Обратные тригонометрические функции
Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.
Определение обратных тригонометрических функций
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x, при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x. Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y.
Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.
- Арксинус ( y = arcsin x )
- – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арккосинус ( y = arccos x )
- – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арктангенс ( y = arctg x )
- – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арккотангенс ( y = arcctg x )
- – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
Основные формулы
Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x
arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции
См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
при
при
при
при
при
при
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
| 1 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata — d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) по x | |
| 5 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x по x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 по x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня из x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x по x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 по x | |
| 16 | Trovare la Derivata — d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 по x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 по x | |
| 20 | Trovare la Derivata — d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata — d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) по x | |
| 25 | Trovare la Derivata — d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata — d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x по x | |
| 30 | Trovare la Derivata — d/dx | ( натуральный логарифм от x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata — d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) по x | |
| 34 | Trovare la Derivata — d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata — d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata — d/dx | y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata — d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) по x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) по x | |
| 42 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/( квадратный корень из x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) по x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata — d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 по x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 по x | |
| 51 | Trovare la Derivata — d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata — d/dx | x натуральный логарифм от x | |
| 53 | Trovare la Derivata — d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) по x | |
| 59 | Trovare la Derivata — d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x по x | |
| 61 | Trovare la Derivata — d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata — d/dx | квадратный корень из x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) по x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata — d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) по x | |
| 69 | Trovare la Derivata — d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) по x | |
| 72 | Trovare la Derivata — d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata — d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata — d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata — d/d@VAR | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata — d/dx | кубический корень из x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) по x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) по x | |
| 82 | Trovare la Derivata — d/d@VAR | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata — d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata — d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata — d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 по x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x по x | |
| 92 | Trovare la Derivata — d/dx | 16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata — d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x | |
| 96 | Trovare la Derivata — d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) по x | |
| 98 | Trovare la Derivata — d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x^2 |
Обратный косинус и обратный синус
Стандартные триггерные функции являются периодическими, то есть они повторяются. Поэтому одно и то же выходное значение появляется для нескольких входных значений функции. Это делает невозможным построение обратных функций. Для решения уравнений, включающих триггерные функции, необходимо существование обратных функций. Таким образом, математики должны ограничить функцию триггера, чтобы создать эти инверсии.
Чтобы определить обратную функцию, исходная функция должна быть один к одному . Чтобы существовало однозначное соответствие, (1) каждое значение в домене должно соответствовать ровно одному значению в диапазоне и (2) каждое значение в диапазоне должно соответствовать ровно одному значению в домене. Первое ограничение является общим для всех функций; второй нет. Синусоидальная функция, например, не удовлетворяет второму ограничению, поскольку одному и тому же значению в диапазоне соответствует множество значений в области (см. рис. 1).
Рисунок 1
Функция синуса не является однозначной.
Чтобы определить обратные функции для синуса и косинуса, домены этих функций ограничены. Ограничение, накладываемое на значения домена функции косинуса, составляет 0 ≤ x ≤ π (см. рис. 2 ). Эта ограниченная функция называется косинусом. Обратите внимание на заглавную «С» в косинусе.
Рисунок 2
График ограниченной функции косинуса.
9Функция арккосинуса 0005 определяется как обратная функция ограниченного косинуса Cos −1 (cos x ) = x ≤ x ≤ π. Следовательно,
Рисунок 3
График функции арккосинуса.
Тождества для косинуса и арккосинуса:
Развитие функции обратного синуса аналогично развитию функции косинуса. Ограничение, накладываемое на значения домена функции синуса, равно 9.0003
Эта ограниченная функция называется синусоидой (см. рис. 4). Обратите внимание на заглавную «S» в слове Sine.
Рисунок 4
График ограниченной синусоидальной функции.
Функция обратного синуса (см. рис. 5) определяется как обратная функция ограниченного синуса y = Sin x ,
Рисунок 5
График функции обратного синуса.
Следовательно,
Тождества для синуса и обратного синуса:
Графики функций y = Cos x и y = Cos −1 x являются отражениями друг друга относительно прямой
Рисунок 6
Симметрия арксинуса и косинуса.
Пример 1: Используя рисунок 7, найдите точное значение Cos −1 .
Рисунок 7
Чертеж для примера 1.
