Общий знаменатель у 9 и 15: общий знаменатель 15 и 9

Содержание

«Запиши дроби 2/9 ,5/12 и 4/15 в порядке возрастания а дроби 3/8, 5/18 и 10/21 в порядке убывания,как решить математика 6 класс?» — Яндекс Кью

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) алгебраических дробей, его нахождение.

Калькулятор онлайн.Нахождение (вычисление) НОД и НОК

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 — взаимно простые. Поэтому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Нахождение путём подбора

Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

Определяем наибольшее число из данных чисел.
Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них — это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

24 · 1 = 24 — делится на 3, но не делится на 18.

24 · 2 = 48 — делится на 3, но не делится на 18.

24 · 3 = 72 — делится на 3 и на 18.

Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

Нахождение путём последовательного нахождения НОК

Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

Делим произведение на их НОД:

Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа — 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

Делим произведение на их НОД:

Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.

Шаги

Ряд кратных чисел

Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.

Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..

Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.

Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.

Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.

Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.

Разложение на простые множители

Посмотрите на данные числа.
Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.
Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.
- Например, 2 × 10 = 20 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 10=20} и 2 × 5 = 10 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times {\mathbf {5} }=10} . Таким образом, простыми множителями числа 20 являются числа 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения: .
Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.
- Например, 2 × 42 = 84 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 42=84} , 7 × 6 = 42 {\displaystyle {\mathbf {7} }\times 6=42} и 3 × 2 = 6 {\displaystyle {\mathbf {3} }\times {\mathbf {2} }=6} . Таким образом, простыми множителями числа 84 являются числа 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения: .
Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).
- Например, общим для обоих чисел является множитель 2, поэтому напишите 2 × {\displaystyle 2\times } и зачеркните 2 в обоих выражениях.
- Общим для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} и зачеркните вторую 2 в обоих выражениях.
К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.
- Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 {\displaystyle 20=2\times 2\times 5} зачеркнуты обе двойки (2), потому что они являются общими множителями. Не зачеркнут множитель 5, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 {\displaystyle 2\times 2\times 5}
- В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 {\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2} также зачеркнуты обе двойки (2). Не зачеркнуты множители 7 и 3, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3} .
Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.
- Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420} . Таким образом, наименьшее общее кратное 20 и 84 равно 420.

Нахождение общих делителей

Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.
Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.
- Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.
Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.
- Например, 18 ÷ 2 = 9 {\displaystyle 18\div 2=9} , поэтому запишите 9 под 18.
- 30 ÷ 2 = 15 {\displaystyle 30\div 2=15} , поэтому запишите 15 под 30.
Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.
- Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.
Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.
- Например, 9 ÷ 3 = 3 {\displaystyle 9\div 3=3} , поэтому запишите 3 под 9.
- 15 ÷ 3 = 5 {\displaystyle 15\div 3=5} , поэтому запишите 5 под 15.
Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.
Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.
- Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 3 × 3 × 5 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5} .
Найдите результат умножения чисел. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух данных чисел.
- Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90} . Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

Алгоритм Евклида

Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.
- Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 {\displaystyle 15\div 6=2} ост. 3:
  15 – это делимое
  6 – это делитель
  2 – это частное
  3 – это остаток.

Знаменателем арифметической дроби a / b называют число b, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Знаменателем алгебраической дроби A / B называют алгебраическое выражение B. Для выполнения арифметических действий с дробями их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.

Вам понадобится

Для работы с алгебраическими дробями при нахождении наименьшего общего знаменателя необходимо знать методы разложения многочленов на множители.

Инструкция

Рассмотрим приведение к наименьшему общему знаменателю двух арифметических дробей n/m и s/t, где n, m, s, t – целые числа. Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся на m и на t. 2. Для

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12. Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 — тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Коммутативность:

Ассоциативность:

В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).

Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .

Что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p 1 ,…,p k — различные простые числа, а d 1 ,…,d k и e 1 ,…,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Пример :

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300…), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Наименьший общий знаменатель (LCD) 4/15 и 9/10

Итак, вы хотите найти наименьший общий знаменатель 4/15 и 9/10? К счастью для вас, это именно то, что эта страница здесь, чтобы помочь вам! В этом кратком руководстве мы расскажем вам, как вычислить наименьший общий знаменатель для любых дробей, которые вам нужно проверить. Вот так!

Спешите и просто хотите получить ответ? Не беспокойся! ЖК-дисплей 4/15 и 9/10 равен 30. В виде дроби это 1/30 .

ЖК-дисплей (4/15, 9/10) = 30

В виде дроби:

1 / 30

Читайте дальше, чтобы узнать, как мы это сделали!

Как мы всегда делаем в этих статьях, стоит очень быстро повторить терминологию дробей. Число над чертой называется числителем, а число над чертой — знаменателем. Итак, в этом примере наши числители равны 4 и 9, а знаменатели — 15 и 10.

Чтобы вычислить наименьший общий знаменатель, проще всего посмотреть на множители этих чисел и найти наименьшее общее кратное. Вот как это выглядит для 15 и 10:

Множители для 15: 1, 3, 5 и 15
Множители для 10: 1, 2, 5 и 10

Поскольку в числах 15 и 10 нет общих множителей, проще всего получить наименьшее общий знаменатель — умножить их:

15 x 10 = 30

Следующим шагом является вычисление числителя и завершение нашей дроби. Для этого нам нужно найти наибольший общий делитель числителей, равных 4 и 9.0022

Множители для 9: 1 , 3 и 9

Как мы видим, наибольший общий множитель между числителями равен 1, поэтому он становится нашим числителем дроби:

1 / 30

Надеюсь, эта статья помогла вам понять, как вычислить наименьший общий знаменатель двух дробей. Разве математика не забавна? Если вы хотите бросить себе вызов, попробуйте самостоятельно найти наименьший общий знаменатель некоторых дробей и используйте наш ЖК-калькулятор, чтобы проверить свои ответы!

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

Наименьший общий знаменатель (LCD) из 4/ 15 и 10 сентября
«Наименьший общий знаменатель (ЖКД) 4/15 и 9/10». VisualFractions.com . По состоянию на 9 февраля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/lowest-common-denominator/lcd-of-4-15-and-9-10/.
«Наименьший общий знаменатель (LCD) 4/15 и 9/10». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/lowest-common-denominator/lcd-of-4-15-and-9-10/. По состоянию на 9 февраля 2023 г.
Наименьший общий знаменатель (LCD) 4/15 и 9/10. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/lowest-common-denominator/lcd-of-4-15-and-9.-10/.

2.5 Факторизация простых чисел и наименьшее общее кратное — преалгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Найти простую факторизацию составного числа
Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

Будь готов 2.

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

Делится ли число 810810 на 2,3,5,6 или 10?2,3,5,6 или 10?
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.44.

Будь готов 2.13

Является ли 127127 простым или составным?
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.47.

Запишите 2⋅2⋅2⋅22⋅2⋅2⋅2 в экспоненциальной записи.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.5.

Найти простую факторизацию составного числа

В предыдущем разделе мы нашли делители числа. Простые числа имеют только два делителя: число 11 и само простое число. Составные числа имеют более двух делителей, и каждое составное число можно записать как уникальное произведение простых чисел. Это называется простой факторизацией числа. Когда мы записываем простую факторизацию числа, мы переписываем число как произведение простых чисел. Нахождение простой факторизации составного числа поможет вам позже в этом курсе.

Простые множители

Разложение числа на простые множители — это произведение простых чисел, равное числу.

Манипулятивная математика

Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Простые числа» поможет вам лучше понять простые числа.

При работе с этим разделом вы можете обратиться к следующему списку простых чисел меньше 5050.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,472,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

Факторизация простых чисел с использованием метода факторного дерева

Один из способов найти разложение числа на простые множители — составить дерево множителей. Начнем с того, что запишем число, а затем запишем его как произведение двух множителей. Мы записываем факторы под числом и соединяем их с числом небольшим отрезком линии — «ветвью» дерева факторов.

