Онлайн калькулятор метод зейделя: Метод Зейделя онлайн

Решить систему методом зейделя онлайн. Метод зейделя решения слау

1. Преобразовать систему к виду одним из описанных способов.

2. Задать начальное приближение решения произвольно или положить , а также малое положительное число (точность). Положить .

3. Произвести расчеты по формуле (1)или (2) и найти .

(1)

4. Если выполнено условие окончания , процесс завершить и в качестве приближенного решения задачи принять . Иначе положить и перейти к пункту 3.

Решение систем нелинейных уравнений (СНУ).

Запишем систему n нелинейных уравнений с n неизвестными (СНУ) в общем виде:

f 1 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

f 2 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0 (5.1)

f n (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

Эту систему можно записать в компактной, операторной форме:

вектор-функция

вектор неизвестных

Решением системы называется набор значений ,(векторX *), при которых все функции f i равны 0 (система (5. 1) обращается в тождество.)

СНУ могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Поэтому численное решение СНУ проводят в два этапа:

1 этап – отделение решений.

2 этап – уточнение всех или только нужных решений.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Задача отделения решений достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

f 1 (x 1 , x 2) = 0

f 2 (x 1 , x 2) = 0

Для этого необходимо в координатах (x 1 , x 2) построить кривые

f 1 (x 1 ,х 2) = 0, f 2 (x 1 ,х 2) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы . Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

Имеется два решения.

D 1 – область существования первого решения.

D 1 = {a 1

Графическое отделение решений СНУ.

Для систем с большим числом неизвестных (n  3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.

Отделение решений позволяет:

Выявить число решений и область существования каждого из них.

Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

Выбрать начальное приближение решения X (0) из области его существования, так что X (0) D.

При отсутствии информации об области существования решения СНУ выбор начального приближения X (0) проводиться методом проб и ошибок (методом “тыка”).

Постановка задачи.

Требуется решить систему нелинейных уравнений . В координатном виде эту задачу можно записать так: , где 1 ≤ k ≤ n .

Убедиться в существовании решения и количестве корней, а также выбрать нулевое приближение в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными можно, построив графики функций в удобных координатах. В случае сложных функций можно посмотреть поведение аппроксимирующих их полиномов. Для трех и более неизвестных, а также для комплексных корней, удовлетворительных способов подбора начального приближения нет.

Метод простых итераций.

Как и в случае одного уравнения, метод простых итераций заключается в замене исходной системы уравнений

f 1 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

f 2 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

f n (x 1 , x 2 , …, x n) = 0 (5.1)

эквивалентной системой X=Φ(X) –(5.3) и построении итерационной последовательности

(5.4)-X (k) = Φ(X (k -1)) , где k=1,2,3,… — номер итерации,которая при k→∞ сходится к точному решению.

Здесь — итерирующая вектор-функция, X (0) D – начальное приближение решения.

В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид:

x i. (k) = φ i (x 1 (k-1) , x 2 (k-1) , … , x n (k-1)), .(5.5)

Условие окончания расчета

δ≤ε (5.6)

где ε  заданная точность решения;

δ = (5.7)

Итерационный процесс (5.5) сходиться к точному решению, если в окрестности решения соблюдаются условия сходимости:

Таким образом, для уточнения решения СНУ методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование (5.1) в (5.3), чтобы в области существования решения выполнялись условия (5.9) или (5.10).

В простейшем случае эквивалентную систему можно получать как.

Метод Зейделя (второе название — Гаусса-Зейделя) — это классический интернациональный метод, при помощи которого можно решать различные системы Сейчас мы расскажем об этом более детально.

Суть работы

Данный способ является своеобразной упрощенной модификацией метода Якоби. Инновация состоит в том, что новое значение (і) используется сразу же после получения, а не после очередной итерации. Помимо этого, четко определены условия сходимости и окончания, нарушение которых приведет к неправильному ответу уравнения. Метод Зейделя, пример которого мы предоставили на картинке, не только упрощает процесс решения, но также ускоряет его. Поэтому он активно используется программистами для создания и решения сложных систем.

