Область определения и область значения функции как находить: область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Поиск области определения и диапазона функции и примеры решения

Функция определяется как отношение между набором входов и их выходов, где вход может иметь только один выход. Он изображает связь между независимой переменной и зависимой переменной. Функция обычно обозначается как y = f(x), где x — вход. Функция — это отношение f из множества X к другому множеству Y, где каждый элемент в X имеет ровно один выход в Y, и это представлено как f: X→Y. Здесь множество X называется областью определения функции, а множество Y называется областью определения функции. Каждая функция имеет домен, кодовый домен и диапазон, которые помогают в определении функции.

Домен, совместный домен и диапазон функции

Домен функции определяется как набор всех возможных значений, для которых функция может быть определена. Домен функции — это набор возможных результатов, тогда как диапазон или образ функции — это подмножество домена и набор изображений элементов в домене. Например, на приведенном ниже рисунке f(x) = x ³ — это функция, областью определения которой является множество X, а ее сообластью является множество Y, а ее область значений — {1, 8, 27, 64}. .

 

Для заданной функции f(x) = x ³ :

• Домен = {1, 2, 3, 4}
• Домен = {1, 2, 3, 4, 8, 9 , 16, 23, 27, 64}
• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Диапазон = {1, 8, 27, 64}

Домен

Домен функции определяется как множество всех возможных значений, для которых функция может быть определена. Пройдемся по областям различных функций.

• Область определения любой полиномиальной функции, такой как линейная функция, квадратичная функция, кубическая функция и т. д., представляет собой набор всех действительных чисел (R).
• Область определения логарифмической функции f(x) = log x равна x > 0 или (0, ∞).
• Область определения функции квадратного корня f(x) = √x — это множество неотрицательных действительных чисел, представленное как [0, ∞).
• Область определения экспоненциальной функции — это множество всех действительных чисел (R).
• Рациональная функция определяется только при ненулевых значениях ее знаменателя. Итак, чтобы определить область определения рациональной функции y = f(x), установите знаменатель ≠ 0.

Как найти область определения функции?

Чтобы найти домен функции, выполните следующие шаги:

Шаг 1: Сначала проверьте, может ли данная функция включать все действительные числа.

Шаг 2: Затем проверьте, имеет ли данная функция ненулевое значение в знаменателе дроби и неотрицательное действительное число под знаменателем дроби.

Шаг 3: В некоторых случаях на область определения функции накладываются определенные ограничения, т.е. эти ограничения являются значениями, при которых данная функция не может быть определена. Например, , область определения функции f(x) = 2x + 1 — это множество всех действительных чисел (R), но область определения функции f (x) = 1/(2x + 1) — это множество всех действительных чисел, кроме -1/2.

Шаг 4: Иногда вместе с функцией указывается интервал, на котором определяется функция. Например, f (x) = 2x ² + 3, -5 < x < 5. Здесь входные значения x находятся в диапазоне от -5 до 5. В результате область определения f(x) равна (-5, 5).

После выполнения всех описанных выше шагов набор чисел, оставшийся у нас, считается доменом функции.

Как найти диапазон функции?

Диапазон или образ функции является подмножеством содомена и представляет собой набор изображений элементов в домене.

Чтобы найти диапазон функции, выполните следующие шаги:

Рассмотрим функцию y = f(x).

Шаг 1: Запишите данную функцию в ее общем виде, т. е. y = f(x).

Шаг 2: Решите его относительно x и запишите полученную функцию в виде x = g(y).

Шаг 3: Теперь область определения функции x = g(y) будет диапазоном функции y = f(x).

Таким образом вычисляется диапазон функции.

Пример: Найдите область значений функции f(x) = 1/(4x − 3).

Решение:

Дано: f(x) = 1/(4x − 3).

Пусть y = 1/(4x − 3).

4xy − 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4y / (1 + 3y)

Здесь x определяется только тогда, когда y не равно −1/3.

Итак, диапазон f(x) = 1/(4x − 3) равен (−∞, −1/3) U (1, ∞).

Решенный пример с областью определения и диапазоном

Пример 1. Найдите область определения функции f(x) = (2x + 1)/ (x ² − 4x + 3).