Если множитель простой, мы обводим его кружком (как почку на дереве) и больше не факторизуем эту «ветвь». Если множитель не является простым, мы повторяем этот процесс, записывая его как произведение двух множителей и добавляя новые ветви к дереву.

Продолжаем до тех пор, пока все ветви не закончатся штрихом. Когда факторное дерево завершено, обведенные простые числа дают нам простую факторизацию.

Например, давайте найдем простую факторизацию числа 36,36. Мы можем начать с любой пары факторов, такой как 33 и 12,12. Мы пишем 33 и 1212 ниже 3636 с ответвлениями, соединяющими их.

Множитель 33 — простой, поэтому мы его обводим. Множитель 1212 составной, поэтому нам нужно найти его множители. Возьмем 33 и 4.4. Запишем эти факторы на дереве под 12.12.

Множитель 33 — простой, поэтому мы его обводим. Множитель 44 составной и делится на 2·2,2·2. Запишем эти факторы под 4.4. Так как 22 — простое число, мы обводим обе 2s.2s.

Факторизация простых чисел является произведением простых чисел, обведенных кружком. Обычно мы записываем простую факторизацию в порядке от наименьшего к наибольшему.

2⋅2⋅3⋅32⋅2⋅3⋅3

В подобных случаях, когда некоторые из простых множителей повторяются, мы можем записать простую факторизацию в экспоненциальной форме.

2⋅2⋅3⋅322⋅322⋅2⋅3⋅322⋅32

Обратите внимание, что мы могли бы начать наше дерево факторов с любой пары факторов 36,36. Мы выбрали 1212 и 3,3, но тот же результат был бы таким же, если бы мы начали с 22 и 18, 418,4 и 9, или 6 и 6,9, или 6 и 6.

Как

Найдите простую факторизацию составного числа с помощью метода дерева.

Шаг 1. Найдите любую пару факторов данного числа и используйте эти числа для создания двух ветвей.
Шаг 2. Если множитель простой, эта ветвь завершена. Обведите штрих.
Шаг 3. Если фактор не является простым, запишите его как произведение пары факторов и продолжите процесс.
Шаг 4. Запишите составное число как произведение всех обведенных простых чисел.

Пример 2,48

Найдите простую факторизацию числа 4848, используя метод факторного дерева.

Решение

Мы можем начать наше дерево с любой пары множителей 48. Давайте использовать 2 и 24. Мы обводим 2, потому что это простое число, и поэтому эта ветвь завершена.
Теперь умножим на 24. Возьмем 4 и 6.
Ни один из множителей не является простым, поэтому мы их тоже не обводим. Разложим 4, используя 2 и 2. Разложим 6, используя 2 и 3. Обведем двойки и 3, поскольку они простые. Теперь все ветви заканчиваются штрихом.
Напишите произведение обведенных чисел.	2⋅2⋅2⋅2⋅32⋅2⋅2⋅2⋅3
Запишите в экспоненциальной форме.	24⋅324⋅3

Проверьте это самостоятельно, перемножив все множители. Результат должен быть 48,48.

Попробуй 2,95

Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева: 8080

Попробуй 2,96

Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева: 6060

Пример 2,49

Найдите простую факторизацию числа 84 с помощью метода факторного дерева.

Решение

Начнем с пары множителей 4 и 21.

Ни один из множителей не является простым, поэтому мы разложим их дальше.

Теперь все множители простые, поэтому мы их обводим.

Тогда мы запишем 84 как произведение всех обведенных простых чисел.

2⋅2⋅3⋅72⋅2⋅3⋅7
22⋅3⋅722⋅3⋅7

Нарисуйте дерево факторов 84,84.

Попробуй 2,97

Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева: 126126

Попробуй 2,98

Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева: 294294

Факторизация простых чисел с использованием лестничного метода

Лестничный метод — это еще один способ нахождения простых делителей составного числа. Он приводит к тому же результату, что и метод факторного дерева. Некоторые люди предпочитают метод лестницы методу дерева факторов, и наоборот.

