ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ функция косинуса: ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”Π°Π½Ρ‹ опрСдСлСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сумм ΠΈ разностСй.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹. Π’Π°ΠΊ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅   y = sin x,   ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ   ,   ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² силу пСриодичности синуса, Ссли x   Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ   x + 2Ο€n   (Π³Π΄Π΅ n Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅) Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ с Π½ΠΈΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, вводят понятиС ΠΈΡ… Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Рассмотрим, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, синус:   y = sin x.   Если ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ x ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ , Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΌ функция   y = sin x   ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ возрастаСт. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ арксинусом:   x = arcsin y.

Если особо Π½Π΅ ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими функциями ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΈΡ… Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ опрСдСлСниями.

Арксинус ( y = arcsin x )
– это функция, обратная ΠΊ синусу ( x = sin y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ .
Арккосинус ( y = arccos x )
– это функция, обратная ΠΊ косинусу ( x = cos y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ .
АрктангСнс ( y = arctg x )
– это функция, обратная ΠΊ тангСнсу ( x = tg y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ .
АрккотангСнс ( y = arcctg x )
– это функция, обратная ΠΊ котангСнсу ( x = ctg y ), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой   y = x. Π‘ΠΌ. Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ Бинус, косинус, ВангСнс, котангСнс.


y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ слСдуСт особо ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… справСдливы Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

arcsin(sin x) = x     ΠΏΡ€ΠΈ
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x     ΠΏΡ€ΠΈ
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x     ΠΏΡ€ΠΈ
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x     ΠΏΡ€ΠΈ
ctg(arcctg x) = x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΌ. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности


     ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ


     ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ


     ΠΏΡ€ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ


     ΠΏΡ€ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ


     ΠΏΡ€ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ


     ΠΏΡ€ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ

     ΠΏΡ€ΠΈ

Использованная Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°:
И.Н. Π‘Ρ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, К.А. БСмСндяСв, Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ учащихся Π²Ρ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ², Β«Π›Π°Π½ΡŒΒ», 2009.

Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x
2Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° x ΠΏΠΎ x
3Trovare la Derivata β€” d/dxe^x
4Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(2x) ΠΏΠΎ x
5Trovare la Derivata β€” d/dx1/x
6Trovare la Derivata β€” d/dxx^2
7Trovare la Derivata β€” d/dx1/(x^2)
8Trovare la Derivata β€” d/dxsin(x)^2
9Trovare la Derivata β€” d/dxsec(x)
10Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^x ΠΏΠΎ x
11Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^2 ΠΏΠΎ x
12Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x
13Trovare la Derivata β€” d/dxcos(x)^2
14Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 1/x ΠΏΠΎ x
15Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sin(x)^2 ΠΏΠΎ x
16Trovare la Derivata β€” d/dxx^3
17Trovare la Derivata β€” d/dxsec(x)^2
18Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» cos(x)^2 ΠΏΠΎ x
19Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sec(x)^2 ΠΏΠΎ x
20Trovare la Derivata β€” d/dxe^(x^2)
21Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1 кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 1+7x ΠΏΠΎ x
22Trovare la Derivata β€” d/dxsin(2x)
23Trovare la Derivata β€” d/dxtan(x)^2
24Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 1/(x^2) ΠΏΠΎ x
25Trovare la Derivata β€” d/dx2^x
26Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ a
27Trovare la Derivata β€” d/dxcos(2x)
28Trovare la Derivata β€” d/dxxe^x
29Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 2x ΠΏΠΎ x
30Trovare la Derivata β€” d/dx( Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ x)^2
31Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (x)^2
32Trovare la Derivata β€” d/dx3x^2
33Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» xe^(2x) ΠΏΠΎ x
34Trovare la Derivata β€” d/dx2e^x
35Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 2x
36Trovare la Derivata β€” d/dx-sin(x)
37Trovare la Derivata β€” d/dx4x^2-x+5
38Trovare la Derivata β€” d/dxy=16 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 4x^4+4
39Trovare la Derivata β€” d/dx2x^2
40Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(3x) ΠΏΠΎ x
41Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» cos(2x) ΠΏΠΎ x
42Trovare la Derivata β€” d/dx1/( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x)
43Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(x^2) ΠΏΠΎ x
44Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒe^infinity
45Trovare la Derivata β€” d/dxx/2
46Trovare la Derivata β€” d/dx-cos(x)
47Trovare la Derivata β€” d/dxsin(3x)
48Trovare la Derivata β€” d/dx1/(x^3)
49Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» tan(x)^2 ΠΏΠΎ x
50Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 1 ΠΏΠΎ x
51Trovare la Derivata β€” d/dxx^x
52Trovare la Derivata β€” d/dxx Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ x
53Trovare la Derivata β€” d/dxx^4
54ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» (3x-5)/(x-3), Ссли x стрСмится ΠΊ 3
55Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^2 Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x ΠΏΠΎ x
56Trovare la Derivata β€” d/dxf(x) = square root of x
57Trovare la Derivata β€” d/dxx^2sin(x)
58Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sin(2x) ΠΏΠΎ x
59Trovare la Derivata β€” d/dx3e^x
60Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» xe^x ΠΏΠΎ x
61Trovare la Derivata β€” d/dxy=x^2
62Trovare la Derivata β€” d/dxΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x^2+1
63Trovare la Derivata β€” d/dxsin(x^2)
64Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(-2x) ΠΏΠΎ x
65Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· x ΠΏΠΎ x
66Trovare la Derivata β€” d/dxe^2
67Trovare la Derivata β€” d/dxx^2+1
68Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» sin(x) ΠΏΠΎ x
69Trovare la Derivata β€” d/dxarcsin(x)
70ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» (sin(x))/x, Ссли x стрСмится ΠΊ 0
71Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(-x) ΠΏΠΎ x
72Trovare la Derivata β€” d/dxx^5
73Trovare la Derivata β€” d/dx2/x
74Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 3x
75Trovare la Derivata β€” d/dxx^(1/2)
76Trovare la Derivata β€” d/d@VARf(x) = square root of x
77Trovare la Derivata β€” d/dxcos(x^2)
78Trovare la Derivata β€” d/dx1/(x^5)
79Trovare la Derivata β€” d/dxкубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x^2
80Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» cos(x) ΠΏΠΎ x
81Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» e^(-x^2) ΠΏΠΎ x
82Trovare la Derivata β€” d/d@VARf(x)=x^3
83Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» 4x^2+7 Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 10 ΠΏΠΎ x
84Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ( Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x)^2 ΠΏΠΎ x
85Trovare la Derivata β€” d/dxΠ»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x
86Trovare la Derivata β€” d/dxarctan(x)
87Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ 5x
88Trovare la Derivata β€” d/dx5e^x
89Trovare la Derivata β€” d/dxcos(3x)
90Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^3 ΠΏΠΎ x
91Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» x^2e^x ΠΏΠΎ x
92Trovare la Derivata β€” d/dx16 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 4x^4+4
93Trovare la Derivata β€” d/dxx/(e^x)
94ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» arctan(e^x), Ссли x стрСмится ΠΊ 3
95Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) ΠΏΠΎ x
96Trovare la Derivata β€” d/dx3^x
97Вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» xe^(x^2) ΠΏΠΎ x
98Trovare la Derivata β€” d/dx2sin(x)
99Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒsec(0)^2
100Trovare la Derivata β€” d/dxΠ½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x^2

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косинус ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ синус

Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ появляСтся для Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ построСниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ сущСствованиС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ эти инвСрсии.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, исходная функция Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ . Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сущСствовало ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС, (1) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΈ (2) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ для всСх Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ; Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚. Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π΅ удовлСтворяСт Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ соотвСтствуСт мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² области (см. рис. 1).

