3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество
. | (3.1) |
Например, функция — однородная функция первого измерения, так как
;
— однородная функция третьего измерения , так как
;
— однородная функция нулевого измерения, так как
, т.е..
Определение 2.
Дифференциальное
уравнение первого порядкаy‘
= f(x,y)
называется однородным, если функцияf(
Его можно представить в виде
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, | (3.2) |
где P(x,y) иQ(x,y) – однородные функции одинакового измерения: отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения (см. третий из приведенных выше примеров).
Возможна следующая форма записи
уравнения (3.
, | (3.3) |
что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3).
Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, после подстановкиу = xzполучим,Разделяя переменные и интегрируя, найдем:
,
Пример 1.Решить уравнение .
Полагаем у = zx, Подставляем эти выраженияy иdyв данное уравнение:илиРазделяем переменные:и интегрируем:,
Заменяя zна, получим.
Пример 2. Найти общее решение уравнения.
В данном уравнении P
Его можно представить в видеи решать так же, как и представленное
выше. Но используем другую форму записи.
Положимy = zx,
откудаdy = zdx + xdz. Подставляя эти
выражения в исходное уравнение, будем
иметь,
то есть
или
dx+2zxdz = 0.
Разделяем переменные, считая
.
Интегрируем почленно это уравнение
, откуда
то есть . Возвращаясь к прежней функциинаходим общее решениеПример 3. Найти общее решение уравнения.
Цепочка преобразований: ,y = zx,, , , , , , , , , .
Лекция 8.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
, | (4.1) |
где ,,c(x) – непрерывные функции.
Если, то уравнение (4.1) можно записать в приведённом виде
(4.1a) |
Если 0, то уравнение (4.1а) называется линейным неоднородным. Если же0, то уравнение принимает вид
(4. |
2)и называется линейным однородным.
Название уравнения (4.1а) объясняется тем, что неизвестная функция y и её производнаявходят в него линейно, т.е. в первой степени.
В линейном однородном уравнении переменные разделяются. Переписав его в виде откудаи интегрируя, получаем:,т.е.
(4.3) |
При делении на теряем решение. Однако оно может быть включено в найденное семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.
Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли, решение ищется в виде произведения двух функций отх:
(4. |
4)Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).
Подставляя полученное выражение производной , а также значениеу в уравнение (4.1а), получаем, или
. | (4.5) |
Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы
, | (4.6) |
т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного
уравнения (4.
6):
. | (4.3а) |
Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную постояннуюС (точнее – можем приравнять её нулю). Подставляя найденное значениеv(x) в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):
, | (4.7) |
откуда
(4.8) |
(Здесь Cписать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).
Таким образом, видим, что в результате
используемой подстановки (4.
Подставляя иv(x) в формулу (4.4), окончательно получаем
,
или
. | (4.9) |
Пример 1.Найти общее решение уравнения
Положим , тогда. Подставляя выраженияив исходное уравнение, получимили(*)
Приравняем нулю коэффициент при :
Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем (произвольную постояннуюC не пишем), отсюдаv=x. Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):
,,.
Следовательно, общее решение исходного уравнения.
Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:
.
Произвольно выбирая функцию u, а неv, мы могли полагать. Этот путь решения отличается от рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv), так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.
На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Приводим рассматриваемое уравнение к виду.
Используя подстановку, находими подставляем эти выражения в уравнение.
Группируем члены уравнения, выносим одну из функций uилиvза скобки. Находим вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию.
Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u иvв равенство.
Если требуется найти частное решение, то определяем Сиз начальных условий и подставляем в общее решение.
Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если усчитать независимой переменной, аx– зависимой, т.е. поменять ролиx иy. Это можно сделать при условии, чтоxиdxвходят в уравнение линейно.
Пример 2. Решить уравнение .
Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что,его можно привести к виду
(4.1 б) |
Заменив на,получимили. Разделив обе части последнего уравнения на произведениеydy, приведем его к виду
, или. (**)
Здесь P(y)=,.
Это линейное уравнение относительноx. Полагаем,.