Метод Зейделя. «Паскаль»

Ни одна программист не обходится без математических формул и уравнений. А это значит, что метод Зейделя активно используется в программе «Паскаль» для получения опыта роботы с базовыми элементами. Выглядит все довольно-таки просто: в листе программы создается новый документ, с самого начала вводится условие уравнения и его границы, затем объясняются дополнительные сменные элементы (при условии их наличия), после этого прописывается проверка на совместимость. Если она положительна, то выводится сам алгоритм решения, а уже потом вывод могут включать несколько этапов решения, каждая часть которого имеет свой алгоритм, обязательные составные, сменные элементы и базовые формулы. Все это записывается исключительно на английском языке, без возможных аналогов. Решение уравнения будет выводиться в виде готовой формулы или числа после сохранения всех данных.

«С++»

Метод Зейделя также широко используется в программе «С++», но здесь все совсем иначе, чем в «Паскале». Уравнение в «С++» начинается не с условия всей задачи, а с условия окончания, которое прописывается в три-четыре этапа с конечным выводом результата. Далее прописывается сам ход решения при помощи данного метода, детально описывая все неизвестные, после чего выводится формула для того, чтобы доказать равенство между двумя результатами уравнения. Условием есть то, что каждое значение предыдущего является необходимым для решения последующего. Учетные записи здесь также ведутся на английском языке, который заменить невозможно. «С++» значительно сложнее «Паскаля», поэтому, не имея базовых знаний, ее не следует использовать изначально.

Подведем итоги

Итак, метод Зейделя — это специальный способ, благодаря которому можно решать системы линейных уравнений любой сложности. Чаще всего он является базовым для таких программ, как «Паскаль» и «С++». Это своеобразная улучшенная модификация метода Якоби, которая исключает вариант использования дополнительных формул, но при этом имеет четкие условия сходимости и окончания. Строго установленные критерии упрощают весь процесс работы, так как в случае невыполнения одного из условий программа, будь то или «Паскаль», или «С++», просто-напросто откажется от дальнейшего решения задачи.

Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью программирования, является

метод Гаусса –Зейделя .

Проиллюстрируем сначала этот метод па примере решения системы

Предположим, что диагональные элементы а 11, а 22, а 33отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х 1, х 2и х 3 соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы (2.27):

(2.28)

(2.29)

(2.30)

Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: Подставляя эти значения в правую часть выражения (2. 28), получаем новое (первое) приближение для х 1:

Используя это значение для x 1 и приближение для х3 , находим из (2.29) первое приближение для х2 :

И наконец, используя вычисленные значения находим с помощью выражения (2.30) первое приближение для

х 3:

На этом заканчивается первая итерация решения системы (2.28) — (2.30). Теперь с помощью значений х 1(1), х 2(1)и х 3(1)можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению: х 1 = х 1 (2), х 2 = х 2(2)и х 3 = х 3(2)и т.д.

Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с номером k – 1, как

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х 1(k), х 2(k)и х 3(k)не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х 1(k-1), х 2(k-1)и х 3(k-1).

Пример. Решить с помощью метода Гаусса – Зейделя следующую систему уравнений:

Легко проверить, что решение данной системы следующее:

х 1 = х 2 = х 3 = 1.

Решение . Выразим неизвестные х 1, х 2и х 3соответственно из первого, второго и третьего уравнений:

В качестве начального приближения (как это обычно делается) примем х 1= 0, х 2 = 0, х 3 = 0. Найдем новые приближения неизвестных:

Аналогично вычислим следующие приближения:

Итерационный процесс можно продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных в двух последовательных итерациях.

Рассмотрим теперь систему п линейных уравнений с п неизвестными. Запишем ее в виде

Здесь также будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с методом Гаусса – Зейделя k -e приближение к решению можно представить в виде

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения не станут близкими к , т.

е. критерием завершения итераций является одно из условий (2.21) – (2.24).

Для сходимости итерационного процесса (2.31) достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов (преобладание диагональных элементов):

(2.32)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми, т.е. для некоторых систем итерации сходятся и при нарушении условий (2.32).

Алгоритм решения системы п линейных уравнений методом Гаусса – Зейделя представлен на рис.2.6. В качестве исходных данных вводят п, коэффициенты и правые части уравнений системы, погрешность ε, максимально допустимое число итераций М, а также начальные приближения переменных xi (i =1,2,…,

n ).Отметим, что начальные приближения можно не вводить в компьютер, а полагать их равными некоторым значениям (например, нулю). Критерием завершения итераций выбрано условие (2.22), в котором через δ обозначена максимальная абсолютная величина разности и :

Для удобства чтения структурограммы объясним другие обозначения: k — порядковый номер итерации; i – номер уравнения, а также переменного, которое вычисляется в соответствующем цикле; j – номер члена вида или в правой части соотношения (2.31). Итерационный процесс прекращается либо при δ , либо при k = М. В последнем случае итерации не сходятся, о чем выдается сообщение. Для завершения цикла, реализующего итерационный процесс, используется переменная l , которая принимает значения 0, 1 и 2, соответственно, при продолжении итераций, при выполнении условия

δ и при выполнении условия k = М .

