свойства, вынесение степени из логарифма, решение задач
Содержание:
- Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
- Основные свойства логарифмов
- Примеры логарифмов с решением, пояснения
- Задачи для самостоятельной работы
Содержание
- Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
- Основные свойства логарифмов
- Примеры логарифмов с решением, пояснения
- Задачи для самостоятельной работы
Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:
\(\Large{{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad a^t=b }}\)
Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.
{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b.\)
8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:
\({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right)\)
Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:
\({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{b}}b}{{{\log }_{b}}a}=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}.\)
Примеры логарифмов с решением, пояснения
Задача 1
Дано выражение, значение которого требуется определить:
\(\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25\)
Решение
Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма.
2
Однако для самых экстремальных корней и способностей этот метод работает хорошо. Это один из успешных методов, использованных в неожиданной задаче Кубка мира по умственным вычислениям 2016 года, который заключался в вычислении:
.Математика:\(\sqrt[4]{2016} – \sqrt[6]{2016} + \sqrt[7]{2016}\)
Для простоты все логарифмы и экспоненты должны быть основаны на 10. Десятичные ответы должным образом округлены.
Логарифм 9{\ журнал (п)} \) Итак, если у нас есть сложный для вычисления корень или степень, мы можем сначала вычислить его логарифм, используя правила (1)-(4), а затем мы можем найти его антилогарифм, который и будет нашим окончательным ответом.
Метод: 9\pi) = \pi * \log \pi\)
Используя наш алгоритм вычисления логарифмов, мы аппроксимируем \(\log \pi\) следующим образом:
\(\log{3,14159} = \log{\frac{22}{7} — 0,04\%} = \log{11} + \log{2} — \log{7} — 0,00432*0,04\)
Примечание: 0,04% от быстрого приближения \(\frac{\frac{22}{7} – \pi}{\pi}\)
\(\log{3,14159} = 1,04139 + 0,30103 — 0,84510 — 0,00017 = 0,49715\)
Самая сложная часть в этом расчете — слепое умножение 3,14159.
Резюме:
Это один из самых продвинутых алгоритмов, используемых для вычислений в уме, и его можно использовать для решения практически любой задачи, связанной с корнями или степенями. Обратите внимание, что в отличие от многих алгоритмов мысленных вычислений он обеспечивает точность только до 4 цифр.
Если у вас есть какие-либо вопросы или вы хотите получить от меня квалифицированную коучинговую помощь, вы можете связаться со мной здесь.
4.3 — Свойства логарифмов
4.3 — Свойства логарифмовИзменение базовой формулы
Одна из дилемм заключается в том, что в вашем калькуляторе есть логарифмы только для двух оснований. Основание 10 (log) и основание e (ln). Что произойдет, если вы захотите узнать логарифм для какой-то другой базы? Вам не повезло?
№ Существует изменение базовой формулы для преобразования между различными базами. К найдите логарифмическую базу a, где a предположительно является некоторым числом, отличным от 10 или e , иначе вы бы просто воспользовались калькулятором,
Возьмите лог аргумента, разделенный на лог базы.
журнал а х = (лог б х) / (лог б а)
Там нет необходимости использовать либо основание 10, либо основание e , но поскольку это два у вас есть на калькуляторе, это, вероятно, те два, которые вы собираетесь использовать больше всего. Я предпочитаю естественный журнал (ln состоит всего из 2 букв, а log — 3, плюс есть дополнительное преимущество, о котором я знаю из исчисления). База, которая вы используете не имеет значения, только то, что вы используете одну и ту же базу для обоих числитель и знаменатель.
log a x = (log x) / (log a) = (ln x) / (ln a)
Пример: log 3 7 = (ln 7) / (ln 3)
Логарифмы в степени
Помните, что логарифмы являются показателями степени, поэтому свойства показателей степени свойства логарифмов.
Умножение
Каково правило при умножении двух значений с одинаковым основанием вместе
(х 2 * х 3 )? Правило состоит в том, что вы сохраняете базу и добавляете
экспоненты.
Ну, помните, что логарифмы — это показатели степени, и когда вы умножаете,
вы собираетесь добавить логарифмы.
лог продукта — это сумма логов.
log a xy = log a x + log a y
Подразделение
Правило при делении двух значений с одинаковым основанием состоит в том, чтобы вычесть экспоненты. Следовательно, правилом деления является вычитание логарифмов.
логарифм частного — это разница логов.log a (x/y) = log a x — log а у
Возведение в силу
Когда вы возводите количество в степень, правило состоит в том, что вы умножаете показатели степени вместе. В этом случае один из показателей будет логарифмическим, а другой экспонентой будет мощность, до которой вы увеличиваете количество.
экспонента аргумента — это коэффициент логарифма.
log a x r = r * log a x
Мелодическая математика
Некоторые из приведенных выше утверждений очень мелодичны.
То есть звучат хорошо.
Это может помочь вам запомнить мелодическую математику, а не формулу.
- Журнал продукта представляет собой сумму логов
- Сумма журналов равна журналу продуктов
- Журнал частного представляет собой разность логов
- Разница журналов равна журналу частного
- Показатель степени аргумента является коэффициентом журнала
- Коэффициент логарифма является показателем степени аргумента
Итак, последние два не такие мелодичные.
Распространенные ошибки
Я почти не решаюсь помещать здесь этот раздел. Кажется, когда я пытаюсь указать из ошибки, которую люди собираются сделать, что больше людей делают это.
- лог суммы НЕ является суммой логов. Сумма журналов — это журнал
продукт. Журнал суммы не может быть упрощен.
журнал a (x + y) ≠ log a x + журнал и у - лог разницы НЕ является разницей логов.