Подставляя эти выражения в (**), получаем
или.
Выберем vтак, чтобы,, откуда;. Далее имеем,,.
Т.к. , то приходим к общему решению данного уравнения в виде
.
Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x) иQ (x) могут входить не только в виде функций от x, но и констант:P=a,Q=b. Линейное уравнение
(4.10) |
можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:
;.
Отсюда ;;; где. Освобождаясь от логарифма, получаем общее решение уравнения
(здесь).
При b=0 приходим к решению уравнения
(4.10а) |
в виде
(4.11) |
(см. уравнение показательного роста (2.4) при ).
Применим далее для интегрирования неоднородного линейного уравнения (4.1а) метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Сначала интегрируем соответствующее
однородное уравнение (4.2). Как указано
выше, его решение имеет вид (4.3). Будем
считать сомножитель Св (4.3) функцией
отх, т.
е.
по существу делаем замену переменной
, | (4.3а) |
где C(x)-новая неизвестная функцияx. Подставляя производнуюв исходное неоднородное уравнение (4.1а), получим:, или
, | (4.12) |
откуда, интегрируя, находим
dx+C1, | (4.13) |
где С1-постоянная. Следовательно,
. | (4.14) |
Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).
При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).
Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1:
.
Интегрируем соответствующее однородное уравнение .
Разделяя переменные, получаем
и далее.
Решение выражения формулойy = Cx. Решение исходного
уравнения ищем в видеy = C(x)x.
Подставив это выражение в заданное
уравнение, получим;;,.
Общее решение исходного уравнения имеет
вид
.
В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли
, () | (4.15) |
которое можно записать в виде
. | (4.15а) |
Заменой оно приводится к линейному уравнению:
,,.
Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.
Пример 3. Найти общее
решения уравнения.
Цепочка преобразований: ,,,,,,,,,,,,,,
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
Решение: Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого
порядка? В
первую очередь необходимо проверить,
а нельзя ли сразу разделить переменные
с помощью «школьных» действий? Обычно
такой анализ проводят мысленно или
пытаются разделить переменные на
черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:
Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:
Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
Обе части уравнения
можно сократить на эту самую лямбду:
В
результате все лямбды исчезли как сон, как утренний
туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена?
После данной замены и проведенных
упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися
переменными. Еще раз подчеркиваю, для
ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну
и ту же замену: строго и,
соответственно, строго .
После подстановки проводим максимальные упрощения уравнения:
Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.
Если – это функция, зависящая от «икс», то . Таким образом: Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»: Переменные разделены, интегрируем: Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: Если , то В данном случае:
В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда
ответ однородного уравнения дается в
виде общего интеграла? В большинстве
случаев невозможно выразить «игрек» в
явном виде (получить общее решение), а
если и возможно, то чаще всего общее
решение получается громоздким и ужасно
корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно: – общее решение. Ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато смотрится.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: . Это не ошибка, но в «хорошем» стиле общий интеграл принято записывать в виде .
Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следовало записать без всякого логарифма: (вот и исключение из правила) И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно: Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на : Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда
проводить проверку. Но однородные
уравнения неприятны тем, что проверять
их общие интегралы обычно трудно – для
этого необходима весьма и весьма
приличная техника дифференцирования.
В рассмотренном примере в ходе проверки
уже пришлось находить не самые простые
производные (хотя сам по себе пример
достаточно простой). Если сможете
проверить – проверяйте!
Пример 2
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения, мой ответ в конце уроке максимально упрощен, а сам общий интеграл представлен в виде . Напоминаю, что если у вас получится ответ в иной записи, то это еще не значит, что вы допустили ошибку.
Не правда ли простой пример? Внешний вид диффуров очень обманчив 😉
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение
Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим :
Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Проведем стандартную замену: Подставим и в исходное уравнение:
После подстановки результат стремимся максимально упростить:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общий интеграл получен,
теперь его нужно довести его до ума.
Перед тем как выполнять обратную замену ,
рекомендую снова максимально упростить
полученное выражение. Об этом я уже
упомянул в решении Примера №2.
Возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае , неотрицательно, а значит, модуль записывать не обязательно.
Упрощаем дальше:
Вот теперь обратная замена: Под корнем нужно привести слагаемые к общему знаменателю и вынести из-под корня всё, что можно. Эти действия часто приходится выполнять в ходе решения однородного уравнения, запомните их:
Ответ: общий интеграл:
Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.
Пример 4
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Вот здесь проверка
общего интеграла будет не очень сложной.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение
Решение: Данное уравнение является однородным. Да, совсем забыл сказать, в чистовом оформлении работы не обязательно выполнять проверку на однородность. На чистовике она гораздо чаще не проводится, чем проводится. Проверка делается на черновике или мысленно. Кроме того, если вы прорешали первые четыре примера, то многие из вас однородные уравнения уже узнают «в лицо».
Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».
Но вернемся к нашему уравнению. В нём присутствуют дифференциалы и . Уравнение можно решить и с дифференциалами, но алгоритм решения будет немного другой, более того, значительно увеличится риск путаницы и ошибок.
Поэтому, если однородное
уравнение дано в дифференциалах, то
сначала я рекомендую выразить производную
,
а дальше использовать уже накатанную
схему решения.
Для того чтобы выразить производную, нужно каждое слагаемое разделить на :
Вот так-то лучше и понятнее Проведем замену: После подстановки максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные:
Интегрируем:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Таким образом:
Находим интегралы:
Перед обратной заменой в новорожденном общем интеграле опять упрощаем всё, что можно упростить:
Вот теперь обратная замена :
Ответ: общий интеграл:
Кстати редкий случай, когда можно выразить общее решение в «приличном» виде:
Ответ: общее решение:
Но это уже понты, после
чего преподаватель с удовольствием
предложит вам задание повышенной
сложности, которое вы будете решать до
конца семестра.
Было бы хорошей шуткой,
если бы не было горьким опытом.
Попробуйте выполнить проверку общего решения, здесь она не сверхсложная.
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте для тренировки и здесь выразить общее решение.
В заключительной части урока рассмотрим еще пару примеров.
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену:
После замены проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные:
Интегрируем:
Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Как я уже отмечал, в диффурах удобнее использовать второй метод (если, конечно, многочлен можно разложить на множители)
Здесь многочлен на
множители раскладывается: можно решить
квадратное уравнение ,
найти его корни и в результате: .
Опытные студенты способны выполнить
подбор корней и устно.
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
Таким образом:
Получившийся общий интеграл упрощаем:
И только после упрощений выполняем обратную замену:
Ответ: общий интеграл:
Пример 8
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Отмечу, что время от времени однородное уравнение встречается в виде дроби, типичный пациент выглядит примерно так:
Наверное, многие
обратили внимание, что во всех приведенных
примерах мы не находили частные решения
уравнений (задача Коши). Это не случайно.
В практических заданиях
с однородными
уравнениями частное решение требуют
находить крайне редко, если честно, я
даже не припомню таких случаев. Ну а
если уж встретилась задача Коши в
однородном уравнении, то, после изучения
предыдущего урока, она не должна
представлять для вас трудностей.
Технология – точно такая же, как и для уравнений
с разделяющимися переменными.
Если уточнить, то почти всегда будут
получаться не частные решения, а частные
интегралы.
Существуют и достаточно сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений. Страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, иначе к большинству читателей явится Фредди Крюгер с формулами на полосатом свитере.
И, для полноты картины, рекомендую изучить статью Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Успешного продвижения!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Проверим уравнение на однородность: Вместо подставляем ,
вместо подставляем : Все
лямбды сократились, и получилось исходное
уравнение, значит, данное ДУ является
однородным.
