытные знания обобщались, а свойства одних тел доказывались через другие. Древние греки ввели понятие аксиом и доказательств. Аксиомой называется утверждение, полученное практическим путем и не требующее доказательств.

В своей книге Евклид привел определение конуса как фигуры, которая получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также ему принадлежит основная теорема, определяющая объем конуса. А доказал эту теорему древнегреческий математик Евдокс Книдский.

Другой математик древней Греции, Аполлоний Пергский, который был учеником Евклида, развил и изложил теорию конических поверхностей в своих книгах. Ему принадлежит определение конической поверхности и секущей к ней. Школьники наших дней изучают Евклидову геометрию, сохранившую основные теоремы и определения с древних времен.

Основные определения

Прямой круговой конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного катета. Как видно, понятие конуса не изменилось со времен Евклида.

Гипотенуза AS прямоугольного треугольника AOS при вращении вокруг катета OS образует боковую поверхность конуса, поэтому называется образующей. Катет OS треугольника превращается одновременно в высоту конуса и его ось. Точка S становится вершиной конуса. Катет AO, описав круг (основание), превратился в радиус конуса.

Если сверху провести плоскость через вершину и ось конуса, то можно увидеть, что полученное осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ось является высотой треугольника.

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Формула расчета объема конуса

Для расчета объема конуса используется следующая формула:

где S является площадью основания конуса. Так как основание — круг, его площадь рассчитывается так:

Отсюда следует:

где V — объем конуса;

n — число, равное 3,14;

R — радиус основания, соответствующий отрезку AO на рисунке 1;

H — высота, равная отрезку OS.

Усеченный конус, объем

Имеется прямой круговой конус. Если плоскостью, перпендикулярной высоте, отсечь верхнюю часть, то получится усеченный конус. Два его основания имеют форму круга с радиусами R 1 и R 2 .

Если прямой конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то усеченный конус — вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой стороны.

Объем усеченного конуса рассчитывается по следующей формуле:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус и его сечение плоскостью

Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.

Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.

Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.

Решение задачи

Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.

V=10 л=10 дм 3 ;

Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.

L — образующая конуса.

Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Отсюда H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2 .

Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.

Почему пожарные ведра имеют форму конуса?

Кто задумывался, почему пожарные ведра имеют, казалось бы, странную коническую форму? А это не просто так. Оказывается, коническое ведро при тушении пожара имеет много преимуществ перед обычным, имеющим форму усеченного конуса.

Во-первых, как оказывается, пожарное ведро быстрее наполняется водой и при переноске она не расплескивается. Конус, объем которого больше обычного ведра, за один раз позволяет перенести больше воды.

Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.

В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.

Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.

Практическое применение

У школьников часто возникает вопрос о том, зачем учить, как рассчитывать объем разных геометрических тел, в том числе конуса.

А инженеры-конструкторы постоянно сталкиваются с необходимостью рассчитать объем конических частей деталей механизмов. Это наконечники сверл, части токарных и фрезерных станков. Форма конуса позволят сверлам легко входить в материал, не требуя первоначальной наметки специальным инструментом.

Объем конуса имеет куча песка или земли, высыпанная на землю. При необходимости, проведя несложные измерения, можно рассчитать ее объем. У некоторых вызовет затруднение вопрос о том, как узнать радиус и высоту кучи песка. Вооружившись рулеткой, измеряем окружность холмика C. По формуле R=C/2n узнаем радиус. Перекинув веревку (рулетку) через вершину, находим длину образующей. А вычислить высоту по теореме Пифагора и объем не составит труда. Конечно, такой расчет приблизителен, но позволяет определить, не обманули вас, привезя тонну песка вместо куба.

Некоторые здания имеют форму усеченного конуса. Например, Останкинская телебашня приближается к форме конуса. Ее можно представить состоящей из двух конусов, поставленных друг на друга. Купола старинных замков и соборов представляют собой конус, объем которого древние зодчие рассчитывали с удивительной точностью.

Если внимательно присмотреться к окружающим предметам, то многие из них являются конусами:

воронки-лейки для наливания жидкостей;
рупор-громкоговоритель;
парковочные конусы;
абажур для торшера;
привычная новогодняя елочка;
духовые музыкальные инструменты.

Как видно из приведенных примеров, умение рассчитать объем конуса, площадь его поверхности необходимо в профессиональной и повседневной жизни. Надеемся, что статья придет вам на помощь.

Расчет объема конуса в м3. Как найти объем конуса

Инструкция:

В большинстве случаев для вычисления используется радиус окружности основания и высота. Формула объема конуса в таком случае имеет вид: V= πRh , где π=3.14 , R – радиус основания, h – высота фигуры. Проще говоря, этой формулой мы вычисляем площадь основания, и умножаем ее на высоту. 2.
Но, как найти объем конуса, если ни длина боковой стороны, ни радиус основания неизвестны? В таком случае вам необходимо знать градус угла при вершине конуса и его высоту. Владея этими данными, вы можете вычислить радиус основания. Не забываем о том, что конус – фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Если угол при вершине разделить надвое, вы получите градус одного из двух острых углов этого треугольника. Используя определения тригонометрических функций, мы можем выяснить длину стороны противоположной этому углу, то есть, в нашем случае, радиуса основания. Он, в этом случае будет равен l*sin(α) , где l – длина от вершины конуса до основания, высота, соответственно, будет равна l*cos(α) , используя эти значения, выводим следующую формулу радиуса основания R= h/cos(α)*sin(α) или, равнозначно, R = h*tg(α) .

История определения конуса

Основные определения

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Формула расчета объема конуса

Для расчета объема конуса используется следующая формула:

где S является площадью основания конуса. Так как основание — круг, его площадь рассчитывается так:

Отсюда следует:

где V — объем конуса;

n — число, равное 3,14;

R — радиус основания, соответствующий отрезку AO на рисунке 1;

H — высота, равная отрезку OS.

