Онлайн калькулятор кубические уравнения: Решение кубических уравнений онлайн

как решить кубическое уравнение онлайн

Вы искали как решить кубическое уравнение онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор кубических уравнений, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как решить кубическое уравнение онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как решить кубическое уравнение онлайн,калькулятор кубических уравнений,калькулятор кубических уравнений онлайн,калькулятор онлайн кубические уравнения,калькулятор решение кубических уравнений,калькулятор решение кубических уравнений онлайн,корни кубического уравнения онлайн,кубические уравнения калькулятор онлайн,кубические уравнения онлайн,кубические уравнения онлайн калькулятор,кубическое уравнение онлайн,кубическое уравнение онлайн калькулятор,найти корни кубического уравнения онлайн,онлайн калькулятор кубические уравнения,онлайн калькулятор кубических уравнений,онлайн калькулятор решение кубических уравнений,решение кубических уравнений калькулятор,решение кубических уравнений калькулятор онлайн,решение кубических уравнений онлайн,решение кубических уравнений онлайн калькулятор,решение кубических уравнений онлайн с подробным решением,решение кубического уравнения онлайн,решение уравнений кубических уравнений онлайн,решить кубическое уравнение онлайн,решить кубическое уравнение онлайн с подробным решением.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решить кубическое уравнение онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, калькулятор кубических уравнений онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решить кубическое уравнение онлайн Онлайн?

Решить задачу как решить кубическое уравнение онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Формула Кардано для решения кубических уравнений

Как известно, корень n-ой степени из комплексного числа z,

z = r *(cosφ + isinφ)

имеет n комплексных значений

где

Следовательно, имеет три значения z₁, z₂, z₃, где

В формуле Кардано два кубических корня, и их значения нужно сочетать по следующему правилу: для каждого из трех значений первого кубического корня , берется такое значение второго кубического корня, , чтобы выполнялось соотношение z_i*z_j = —

.

Чтобы избежать такого сочетания значений разных кубических корней, можно использовать формулу

или, что то же самое,

Каждому найденному по формуле Кардано значению y соответствует решение исходного уравнения x = y — 

.

В зависимости от значения дискриминанта Δ кубическое уравнение может иметь либо 3 действительных корня (Δ <0), либо 1 действительный корень и два комплексно сопряженных (Δ > 0), либо 2 действительных корня (Δ=0) или один действительный корень (Δ=0, p=q=0). Рассмотрим все эти случаи.

1) Δ <0   =>   3 действительных корня:

Если опустить промежуточные вычисления, то окончательные формулы для трех действительных корней канонического уравнения можно представить в виде

Тогда формулы для корней исходного уравнения будут иметь вид:

x₁ = y₁ — 

,   x₂ = y₂ — 

,   x₃ = y₃ — 

.    

2 ) Δ > 0   =>   1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Формулы для корней исходного уравнения такие же, как в предыдущем случае

x₁ = y₁ — 

,   x₂ = y₂ — 

,   x₃ = y₃ — 

.   

3 ) Δ=0   =>   2 действительных корня:

Следовательно, x₁ = y₁ — 

,   x₂ = y₂ — 

.   

Если Δ=0 и p=q=0, то у канонического уравнения только один корень y₁=0. Соответственно, исходное уравнение будет иметь единственный корень x = —

.

Если кубическое уравнение имеет целый или рациональный корень, то, конечно, проще всего найти этот корень подбором, затем делением свести исходное уравнение к квадратному.

Если же рациональных корней нет, то только формула Кардано может помочь найти решение.

Практическое использование формулы Кардано для решения кубических уравнений крайне затруднительно из-за громоздких вычислений. Но в особых случаях, это сделать довольно просто, например, для первого случая (Δ < 0) при q = 0 для нахождения трех действительных корней, или для третьего случая (Δ = 0). Для второго случая, когда Δ > 0 , формулы для корней кубического уравнения можно выписать всегда. Таким образом, применение формулы Кардано оправдано, если уравнение не имеет рациональных корней.