Рисунок 1
              Ѐункция синуса Π½Π΅ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для синуса ΠΈ косинуса, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‹ этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Ρ‹. ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° значСния Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, составляСт 0 ≀ x ≀ Ο€ (см. рис. 2 ). Π­Ρ‚Π° ограничСнная функция называСтся косинусом. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Β«Π‘Β» Π² косинусС.

       

Рисунок 2
              Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса.

9Ѐункция арккосинуса 0005 опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ обратная функция ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ косинуса Cos βˆ’1 (cos x ) = x ≀ x ≀ Ο€. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

         

Рисунок 3
              Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ арккосинуса.

ВоТдСства для косинуса ΠΈ арккосинуса:

Π Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса. ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π° значСния Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 9.0003

Π­Ρ‚Π° ограничСнная функция называСтся синусоидой (см. рис. 4). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Β«SΒ» Π² словС Sine.

           

Рисунок 4
             Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Ѐункция ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса (см. рис. 5) опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ обратная функция ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса y = Sin x

            

Рисунок 5
              Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

ВоТдСства для синуса ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса:

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = Cos x ΠΈ y = Cos βˆ’1 x ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ отраТСниями Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой

y = x . Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = Sin x ΠΈ y = Sin βˆ’1 x Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой y = x (см. рис. 6).

Рисунок 6
               Π‘иммСтрия арксинуса ΠΈ косинуса.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ рисунок 7, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Cos βˆ’1 .

         

Рисунок 7
             Π§Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 1.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, y = 5Ο€/6 ΠΈΠ»ΠΈ y = 150Β°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ рис. 8, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Sin 9.0029 βˆ’1 .

      

Рисунок 8
             Π§Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 2.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, y = Ο€/4 ΠΈΠ»ΠΈ y = 45Β°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos (Cos βˆ’1 0,62).

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тоТдСство косинуса-ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ косинуса:

Ѐункция косинуса ΠΈ функция арккосинуса

Ѐункция косинуса ΠΈ функция арккосинуса  

Ѐункция косинуса β€” это функция с ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния R ΠΈ [βˆ’1, 1] Π² качСствС Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π°. ΠœΡ‹ пишСм y = cos x ΠΈ y = cos βˆ’1 x ΠΈΠ»ΠΈ y = arccos( x ) для прСдставлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса ΠΈ функция арккосинуса соотвСтствСнно. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ cos ( x + 2 Ο€ ) = cos x Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл x ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( x + p ) Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ cos x для 0 < p < 2 Ο€ , x ∈ R , ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ y = ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ x Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 Ο€ .

 

1. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса прСдставляСт собой Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cos x , Π³Π΄Π΅ x β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция косинуса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄  2 Ο€

, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса повторяСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ шаблон Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ β€¦., [βˆ’4 Ο€ , βˆ’ 2 Ο€ ] , [βˆ’ 2 Ο€ , 0] ,  [0, 2 Ο€ ] , [2 Ο€ , 4 Ο€ ] , [4 Ο€ , 6 Ο€ ] , …. . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это достаточно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса для x ∈ [0, 2 Ο€ ] . Боставим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ извСстныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ( x , y ) для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ y = cos x , x ∈ [0, 2 Ο€ ].


Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ   y = cos x , 0 ≀ x ≀ 2 Ο€ , начинаСтся с (0,1). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x увСличиваСтся с 0 Π΄ΠΎ Ο€ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = cos x ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ с 1 Π΄ΠΎ βˆ’1 . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ   x   увСличиваСтся с Ο€   Π΄ΠΎ  2 Ο€ , Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅   y увСличиваСтся с ΠΎΡ‚ βˆ’1 Π΄ΠΎ 1. НанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅, ΠΈ соСдинитС ΠΈΡ… Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±. Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° рис. 4.10.