Решение:

Дано: f(x) = (2x + 1)/ (x ² − 4x + 3)

f(x) = (2x + 1)/ (x − 1) )(х — 3)

Мы знаем, что область определения функции определяется как множество всех возможных значений, для которых функция может быть определена.

Здесь заданная функция является рациональной функцией, которая определена только при ненулевых значениях своего знаменателя.

Итак, (x − 1)(x − 3) ≠ 0

x − 1 ≠ 0 и x − 3 ≠ 0

x ≠ 1 и x ≠ 3

Домен = R − {1, 3}

Следовательно, областью определения данной функции является x ∈ R − {1, 3}.

Пример 2. Найдите область определения и область значений функции f(x) = x ² + 1.

Решение:

Дано: f(x) = x ² + 1

Мы знаем, что область определения функции определяется как множество всех возможных значений, для которых функция может быть определена.

Здесь у данной функции нет неопределенных значений x.

Итак, для данной функции областью определения является множество всех действительных чисел.

Таким образом, область определения f(x) = (-∞, ∞)

В то время как областью значений функции является множество образов элементов области определения.

Пусть y = x ² + 1

x ² = y − 1

x = √(y − 1)

Мы знаем, что функция квадратного корня определена для неотрицательных значений.

Итак, √(y − 1) ≥ 0

Это возможно, когда y больше, чем y ≥ 1.

Следовательно, диапазон f(x) равен [1, ∞).

Пример 3. Найдите область определения и область значений функции f(x) = (x + 2)/(x – 3).

Решение:

Дано: f(x) = (x + 2)/ (x – 3)

Мы знаем, что область определения функции определяется как множество всех возможных значений, для которых функция может быть определена.

Здесь заданная функция является рациональной функцией, которая определена только при ненулевых значениях своего знаменателя.

Данная функция не определена, когда x – 3 = 0, т. е. x = 3

Итак, область определения f(x) – это множество всех действительных чисел, кроме 3, т. е. (-∞, 3) U (3, ∞)

В то время как областью значений функции является множество изображений элементов в области.

Пусть y = (x + 2)/ (x – 3)

xy – 3y = x + 2

xy – x = 3y + 2

x (y – 1) = 3y + 2

x = (3y + 2)/ (y – 1)

Здесь x определяется только тогда, когда y не равно 1.

Следовательно, диапазон значений данной функции равен (-∞, 1) U (1, ∞) .

Пример 4. Найдите область, для которой функции f(x) = 5x ² − 7x + 2 и g(x) = 2x ² + x − 6 равны.

Решение:

Дано: f(x) = 5x ² − 7x + 2,

g(x) = 2x ² + x − 6 и f(x) = g(x). из приведенных данных

3x ² − 6x − 2x + 4 = 0

3x (x − 2) − 2(x − 2) = 0

(3x − 2) (x − 2) = 0

x = 2/ 3 или 2

Итак, если значение x равно 2/3 или 2, то функции f(x) и g(x) будут равны.

Следовательно, область, для которой функции f(x) и g(x) равны, равна {2/3, 2}.

Пример 5. Найдите область определения и область значений функции f(x) = 3e ^x /7.

Решение:

Дано: f(x) = 3e ^x /7.

Данная функция является экспоненциальной функцией.

Мы знаем, что область определения экспоненциальной функции — это множество всех действительных чисел (R).

Итак, область определения f(x) = 3e ^x /7 есть R.

Пусть y = 3e ^x /7

e ^x = 7y/3

x = log _e (7y/3)

Здесь x определяется только тогда, когда y > 0,

Следовательно, диапазон f(x) = 3e ^x /7 равен (0, ∞).

Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне

Вопрос 1. Определение функции.

Ответ:

В математике функция определяется как отношение между набором входов и их выходов, где вход может иметь только один выход.

Вопрос 2: Как функция представлена ​​в математике?

Ответ:

Функция — это отношение f множества X к другому множеству Y, где каждый элемент в X имеет ровно один выход в Y, и это представлено как f: X→Y. Функция обычно обозначается как y = f(x), где x — вход.

Вопрос 3: Определите домен и приведите пример.