Рис. 2.6. Алгоритм решения системы n линейных уравнений методом Гаусса–Зейделя

Отчет по

ЧИСЛЕНННЫМ МЕТОДАМ

Выполнил: студент

Сулейманова Д. И.

Проверила: доцент каф. хим.

кибернетики Кошкина Л.Ю.

Казань, 2012

Тема 1. «Численное решение систем линейных алгебраических уравнений». 3

Постановка задачи. 3

Прямые (точные) методы.. 3-4

Итерационные методы.. 5

Листинг программ. 4

Результаты.. 5

Выводы.. 5

Список литературы.. 5

ТЕМА 2. «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Постановка задачи

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

0,5	1,7	0,3		-0,24
1,6	1,5	-2,3		4,3
3,7	-2,5	3,2		6,5

0,5х 1 +1,7х 2 +0,3х 3 =-0,24

1,6х 1 +1,5х 2 -2,3х 3 =4,3

3,7х 1 -2,5х 2 +3,2х 3 =6,5

Для решения уравнения использовали следующие методы:

1. метод обратной матрицы,

2. метод Крамера,

3. метод Гаусса,

4. метод простых итераций,

5. метод Гаусса-Зейделя.

Решение:

Прямые (точные) методы

1) Метод обратной матрицы: (х=А -1 *В – формула данного метода, где В-вектор свободных членов, А -1 -обратная функция)

А) Для реализации данного метода в электронных таблицах воспользовались математической функцией =МОБР(А1:С3) для определения коэффициента А:

0,3

4,3 1,5 -2,3 6,5 -2,5 3,2 0,5 -0,24
Ввод n, a, b FOR k=1 TO n-1 FOR i=k+1 TO n m=a ik /a kk FOR j=k+1 TO n a ij =a ij -m*a kj b i =b i -m*b k x n =b n /a nn FOR i=n-1 TO 1 шаг — 1 FOR j=i+1 TO n S=∑a ij *x i x i =(b i -s)/a ii Печать x i

Прямой ход

Обратный ход

Выбор главного элемента и перестановка уравнений

1) Метод простых итераций:

А) Выразим х 1 , х 2 , х 3 из уравнений главного определителя, тогда получим:

x 1 =(b 1 -a 12 x 2 -a 13 x 3)/a 11

x 2 =(b 2 -a 21 x 1 -a 23 x 3)/a 22

x 3 =(b 3 -a 31 x 1 -a 32 x 2)/a 33

Б) Зададим начальное (нулевое) приближение x 1 (0) , x 2 (0) , x 3 (0) . Подставляя их, получаем новое приближение.

В) Обозначим k-номер итерации, тогда для n уравнений итерационные формулы можно записать так:

x i (k) = (k-1))

Итерации проводятся до тех пор, пока не будет выполнено условие

|x i (k)-x i (k-1) |

2) Метод Гаусса-Зейделя:

Этот метод представляет собой модификацию метода простых итераций, когда на k-той итерации при j

x i (k) = (k) — (k-1))

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

|x i (k)-x i (k-1) |

Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв x i (k-1) = x i (k)

Алгоритм метода Гаусса-Зейделя

n-количество уравнений; e-точность; a(n,n)-массив коэффициентов; b(n)-массив свободных членов; x(n)-массив решения. Вводится начальное приближение x(n).