Усеченный конус, объем

Объем усеченного конуса рассчитывается по следующей формуле:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус и его сечение плоскостью

Решение задачи

V=10 л=10 дм 3 ;

Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.

L — образующая конуса.

Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Отсюда H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2 .

Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.

Почему пожарные ведра имеют форму конуса?

Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.

В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.

Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.

Практическое применение

Если внимательно присмотреться к окружающим предметам, то многие из них являются конусами:

воронки-лейки для наливания жидкостей;
рупор-громкоговоритель;
парковочные конусы;
абажур для торшера;
привычная новогодняя елочка;
духовые музыкальные инструменты.

1. Расчет объема куба

a — сторона куба

Формула объема куба, (V ):

2.

Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда

a , b , c — стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V ):

3. Формула для вычисления объема шара, сферы

R — радиус шара

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V ):

4. Как вычислить объем цилиндра?

h — высота цилиндра

r — радиус основания

По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V ):

5. Как найти объем конуса?

R — радиус основания

H — высота конуса

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V ):

7. Формула объема усеченного конуса

r — радиус верхнего основания

R — радиус нижнего основания

h — высота конуса

Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):

8.

Объем правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а — ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V ):

9. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V ):

10. Объем правильной треугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V ):

11. Найти объем правильной пирамиды

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V ):

Все формулы объемов геометрических тел
Геометрия, Алгебра, Физика

Объём геометрической фигуры — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В простейших случаях объём измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Формула объема куба

1) Объем куба равен кубу его ребра.

V — объем куба

H — высота ребра куба

Формула объема пирамиды

1) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCD) на высоту h (OS).

V — объем пирамиды

S — площадь основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формулы объема конуса

1) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

2) Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

V — объем конуса

S — площадь основания конуса

h — высота конуса

π — число пи (3.1415)

r — радиус конуса

Формулы объема цилиндра

1) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2) Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

V — объем цилиндра

S — площадь основания цилиндра

h — высота цилиндра

π — число пи (3.1415)

r — радиус цилиндра

Формула объема шара

1) Объем шара вычисляется по приведенной ниже формуле.

V — объем шара

π — число пи (3.1415)

R — радиус шара

Формула объема тетраэдра

1) Объем тетраэдра равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух помноженный на куб длины ребра тетраэдра, а в знаменателе двенадцать.

Формулы объема
Формулы объема и онлайн программы для вычисления объема

Формула объема необходима для вычисления параметров и характеристик геометрической фигуры.

Объем фигуры — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В простейших случаях объём измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Параллелепипед .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Цилиндр .

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

Пирамида .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Правильная пирамида — это пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Тетраэдр — это пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Усеченная пирамида .

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S 1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S 2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 .

Конус — это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Призма .

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Сектор шара .

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара.

Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Сегмент шара — это часть шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом

Формула объема
Формула объема куба, шара, пирамиды, параллелограмма, цилиндра, тетраэдра, конуса, призмы и объемы других геометрических фигур.

В курсе стереометрии один из главных вопросов — как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.

В жизни тоже часто приходится сталкиваться с подобными задачами. Например, чтобы рассчитать объем воды, которая помещается в ведро или бочку.

Свойства, справедливые для объема каждого тела

Это значение — всегда положительное число.
Если тело удается разделить на части так, чтобы не было пересечений, то общий объем оказывается равным сумме объемов частей.
У равных тел одинаковые объемы.
Если меньшее тело полностью помещается в большем, то объем первого меньше, чем второго.

Общие обозначения для всех тел

В каждом из них есть ребра и основания, в них строятся высоты. Поэтому такие элементы для них одинаково обозначены. Именно так они записаны в формулах. Как рассчитать объем каждого из тел — узнаем дальше и применим на практике новые умения.

В некоторых формулах имеются другие величины. Об их обозначении будет сказано при появлении такой необходимости.

Призма, параллелепипед (прямой и наклонный) и куб

Эти тела объединены, потому что внешне очень похожи, и формулы того, как рассчитать объем, идентичны:

V = S * h.

Различаться будет только S . В случае с параллелепипедом она рассчитывается, как для прямоугольника или квадрата. В призме основанием может оказаться треугольник, параллелограмм, произвольный четырехугольник или другой многоугольник.

Для куба формула существенно упрощается, потому что все его измерения равны:

V = а 3 .

Пирамида, тетраэдр, усеченная пирамида

Для первого из указанных тел существует такая формула, чтобы вычислить объем:

V = 1/3 * S * н.

Тетраэдр является частным случаем треугольной пирамиды. В нем все ребра равны. Поэтому снова получается упрощенная формула:

V = (а 3 * √2) / 12, или V = 1/ 3 S h

Усеченной пирамида становится тогда, когда у нее срезана верхняя часть. Поэтому ее объем равен разности двух пирамид: той, которая была бы целой, и удаленной верхушки. Если есть возможность узнать оба основания такой пирамиды (S 1 — большее и S 2 — меньшее), то удобно пользоваться такой формулой для расчета объема:

Цилиндр, конус и усеченный конус

V =π * r 2 * h.

Несколько сложнее обстоит дело с конусом. Для него существует формула:

V = 1/3 π * r 2 * h. Она очень похожа на ту, что указана для цилиндра, только значение уменьшено в три раза.

Так же, как с усеченной пирамидой, дело обстоит непросто с конусом, который имеет два основания. Формула для вычисления объема усеченного конуса выглядит так:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Здесь r 1 — радиус нижнего основания, r 2 — верхнего (меньшего).

Шар, шаровые сегменты и сектор

Это самые сложные для запоминания формулы. Для объема шара она выглядит так:

V = 4/3 π *r 3 .

В задачах часто есть вопрос о том, как рассчитать объем шарового сегмента — части сферы, которая как бы срезана параллельно диаметру. В этом случае на выручку придет такая формула:

V = π h 2 * (r — h/3). В ней за h взята высота сегмента, то есть та часть, которая идет по радиусу шара.