Таким образом, y = 5π/6 или y = 150°.
Пример 2: Используя рис. 8, найдите точное значение Sin 9.0029 −1 .
Рисунок 8
Чертеж для примера 2.
Таким образом, y = π/4 или y = 45°.
Пример 3: Найдите точное значение cos (Cos −1 0,62).
Использовать тождество косинуса-обратного косинуса:
Функция косинуса и функция арккосинуса
Функция косинуса и функция арккосинуса
Функция косинуса — это функция с областью определения R и
[−1, 1] в качестве диапазона. Мы пишем y = cos x и y = cos −1 x или y = arccos( x ) для представления функции косинуса и
функция арккосинуса соответственно. Так как cos ( x + 2 π ) =
cos x верно для всех действительных чисел x и
потому что ( x + p ) не обязательно должен быть равен cos x для 0 < p <
2 π , x ∈ R , период y = потому что x равно 2 π .
1. График косинуса
График косинуса представляет собой график y = cos x , где x — действительное число. Поскольку функция косинуса имеет период 2 π
Из таблицы видно, что график y = cos x , 0 ≤ x ≤ 2 π , начинается с (0,1). Поскольку x увеличивается с 0 до π значение y = cos x уменьшается с 1 до −1 . Поскольку x увеличивается с π до 2 π , значение y увеличивается с от −1 до 1. Нанесите точки, указанные в таблице, и соедините их гладкой изгиб. Часть графика показана на рис. 4.10.
Граф y = cos x , x ∈ R состоит из
повторения вышеуказанной части по обе стороны интервала [0, 2 π ]
и показано на рис. 4.11. По графику функции косинуса обратите внимание, что cos х положителен в первом квадранте (для 0 ≤ x ≤ π/2), отрицателен в
второй квадрант (для π/2 < x ≤ π) и третий квадрант (для π < x < ≤ 3π/2) и снова положительно в четвертом квадранте (для 3π/2 < x < 2π).
Примечание
Из графика видно, что cos(− x ) = cos x для все x , что утверждает, что y = cos x является четным функция
2. Свойства функции косинусаИз графика y = cos x наблюдаем следующие свойства функции косинуса:
1. На кривой нет разрывов или разрывов. косинус функция непрерывна.
2. Функция косинуса четная, так как график симметричен относительно y. -ось.
3. Максимальное значение функции косинуса равно 1 и соответствует x =… , − 2 π , 0, 2 π , … и минимальное значение равно − 1 и происходит при x =… , − π , π , 3 π , 5 π , …. . Другими словами, −1≤ cos x ≤1 для всех x ∈ R .
Примечание (i) Сдвиг графика y = cos x вправо π/2
радиан, дает график y = cos ( x – π/2), который совпадает
как график y = sin x . Заметьте, что cos ( x – π/2) = cos (π/2 – x ) = грех х .
(ii) y = A sin α x и y = B cos β x всегда удовлетворяют неравенства – |А| ≤ A sin α x ≤ |A| и — |В| ≤ B, потому что β x ≤ |B| . амплитуда и период y = A sin α x равны |A| и 2π/|α| соответственно и те из y = B cos β x |B| и 2π/|β| , соответственно.
Функции y = A sin α x и y = B cos β x известны как синусоидальные функции .
(iii) Графики y = A sin α x и y = B cos β x получаются по формуле расширение части графов на интервалы [0 , 2π/|α| ] и [0, 2π/|β| ] , соответственно.
Применение
Природные явления, такие как приливы и годовые температуры, которые цикличны повторяющиеся во времени часто моделируются с использованием синусоиды . Например, чтобы модель приливов с использованием общей формы синусоидальной функции y = d + a cos ( bt − c ), мы даем следующие шаги:
(i) Амплитуда синусоидального графика (функция) равна половине
абсолютного значения разности максимального и минимального y -значений
графика.
Таким образом, Амплитуда , a = 1/2 ( макс — мин ) ; Центральная линия y = d , где d = 1/2 (max + min)
(ii) Период , p = 2 × (время от максимума до минимума) ; b = 2 π/p
(iii) c = b × время достижения максимума.
Модель-1
Глубина воды в конце дока зависит от приливов и отливов. В следующей таблице показана глубина (в метрах) воды в разное время.