Рассмотрим применение формулы Кардано для решения кубических уравнений на примерах.

Примеры.

Пример 1. Решить уравнение x³ + 6x² + 3x — 10 = 0.

Решение.

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень x = 1. Делением на x — 1 левой части уравнения по схеме Горнера получаем

Следовательно, x² + 7x + 10 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения a = 1, b = 6, c =3, d = -10. Замена переменной x = y — 

b/3a

 = y — 

6/3

 = y — 2

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ <0   =>   каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку q = 0   =>   φ = 

   =>   

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

x₁ = y₁ — 2 = 3 — 2 = 1,
x₂ = y₂

 — 2 = -3 — 2 = -5,
x₃ = y₃ — 2 = 0 — 2 = -2.

Ответ: -5, -2, 1.

Пример 2. Решить уравнение x³ + 3x² + 4x + 2 = 0.

Решение.

Для данного уравнения a = 1, b = 3, c =4, d = 2. Замена переменной x = y — 

b/3a

 = y — 

3/3

 = y — 1

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ >0   =>   каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

x₁ = y₁ — 1 = 0 — 2 = -1,
x₂ = y₂ — 1 = i — 1 = i — 1,
x₃ = y₃ — 1 = -i — 1 = -i — 1.

Ответ: -1, -1+i, -1-i.

Пример 3. Решить уравнение x³ + 12x² + 36x + 32 = 0.

Решение.

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c =36, d = 32. Замена переменной x = y — 

b/3a

 = y — 

12/3

 = y — 4

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ = 0   =>   уравнение имеет 2 действительных корня:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

x₁ = y₁ — 4 = -4 — 4 = -8,
x₂ = y₂ — 4 = 2 — 4 = -2.

Ответ: -8, -2.

Пример 4. Решить уравнение x³ + 9x² + 9x — 137 = 0.

Решение.

Для данного уравнения a = 1, b = 9, c =9, d = -137. Замена переменной x = y — 

b/3a

 = y — 

9/3

 = y — 3

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ >0   =>   каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение x³ + 18x² + 90x + 50 = 0.

Решение.

Для данного уравнения a = 1, b = 18, c =90, d = 50. Замена переменной x = y — 

b/3a

 = y — 

18/3

 = y — 6

приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как Δ > 0   =>   каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Ответ:

Так как запомнить промежуточные формулы для нахождения корней кубического уравнения с помощью формулы Кардано довольно сложно, то можно просто повторить вывод формулы Кардано для данного уравнения. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример. Найти действительные корни уравнения x³ + 12x² + 3x + 4 = 0.

Решение.

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c = 3, d = 4. Сделаем замену переменной x = y — 

b/3a

 = y — 

12/3

 = y — 4

:

(y — 4)³ + 12(y — 4)² + 3(y — 4) + 4 = 0      

      y³ — 12y² + 48y — 64 + 12y² — 96y + 192 + 3y — 8 = 0      

      y³ — 45y + 120 = 0.

Следовательно, p = -45, q = 120, Δ = (60)² — (15)³ = 225 >0. Значит, исходное уравнение имеет один действительный корень.

Теперь сделаем следующую замену переменной y = t — 

p/3t

 = t +&nbsp

45/3t

 = t + 

15/t

. Получим

Это уравнение домножим на t³ и получим квадратное уравнение относительно t³:

t⁶ + 120t³ + 3375 = 0.

Следовательно,

Тогда Теперь можно найти y по формуле y = t + 

.

Вместо t можно подставить или , или , результат будет один и тот же:

Или

Таким образом, действительный корень исходного уравнения равен

Ответ: .

Калькулятор кубических уравнений

Калькулятор кубических уравнений 

Калькулятор кубических уравнений — это математический онлайн-инструмент для нахождения корней кубического уравнения. Находя действительный, мнимый или оба корня, он обеспечивает полные вычисления.