Сектор делится на две части: конус и шаровой сегмент. Поэтому его объем определяется как сумма этих тел. Формула после преобразований выглядит так:

V = 2/3 πr 2 * h. Здесь h также высота сегмента.

Примеры задач

Про объемы цилиндра, шара и конуса

Условие: диаметр цилиндра (1 тело) равен его высоте, диаметру шара (2 тело) и высоте конуса (3 тело), проверить пропорциональность объемов V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

Решение. Сначала потребуется записать три формулы для объемов. Потом учесть, что радиус — это половина диаметра. То есть высота будет равна двум радиусам: h = 2r. Произведя простую замену получается, что формулы для объемов будут иметь такой вид:

V 1 = 2 π r 3 , V 3 = 2/3 π r 3 . Формула для объема шара не изменяется, потому что в ней не фигурирует высота.

Теперь осталось записать отношения объемов и произвести сокращение 2π и r 3 . Получается, что V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Эти числа легко привести к записи 3: 2: 1.

Про объем шара

Условие: имеется два арбуза радиусами 15 и 20 см, как их выгоднее съесть: первый вчетвером или второй ввосьмером?

Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, потребуется найти отношение объемов частей, которые достанутся от каждого арбуза. Принимая во внимание, что они — шары, нужно записать две формулы для объемов. Потом учесть, что от первого каждому достанется только четвертая часть, а от второго — восьмая.

Осталось записать отношение объемов частей. Оно будет выглядеть так:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). После преобразования остается только дробь: (2 r 1 3) / r 2 3 . После подстановки значений и вычисления получается дробь 6750/8000. Из нее ясно, что часть от первого арбуза будет меньше, чем от второго.

Ответ. Выгоднее съесть восьмую часть от арбуза с радиусом 20 см.

Про объемы пирамиды и куба

Условие: имеется пирамида из глины с прямоугольным основанием 8Х9 см и высотой 9 см, из этого же куска глины сделали куб, чему равно его ребро?

Решение. Если обозначить стороны прямоугольника буквами в и с, то площадь основания пирамиды вычисляется, как их произведение. Тогда формула для ее объема:

Формула для объема куба написана в статье выше. Эти два значения равны: V 1 = V 2 . Осталось приравнять правые части формул и сделать необходимые вычисления. Получается, что ребро куба будет равно 6 см.

Про объем параллелепипеда

Условие: требуется сделать ящик вместимостью 0,96 м 3 , известны его ширина и длина — 1,2 и 0,8 метра, какой должна быть его высота?

Решение. Поскольку основание параллелепипеда — прямоугольник, его площадь определяется как произведение длины (а) на ширину (в). Поэтому формула для объема выглядит так:

Из нее легко определить высоту, разделив объем на площадь. Получится, что высота должна быть равна 1 м.

Ответ. Высота ящика равна одному метру.

Как рассчитать объем различных геометрических тел?
В курсе стереометрии одна из главных задач — как рассчитать объем того или иного геометрического тела. Все начинается с простого параллелепипеда и заканчивается шаром.

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = 1 / 3 Sh ,

где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.

Окончательно V = 1 / 3 πR 2 h , где R — радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:

Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = 1 / 3 S’h , где V — объём пирамиды,

S’ — площадь её основания, h — высота пирамиды.

V = 1 / 3 Sh , где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.

Заменив S через πR 2 , где R — радиус круга, получим формулу: V = 1 / 3 πR 2 h , выражающую объём конуса.

V = 1 / 3 Sh точное, а не приближённое.

Объем произвольного конуса

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = 1 / 3 QH, (1)

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф n и Ф’ n с площадями Q n и Q’ n таких, что

Ф n ⊂ Ф n ⊂ Ф’ n и $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q’ n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q n = Q.

Объемы этих пирамид соответственно равны

V n = 1 / 3 Q n H , V’ n = 1 / 3 Q’ n H

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ V n = $\lim_{n \rightarrow \infty}$ V’ n = 1 / 3 QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π ab H (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

где Н — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab , и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab . Если а = b = R, то получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. 2 + Rr) $$

Объем конуса — формула, вывод, примеры, часто задаваемые вопросы

Объем конуса — это количество пространства, занимаемого конусом в трехмерной плоскости. У конуса круглое основание, что означает, что основание состоит из радиуса и диаметра. Затем от центра основания вы можете перейти к самой верхней части конуса (конечно, в случае с мороженым эта часть находится внизу), которая измеряется как высота. В этой статье мы научимся вычислять объем конуса и его формулу на решенных примерах.

1.	Каков объем конуса?
2.	Объем конуса Формула
3.	Получение объема конуса
4.	Как найти объем конуса?
5.	Часто задаваемые вопросы о томе конуса

Что такое объем конуса?

Объем конуса определяется как количество места или емкости, которую занимает конус. Объем конуса измеряется в кубических единицах, таких как см ³, м ³, ³ и т. д. Конус можно сформировать, вращая треугольник вокруг любой из его вершин. Конус представляет собой твердую трехмерную фигуру с круглым основанием. Имеет криволинейную поверхность. Расстояние от основания до вершины есть высота перпендикуляра. Конус можно классифицировать как прямой круговой конус или наклонный конус. В прямом круглом конусе вершина находится вертикально над центром основания, тогда как в наклонном конусе вершина конуса не находится вертикально над центром основания.

Формула объема конуса

Формула объема конуса равна одной трети произведения площади круглого основания на высоту конуса. Согласно геометрическим и математическим представлениям, конус можно назвать пирамидой с круглым поперечным сечением. Измерив высоту и радиус конуса, можно легко узнать объем конуса. Если радиус основания конуса равен «r», а высота конуса равна «h», объем конуса определяется как V = (1/3) πr ² ч.

