Онлайн неопределенные интегралы: Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

alexxlab / / Разное

Неопределенный интеграл – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Функция \(F(x)\) называется первообразной функции \( f(x)\), если \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Множество всех первообразных некоторой функции \(f(x)\) называется неопределенным интегралом функции \(f(x)\) и обозначается как \(\int {f\left( x \right)dx} \). Таким образом, если \(F\) – некоторая частная первообразная, то справедливо выражение \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C,\) где \(C\) – произвольная постоянная. Функция \(f(x)\) называется подынтегральной функцией, а выражение \(f(x)dx\) – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах \(f \ и \ g \) – функции переменной \(x\), \(F\) – первообразная функции \(f\) и \(a,k,C\) − постоянные величины.

  • \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx}\)
  • \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx}\)
  • \(\int {f\left( {ax} \right)dx} = {\large\frac{1}{a}\normalsize} F\left( {ax} \right) + C\)
  • \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = {\large\frac{1}{a}\normalsize} F\left( {ax + b} \right) + C\)

Таблица интегралов

Пример 1. 2+t}=2\int\frac{dt}{t+1}=2ln|t+1|+C=2ln|\sqrt{x}+1|+C\).

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле \(\int {udv} = uv — \int {vdu} \), где \(u(x), v(x)\) − дифференцируемые функции.

Пример 4. Вычислить: \(\int x\cdot sinxdx\).

Решение: \(x=u, \ sindx=dv \Rightarrow du=dx, \ v=-cosx\).

\(\int x\cdot sinxdx=x\cdot(-cosx)-\int(-cosx)dx=-xcosx+sinx+C\).

Интеграл — тесты

Алгебра. 11 класс. Параграф 56. Тест 1.

Вариант 1.

Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx, где f(x)  — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Найти неопределенный интеграл (в заданиях 1 – 8):

1.  ∫ (x2 + x -1)dx.

2.  ∫ (sinx – 3cosx)dx.

A) cosx-3sinx+C; B) -cosx+3sinx+C; C) -cosx-3sinx+C; D) cosx+3sinx+C.

A) tgx-ctgx+C; B) tgx+ctgx+C; C)  ctgx-tgx+C; D)  tg2x+ctg2x+C.

5. ∫ (4x – 3)5dx.

7.  ∫ sin(12x + 7)dx.

Формула Ньютона-Лейбница: 

Вычислить определенный интеграл (в заданиях 9 — 12):

A) 4,25; B) 4,75; C) 3,25; D) 3,75.

A) -0,5; B) 0,5; C) 0; D) -1.

Вариант 2.

Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx, где f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Найти неопределенный интеграл (в заданиях 1 – 8):

1. ∫ (3x2-2x +1)dx.

A) 6x-2 +C;  B) x3-2x2 + x + C;

 

C) x3-x2 + x + C;  D) 3x3-x2 +2x+C.

2. ∫ (cosx +5sinx)dx.

A) sinx-5cosx+C; B) -cosx+5sinx+C; C) -sinx+5cosx+C; D) sinx-5cosx.

A) tgx-ctgx+C; B) tgx+ctgx+C; C) ctgx-tgx+C; D) tg2x+ctg2x+C.

5. ∫ (3x + 2)4 dx.

7. ∫ cos(8x-5)dx.

Формула Ньютона-Лейбница: 

Вычислить определенный интеграл (в заданиях 9 — 12):

A) 6,25; B) 6,6; C) 6,5; D) 6,2.

A)

-0,5; B) 0,5; C) 0; D) -1.

A) 1; B) 2;  C)  -2;  D)  0.

A) -4; B)  0;  C)  -8;  D)  4.

Сверить ответы.

Поделиться новостью в соцсетях