Построим синусоидальную функцию вида y = d + a cos ( bt — c ), чтобы найти глубину воды в момент времени t . Здесь a = 1,4 ; д = 2,8 ; р = 12 ; б = π/6 ; с = π/3 .
Требуемая синусоидальная функция y = 2,8 +1,4 cos( π/6 т – π/3 )
Примечание Преобразования функций синуса и косинуса полезны в
многочисленные приложения. Круговое движение всегда моделируется с помощью
функция синуса или косинуса.
Точка вращается вокруг окружности с центром в начале координат и радиусом 4. Мы можем получить координату y точки как функцию угол поворота.
Для точки на окружности с центром в начале координат и радиусом и , y -координата точки y = a sin θ , где θ — угол поворота. В этом случае мы получаем уравнение y ( θ ) = 4 sin θ , где θ в радианах, амплитуда равна 4, а период равен 2 π . Амплитуда 4 вызывает вертикальное растяжение y -значений функции sin θ по коэффициент 4.
3 .Функция арккосинуса и ее свойства Функция косинуса не является однозначной во всей области R . Однако функция косинуса взаимно однозначна в ограниченной области [0, π ]
и все же в этом ограниченном домене диапазон равен [−1, 1]. Теперь давайте определим
функция арккосинуса с [−1, 1] в качестве области определения и с [0, π ]
как его диапазон.
Определение 4.4
Для -1 ≤ x ≤ 1 определите cos -1 x как уникальное число y в [0, π ] такое, что cos y = x . Другими словами, функция арккосинуса cos -1 : [-1, 1] → [0, π ] определяется как cos -1 ( x ) = y тогда и только тогда, когда cos y = x и г ∈[0, π ].
Примечание
(i) Функция синуса неотрицательна на интервале [0, π ], диапазон cos −1 x . Это наблюдение очень важно для некоторых Тригонометрические замены в интегральном исчислении.
(ii) Всякий раз, когда мы говорим о функции арккосинуса, мы имеем
cos x : [0, π ] → [−1, 1] и cos −1 x : [−1, 1] → [0, № ].
(iii) Мы также можем ограничить область определения функции косинуса до любой из интервалов …,[− π , 0],[ π , 2 π ],…., где взаимно однозначно и его диапазон равен [−1, 1].
Ограниченная область [0, π ] называется главной областью функции косинуса и значения y = cos -1 x , -1 ≤ x ≤ 1, известны как главных значений функции y = cos −1 x .
Из определения y = cos −1 x получаем следующее:
(i) y = cos -1 x тогда и только тогда, когда x = cos y для -1 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ π .
(ii) cos (cos -1 x ) = x , если |x| ≤ 1 и не имеет смысла, если | х | > 1 .
(iii) cos -1 (cos x ) = x , если 0 ≤ x ≤ π ,
диапазон cos -1 x . Обратите внимание, что cos -1 (cos 3 π ) = π .
4. График функции арккосинуса
Функция арккосинуса x в интервале [−1, 1] в качестве входных данных и дает действительное число y в интервале [0, π] в качестве выхода ( угол в радианах). Позволь нам найти несколько точек ( х, у ) используя уравнение y = cos -1 x и нанесите их на плоскость xy . Обратите внимание, что значения y уменьшаются от π до 0 по мере увеличения x от -1 до 1. функция арккосинуса убывающая и непрерывная в области определения. По соединив точки плавной кривой, получим график y = cos -1 x как показано на рис. 4.14
(ii) Для функции y = cos -1 x , точка пересечения x равен 1, а точка пересечения y равна π/2 .
(iii) Граф не симметричен относительно любого начала координат или и -ось. Итак, y = cos -1 x не является ни четной, ни нечетной функцией.
Пример 4.5
Найдите главное значение cos -1 (√3/2).
РешениеПусть cos -1 (√3/2) = y. Тогда cos y = √3 / 2.
Диапазон главных значений y = cos -1 x равен [0, π ].
Итак, найдем y в [0, π ] такое, что cos y = √3 / 2
Но, cos π/6 = √3/2
и π/6 ∈ [0,π ]. Следовательно, y = π /6
Таким образом, главное значение cos -1 (√3/2 ) равно π/6 .
Пример 4.6Найти
. дано на 9 0003
cos -1 x = y тогда и только тогда, когда x = cos y for -1 ≤ x ≤ 1
и 0 ≤ y ≤ π .