Объем конуса с высотой и радиусом

Формула для расчета объема конуса с учетом высоты и радиуса основания:
V = (1/3)πr ² h кубических единиц

Объем конуса с учетом высоты и диаметра

Формула для расчета объема конуса с учетом его высоты и диаметра основания:
V = (1/12)πd ² h кубических единиц

Объем конуса с наклонной высотой

Применяя теорему Пифагора о конусе, мы можем найти соотношение между объемом и наклонной высотой конуса.
Мы знаем, h ² + r ² = L ²
⇒ h = √(L ² — r ² )
где,

h — высота конуса,
r — радиус основания, а,
L — наклонная высота конуса.

Объем конуса по наклонной высоте можно определить как V = (1/3)πr ² ч = (1/3)πr ² √(L ² — r ² ).

Вывод формулы объема конуса

Вот задание, которое показывает, как формула объема конуса получается из объема цилиндра. Возьмем цилиндр высотой «h» с радиусом основания «r» и возьмем 3 конуса высотой «h». Наполните конусы водой и опорожняйте по одному конусу за раз.

Каждый конус заполняет цилиндр на одну треть объема. Следовательно, три таких конуса заполнят цилиндр. Таким образом, объем конуса составляет одну треть объема цилиндра.
Объем конуса = (1/3) × объем цилиндра = (1/3) × πr ² ч = (1/3)πr ² ч

Как найти объем конуса?

При заданных параметрах объем конуса можно рассчитать, применив формулу объема конуса. Приведенные ниже шаги можно выполнить, когда известны либо радиус основания, либо диаметр основания, высота и высота наклона конуса.

Шаг 1: Запишите известные параметры: «r» — радиус основания конуса, «d» — диаметр, «L» — высота наклона и «h» — высота.
Шаг 2: Примените формулу для определения объема конуса,
Объем конуса с использованием радиуса основания: V = (1/3)πr ² h или (1/3)πr ² √(L ² — r ² )
Объем конуса с использованием диаметра основания: V = (1/12)πd ² h = (1/12)πd ² √(L ² — r ² )
Шаг 3: Выразите полученный результат в кубических единицах.

Пример: Найдите объем конуса, радиус которого 3 дюйма, а высота 7 дюймов. (Используйте π = 22/7).
Решение: Как мы знаем, объем конуса равен (1/3)πr ² ч.
Учитывая, что: r = 3 дюйма, h = 7 дюймов и π = 22/7
Таким образом, Объем конуса, V = (1/3)πr ² ч
⇒ V = (1/3) × (22/7) × (3) ² × (7) = 22 × 3 = 66 в ³
∴ Объем конуса 66 в ³ .

Объем конусных наконечников

Объем полусферы с радиусом «r» равен объему конуса с радиусом «r» и высотой, равной «2r». Таким образом, (1/3)πr ² (2r) = (2/3)πr ³ .
Объем конуса можно рассчитать, используя диаметр, разделив диаметр на 2, чтобы найти радиус, а затем применив значение к объему конуса по формуле (1/3)πr ² h.

Объем конуса Примеры

Пример 1: Джилл наполняет конический мешок драгоценными камнями. Она знает, что вместимость каждого мешка равна 24π в ³ . Помогите ей найти высоту конического мешка, если его радиус равен 3 дюймам.
Решение: Данные размеры: радиус конуса = 3 дюйма, объем конуса = 24π в ³ и пусть высота конуса = x дюймов.
Подстановка значений объема в формулу конуса
Объем конуса = (1/3)πr ² h = (1/3)× π × (3) ² × x = 24π в ³
⇒ 3x = 24
⇒ х = 8 дюймов
∴ Высота конического мешка 8 дюймов.
Пример 2: Чему равен объем конуса, диаметр которого 7 дюймов, а высота 12 дюймов. (Используйте π = 22/7)
Решение: Данными размерами являются диаметр конуса = 7 дюймов и высота конуса = 12 дюймов.
Подстановка значений объема в формулу конуса,
Объем конуса = (1/3)πr ² h = (1/3)π(D/2) ² h = (1/3) × (22/7) × (7/2) ² × (12) = 154 дюйма ³
∴ Объем конуса 154 в ³ .
Пример 3: Найдите радиус конуса, объем и высота которого равны 132 кубических единиц и 14 кубических единиц соответственно. (Используйте π = 22/7)
Решение: Данные размеры представляют собой объем конуса = 132 кубических единиц и высоту конуса = 14 единиц
Подставляя значения объема конуса в формулу
Объем конуса = (1/3)πr ² ч
⇒ 132 = (1/3) × (22/7) × r ² × (14)
⇒ г ² = (132 × 7 × 3)/(22 × 14)
⇒ г ² = 9
⇒ г = 3
∴ Радиус конуса равен 3 единицам.

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по объему конуса

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о томе конуса

Каков объем конуса?

Пространство, занимаемое конусом, называется объемом конуса. Объем конуса зависит от радиуса основания конуса и высоты конуса. Там, где это необходимо, его также можно выразить через его наклонную высоту.

Какова формула объема конуса?

Формула объема конуса равна одной трети объема цилиндра. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Следовательно, формула объема конуса задается как V = (1/3) πr ² ч, где «h» — высота конуса, а «r» — радиус основания.

☛Проверить:

Геометрические формулы
Формулы объема
Формулы площади поверхности

Что такое площадь поверхности и объем конуса?

Поскольку конус имеет криволинейную поверхность, у него есть две формулы площади поверхности: площадь криволинейной поверхности и общая площадь поверхности. Эти формулы площади поверхности для конуса перечислены ниже:

Если радиус основания конуса равен «r», а наклонная высота конуса равна «l», площадь поверхности конуса определяется как:

Общая площадь поверхности конуса, T = πr(r + l)
Площадь криволинейной поверхности конуса, S = πrl

Принимая во внимание, что объем конуса составляет одну треть объема цилиндра, который выражается как V = (1/3)πr ² ч куб. ед. Здесь «h» и «r» относятся к высоте и радиусу конуса.