Как только вы узнаете, как находить корни кубических уравнений вручную, далее в статье, вы будете благодарны за этот инструмент.

Что такое кубическое уравнение?

Синтаксис кубического уравнения:

x ³ + бх ² + сх + д.

Где a,b,c и d называются его коэффициентами.

Куб:

Куб — это трехмерная фигура. Он похож на квадрат, но в то же время другой. Измеряется в кубических футах и ​​кубических метрах.

Полиномиальная форма куба и квадрата также различается. Квадрат имеет многочлен второй степени, корни которого вычисляются по квадратичной формуле. В то время как куб имеет многочлен третьей степени.

Корни:

Поскольку кубический многочлен имеет наибольшую степень 3, он будет иметь 3 корня. Эти корни должны иметь один действительный корень. Два других могут быть вещественными или парными сопряженными.

Формула кубического уравнения:

Формула для вычисления корней кубического уравнения очень сложна. Каждый аргумент X, 3 в кубическом полиноме, имеет свою собственную формулу.

X ₁ = S + T — b/3a
X ₂ = -(S + T)/2 — (S — T) * i√3/2 — b/3a
X ₃ = -(S + T)/2 + (S — T) * i√3/2 — b/3a

Это называется формулой Кардано. Переменная S и T в приведенных выше формулах пока неизвестна. Их формулы таковы:

S = ∛(R + √(Q3 + R²))
T=∛(R — √(Q3 + R²))

Опять же, переменные Q и R рассчитываются по разным формулы.

Q = (3ac — b²) / (9a²)
R = (9abc — 27a²d — 2b³) / (54a³)

Как найти корни кубического уравнения?

Начните с вычисления значений в обратном порядке. Вот руководство.

1. Сделать кубическое уравнение стандартным уравнением.
2. Найдите значения Q и R , используя значения переменных уравнения.
3. Используйте Q и R , чтобы найти S и T , а затем X ₁ , X ₂ и X ₃ .

Посмотрите на следующий пример с использованием формулы Кардано.

Пример:

Каковы корни кубического многочлена 2x ³ + 3x ² + 4x + 1. 2 Составьте уравнение и разделите переменные . Шаг 2. Найдите

Находка Q:

Q = (3ac — b²) / (9a²)
Q = {(3)(2)(4) — (3)²} / {9(2)²}
Q = (24 — 9) / (9*4)
Q = 0,4167

Нахождение R:

R = (9abc — 27a²d — 2b³) / (54a³)
R = [{ (9)(2)(3)(4)} — {(27)(2)2(1)} — {(2)(3)3}] / {54(2)³}
R = (216 ) — (108) — (54) / 432
R = 54 / 432
R = 0,1250
 
Шаг 3: Ребра S и T.

Результат S:

S = ∛R = ∛ Q³ + R²))
S = ∛[0,1250 + √{(0,4167) ³ + (0,1250) ² }]
S = ∛[0,1250 + √{(0,0724) + (0,0156)}]
S = ∛ [0,1250 + √ (0,0880)]
S = ∛ [0,1250 + 0,2966]
S = 0,7498

Нахождение T:

T = ∛ (r — √ (Q³ + r²)) ∛[0,1250 — √{(0,4167) ³ + (0,1250) ² }]
T = ∛[0,1250 — √{(0,0724) + (0,0156)}]
T = ∛[0,880 -0,880 ]
T = ∛[0,1250 — 0,2966]
T = -0,5557

Шаг 4: Найдите корни.

Первый корень (X ₁ ):

X ₁ = S + T — b/3a 
     = 0,7498 + -0,5557 — 3/(3)(2)
     = 0,7498 — 0,5557 — 3/6
     = -0,3059

Второй корень (X9 2

0) 04 х ₂ = -( S + T)/2 — (S — T) * i√3/2 — b/3a
     = -((0,7498) + (-0,5557))/2 + ((0,7498) — (-0,5557))* i √3/2 — (3)/(3)(2)
     = -(0,7498-0,5557)/2 + (1,3054999999)* (0,867)i — (3)/(6)
     = -(0,0971) — ( 0,5000) + (1,3054999999) * (0,867)i
     = -0,5971 + 1,1319i

Третий корень (X ₃ ):

X ₃ = -(S + T)/2 + (S — T) * i√3/2 — b/3a
   = -((0,7498) + (-0,5557)) /2 — ((0,7498) — (-0,5557))* i√3/2 — (3)/(3)(2)
   = -(0,7498-0,5557)/2 — (1,3054999999)* (0,867)i — (3)/(6)
   = -(0,0971) — (0,5000) — (1,3054999999) * (0,867)i
   = -0,5971 — 1,1319i

— 1.1319i

Калькулятор решения кубических уравнений | Онлайн-инструмент для решения кубического уравнения

Удобный онлайн-калькулятор решения кубического уравнения вычисляет полиномиальное выражение третьего порядка для сложных решений. Вы можете использовать этот удобный инструмент, чтобы получить значения за считанные секунды. Нет необходимости делать какие-либо математические вычисления, чтобы решить ваше выражение.

Калькулятор решения кубических уравнений: Решить кубическое уравнение непросто. Это включает в себя знание математических понятий, таких как нахождение целочисленных решений с помощью списков факторов или использование дискриминантного подхода. Здесь мы предлагаем лучший бесплатный онлайн-калькулятор для решения кубических уравнений, который устраняет ваше напряжение и дает ответы в кратчайшие сроки. Введите уравнение в качестве входных данных или укажите значения a, b, c, d, т. е. ax ³ +bx ² +cx+d=0, и нажмите кнопку расчета, чтобы сгенерировать результат.

Следуйте этим простым шагам, чтобы без труда решить кубическое уравнение. Возьмем любое выражение в виде ax ³ +bx ² +cx+d=0, где a!=0. Вы можете выбрать любой из этих способов для комфортного решения.

• Возьмем уравнение ax ³ +bx ² +cx=0
• Вынесем x из уравнения x(ax ² +bx+c)=0
• Найдите коэффициент квадратное уравнение ax ² +bx+c вручную или по формуле -b+-sqrt(b ² -4ac)/2a

Вычисление кубического уравнения путем нахождения интегрального решения с помощью списков факторов

• Проверьте, есть ли в вашем уравнении постоянная или нет.
• Найдите множители d и a.
• Разделите множители a на множители d.
• Подставьте целочисленные значения в уравнение.
• Используйте синтетическое деление для более сложного, но, вероятно, более быстрого подхода.

Примеры

Вопрос 1: Решите x ³ +5x ² -14x=0?

Ответ:

Учитывая, что

x ³ +5x ² -14x=0

x(x ² +5x-14)=0 900 2 -2x +7x-14)=0

x(x(x-2)+7(x-2))=0

x((x-2)(x+7)))=0

Следовательно, решения 0, 2, -7

Вопрос 2: Решите уравнение 2x ³ +9x ² +13x+6=0?

Решение:

Данное уравнение:

2x ³ +9x ² +13x+6=0

Коэффициенты 2 равны 1, 2

Коэффициенты 6 равны 1, 2, 3, 6

1, ½, ⅓, ⅙, 2, ⅔, -1, -½, -⅓, -⅙, -2, -⅔

Подставьте 1 значение вместо x в уравнении

2(1) ³ +9(1) ² +13*1+6=2+9+13!=0

Замена -1

2(-1) ³ +9(-1) ² + 13*(-1)+6=-2+9-13+6=0

Аналогично подставить -2

2(-2) ³ +9(-2) ² +13*(-2)+6=-2*8+9*4-26+6=0

Замена -1,5

2(-1,5) ³ +9(-1,5) ² +13*(-1,5)+6=0

Итак, ответ -1, -1,5, -2

1.