Проведем
замену: и
максимально упростим уравнение: Разделяем
переменные, слева собираем «тэ», справа
– «иксы»: Интегрируем: Надо
сказать, с интегралом левой части
повезло, бывает гораздо хуже. Максимально
упрощаем общий интеграл. Если
есть дроби, то от них лучше избавиться,
умножаем каждую часть на 2: Константу я
переобозначу через : (Если
этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные
уравнения первого порядка) Собираем
в правой части всё под логарифм, затем
избавляемся от логарифмов Обратная
замена: Умножаем
все слагаемые на : Ответ: общий интеграл:
Проверка: Дифференцируем
общий интеграл: Получено
исходное дифференциальное уравнение,
значит, решение найдено верно.
Пример 4: Решение: Проверим уравнение на однородность: Данное уравнение является однородным, проведем замену: После подстановки проводим максимальные упрощения: Разделяем переменные и интегрируем: Новорожденный общий интеграл получен, здесь константу я не стал загонять под логарифм, в данном случае – это ни к чему. Использовать или не использовать этот прием с константой – понимание придет с опытом. Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену: : Общий интеграл можно упростить: Ответ: общий интеграл:
Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение: Данное
уравнение является однородным, проведем
замену: Максимально
упрощаем: Разделяем
переменные и интегрируем: Упрощать
нечего, поэтому проводим обратную замену : Ответ: общий интеграл: Примечание:
Также здесь можно выразить и общее
решение: ,
для этого сразу после интегрирования
константу следует загнать под логарифм.
Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену: Обратная замена:
Ответ: общий интеграл:
Однородные уравнения первого порядка
Функция f ( x,y ) называется однородной степени n , если уравнение
выполняется для всех x,y и z (для которых определены обе стороны).
Пример 1 : Функция f ( x,y ) = x 2 + y 2 является однородной степени 2, так как
Пример 2 : Функция является однородной степени 4, так как
Пример 3 : Функция f ( x,y ) = 2 x + y является однородной степени 1, так как
Пример 4 : Функция f ( x,y ) = x 3 – y 2 неоднородна, так как
, который не равен z n f ( x,y ) для любого n .
Пример 5 : Функция f ( x,y ) = x 3 sin ( y/x ) является однородной степени 3, так как
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если M ( x,y ) и N ( x,y ) являются однородными функциями одной и той же степени.
Пример 6 : Дифференциальное уравнение
гомогенный, потому что оба M ( x, y ) = x 2 — Y 2 и N ( x, Y ) = xy — однородные функции того же. степень (а именно, 2).
Из этого факта следует метод решения однородных уравнений:
Замена y = xu (и, следовательно, dy = xdu + udx ) превращает однородное уравнение в разделимое.
Пример 7 : Решите уравнение ( x 2 – y 2 ) dx + xy dy = 0,
Это уравнение однородно, как видно из примера 6.
Таким образом, чтобы решить его, сделайте замены y = xu и dy = x dy + u dx :
Это последнее уравнение теперь разделимо (что и было задумано). Приступая к решению,
Следовательно, решение разделимого уравнения, включающего x и v , можно записать как
Чтобы найти решение исходного дифференциального уравнения (которое включало переменные x и y ), просто заметьте, что
Замена v на y / x в предыдущем решении дает окончательный результат:
Это общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пример 8: Решите IVP
Так как функции
оба однородны степени 1, дифференциальное уравнение однородно. Подстановки y = xv и dy = x dv + v dx преобразовать уравнение в
, который упрощается следующим образом:
Теперь уравнение разделимо.
Разделение переменных и интегрирование дает
Интеграл в левой части вычисляется после разложения на неполные дроби:
Следовательно,
Правая часть (†) сразу интегрируется в
Следовательно, решение разделимого дифференциального уравнения (†) равно
Теперь, заменив v на y / x , вы получите
.как общее решение данного дифференциального уравнения. Применение начального условия y (1) = 0 определяет значение константы c :
Таким образом, частным решением IVP является
, который можно упростить до
как вы можете проверить.
Техническое примечание: на этапе разделения (†) обе части были разделены на ( v + 1)( v + 2), а v = –1 и v = –2 были потеряны в качестве решений. . Однако их не нужно рассматривать, потому что хотя эквивалентные функции y = – x и y = –2 x действительно удовлетворяют данному дифференциальному уравнению, они несовместимы с начальным условием.