☛Проверьте:

Основание конуса
Правый круглый конус
Объем правого кругового конуса

Как рассчитать объем конуса с помощью калькулятора?

Для расчета объема конуса с помощью калькулятора очень важно запомнить формулу объема конуса, т. е. V = (1/3)πr ² h кубических единиц. Поставив значения h, r и pi (постоянная 3,14 o 22/7), мы можем вычислить объем конуса, используя калькулятор объема конуса.

☛Проверьте и отработайте вопросы, связанные с объемом конуса:

Калькулятор площади поверхности конуса
Калькулятор конуса
Рабочий лист «Объем конуса»

Можете ли вы найти объем конуса с наклонной высотой?

Да, мы можем найти формулу конуса с наклонной высотой. Формула объема конуса: (1/3)πr ² ч, где «h» — высота конуса, а «r» — радиус основания. Чтобы найти объем конуса через наклонную высоту «L», мы применяем теорему Пифагора и получаем значение высоты через наклонную высоту как √(L ² — р ² ). Далее это значение подставляется в формулу объема конуса как h = √(L ² — r ² ). Таким образом, объем конуса по наклонной высоте равен (1/3)πr ² √(L ² — r ² ).

Как найти объем конуса с диаметром и наклонной высотой?

Формула объема конуса: (1/3)πr ² h, где «h» — высота конуса, а «r» — радиус основания. Таким образом, объем конуса по наклонной высоте «L» равен (1/3)πr ² √(L ² — р ² ). Мы можем определить объем конуса по диаметру и высоте наклона, подставив r = (D/2), где D — диаметр конуса. Отсюда формула объема конуса: (1/3)π(D/2) ² √(L ² — (D/2) ² ).

☛ Попробуйте для быстрого расчета:

Калькулятор наклонной высоты конуса
Калькулятор диаметра
Формула высоты конуса

Что такое объем конуса в единицах Пи?

Объем конуса в единицах числа пи можно определить как общую емкость, требуемую конусом, которая представлена в единицах числа пи. Единица объема конуса в пи всегда выражается в кубических единицах, где единицей измерения может быть см ³, м ³, дюймы ³, футы ³ и т. д.

Что такое Формула объема конуса для частичного конуса?

Формула объема конуса для частичного конуса определяется как объем частичного конуса, V = 1/3 × πh(R ² + Рр + Р ² ). В формуле маленькая «r» и заглавная «R» — это радиусы основания, так что R > r, а «h» — это высота.

Какова формула объема конуса для усеченного конуса?

Формула объема конуса для усеченного конуса определяется как количество единичных кубов, которые могут в него поместиться. Объем (V) усеченного конуса рассчитывается по любой из следующих формул, перечисленных ниже.

В = πh/3 [ (R ³ — р ³ ) / р ] (ИЛИ)
В = πH/3 (R ² + Rr + r ² )

Как на объем конуса влияет удвоение высоты?

Объем конуса зависит от радиуса основания «r» конуса и высоты «h» конуса. Таким образом, объем конуса удваивается, если высота конуса удваивается, поскольку «h» заменяется на «2h», поскольку V = (1/3)πr ² (2h) = 2 ((1/3) πr ² ч).

Что происходит с объемом конуса, когда радиус и высота удваиваются?

Объем конуса будет в восемь раз больше первоначального объема, если радиус и высоту конуса удвоить, радиус, «r» заменить на 2r, а высоту, «h» заменить на 2h, V = (1 /3)π(2r) ² (2h) = 8((1/3)πr ² (h)).

Что произойдет с объемом конуса, если его высоту утроить, а диаметр основания увеличить вдвое?

Объем конуса будет в двенадцать раз больше первоначального объема, если высоту конуса утроить, поскольку «h» заменить на 3h, а диаметр, D заменить на 2D, V = (1/3)π(2D/ 2) ² (3ч) = πD ² ч = 12((1/3)π(D/2) ² (ч)).

Объяснение урока: Объемы конусов

В этом объяснении мы научимся вычислять объемы конусов и решать проблемы, включая жизненные ситуации.

Хотя существуют более общие определения конусов, в этом объяснении мы учитывать только правых круглых конуса . Напомним, что именно это означает с математическим определением.

Определение: прямые круговые конусы

Прямой круговой конус представляет собой трехмерную форму с круглым основанием чья вершина (или вершина) лежит прямо над центром основания.

Его высота это расстояние от вершины до основания.

Его радиус радиус круглого основания.

Его наклонная высота — это расстояние от вершины до любой точки, лежащей на окружность основания.

Поскольку в этом объяснении мы будем рассматривать только прямые круглые конусы, из теперь мы будем называть их просто конусами. Теперь рассмотрим, как мы могли бы найти объем конуса.

Представьте, что мы можем полностью заполнить конус водой. Если мы нальем это воды в цилиндр того же основания и высоты, что и конус, мы будем наблюдать что уровень воды находится точно на одной трети высоты цилиндра.

Теперь мы знаем, что объем цилиндра находится по формуле 𝑉=𝜋𝑟ℎ, где 𝑟 — радиус цилиндра, а ℎ — высота. Если мы возьмем одну треть этого, мы придем к следующей формуле для объем конуса.

Формула: Объем конуса

Объем конуса равен 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑟 — радиус основания, а ℎ — высота.

Таким образом, в любой ситуации, когда нам нужно вычислить объем конуса, мы можем сделать это, определив радиус и высоту и подставив их значения в вышеуказанная формула. Рассмотрим пример, в котором мы используем формулу для объем конуса по чертежу.

Пример 1. Нахождение объема конуса

Определите объем правого круглого конуса через 𝜋.