Чтобы начать строить «лестницу», разделите заданное число на его наименьший простой множитель. Например, чтобы начать лестницу для 36,36, мы делим 3636 на 2,2, наименьший простой множитель 36,36.

Чтобы добавить к лестнице «ступеньку», мы продолжаем делить на одно и то же простое число до тех пор, пока оно не перестанет делиться равномерно.

Затем делим на следующее простое число; поэтому делим 99 на 3,3.

Продолжаем делить лестницу таким образом, пока частное не станет простым. Поскольку частное 3,3 простое, мы остановимся здесь.

Вы понимаете, почему лестничный метод иногда называют многоуровневым делением?

Факторизация простых чисел — это произведение всех простых чисел на сторонах и на вершине лестницы.

2⋅2⋅3⋅322⋅322⋅2⋅3⋅322⋅32

Обратите внимание, что результат такой же, как и при использовании метода факторного дерева.

Как

Найдите простую факторизацию составного числа с помощью лестничного метода.

Шаг 1. Разделите число на наименьшее простое число.
Шаг 2. Продолжайте делить на это простое число, пока оно не перестанет делиться равномерно.
Шаг 3. Разделите на следующее простое число, пока оно не перестанет делиться равномерно.
Шаг 4. Продолжайте, пока частное не станет простым.
Шаг 5. Запишите составное число как произведение всех простых чисел на сторонах и на вершине лестницы.

Пример 2,50

Найдите простую факторизацию числа 120120 с помощью лестничного метода.

Решение

Разделите число на наименьшее простое число, равное 2.
Продолжайте делить на 2 до тех пор, пока оно не перестанет делиться равномерно.
Разделить на следующее простое число 3.
Частное 5 простое, поэтому лестница завершена. Запишите простую факторизацию числа 120.	2⋅2⋅2⋅3⋅52⋅2⋅2⋅3⋅5 23⋅3⋅523⋅3⋅5

Проверьте это сами, перемножив коэффициенты. Результат должен быть 120.120.

Попробуй 2,99

Найдите факторизацию простых чисел с помощью лестничного метода: 8080

Попробуй 2.100

Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода: 6060

Пример 2,51

Найдите простую факторизацию числа 4848 с помощью лестничного метода.

Решение

Разделите число на наименьшее простое число 2.
Продолжайте делить на 2 до тех пор, пока оно не перестанет делиться равномерно.
Частное 3 простое, поэтому лестница завершена. Запишите простую факторизацию числа 48.	2⋅2⋅2⋅2⋅32⋅2⋅2⋅2⋅3 24⋅324⋅3

Попробуй 2.101

Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода. 126126

Попробуй 2.102

Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода. 294294

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

Одна из причин, по которой мы рассматриваем кратные и простые числа, заключается в использовании этих методов для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел. Это будет полезно, когда мы будем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

Метод перечисления множителей

Общее кратное двух чисел — это число, кратное обоим числам. Предположим, мы хотим найти общие кратные 1010 и 25,25. Мы можем перечислить первые несколько кратных каждого числа. Затем мы ищем кратные, общие для обоих списков — это общие кратные.

10:10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,…25:25,50,75,100,125,…10:10,20,30,40,50,60,70,80, 90,100,110,…25:25,50,75,100,125,…

Мы видим, что 5050 и 100100 присутствуют в обоих списках. Они являются общими кратными 1010 и 25,25. Мы бы нашли больше общих кратных, если бы продолжили список кратных для каждого.

Наименьшее число, кратное двум числам, называется наименьшим общим кратным (НОК). Таким образом, наименьший LCM 1010 и 2525 составляет 50,50.

Как

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, перечислив кратные.

Шаг 1. Назовите первые несколько кратных каждого числа.
Шаг 2. Найдите кратные, общие для обоих списков. Если в списках нет общих кратных, выпишите дополнительные кратные для каждого числа.
Шаг 3. Найдите наименьшее число, общее для обоих списков.
Шаг 4. Этот номер является LCM.

Пример 2,52

Найдите LCM 1515 и 2020, перечислив кратные.

Решение

Список первых нескольких кратных 1515 и 20,20. Найдите первое общее кратное.

15:15,30,45,60,75,90,105,12020:20,40,60,80,100,120,140,16015:15,30,45,60,75,90,105,12020:20,40,60,80,100,120,140,160

3 3 Наименьшее число, встречающееся в обоих списках, — 60,60, поэтому 6060 является наименьшим общим кратным 1515 и 20,20.
Обратите внимание, что 120120 также есть в обоих списках. Это общее кратное, но не наименьшее общее кратное.

Попробуй 2.103

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел: 9и129и12

Попробуй 2.104

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел: 18 и 2418 и 24

Метод простых факторов

Еще один способ найти наименьшее общее кратное двух чисел — использовать их простые делители. Мы будем использовать этот метод, чтобы найти LCM 1212 и 18. 18.

Начнем с нахождения простой факторизации каждого числа.

12=2⋅2⋅318=2⋅3⋅312=2⋅2⋅318=2⋅3⋅3

Затем мы записываем каждое число как произведение простых чисел, по возможности сопоставляя простые числа по вертикали.

12=2⋅2⋅318=2⋅3⋅312=2⋅2⋅318=2⋅3⋅3

Теперь выведем простые числа в каждом столбце. LCM является продуктом этих факторов.

Обратите внимание, что простые делители числа 1212 и простые делители числа 1818 включены в LCM. При сопоставлении общих простых чисел каждый общий простой множитель используется только один раз. Это гарантирует, что 3636 является наименьшим общим кратным.

Как

Найдите LCM, используя метод простых множителей.

Шаг 1. Найдите простую факторизацию каждого числа.
Шаг 2. Запишите каждое число как произведение простых чисел, по возможности сопоставляя простые числа по вертикали.
Шаг 3. Опустите простые числа в каждом столбце.
Шаг 4. Умножьте коэффициенты, чтобы получить LCM.

Пример 2,53

Найдите НОК 1515 и 1818 годов, используя метод простых множителей.

Решение

Запишите каждое число как произведение простых чисел.
Запишите каждое число как произведение простых чисел, по возможности сопоставляя простые числа по вертикали.
Сократите простые числа в каждом столбце.
Умножьте множители, чтобы получить LCM.	НОК=2⋅3⋅3⋅5МОК=2⋅3⋅3⋅5 НОК 15 и 18 равен 90.

Попробуй 2.105

Найдите LCM, используя метод простых множителей. 15 и 2015 и 20

Попробуй 2.106

Найдите LCM, используя метод простых множителей. 15 и 3515 и 35

Пример 2,54

Найдите НОК 5050 и 100100, используя метод простых множителей.

Решение

Напишите простую факторизацию каждого числа.
Запишите каждое число как произведение простых чисел, по возможности сопоставляя простые числа по вертикали.
Сократите простые числа в каждом столбце.
Умножьте множители, чтобы получить LCM.	НОК=2⋅2⋅5⋅5МОК=2⋅2⋅5⋅5 МОК 50 и 100 равно 100.

Попробуй 2.107

Найдите НОК с помощью метода простых множителей: 55,8855,88

Попробуй 2.108

Найдите LCM, используя метод простых множителей: 60,7260,72

СМИ

ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ОНЛАЙН-РЕСУРСАМ

Пример 1: простая факторизация
Пример 2: простая факторизация
Пример 3: простая факторизация
Пример 1: простая факторизация с использованием деления с накоплением
Пример 2: простая факторизация с использованием деления с накоплением
Наименьшее общее кратное
Пример. Определение наименьшего общего кратного с использованием списка кратных
Пример. Определение наименьшего общего кратного с использованием простой факторизации

Раздел 2.5 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Найдите простую факторизацию составного числа

В следующих упражнениях найдите простую факторизацию каждого числа, используя метод факторного дерева.

267.

8686

268.

7878

269.

132132

270.

455455

271.

693693

272.

420420

273.

115115

274.

225225

275.

24752475

276.

1560

В следующих упражнениях найдите простую факторизацию каждого числа, используя метод лестницы.

277.

5656

278.

7272

279.

168168

280.

252252

281.

391391

282.

400400

283.

432432

284.

627627

285.

21602160

286.

25202520

В следующих упражнениях найдите разложение каждого числа на простые множители любым методом.

287.

150150

288.

180180

289.

525525

290.

444444

291.

3636

292.

5050

293.

350350

294.

144144

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное (НОК), перечислив кратные.

295.

8,128,12

296.

4,34,3

297.

6,156,15

298.

12,1612,16

299.

30,4030,40

300.

20,3020,30

301.

60,7560,75

302.

44,5544,55

В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное (НОК), используя метод простых множителей.

303.

8,128,12

304.

12,1612,16

305.

24,3024,30

306.

28,4028,40

307.

70,8470,84

308.

84,9084,90

В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное (НОК) любым методом.

309.

6 216 21

310.

9,159,15

311.

24,3024,30

312.

32,4032,40

Математика на каждый день

313.

Покупка продуктов Хот-доги продаются упаковками по десять штук, а булочки для хот-догов — упаковками по восемь штук. Какое наименьшее количество хот-догов и булочек можно купить, если вы хотите иметь одинаковое количество хот-догов и булочек? (Подсказка: это LCM!)

314.

Продуктовые магазины Бумажные тарелки продаются в упаковках по 1212 штук, а чашки для вечеринок — в упаковках по 8,8 штук. Какое наименьшее количество тарелок и чашек вы можете купить, если хотите, чтобы их было одинаковое количество? (Подсказка: это LCM!)

Письменные упражнения

315.

Вы предпочитаете находить разложение составного числа на простые множители с помощью метода факторного дерева или метода лестницы? Почему?

316.

Вы предпочитаете находить LCM, перечисляя кратные или используя метод простых множителей? Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

«Запиши дроби 2/9 ,5/12 и 4/15 в порядке возрастания а дроби 3/8, 5/18 и 10/21 в порядке убывания,как решить математика 6 класс?» — Яндекс Кью

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) алгебраических дробей, его нахождение.

Нахождение путём разложения на множители

Нахождение путём подбора

Нахождение путём последовательного нахождения НОК

Шаги

Ряд кратных чисел

Разложение на простые множители

Нахождение общих делителей

Алгоритм Евклида

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьший общий знаменатель (LCD) 4/15 и 9/10

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

2.5 Факторизация простых чисел и наименьшее общее кратное — преалгебра 2e

Цели обучения

Будь готов 2.

Будь готов 2.13

Найти простую факторизацию составного числа

Простые множители

Манипулятивная математика

Факторизация простых чисел с использованием метода факторного дерева

Как

Найдите простую факторизацию составного числа с помощью метода дерева.

Пример 2,48

Решение

Попробуй 2,95

Попробуй 2,96

Пример 2,49

Решение

Попробуй 2,97

Попробуй 2,98

Факторизация простых чисел с использованием лестничного метода

Как

Найдите простую факторизацию составного числа с помощью лестничного метода.

Пример 2,50

Решение

Попробуй 2,99

Попробуй 2.100

Пример 2,51

Решение

Попробуй 2.101

Попробуй 2.102

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

Метод перечисления множителей

Как

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, перечислив кратные.

Пример 2,52

Решение

3

Попробуй 2.103

Попробуй 2.104

Метод простых факторов

Как

Найдите LCM, используя метод простых множителей.

Пример 2,53

Решение

Попробуй 2.105

Попробуй 2.106

Пример 2,54

Решение

Попробуй 2.107

Попробуй 2.108

СМИ

ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ОНЛАЙН-РЕСУРСАМ

Раздел 2.5 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Математика на каждый день

Письменные упражнения

Самопроверка

Добавить комментарий Отменить ответ