Π“Ρ€Π°Ρ„ y = cos x , x ∈ R состоит ΠΈΠ· повторСния Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ части ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° [0, 2 Ο€ ] ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рис. 4.11. По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ (для 0 ≀ x ≀ Ο€/2), ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ Π² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ (для Ο€/2 < x ≀ Ο€) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ (для Ο€ < x < ≀ 3Ο€/2) ΠΈ снова ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ (для 3Ο€/2 < x < 2Ο€).


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Из Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos(βˆ’ x ) = cos x для всС x , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y = cos x являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ функция

2. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса

Из Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = cos x наблюдаСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса:

1. На ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ². косинус функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°.

2. Ѐункция косинуса чСтная, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y. -ось.

3. МаксимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 ΠΈ соотвСтствуСт x =… , βˆ’ 2 Ο€ , 0, 2 Ο€ , … ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ βˆ’ 1 ΠΈ происходит ΠΏΡ€ΠΈ x =… , βˆ’ Ο€ , Ο€ , 3 Ο€ , 5 Ο€ , …. . Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, βˆ’1≀ cos x ≀1 для всСх x ∈   R .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

(i) Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = cos x Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Ο€/2 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cos ( x – Ο€/2), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ совпадаСт ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x . Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos ( x – Ο€/2) = cos (Ο€/2 – x ) = Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ… .

(ii) y = A sin Ξ± x ΠΈ y = B cos Ξ² x всСгда ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ нСравСнства – |А| ≀ A sin Ξ± x ≀ |A| ΠΈ β€” |Π’| ≀ B, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ² x ≀ |B| . Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ y = A sin Ξ± x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ |A| ΠΈ 2Ο€/|Ξ±| соотвСтствСнно ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΈΠ· y = B cos Ξ² x |B| ΠΈ 2Ο€/|Ξ²| , соотвСтствСнно.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = A sin Ξ± x ΠΈ y = B cos Ξ² x извСстны ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

(iii) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ y = A sin Ξ± x ΠΈ y = B cos Ξ² x ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ части Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ [0 , 2Ο€/|Ξ±| ] ΠΈ [0, 2Ο€/|Ξ²| ] , соотвСтствСнно.

 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ явлСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΈ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ часто ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ с использованиСм синусоиды . НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ модСль ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² с использованиСм ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = d + a cos ( bt βˆ’ c ), ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

(i) Амплитуда ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° (функция) Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния разности максимального ΠΈ минимального y -Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Амплитуда , a = 1/2 ( макс β€” ΠΌΠΈΠ½ ) ; Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия y = d , Π³Π΄Π΅ d = 1/2 (max + min)

(ii) ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ , p = 2 Γ— (врСмя ΠΎΡ‚ максимума Π΄ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) ; b = 2 Ο€/p

(iii) c = b Γ— врСмя достиТСния максимума.

МодСль-1

Π“Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ° зависит ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΠ²ΠΎΠ². Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° (Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…) Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ врСмя.


ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π° y = d + a cos ( bt β€” c ), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρƒ Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t . Π—Π΄Π΅ΡΡŒ a = 1,4 ; Π΄ = 2,8 ; Ρ€ = 12 ; Π± = Ο€/6   ; с = Ο€/3 .

ВрСбуСмая ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция y = 2,8 +1,4 cos( Ο€/6 Ρ‚ – Ο€/3 )

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ Π² многочислСнныС прилоТСния. ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ всСгда модСлируСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ функция синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса.

МодСль-2

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ окруТности с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ радиусом 4. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ

y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.


Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ радиусом ΠΈ , y -ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ y = a sin ΞΈ , Π³Π΄Π΅ ΞΈ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y ( ΞΈ ) = 4 sin ΞΈ , Π³Π΄Π΅ ΞΈ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 4, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2 Ο€   . Амплитуда 4 Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС y -Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin ΞΈ ΠΏΠΎ коэффициСнт 4.