Ответ

Объем прямого кругового конуса находится по формуле 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑟 — радиус основания и ℎ это перпендикулярное расстояние от вершины до основания. На схеме мы видим, что радиус равен 20 см, а высота 24 см. Замена это в формулу, мы получаем 𝑉=13𝜋⋅20⋅24=400⋅243𝜋=3200𝜋.см

В предыдущем примере у нас был идеальный сценарий: нам дали радиус и высота, и мы могли бы использовать их для прямого вычисления объема. Часто мы будем бывают ситуации, когда нам явно не заданы нужные нам измерения, но иметь достаточно информации, чтобы найти необходимые значения дедукцией. В В частности, напомним, что прямой круговой конус имеет вершину прямо над центр круглого основания. Это означает, что наклонная высота образует правую треугольник с высотой и радиусом, как показано ниже.

Используя теорему Пифагора, если нам даны два из указанных выше измерений, мы можем найти третий. Например, предположим, что наклонная высота равна 𝑠 и радиус 𝑟 и мы хотим найти высота ℎ. Тогда у нас есть 𝑠=ℎ+𝑟.

Мы можем изменить это, чтобы записать его в терминах ℎ следующим образом: ℎ=√𝑠−𝑟.

Затем мы можем подставить это значение для ℎ вместе с заданным значением для 𝑟, в формулу объема. Давайте рассмотрим экземпляр этого в следующем примере.

Пример 2. Нахождение объема конуса по его высоте и наклонной высоте

Определить объем данного прямоугольного конуса через 𝜋.

Ответ

Чтобы найти объем прямого кругового конуса, вспомните, что у нас есть формула 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑟 — радиус основания и ℎ высота (т. е. расстояние от вершины до основания). Мы были учитывая высоту, которая 48 см, и наклон высота, которая составляет 60 см, но не радиус.

Чтобы найти радиус, мы можем использовать тот факт, что наклонная высота, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, как показано ниже.

Следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти 𝑟: 𝑟+48=60𝑟=60−48=3600−2304=1296.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим 𝑟=36.cm

Теперь мы можем подставить это значение и ℎ=48 в формула объема, чтобы получить 𝑉=13𝜋⋅36⋅48=1296⋅483𝜋=20736𝜋. см

Другой тип проблем включает в себя противоположный вопрос: если нам дано объем конуса, можем ли мы найти другие измерения? Ответ на это заключается в том, что пока мы можем определить два из трех неизвестных (объем, высота и радиус), мы можем использовать формулу объема конуса, чтобы найти третий по перестановка. Давайте теперь рассмотрим пример этого.

Пример 3. Нахождение диаметра основания конуса по его объему и высоте

Объем конуса равен 441 см ³ и его высота 12 см. Найдите его диаметр.

Ответ

Так как нам известны объем конуса и его высота, мы вспоминаем формула, которая связывает их вместе с радиусом: 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑉 — объем, 𝑟 — радиус основания, а ℎ — высота. Хотя эта формула не включает явно диаметр, так как диаметр в два раза больше радиус, мы можем сначала сосредоточиться на нахождении радиуса.

Подставив ℎ=12 и 𝑉=441𝜋 в формулу, получим 441𝜋=13𝜋𝑟⋅12. 

Мы можем изменить это, чтобы получить 𝑟. Сначала разделим оба стороны 𝜋: 441=13𝑟⋅12.

Тогда мы можем умножить обе части на 3, 1323=𝑟⋅12, и разделите обе части на 12, чтобы получить 110,25=𝑟.

Далее, чтобы найти 𝑟, мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон, давая нам 𝑟=10,5 см

Последний шаг — найти диаметр. Поскольку диаметр в два раза больше радиус, мы умножаем на 2, чтобы найти, что диаметр 21 см.

Как обсуждалось ранее, нам не всегда могут быть даны точные значения, которые нам нужны. подставить в формулу объема конуса. Еще одна ситуация, которую мы может быть, когда нам могут дать площадь или окружность круга основание, а не радиус. Напомним, что площадь и длина окружности равны связаны с радиусом окружности следующими формулами: 𝐴=𝜋𝑟,𝐶=2𝜋𝑟, где 𝐴 — площадь, 𝐶 — длина окружности, а 𝑟 — радиус. Таким образом, в любой ситуации, когда нам дается площадь или окружность вместо радиуса всегда можно определить радиус.

Давайте рассмотрим пример того, как мы могли бы использовать приведенные выше формулы. с объемом конуса, на этот раз сформулированный как реальная задача.

Пример 4. Определение высоты конуса в реальном контексте

Кусочек шоколада имеет форму правильного конуса; его объем 952𝜋 см ³ , а периметр его основания равен 10𝜋 см. Найдите его высота.

Ответ

В этом примере нам дан объем конуса и периметр основания и просят найти высоту. Напомним, что у нас есть формула объема конуса: 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑉 — объем, 𝑟 — радиус основания, а ℎ — высота. Хотя эта формула включает радиус, а не периметр, мы можем найти радиуса, используя тот факт, что основание конуса круглое. Напомним, что периметр (или длина окружности) круга определяется выражением периметр=2𝜋𝑟.

Поскольку периметр равен 10𝜋, имеем 10𝜋=2𝜋𝑟.

Разделив обе части на 2𝜋, мы получим, что 𝑟=5.

Теперь, когда у нас есть 𝑟=5 см и 𝑉=952𝜋см, мы можем подставить их в формулу для объема, чтобы получить 952𝜋=13𝜋⋅5ℎ.

Затем мы можем изменить это, чтобы найти ℎ. Сначала умножаем обе стороны на 3, чтобы получить 2852𝜋=𝜋⋅5ℎ.

Затем делим обе части на 𝜋: 2852=5ℎ.

Наконец, разделим обе части на 5=25, чтобы получить ℎ, который мы пишем в сантиметров следующим образом: ℎ=5,7 см

В предыдущем примере мы продемонстрировали, как окружность основания может использоваться вместе с формулой объема, поэтому давайте теперь рассмотрим случай площадь базы.

Оказывается, зная площадь и высоту, можно даже упростить работа дальше. Так как объем конуса 13𝜋𝑟ℎ, мы можем заменить 𝐴=𝜋𝑟, чтобы получить следующую альтернативную формулу для объем.

