ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠ°Π½Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Ρ. Π’Π°ΠΊ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = sin x, ΠΏΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ , ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΈ x + 2Οn (Π³Π΄Π΅ n ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅) ΡΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ, Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΈΠ½ΡΡ: y = sin x. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ x ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠΌ , ΡΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = sin x ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ: x = arcsin y.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΈΡ
Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
- ΠΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ ( y = arcsin x )
- β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΡ ( x = sin y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ .
- ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ( y = arccos x )
- β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ( x = cos y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ .
- ΠΡΠΊΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ( y = arctg x )
- β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ( x = tg y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ .
- ΠΡΠΊΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ( y = arcctg x )
- β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ( x = ctg y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ .
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y = x. Π‘ΠΌ. ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Ρ Π‘ΠΈΠ½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ, ΠΊΠΎΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
arcsin(sin x) = x ΠΏΡΠΈ
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x ΠΏΡΠΈ
cos(arccos x) = x
arctg(tg x) = x ΠΏΡΠΈ
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x ΠΏΡΠΈ
ctg(arcctg x) = x
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π‘ΠΌ. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΏΡΠΈ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°:
Π.Π. ΠΡΠΎΠ½ΡΡΠ΅ΠΉΠ½, Π.Π. Π‘Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅Π², Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ
ΡΡ Π²ΡΡΠ·ΠΎΠ², Β«ΠΠ°Π½ΡΒ», 2009.
Mathway | ΠΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
1 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x | |
2 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° x ΠΏΠΎ x | |
3 | Trovare la Derivata β d/dx | e^x | |
4 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(2x) ΠΏΠΎ x | |
5 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/x | |
6 | Trovare la Derivata β d/dx | x^2 | |
7 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/(x^2) | |
8 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(x)^2 | |
9 | Trovare la Derivata β d/dx | sec(x) | |
10 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^x ΠΏΠΎ x | |
11 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^2 ΠΏΠΎ x | |
12 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x | |
13 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(x)^2 | |
14 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 1/x ΠΏΠΎ x | |
15 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sin(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
16 | Trovare la Derivata β d/dx | x^3 | |
17 | Trovare la Derivata β d/dx | sec(x)^2 | |
18 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» cos(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
19 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sec(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
20 | Trovare la Derivata β d/dx | e^(x^2) | |
21 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 1 ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 1+7x ΠΏΠΎ x | |
22 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(2x) | |
23 | Trovare la Derivata β d/dx | tan(x)^2 | |
24 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 1/(x^2) ΠΏΠΎ x | |
25 | Trovare la Derivata β d/dx | 2^x | |
26 | ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ a | |
27 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(2x) | |
28 | Trovare la Derivata β d/dx | xe^x | |
29 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 2x ΠΏΠΎ x | |
30 | Trovare la Derivata β d/dx | ( Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ x)^2 | |
31 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ (x)^2 | |
32 | Trovare la Derivata β d/dx | 3x^2 | |
33 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» xe^(2x) ΠΏΠΎ x | |
34 | Trovare la Derivata β d/dx | 2e^x | |
35 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 2x | |
36 | Trovare la Derivata β d/dx | -sin(x) | |
37 | Trovare la Derivata β d/dx | 4x^2-x+5 | |
38 | Trovare la Derivata β d/dx | y=16 ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 4x^4+4 | |
39 | Trovare la Derivata β d/dx | 2x^2 | |
40 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(3x) ΠΏΠΎ x | |
41 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» cos(2x) ΠΏΠΎ x | |
42 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x) | |
43 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(x^2) ΠΏΠΎ x | |
44 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | e^infinity | |
45 | Trovare la Derivata β d/dx | x/2 | |
46 | Trovare la Derivata β d/dx | -cos(x) | |
47 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(3x) | |
48 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/(x^3) | |
49 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» tan(x)^2 ΠΏΠΎ x | |
50 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 1 ΠΏΠΎ x | |