Ответ:

Область определения функции определяется как множество всех возможных значений, для которых функция может быть определена. Область определения любой полиномиальной функции, такой как линейная функция, квадратичная функция, кубическая функция и т. д., представляет собой набор всех действительных чисел (R).

Вопрос 4: Определите содомен и диапазон функции.

Ответ:

Домен функции — это множество возможных результатов, тогда как диапазон или образ функции — это подмножество содомена и набор изображений элементов в домен.

Связанные ресурсы

• Введение в домен и диапазон
• Диапазон функции
• Связь и функция

2.

2 Нахождение области определения функции, заданной уравнением – математика 3080 Подготовка

В разделе 1.3 Использование нотации функций мы познакомились с понятиями домена и диапазона. В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов нам необходимо учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в приведенном выше примере с фильмом ужасов. Мы также должны рассмотреть, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включить какое-либо входное значение в область определения, которая привела бы к делению на 0,9.0005

Мы можем представить домен как «область хранения», которая содержит «сырье» для «функциональной машины», а ассортимент — как еще одну «область хранения» для продуктов машины.

См. рис. 2-2.

Рисунок 2-2

Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации , которая использует значения в квадратных скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [ когда набор включает конечную точку, и круглую скобку (, чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал не ограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, которые он может потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0 и меньше или равен 100, и написать [latex](0,100\rbrack[/latex] Мы обсудим запись интервала более подробно позже.

Обратимся к поиску области определения функции, уравнение которой приведено. Часто для нахождения области определения таких функций необходимо запомнить три разные формы. Во-первых, если функция не имеет знаменателя или четного корня, подумайте, могут ли доменом быть все действительные числа. Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области значений, при которых знаменатель равен нулю.

В-третьих, если есть четный корень, рассмотрите возможность исключения значений, которые сделали бы подкоренное число отрицательным.

Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим правила записи интервалов:

• Наименьший член интервала записывается первым.
• Самый большой член в интервале пишется вторым после запятой.
• Круглые скобки ( или ) используются для обозначения того, что конечная точка не включена, что называется исключительным.
• Скобки [ или ] используются для указания того, что конечная точка включена, что называется включением.

См. рис. 2-3, где представлена ​​сводка обозначений интервалов.

Рисунок 2-3

Найдите область определения следующей функции: [латекс]\{(2,10),(3,10),(4,20),(5,30),(6,40)\}\;[/латекс ]

Решение

Найдите область определения функции: [латекс]\{(-5,4),(0,0),(5,-4),(10,-8),(15,-12)\}[/ латекс]

Раствор

Дана функция, записанная в виде уравнения, найти область определения.

1. Определите входные значения.
2. Определите любые ограничения на ввод и исключите эти значения из домена. 93[/латекс]

Раствор

Дана функция, записанная в виде уравнения, включающего дробь, найти область определения.

1. Определите входные значения.
2. Определите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, приравняйте знаменатель к нулю и найдите [латекс]х[/латекс]. Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное число больше или равное 0, а затем решите.
3. Запишите домен в форме интервала, исключив из домена любые ограниченные значения.

1. Найдите область определения функции [latex]f(x)=\frac{x+1}{2-x}[/latex]
2. Найдите область определения функции:[latex]f(x)=\frac{1+4x}{2x-1}[/latex]

Раствор

Для заданной функции, записанной в виде уравнения с четным корнем, найти область определения.

1. Определите входные значения.
2. Поскольку имеется четный корень, исключите все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном члене. Установите подкоренное число больше или равное нулю и найдите [латекс]х[/латекс].
3. Решение(я) являются областью определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

1. Найти область определения функции [latex]f(x)\;=\;\sqrt{7-x}[/latex]
2. Найти область определения функции [latex]f(x)\;=\;\sqrt{5+2x}[/latex]

Раствор

Могут ли быть функции, в которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

Да. Например, функция [latex]f(x)=-\frac1{\sqrt x}[/latex] имеет множество всех положительных действительных чисел в качестве области определения, но множество всех отрицательных действительных чисел в качестве диапазона. Как более крайний пример, входы и выходы функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входов и числа в качестве выходов, как на графике посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.