Формула: Объем конуса (площадь основания)

Объем конуса равен 𝑉=13𝐴ℎ, где 𝐴 — площадь основания, а ℎ это высота.

Отметим, что эта формула аналогична альтернативной формуле для объема цилиндра 𝑉=𝐴ℎ.

Как и ожидалось, это соответствует нашему более раннему утверждению, что объем конус составляет одну треть цилиндра.

Рассмотрим решение примера, где мы используем площадь основания конуса найти объем.

Пример 5. Нахождение объема конуса, где площадь основания и наклонная высота Даны

Найдите объем прямого кругового конуса через 𝜋, если площадь круглое основание 64 см ² и наклонная высота 17см.

Ответ

Напомним, что объем конуса определяется выражением 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑟 — радиус, а ℎ — высота. Здесь нам не заданы ни радиус, ни высота, но пусть Напомним, что поскольку основание прямого кругового конуса — это круг, мы можем Выразите площадь основания через радиус, используя 𝐴=𝜋𝑟.

Обычно мы просто подставляем это в формулу объема, но в этом случае мы должны осознавать, что нам необходимо найти радиус в любом случае, чтобы вычислить высоту. Итак, найдем радиус по перестановка. У нас есть 64𝜋=𝜋𝑟64=𝑟𝑟=8.см

Теперь нам нужно найти высоту. Так как вершина прямого кругового конуса прямо над центром основания высота конуса прямо относительно радиуса и высоты наклона, как показано ниже.

Таким образом, по теореме Пифагора имеем 17=ℎ+8ℎ=17−8ℎ=225ℎ=15.см

Теперь, поскольку ℎ=15 и 𝑟=8, мы можно подставить эти значения в уравнение для объема конуса. Этот дает нам 𝑉=13𝜋⋅8⋅15=64⋅153𝜋=320𝜋.см

Давайте закончим резюмированием того, что мы узнали из этого объяснения.

Ключевые точки

Объем конуса равен 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, где 𝑟 — радиус основания, а ℎ — высота.
Эту формулу можно использовать для нахождения объема, радиуса или высоты конус в зависимости от того, какие компоненты нам даны.
В ситуациях, когда высота или радиус не заданы напрямую, мы можем найдите их, используя наклонную высоту, используя теорему Пифагора, как показано ниже.
Мы также можем найти радиус, используя площадь или окружность основания. В частности, мы можем использовать альтернативную формулу для объема конуса 𝑉=13𝐴ℎ, где 𝐴 — площадь основания, ℎ — площадь высота.

Объем конуса — формула, вывод, примеры, часто задаваемые вопросы

Объем конуса можно описать как пространство, занимаемое конусом, или как емкость конуса. Конус — это трехмерный объект, имеющий круглое плоское основание и заостренную вершину, называемую вершиной или вершиной. Конусом считается фигура, образованная неконгруэнтным круговым диском, который становится меньше и является точкой только на вершине.

Конус представляет собой твердый трехмерный геометрический объект с круглым основанием и острым краем наверху, известным как вершина. Он имеет одну грань и одну вершину. У конуса нет ребер. Это форма с изогнутой вершиной и круглым основанием. У конуса одна грань, одна вершина и нет ребер. Его наклонная высота — это длина отрезка прямой от вершины конуса до любой точки на окружности основания конуса. Прямой круговой конус — это конус, вершина которого находится прямо над круглым основанием на перпендикулярном расстоянии. Наклонный конус — это конус, вершина которого не находится непосредственно над круглым основанием. Кроме того, найдите здесь площадь поверхности прямоугольного конуса.

Каков объем конуса?

Объем конуса определяется как количество пространства или емкости, которую он заполняет. Объем конуса измеряется в кубических единицах, таких как см ³, м ³, ин ³ и так далее. Вращая треугольник вокруг любой из его вершин, можно получить конус. Объем конуса также можно измерять в литрах.

Объем конуса Формула

Конус представляет собой твердое трехмерное тело, имеющее круглое основание. У него изогнутая поверхность. Высота перпендикуляра — это расстояние от основания до вершины. Конус можно разделить на два типа: прямые круглые конусы и наклонные конусы. Вершина прямого кругового конуса находится вертикально над центром основания, но вершина косого конуса не находится вертикально над центром основания.

Формула объема конуса:

V =
где
r = радиус конуса,
h = высота конуса,
π = 22/7
3 Кроме того, связь между объемом конуса и наклонной высотой при применении к нему теоремы Пифагора определяется формулой – r ² )
Следовательно, объем конуса по его наклонной высоте равен,
V =

Объем конуса Произведение

Предположим, у нас есть конус с круглым основанием, радиус которого равен r, а высота равна h.

Мы знаем, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с таким же радиусом основания и высотой.
Таким образом, объем становится равным
V = 1/3 x площадь основания x высота
= 1/3 x πr ² x h
= πr ² h/3
Получается формула объема конуса.

Как найти объем конуса?

Рассмотрим пример для определения объема конуса.

Пример: Определите объем конуса, если радиус его круглого основания равен 3 см, а высота равна 5 см.

Шаг 1: Обратите внимание на радиус круглого основания (r) и высоту конуса (h). Здесь радиус 3 см, а высота 5 см.
Шаг 2: Вычислите площадь круглого основания = πr ² . Подставьте значения r и π в данное уравнение, т. е. 3,14 × (3) ² = 28,26 см ² .
Шаг 3: Мы знаем, что объем конуса равен (1/3) × (площадь круглого основания) × высоте конуса. Итак, подставляем значения в уравнение = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 см ³ .
Шаг 4: Следовательно, объем данного конуса равен 47,1 см ³ .

Используя шаги, описанные выше, можно рассчитать объем конуса.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус — это часть конуса, объем усеченного конуса — это количество жидкости, которое может вместить усеченный конус. Итак, для расчета объема нам нужно найти разность объемов двух конусов. Для получения более подробной информации о Frustum of Cone нажмите здесь.

Формула объема усеченного конуса

Формула для нахождения объема усеченного конуса дается путем вычитания объема двух конусов. Изучите данную фигуру, чтобы найти объем усеченного конуса.

Из рисунка выше мы имеем общую высоту H’ = H+h и общую наклонную высоту L = l ₁ + l ₂ . Радиус конуса = R и радиус срезанного конуса = r. Теперь объем большего конуса = 1/3 π R ² H’ = 1/3 π R ² (H+h)

Объем меньшего конуса = 1/3 πr ² h. Объем усеченного конуса можно рассчитать по разнице между двумя конусами, т. е.

Объем усеченного конуса = 1/3 π R ² H ‘-1/3 πr ² H
= 1/3π R ² (H+H) -1/3 πr ² H
= 1/3 π [R ² (H+H )-r ² h ] ………(1)

Используя свойства подобных треугольников в Δ QPS и Δ QAB. имеем
R/r = H+h/h
H+h = (Rh)/r.
Подставляя значение H+h в формулу объема усеченной пирамиды, получаем

Объем усеченной пирамиды = 1/3 π [ R ² (Rh/r)-r ² H]
= 1/3 π [R ³ H/R-R ² H]
= 1/3 π H (R ³/R-R ²)
= 1/3 π H ( R ³ -r ³ / r)

Объем усеченного конуса = 1/3 π h [(R ³ -r ³ )/ r] 5
3 конуса
Пример 1. Найти объем конуса для радиуса 7 см и высоты 14 см.
Решение:
Имеем r = 7 и h = 14.
Объем конуса = 1/3 πr ) (7) (14)
= (1/3) (7) (7) (2)
= 32,66 см ³
Пример 2. Найти объем конуса для радиуса 5 см и высота 9 см.
Решение:
Имеем r = 5 и h = 9.
Объем конуса = 1/3 πr ² ч
= (1/3) (3,14) (5) (5) (9)
= (3,14) (5) (5) (3)
= 235,49 см ³
Пример 3. Найдите объем конуса для радиуса 7 см и высоты 12 см.
Решение:
Имеем r = 7 и h = 12.
Объем конуса = 1/3 πr ) (7) (12)
= (22) (7) (4)
= 616 см ³
Пример 4. Найдите объем конуса для радиуса 8 см и высоты 15 см.
Решение:
Имеем r = 8 и h = 15.
Объем конуса = 1/3 πr ) (8) (15)
= (1/3) (22/7) (8) (8) (5)
= 335,02 см ³
Пример 5. Найти объем конуса для диаметром 24 см и наклонной высотой 13 см.
Решение:
Имеем, 2r = 24
=> r = 24/2
=> r = 12
Также l объем конуса = 13.
2
² √(l ² – r ² )
= (1/3) (22/7) (12) (12) (√(13 ² – 12 ^{2 ) (1/3) (22/7) (12) (12) (5)}
= 754,28 см ³
Пример 6. Найти объем конуса для диаметром 16 см и наклоном высота 10 см.
Решение:
Имеем, 2r = 16
=> r = 16/2
=> r = 8
(1/3) (1/3) (22/7) (8) (8) (6)
= 402,048 см ³
Пример 7. Найти объем конуса при высоте 8 см и наклонной высоте 17 см.
Решение:
Имеем h = 8 и l = 10.
Найдите значение r.
R = √ (L ² — H ²)
= √ (17 ² — 8 ²)
= √ (289 — 64)
= 15
Объем CONE = 1/3 πr ² ч
= (1/3) (22/7) (15) (15) (8)
= (1/3) (22/7) (5) (15) ( 8)
= 1884,6 см ³
Часто задаваемые вопросы по объему конуса
Вопрос 1: Что произойдет с объемом конуса, если его радиус и высоту удвоить?
Ответ:
Если r = 2r и h = 2h,
, то объем конуса определяется как:
Объем конуса = (1/3)π(2r) ^{4 ^{(2H) Кубические единицы}}
V = (⅓) π (4R ²) (2H)
V = (8/3) πr ² H
Таким т. е. V = (8/3)πr ² h,
, когда его радиус и высота удваиваются.
Вопрос 2: Какова формула полной площади поверхности конуса?
Ответ:
Общая площадь поверхности конуса определяется по формуле πr(l + r) квадратных единиц, где r — радиус круглого основания, а l — наклонная высота конуса.
Вопрос 3: Какова формула объема конуса?
Ответ:
Объем конуса определяется по формуле ⅓ πr ² x h кубических единиц, где r — радиус круглого основания, а h — высота конуса.
Вопрос 4: Найдите соотношение между объемом цилиндра и объемом конуса.
Ответ:
Одна треть объема цилиндра равна объему конуса, имеющего тот же радиус и высоту.
Вопрос 5: Какова формула для наклонной высоты конуса?
Ответ:
Наклонная высота конуса l = √(h3 + r2), где h — высота конуса, а r — радиус круглого основания.
Вопрос 6: Каков будет объем конуса, если его радиус и высоту уменьшить вдвое?
Ответ:
Если r = r/2 и h = h/2,
, то объем конуса определяется как:
Объем конуса = (1/3)π(r /2) ² (ч/2) куб.ед.
V = (⅓) π (R ²/4) (H/2)
V = (1/24) πr ² H
Таким объем, т. е. V = (1/24) πr ² ч,
, когда его радиус и высота разделены пополам.
Вопрос 7: Как найти объем конуса, если известны высота и диаметр конуса?
Ответ:
Дано,
Объем конуса = (1/3)πr ² h кубических единиц
Где r — радиус, а h — высота
Поскольку (радиус)r = (диаметр)d/2,
объем конуса равен
V = (1/3)π( d/2) ² ч кубических единиц
V = (1/12)πd ² ч кубических единиц.
Отсюда формула объема конуса (1/12)πd ² h кубических единиц, если известны его высота и диаметр.
No related posts.