51 | Trovare la Derivata β d/dx | x^x | |
52 | Trovare la Derivata β d/dx | x Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ x | |
53 | Trovare la Derivata β d/dx | x^4 | |
54 | ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» | ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» (3x-5)/(x-3), Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 3 | |
55 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^2 Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x ΠΏΠΎ x | |
56 | Trovare la Derivata β d/dx | f(x) = square root of x | |
57 | Trovare la Derivata β d/dx | x^2sin(x) | |
58 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sin(2x) ΠΏΠΎ x | |
59 | Trovare la Derivata β d/dx | 3e^x | |
60 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» xe^x ΠΏΠΎ x | |
61 | Trovare la Derivata β d/dx | y=x^2 | |
62 | Trovare la Derivata β d/dx | ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x^2+1 | |
63 | Trovare la Derivata β d/dx | sin(x^2) | |
64 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(-2x) ΠΏΠΎ x | |
65 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x | |
66 | Trovare la Derivata β d/dx | e^2 | |
67 | Trovare la Derivata β d/dx | x^2+1 | |
68 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» sin(x) ΠΏΠΎ x | |
69 | Trovare la Derivata β d/dx | arcsin(x) | |
70 | ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» | ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» (sin(x))/x, Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 0 | |
71 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(-x) ΠΏΠΎ x | |
72 | Trovare la Derivata β d/dx | x^5 | |
73 | Trovare la Derivata β d/dx | 2/x | |
74 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 3x | |
75 | Trovare la Derivata β d/dx | x^(1/2) | |
76 | Trovare la Derivata β d/d@VAR | f(x) = square root of x | |
77 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(x^2) | |
78 | Trovare la Derivata β d/dx | 1/(x^5) | |
79 | Trovare la Derivata β d/dx | ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x^2 | |
80 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» cos(x) ΠΏΠΎ x | |
81 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» e^(-x^2) ΠΏΠΎ x | |
82 | Trovare la Derivata β d/d@VAR | f(x)=x^3 | |
83 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» 4x^2+7 Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 10 ΠΏΠΎ x | |
84 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ( Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x)^2 ΠΏΠΎ x | |
85 | Trovare la Derivata β d/dx | Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x | |
86 | Trovare la Derivata β d/dx | arctan(x) | |
87 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 5x | |
88 | Trovare la Derivata β d/dx | 5e^x | |
89 | Trovare la Derivata β d/dx | cos(3x) | |
90 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^3 ΠΏΠΎ x | |
91 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» x^2e^x ΠΏΠΎ x | |
92 | Trovare la Derivata β d/dx | 16 ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 4x^4+4 | |
93 | Trovare la Derivata β d/dx | x/(e^x) | |
94 | ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» | ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» arctan(e^x), Π΅ΡΠ»ΠΈ x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 3 | |
95 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) ΠΏΠΎ x | |
96 | Trovare la Derivata β d/dx | 3^x | |
97 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» xe^(x^2) ΠΏΠΎ x | |
98 | Trovare la Derivata β d/dx | 2sin(x) | |
99 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | sec(0)^2 | |
100 | Trovare la Derivata β d/dx | Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ x^2 |
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡ
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
Π²Ρ
ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ . Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅, (1) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΈ (2) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅. ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ; Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ. Π‘ΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 1).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 1
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Ρ. ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ 0 β€ x β€ Ο (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 2 ). ΠΡΠ° ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ Β«Π‘Β» Π² ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ΅.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
9Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° 0005 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Cos β1 (cos x ) = x β€ x β€ Ο. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 3
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
Π’ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°:
Π Π°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°. ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 9.0003
ΠΡΠ° ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 4). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ Β«SΒ» Π² ΡΠ»ΠΎΠ²Π΅ Sine.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 4
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 5) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° y = Sin x ,
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 5
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
Π’ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°:
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ y = Cos x ΠΈ y = Cos β1 x ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 6
Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 7, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Cos β1 .