3 .Ѐункция арккосинуса ΠΈ Π΅Π΅ свойства

Ѐункция косинуса Π½Π΅ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎ всСй области R . Однако функция косинуса Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π° Π² ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ области [0, Ο€ ] ΠΈ всС ΠΆΠ΅ Π² этом ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [βˆ’1, 1]. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ функция арккосинуса с [βˆ’1, 1] Π² качСствС области опрСдСлСния ΠΈ с [0, Ο€ ] ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½.

 

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4.4

Для -1 ≀ x ≀ 1 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ cos -1 x ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число y Π² [0, Ο€ ] Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos y = x . Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, функция арккосинуса cos -1 : [-1, 1] β†’ [0, Ο€ ] опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ cos -1 ( x ) = Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° cos y = x ΠΈ Π³ ∈[0, Ο€ ].

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

(i) Ѐункция синуса Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0, Ο€ ], Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ cos βˆ’1 x . Π­Ρ‚ΠΎ наблюдСниС ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ВригономСтричСскиС Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии.

(ii) Всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ арккосинуса, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ cos x : [0, Ο€ ] β†’ [βˆ’1, 1] ΠΈ cos βˆ’1 x : [βˆ’1, 1] β†’ [0, β„– ].

(iii) ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Π΄ΠΎ любой ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² …,[βˆ’ Ο€ , 0],[ Ο€ , 2 Ο€ ],…., Π³Π΄Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [βˆ’1, 1].

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ [0, Ο€ ] называСтся Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса ΠΈ значСния y = cos -1 x , -1 ≀ x ≀ 1, извСстны ΠΊΠ°ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = cos βˆ’1 x .

Из опрСдСлСния y = cos βˆ’1 x ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

(i) y = cos -1 x Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = cos y для -1 ≀ x ≀ 1 ΠΈ 0 ≀ y ≀ Ο€ .

(ii) cos (cos -1   x ) = x , Ссли |x| ≀ 1 ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла, Ссли | Ρ… | > 1 .

(iii) cos -1 (cos x ) = x , Ссли 0 ≀ x ≀ Ο€ , Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ cos -1 x . ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos -1 (cos 3 Ο€ ) = Ο€ .

 

4. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ арккосинуса

Ѐункция арккосинуса x Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [βˆ’1, 1] Π² качСствС Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число y Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0, Ο€] Π² качСствС Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° ( ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…). Позволь Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСсколько Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ( Ρ…, Ρƒ ) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = cos -1 x ΠΈ нанСситС ΠΈΡ… Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ xy . ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния y ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ο€ Π΄ΠΎ 0 ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ увСличСния x ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 1. функция арккосинуса ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈ нСпрСрывная Π² области опрСдСлСния. По соСдинив Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cos -1 x ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рис. 4.14


0181 y = cos -1 x Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = cos x ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ x ΠΈ ΠΈ оси.

(ii) Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = cos -1 x , Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния y Ρ€Π°Π²Π½Π° Ο€/2 .

(iii) Π“Ρ€Π°Ρ„ Π½Π΅ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ любого Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ -ось. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, y = cos -1 x Π½Π΅ являСтся Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.5

НайдитС Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos -1 (√3/2).

РСшСниС

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ cos -1 (√3/2) = y. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° cos y = √3 / 2.

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y = cos -1 x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [0, Ο€ ].

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ y Π² [0, Ο€ ] Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos y = √3 / 2

Но, cos Ο€/6 = √3/2 ΠΈ Ο€/6 ∈ [0,Ο€ ]. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, y = Ο€ /6

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos -1 (√3/2 ) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ο€/6 .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.6

Найти


РСшСниС

. Π΄Π°Π½ΠΎ Π½Π° 9 0003

cos -1 x = y Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = cos y for -1 ≀ x ≀ 1 ΠΈ 0 ≀ y ≀ Ο€ .

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *