Сумма модулей векторов: Модуль суммы векторов — Студопедия

Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета, страница 13

Математика \ Математика

                                                            А                     

                                       В        О   ·                       ·                              О ·                                                                                               

О              Рис.2.5                                              В      

                                                         В

 

                                                                                                            В₁

 

                                                            А                  

                                                                                            А₁

               О              К                                                                                 

                                                                             О

Рис. 2.6                                              Рис. 2.7                         О₁

Доказательство запишем символически:

            

В местах, отмеченных цифрами 1, 2, 4 применена теорема предыдущего параграфа, стрелка 3 поставлена на основании транзитивности равенства векторов. Теорема доказана.

Рассмотрим свойства сложения векторов.

Свойство 1. Модуль суммы двух векторов не превосходит сумму их модулей:

                                        (2.2.2)

Если , то из треугольника ОАВ (рис. 2.5а) OB<OA+AB, то есть

                                        (2.2.3)

Если , то OB=OA+AB (рис. 2.5б) и потому

                                        (2.2.4)

Если , то OB=|OA-AB| (рис. 2.5в) и потому

                                                 (2.2.5)

Как видим, неравенство (2.2.2) верно во всех случаях.

Доказанное свойство можно сформулировать более детально:

модуль суммы двух неколлинеарных векторов меньше суммы их модулей; модуль суммы двух коллинеарных векторов равен сумме или абсолютной величине разности модулей этих векторов, смотря по тому, сонаправлены или противонаправлены слагаемые. Заметим также, что сумма двух коллинеарных векторов всегда направлена в сторону большего (по длине) слагаемого.

Свойство 2.        

                    (2.2.6)

В самом деле, если , то по правилу треугольника (2.2.1)

 и

Свойство 3. Сложение векторов коммутативно:

                                         (2.2.7)

Доказательство. Пусть сначала . От произвольной точки О отложим векторы  и . Через А проведем прямую параллельно ОВ, через В – параллельно ОА, С – точка их пересечения. Получился параллелограмм ОАСВ (рис. 2.8).

По правилу треугольника (2.2.1) имеем:

, откуда и вытекает требуемое.

Пусть теперь . Тогда длины векторов  и  выражаются в случае  формулой (2.2.4), а в случае  — (2.2.5), но в обоих случаях будет . Кроме того, , так как оба эти вектора сонаправлены с большим из векторов  и . По определению равенства отсюда следует (2.2.7).

На доказанном свойстве основан способ сложения двух векторов, называемый правилом параллелограмма. Суть его видна из того же рис. 2.8. Параллелограмм ОАСВ называют параллелограммом, построенным на векторах  и .

Свойство 4. Сложение векторов ассоциативно:

                           (2.2.8)

Доказательство. Возьмем произвольную точку О и построим векторы ,  (Рис. 2.9.). Тогда по правилу треугольника

 и далее

Из последних двух равенств следует (2.2.8).

Определение. Вектор  называется разностью векторов   и , если его сумма с вектором  равна .

Это определение означает, что формулы  и  выражают одно и то же.

На рис. 2.10 , . Так как , то по определению . Отсюда вытекает правило: чтобы построить разность двух векторов, надо построить эти векторы из одной точки и конец второго соединить с концом первого.

Свойство 5. Векторы  и  противоположны:

                                     (2.2.9)

Скачать файл

Какой вектор называется суммой двух векторов, правило треугольника сложения векторов

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

Оглавление:

• Координаты на плоскости
• Сумма векторов
• Элементы алгебры

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

Примеры:

• скорость,
• ускорение,
• импульс,
• сила,
• момент,
• силы,
• перемещение,
• напряженность поля и др.

Это интересно: как переводить градусы в радианы?

Содержание

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

• правило треугольника,
• правило многоугольника ,
• правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры:

• Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
• При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

Длина в этом случае вычисляется по формуле

, где θ угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Элементы алгебры

1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

• масса,
• время,
• заряд ,
• длина,
• площадь,
• объем,
• плотность,
• температура,
• энергия.

Примеры:

• Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
• Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
• Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
• Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример:

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

Модули, Прямые суммы, Путаница В настоящее время я использую следующие тексты:

1. Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии — Дэвид Эйзенбуд,
2. Введение в коммутативную алгебру — Atiyah & Macdonald,
3. Линейная алгебра сделана правильно — Аклер.

Вопрос 1:

В текстах Эйзенбуда и Атии и Макдональда прямая сумма модулей определяется следующим образом: «Если $M$ и $N$ являются $A$-модулями, то прямая сумма $M$, $N$ есть модуль $M \oplus N = \{ (m,n) : m \in M, n \in N\}.$ Они также дают структуру, но это не очень важно для моего вопроса. 93$?

Вопрос 2:

Акслер также утверждает, что $V = U \oplus W$ тогда и только тогда, когда $V = U+W$ и $U \cap W = \{0\}$. Верно ли это вообще для модулей? Кое-что, что пишет Эйзенбад, кажется, использует этот факт. В частности, в его обосновании того, когда расщепляется короткая точная последовательность модулей.

Вопрос 3:

Википедия говорит, что прямая сумма двух модулей — это наименьший модуль, содержащий оба. Он действительно содержит и то, и другое? Мне кажется, используя определения Эйзенбуда и Атьи и Мака, что «слагаемые» вложены только в прямую сумму. На самом деле не содержится в. То есть, если у нас есть $M \oplus N$, оно содержит $M$ в том смысле, что оно содержит $\{ (m,0) : m \in M\}$.

Вопрос 4

У Эйзенбуда, обосновывая, когда расщепляется короткая точная последовательность, он говорит следующее. Пусть $$0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$$ — короткая точная последовательность. Если у нас есть отображение $h: C \to B$ такое, что $g \circ h = ID_C$, то короткая точная последовательность расщепляется и $B \cong A \oplus C$. $ \textit{ Причина: }$ $\mathrm{Im}(h)$ и $\mathrm{Im}(f)$ не пересекаются, но вместе они порождают $B$. Итак, $B = \mathrm{Im}(f) \oplus \mathrm{Im}(h)$.

Он использует предложение Аклера, о котором я упоминал выше? Мне странно определять прямую сумму так, как это сделал Эйзенбуд, так, чтобы это выглядело как «как сделать новые модули из старых модулей», но затем говорить что-то вроде этого. Конечно, он может ожидать большего, чем я.

Я понимаю, почему изображения не пересекаются (за исключением того, что они имеют общий элемент 0), и я думаю, что понимаю, почему они «генерируют» B, но я не совсем в этом уверен. Мне кажется, что каждый элемент $B$ либо будет поражен инъекцией, поступающей из $A$, либо инъекцией, поступающей из $C$ (через карту $h$), но как быть? с элементами, которых нет ни на одном изображении? Как только я пойму, как мы получаем этот изоморфизм, я увижу, как свести сумму изображений к реальным объектам.

Вопрос 5:

Из Эйзенбуда: «Эти отображения достаточны для определения прямой прямой суммы: то есть $M$ является $\textbf{прямым слагаемым}$ модуля $P$ тогда и только тогда, когда существуют гомоморфизмы $a: M \to P $ и $b: P \to M$, композиция которых $ba = ID_M$, тогда $P \cong M \oplus \mathrm{Ker}(b)$.»

Кто-нибудь может предоставить здесь доказательства? Я думаю, что доказал это с помощью леммы о расщеплении, но в тексте этот факт приводится перед леммой о расщеплении, и я не хочу повторяться. Я также хочу доказать это голыми костями, чтобы не «махать волшебной палочкой» над этим, применяя теорему, мне нужно понять механику здесь, чтобы понять это достаточно хорошо, чтобы двигаться дальше.

Что происходит со всеми этими вещами с прямыми суммами? Может кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне исправить это?

исчисление — Какова величина суммы двух векторов?

спросил 9 лет, 4 месяца назад

Изменено 4 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 59 тысяч раз

$\begingroup$

Я знаю, что величина $ X$ определяется как:

$$\|X\|=\sqrt {( {X\cdot X})}$$

Теперь, если я определяю $ X$ как сумму из двух таких векторов $ X= X_1+ X_2$

тогда какова будет величина:

$$\| X_1+ X_2\|=?$$

• исчисление
• нормированные пространства

$\endgroup$

1

$\begingroup$ 92+ 2\Верт X_1\Верт \Верт X_2\Верт \cos\тета}.