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 7
Π§Π΅ΡΡΠ΅ΠΆ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° 1.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, y = 5Ο/6 ΠΈΠ»ΠΈ y = 150Β°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΈΡ. 8, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Sin 9.0029 β1 .
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 8
Π§Π΅ΡΡΠ΅ΠΆ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° 2.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, y = Ο/4 ΠΈΠ»ΠΈ y = 45Β°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ cos (Cos β1 0,62).
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°-ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°:
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ R ΠΈ
[β1, 1] Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π°. ΠΡ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ y = cos x ΠΈ y = cos β1 x ΠΈΠ»ΠΈ y = arccos( x ) Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ cos ( x + 2 Ο ) =
cos x Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» x ΠΈ
ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ( x + p ) Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ cos x Π΄Π»Ρ 0 < p <
2 Ο , x β R , ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ y = ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ x ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2 Ο .
1. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y = cos x , Π³Π΄Π΅ x β Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ 2 Ο

ΠΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y = cos x , 0 β€ x β€ 2 Ο , Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ Ρ (0,1). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ x ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ 0 Π΄ΠΎ Ο Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y = cos x ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ 1 Π΄ΠΎ β1 . ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ x ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ Ο Π΄ΠΎ 2 Ο , Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡ β1 Π΄ΠΎ 1. ΠΠ°Π½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅, ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΡ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±. Π§Π°ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° ΡΠΈΡ. 4.10.
ΠΡΠ°Ρ y = cos x , x β R ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ·
ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° [0, 2 Ο ]
ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 4.11. ΠΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ cos Ρ
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ (Π΄Π»Ρ 0 β€ x β€ Ο/2), ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ Π²
Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ (Π΄Π»Ρ Ο/2 < x β€ Ο) ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ (Π΄Π»Ρ Ο < x < β€ 3Ο/2) ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π² ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ (Π΄Π»Ρ 3Ο/2 < x < 2Ο).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ cos(β x ) = cos x Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅ x , ΡΡΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ y = cos x ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
2. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°ΠΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° y = cos x Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°:
1. ΠΠ° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²ΠΎΠ². ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°.
2. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ y. -ΠΎΡΡ.
3. ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1 ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ x =β¦ , β 2 Ο , 0, 2 Ο , β¦ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ β 1 ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ x =β¦ , β Ο , Ο , 3 Ο , 5 Ο , β¦. . ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, β1β€ cos x β€1 Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ x β R .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ (i) Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° y = cos x Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ Ο/2
ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½, Π΄Π°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y = cos ( x β Ο/2), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ
ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y = sin x . ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ cos ( x β Ο/2) = cos (Ο/2 β x ) = Π³ΡΠ΅Ρ
Ρ
.
(ii) y = A sin Ξ± x ΠΈ y = B cos Ξ² x Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° β |Π| β€ A sin Ξ± x β€ |A| ΠΈ β |Π| β€ B, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Ξ² x β€ |B| . Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ y = A sin Ξ± x ΡΠ°Π²Π½Ρ |A| ΠΈ 2Ο/|Ξ±| ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ΅ ΠΈΠ· y = B cos Ξ² x |B| ΠΈ 2Ο/|Ξ²| , ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = A sin Ξ± x ΠΈ y = B cos Ξ² x ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ .
(iii) ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ y = A sin Ξ± x ΠΈ y = B cos Ξ² x ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ [0 , 2Ο/|Ξ±| ] ΠΈ [0, 2Ο/|Ξ²| ] , ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈΡΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΈΠ²Ρ ΠΈ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = d + a cos ( bt β c ), ΠΌΡ Π΄Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π³ΠΈ:
(i) ΠΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ) ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅
Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ y -Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ
Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° , a = 1/2 ( ΠΌΠ°ΠΊΡ β ΠΌΠΈΠ½ ) ; Π¦Π΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ y = d , Π³Π΄Π΅ d = 1/2 (max + min)
(ii) ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ , p = 2 Γ (Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π΄ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°) ; b = 2 Ο/p
(iii) c = b Γ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ-1
ΠΠ»ΡΠ±ΠΈΠ½Π° Π²ΠΎΠ΄Ρ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ². Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π³Π»ΡΠ±ΠΈΠ½Π° (Π² ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ) Π²ΠΎΠ΄Ρ Π² ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° y = d + a cos ( bt β c ), ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π³Π»ΡΠ±ΠΈΠ½Ρ Π²ΠΎΠ΄Ρ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t . ΠΠ΄Π΅ΡΡ a = 1,4 ; Π΄ = 2,8 ; Ρ = 12 ; Π± = Ο/6 ; Ρ = Ο/3 .
Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = 2,8 +1,4 cos( Ο/6 Ρ β Ο/3 )
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π²
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ 4. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
y ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ ΠΈ , y -ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ y = a sin ΞΈ , Π³Π΄Π΅ ΞΈ β ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y ( ΞΈ ) = 4 sin ΞΈ , Π³Π΄Π΅ ΞΈ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ , Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 4, Π° ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2 Ο . ΠΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° 4 Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y -Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ sin ΞΈ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ 4.
3 .Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ R . ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Π° Π² ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ [0, Ο ]
ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ [β1, 1]. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Ρ [β1, 1] Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ [0, Ο ]
ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4.4
ΠΠ»Ρ -1 β€ x β€ 1 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ cos -1 x ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ y Π² [0, Ο ] ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ cos y = x . ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° cos -1 : [-1, 1] β [0, Ο ] ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ cos -1 ( x ) = y ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° cos y = x ΠΈ Π³ β[0, Ο ].
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
(i) Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π° Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ [0, Ο ], Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ cos β1 x . ΠΡΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ.
(ii) ΠΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
cos x : [0, Ο ] β [β1, 1] ΠΈ cos β1 x : [β1, 1] β [0, β ].
(iii) ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ² β¦,[β Ο , 0],[ Ο , 2 Ο ],β¦., Π³Π΄Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ [β1, 1].
ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ [0, Ο ] Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ y = cos -1 x , -1 β€ x β€ 1, ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = cos β1 x .
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ y = cos β1 x ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
(i) y = cos -1 x ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = cos y Π΄Π»Ρ -1 β€ x β€ 1 ΠΈ 0 β€ y β€ Ο .
(ii) cos (cos -1 x ) = x , Π΅ΡΠ»ΠΈ |x| β€ 1 ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ | Ρ | > 1 .
(iii) cos -1 (cos x ) = x , Π΅ΡΠ»ΠΈ 0 β€ x β€ Ο ,
Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ cos -1 x . ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ cos -1 (cos 3 Ο ) = Ο .
4. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° x Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ [β1, 1] Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ y Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ [0, Ο] Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π° ( ΡΠ³ΠΎΠ» Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ ). ΠΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»Ρ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ( Ρ , Ρ ) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = cos -1 x ΠΈ Π½Π°Π½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ xy . ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ y ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Ο Π΄ΠΎ 0 ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ x ΠΎΡ -1 Π΄ΠΎ 1. ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π°ΡΠΊΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°Ρ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ² ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y = cos -1 x ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 4.14
(ii) ΠΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = cos -1 x , ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ y ΡΠ°Π²Π½Π° Ο/2 .
(iii) ΠΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ -ΠΎΡΡ. ΠΡΠ°ΠΊ, y = cos -1 x Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4.5
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ cos -1 (β3/2).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΡΡΡΡ cos -1 (β3/2) = y. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° cos y = β3 / 2.
ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ y = cos -1 x ΡΠ°Π²Π΅Π½ [0, Ο ].
ΠΡΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ y Π² [0, Ο ] ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ cos y = β3 / 2
ΠΠΎ, cos Ο/6 = β3/2
ΠΈ Ο/6 β [0,Ο ]. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, y = Ο /6
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ cos -1 (β3/2 ) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Ο/6 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4.6ΠΠ°ΠΉΡΠΈ
. Π΄Π°Π½ΠΎ Π½Π° 9 0003
cos -1 x = y ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = cos y for -1 β€ x β€ 1
ΠΈ 0 β€ y β€ Ο .