Листинг программ

Sub metod_g()

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

a(i, j) = Worksheets(«Лист2»).Cells(i, j). Value

b(i) = Worksheets(«Лист2»).Cells(i, 5).Value

For k = 1 To n — 1

For i = k + 1 To n

If Abs(a(i, k)) > Abs(a(g, k)) Then g = i

z = a(g, j): a(g, j) = a(k, j): a(k, j) = z

z = b(g): b(g) = b(k): b(k) = z

For i = k + 1 To n

m = a(i, k) / a(k, k)

For j = k + 1 To n

a(i, j) = a(i, j) — m * a(k, j)

b(i) = b(i) — m * b(k)

x(n) = b(n) / a(n, n)

For i = n — 1 To 1 Step -1

For j = i + 1 To n

s = s + a(i, j) * x(j)

x(i) = (b(i) — s) / a(i, i)

Worksheets(«Лист2»).Cells(i, 9).Value = x(i)

Sub MPI_SLAY()

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

x2 = (b(2) — a(2, 1) * x10 — a(2, 3) * x30) / a(2, 2)

x3 = (b(3) — a(3, 1) * x10 — a(3, 2) * x20) / a(3, 3)

Loop While c > e

With Worksheets(«Лист2»)

Range(«J1»).Value = x1

Range(«J2»).Value = x2

Range(«J3»).Value = x3

Range(«J5»).Value = k

Sub GausZeid()

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

a(i, j) = Worksheets(«Лист3»). Cells(i, j).Value

b(i) = Worksheets(«Лист3»).Cells(i, 5).Value

x10 = 0: x20 = 0: x30 = 0

x1 = (b(1) — a(1, 2) * x20 — a(1, 3) * x30) / a(1, 1)

x2 = (b(2) — a(2, 1) * x1 — a(2, 3) * x30) / a(2, 2)

x3 = (b(3) — a(3, 1) * x1 — a(3, 2) * x2) / a(3, 3)

c = Abs(x1 — x10) + Abs(x2 — x20) + Abs(x3 — x30)

Loop While c > e

With Worksheets(«Лист2»)

Range(«K1»).Value = x1

Range(«K2»).Value = x2

Range(«K3»).Value = x3

Range(«K5»).Value = k

Для запуска программ нажать на кнопку или на Run .

Полученный результат находится на Листе 2.

Результаты

Выводы

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций.

В данной работе мы рассмотрели 5 методов решения линейных алгебраических уравнений: метод обратной матрицы, Крамера, Гаусса, простой итерации и Гаусса-Зейделя. Первые 3 метода составляют группу прямых методов. Это аналитические методы, в них отсутствует погрешность метода, но погрешность вычислений неизбежна. Тем не менее, методы обратной матрицы и Крамера достаточно просты в алгоритме, тем более нами было найдено решение трехмерной матрицы (небольшая размерность), значения неизвестных сошлись. Что касается метода Гаусса, алгоритм данного метода достаточно громоздкий. Каждая следующая формула вычисления коэффициентов при преобразовании матрицы содержит результат предыдущей формулы, а значит и ее ошибку при вычислении. Наибольшее влияние на эту ошибку оказывает величина знаменателя (коэффициенты главной диагонали) – она не должна быть равна 0 и малой по абсолютной величине. В нашем случае таких предпосылок нет, метод Гаусса был осуществлен с выбором главного элемента, что дает малые невязки.

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x₁, x₂, …, x_{i — 1}.

Пусть получена эквивалентная система (4.2). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, чтоk-ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:

(4.5)

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 4. 2. Методом Зейделя решить систему уравнений

Решение.

Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в таблице.

Таблица

Нахождение корней линейной системы методом Зейделя

i
0	1,2000	0,0000	0,000
1	1,2000	1,0600	0,9480
2	0,9992	1,0054	0,9991
3	0,9996	1,0001	1,0001
4	1,000	1,000	1,000
5	1,000	1,000	1,000

Точные значения корней: х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Индивидуальные задания

Задание 1. Методом итераций решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов.

№ 1.

№ 2.

№ 3.

№ 4.

№ 5.

№ 6.

№ 7.

№ 8.

№ 9.

№ 10.

№ 11.

№ 12.

№ 13.

№ 14.

№ 15.

№ 16.

№ 17.

№ 18.

№ 19.

№ 20.

№ 21.

№ 22.

№ 23.

№ 24.

№ 25.

№ 26.

№ 27.

№ 28.

№ 29.

№ 30.

Задание 2. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

№ 1. № 2.

№ 3. № 4.

№ 5. № 6.

№ 7. № 8.

№ 9. № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16.

№ 17. № 18.

№ 19. № 20.

№ 21. № 22.

№ 23. № 24.

№ 25. № 26.

№ 27. № 28.

№ 29. № 30.

Решение слау средствами MathCad Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на Mathcad блок given в сочетании с функцией Find.

Внимание! В блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова given.

При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=

Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.

Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных.

