Как найти квадратный корень из иррационального числа
Обновлено 21 декабря 2020 г.
Автор Lisa Maloney
Иррациональное число не так страшно, как кажется; это просто число, которое не может быть выражено в виде простой дроби, или, другими словами, иррациональное число — это бесконечная десятичная дробь, которая продолжается бесконечное количество знаков после запятой. Вы можете выполнять большинство операций с иррациональными числами так же, как и с рациональными числами, но когда дело доходит до извлечения квадратных корней, вам придется научиться аппроксимировать значение.
Что такое иррациональное число?
Так что же такое иррациональное число? Возможно, вы уже знакомы с двумя очень известными иррациональными числами: π или «пи», которое почти всегда сокращается до 3,14, но на самом деле продолжается бесконечно справа от десятичной точки; и «е», также известное как число Эйлера, которое обычно сокращается до 2,71828, но также продолжается бесконечно справа от десятичной точки.
Но существует гораздо больше иррациональных чисел, и вот простой способ определить некоторые из них: если число под знаком квадратного корня не является полным квадратом, то этот квадратный корень является иррациональным числом.
Это очень много, так что вот пример, чтобы было понятно. Также полезно помнить, что полный квадрат — это число, квадратный корень которого — целое число:
Является ли √8 иррациональным числом? Если вы запомнили свои идеальные квадраты или потратили время на их поиск, вы знаете, что
\sqrt{4} = 2 \text{ и } \sqrt{9} = 3
Поскольку √8 находится между этими двумя числами, но нет целого числа между 2 и 3, которое было бы его корнем, √8 иррационально.
Извлечение квадратного корня из иррационального числа
Когда дело доходит до вычисления квадратного корня из иррационального числа, у вас есть два варианта. Либо введите иррациональное число в калькулятор, либо в онлайн-калькулятор квадратного корня (см.
Ресурсы), и в этом случае калькулятор вернет вам приблизительное значение, либо вы можете использовать четырехэтапный процесс, чтобы оценить значение самостоятельно.
Пример 1: Оцените значение иррационального числа √8.
Найдите идеальные квадраты, расположенные по обе стороны от √8 на числовой прямой. В этом случае √4 = 2 и √9 = 3. Выберите тот, который ближе всего к вашему целевому числу. Так как 8 гораздо ближе к 9, чем к 4, выберите
\sqrt{9} = 3
Затем разделите число, корень которого вы хотите — 8 — на вашу оценку. Продолжая пример, у вас есть:
\frac{8}{3} = 2,67
Теперь найдите среднее значение результата шага 2 с делителем из шага 2. Здесь это означает усреднение 3 и 2,67. Сначала сложите два числа вместе, а затем разделите на два:
3 + 2,67 = 5,6667
(на самом деле это повторяющееся десятичное число 5,6666666666, но для краткости оно округлено до четырех знаков после запятой).
\frac{5,6667}{2} = 2,83335
из шага 3 все еще не точно, но становится ближе.
При необходимости повторите шаги 2 и 3, каждый раз используя результат шага 3 в качестве нового делителя на шаге 2.
Чтобы продолжить пример, вы должны разделить 8 на результат шага 3 (2,83335), что даст вам:
\frac{8}{2,83335} = 2,8235
(опять же, округляя до четырех знаков после запятой для краткости.)
Затем вы усредните результат своего деления с помощью делителя, что даст вам:
2,83335 + 2,8235 = 5,65685 \\ \,\\ \frac{5,65685}{2} = 2,828425
Вы можете продолжать этот процесс, повторяя шаги 2 и 3 по мере необходимости, пока не получите нужный ответ.
Как насчет иррациональных квадратных корней?
Иногда вместо того, чтобы находить квадратный корень из иррационального числа, вам нужно иметь дело с иррациональными числами, которые выражены в форме квадратного корня — одно из самых известных, о которых вы узнаете, — это √2.
Вы мало что можете сделать с √2, кроме аппроксимации его значения, как описано выше.
Но если вы получаете большее иррациональное число в форме квадратного корня, вы можете иногда использовать тот факт, что
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
, чтобы переписать ответ в более простой форме.
Рассмотрим иррациональный квадратный корень √32. Хотя у него нет основного корня (то есть неотрицательного целочисленного корня), вы можете разложить его на что-то со знакомым основным корнем:
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt {2}
Вы по-прежнему мало что можете сделать с √2, но √16 = 4, так что вы можете сделать еще один шаг и записать его как
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Хотя вы не устранили полностью знак радикала, вы упростили это иррациональное число, сохранив при этом его точное значение.
Рациональный или иррациональный калькулятор — Калькулятор преобразования
по CC
Выберите оператор и введите необходимые значения для определения числа с помощью рационального или иррационального калькулятора.
Как решать задачи с рациональными числами …
Включите JavaScript
Как решать задачи с рациональными числами Математика 9 класса
Калькулятор рациональных чисел — это онлайн-инструмент, который определяет, является ли заданное число рациональным или иррациональным. Нужны числитель и знаменатель, чтобы проверить дробь, значение индекса и число в случае корневого значения.
Средство проверки рациональности или иррациональности сообщает нам, является ли число рациональным или иррациональным, и показывает упрощенное значение данной дроби.
Что такое рациональное число?
Рациональное число — это число, которое можно представить как отношение двух целых чисел. Обычно он записывается в виде p/q где условие должно быть q ≠ 0.
Например,
4/5, 2/3
, все целые числа. четные и нечетные числа являются рациональными числами.
Это связано с тем, что считается, что целые числа имеют знаменатель 9.0019 1.
3 = 3/1
Что такое иррациональное число?
Иррациональное число — это число, которое не может выражать отношение двух чисел. Можно сказать, что числа, которые не делятся в простейшей форме, считаются иррациональными числами.
Например,
√7, 54,72410, π
Как отличить рациональное число от иррационального?
Для определения рационального или иррационального числа необходимо соблюдать следующие условия.
| Условия рационального числа | Условия для иррационального числа |
| Записывается в виде « p/q » и q не равно 0 (q ≠ 0). | Квадратные корни, которые не являются идеально квадратными ни для одного из целых чисел, например. √8, √20. |
| Значение p/q можно сократить путем деления и преобразовать в десятичную форму | .Десятичные дроби, которые не заканчиваются и не повторяются, являются иррациональными числами. |
| Множество рациональных чисел может включать как положительные, так и отрицательные целые числа и ноль, который можно записать дробью. | «π», который также известен как «пирог». |
Если вы не хотите погружаться в эти условия, чтобы проверить число, используйте наш калькулятор рациональных и иррациональных чисел выше.
Является ли квадратный корень из числа рациональным числом?
Квадратный корень числа может быть рациональным или иррациональным числом в зависимости от условия и числа.
Если квадратный корень является полным квадратом, то это рациональное число. С другой стороны, если квадратный корень из числа не совершенен, это будет иррациональное число.