Если мы хотим найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.

Зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию

Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)

Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.

Калькулятор метода Гаусса-Зейделя с решением

Используйте этот онлайн-калькулятор метода Гаусса-Зейделя, который позволяет решить систему линейных одновременных уравнений. Вы также можете вычислить значения, относящиеся к задачам метода Гаусса-Зейделя, используя наш онлайн-калькулятор метода мощности за доли секунды.

Что такое метод Гаусса-Зейделя?

«Метод, в котором первая заданная система линейных уравнений приводится в диагонально доминирующую форму, называется методом Гаусса-Зейделя» 9-1(b-Uxk)

Где

• L* = нижняя треугольная матрица
• U = верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица:

«Если все элементы выше главной диагонали равны нулю, это называется нижней треугольной матрицей»

A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \ \ 1 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \end{array}\right]

Верхняя треугольная матрица:

A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]

Итеративный алгоритм Гаусса-Зейделя Алгоритм метода:

Давайте обсудим алгоритм итеративного метода Гаусса-Зейделя относительно коэффициента переменных. Ниже приведены шаги, чтобы вычислить его легко.

• Сначала запустите процесс
• После этого нужно привести заданную систему линейных уравнений в диагонально доминирующую форму.
• После прочтения проверить ошибку (e).
• Преобразование первого уравнения в терминах первой переменной, второго уравнения в терминах второй переменной и так далее.
• После преобразования переменных установите начальные предположения для x_0, y_0, z_0 и т. д.
• Подставьте значение y_0, z_0 … из шага 5 в первое уравнение, полученное из шага 4, чтобы оценить новое значение x1_. Используйте x_1, z_0, u_0…. во втором уравнении, полученном на шаге 4, для вычисления нового значения y1. Точно так же используйте x_1, y_1, u_0…, чтобы найти новый z_1 и так далее.
• Если| х0 – х1| > е и | у0 – у1| > е и | z0 – z1| > e
  и т. д., затем перейдите к шагу 9.
• Установите x_0=x_1, y_0=y_1, z0=z1 и т. д. и перейдите к шагу 6. ​​
• Вывести значение x_1, y_1, z_1 и т.  д.
• Наконец, остановите процесс и получите результаты.

Кроме того, наш онлайн-калькулятор метода Гаусса-Зейделя также поддерживает алгоритм итеративного метода Гаусса-Зейделя, и вы можете рассчитать его за пару секунд.

Метод Гаусса-Зейделя Пример: 9-1b

$$ \begin{bmatrix}783061,99 \\ -696054,33 \\\end{bmatrix} $$

x_1 = 783061,99
x_2 = -696054,33

\bmatrix $

{

{ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix} $$

Нижняя треугольная компонента T

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 9 \\\end{bmatrix} $$

Инверсия L*-1

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -0,89 & 0,11 \\\end{bmatrix} $$

Расчет T 9{(19)}= \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1,78 \\\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 440469,308 \\ -391527,496 \\\end{bmatrix} + \begin{ bmatrix}7 \\ -5,44 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 783061,991 \\ -696054,326 \\\end{bmatrix} $$

рассчитать значения метода Гуасса-Зейделя за доли секунды.

Как работает калькулятор метода Гаусса-Зейделя?

Этот онлайн-калькулятор метода мощности позволяет выполнять расчеты, просто вводя следующие данные:
Ввод:

• Сначала введите количество уравнений (2 или 3)
• После этого введите значения коэффициентов для уравнений
• Просто нажмите кнопку «Рассчитать»

Выходы:

Калькулятор метода Гаусса-Зейделя вычисляет следующие результаты:

• Обратный L-1*
• Расчет Т
• Расчет C
• Применить алгоритм Гаусса-Зейделя

Вы также можете рассчитать разрешающие системы уравнений с помощью калькулятора исключения Гаусса.

Часто задаваемые вопросы:

Является ли метод Гаусса-Якоби итерационным методом?

Да, Гаусс-Якоби или метод Якоби обычно представляют собой итерационный метод, который используется для решения уравнений диагонально доминирующей системы линейных уравнений. И вы можете рассчитать значения метода Гаусса-Зейделя по отношению к итеративному методу, используя этот калькулятор метода Гаусса-Зейделя

В чем разница между методами Якоби и Гаусса-Зейделя?

Разница между методами Якоби и Гаусса-Зейделя заключается в том, что в методе Якоби значения переменных не изменяются до следующей итерации. В то время как в методе Гаусса-Зейделя значения переменных изменяются, как только рассматривается новое значение. Вы можете рассчитать значения метода Гаусса-Зейделя с помощью нашего калькулятора метода Гаусса-Зейделя

Какой итерационный метод более эффективен: метод Якоби или метод Гаусса-Зейделя?

Метод Гаусса-Зейделя более эффективен по сравнению с методом Якоби, поскольку метод Гаусса-Зейделя требует меньшего количества итераций для объединения фактического решения с определенной степенью точности. Мы предоставляем вам онлайн-калькулятор метода Гаусса-Зейделя, чтобы быстро выполнять расчеты, связанные с методом Гаусса-Зейделя.

В чем недостаток метода Якоби?

Недостаток метода Якоби состоит в том, что после оценки измененного значения переменной на текущей итерации оно не используется до следующей итерации. Проще говоря, значение всех переменных, используемых в текущей итерации, взято из предыдущей итерации, что увеличивает количество итераций для достижения точного решения.

В чем разница между методом исключения Гаусса и методом Гаусса-Зейделя?

Исключение Гаусса — это прямой метод, а метод Гаусса-Зейделя — итерационный метод. Эти два метода отличаются друг от друга и обычно используются для разных целей.

Когда применим метод Гаусса-Зейделя?

Метод Гаусса-Зейделя применим, если он следует строго диагонально доминирующим или симметрично определенным матрицам.

Заключение:

Метод Гаусса-Зейделя обычно используется для нахождения уравнений линейной системы. Этот метод дан и назван немецкими учеными Карлом Фридрихом Гауссом и Филиппом Людвигом Зиделем. В общем случае метод Гаусса-Зейделя применим, если итерациями необходимо решить n линейных уравнений с неизвестными переменными. Этот метод очень прост и вычисляет значения с помощью нашего онлайн-калькулятора метода Гаусса-Зейделя за пару шагов.

Ссылки:

Из Википедии: Метод Гаусса–Зейделя, Алгоритм, Примеры
Из источника sciencedirect.com: Итерационные методы решения, Решение системы линейных алгебраических уравнений

Онлайн-калькулятор: Фиксированная точка Метод итерации

  Исследование  Математика

Этот онлайн-калькулятор вычисляет фиксированные точки повторяемых функций, используя метод итерации с фиксированной точкой (метод последовательных приближений).

В численном анализе итерация с фиксированной точкой — это метод вычисления фиксированных точек повторяемых функций. Более конкретно, если задана функция, определенная на действительных числах с действительными значениями, и задана точка в области , итерация с фиксированной точкой равна

Это дает начало последовательности , которая, как ожидается, сойдется к точке . Если непрерывно, то можно доказать, что полученное является неподвижной точкой – т. е. . ¹

Этот метод является разновидностью метода последовательных приближений – метод решения математических задач с помощью последовательности приближений, сходящихся к решению и строящейся рекурсивно, т. е. каждое новое приближение вычисляется на основе предыдущего приближения; выбор начального приближения до некоторой степени произволен. Метод используется для аппроксимации корней алгебраических и трансцендентных уравнений. Он также используется для доказательства существования решения и для аппроксимации решений дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений.

Использование этого метода довольно простое:
– принять приблизительное значение переменной (начальное значение)
– найти переменную
– использовать ответ как второе приблизительное значение и снова решить уравнение
– повторять этот процесс до тех пор, пока достигается желаемая точность для переменной

Это именно то, что делает приведенный ниже калькулятор. Он выполняет итерационные вычисления x по заданной формуле и останавливается, когда два последовательных значения отличаются меньше заданной точности.

Также стоит упомянуть, что функция, используемая в качестве примера, т. е.
,
, представляет собой итерированную функцию для вычисления квадратного корня из a. Это, возможно, первый алгоритм, используемый для аппроксимации квадратного корня. Он известен как «вавилонский метод», названный в честь вавилонян, или «метод Героя», названный в честь греческого математика первого века Героя Александрийского, который дал первое подробное описание метода.

Метод итерации с фиксированной точкой

Итерируемая функция

Исходное значение x0

Требуемая точность, %

Аппроксимации прекращаются, когда разница между двумя последовательными значениями x становится меньше заданного процента

Точность вычислений

Знаки после запятой: 5

Файл очень большой.

No related posts.