Онлайн решение косинусов: Решение тригонометрических уравнений | Онлайн калькулятор

Конспект урока на тему «Решение тригонометрических неравентсв»

 Решение тригонометрических неравенств.

Урок-лекция

 

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для
восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и
вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений. Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

И только после учить решать тригонометрические
неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших
тригонометрических неравенств.

1.    Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.

2.    В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.

3.    Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.

4.    Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток удовлетворяющий данному неравенству.

5.    Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.

6.    Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге),
изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для

контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения
неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).

7.    Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.

8.    Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Конспект урока по теме: “Решение
тригонометрических неравенств”.

 

Задача урока

–  изучить тему решение тригонометрических неравенств,содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

·  закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

·  формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

·  освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

·  развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы,
самопроверки;

·  воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету,
уважения к одноклассникам.

·  формирование учебно-познавательных,информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование:

Проектор, компьютер,раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок — лекция. 

Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемнопоисковые,индивидуального и фронтального опроса, устного иписьменного самоконтроля, самостоятельной  работы.

Учебная дисциплина:Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока:урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

Цели урока:

1) образовательные:

·         показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

·         учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

2) развивающие:

·         развитие умения обобщать полученные знания;

·         развитие логического мышления;

·         развитие внимания;

·         развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

3) воспитательные:

·         учить высказывать свои идеи и мнения;

·         формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

·         формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Методы обучения:

·         наглядно — иллюстративный;

Дидактическая цель урока: Создание условий:

·         для соединения новой информации с уже изученным материалом;

·         для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

·         для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

·         для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование:

·         учебник Никольского «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

·         проектор, доска;

·         презентация MS PowerPoint.

План урока

1.    Оргмомент 1 мин

2.    Проверка д\з 3 мин

3.    Объяснение нового материала 35 мин

4.    Д\з 3 мин

5.    Подведение итогов 3 мин

Ход урока

1.Оргмомент

2. Проверка д\з у доски  №11.29-11.31(в,г)

3.Объяснение нового материала

На этом  занятии мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим  тригонометрических неравенства вида sint<a. Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от 

х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение 

π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса.  Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения 

t. Затем вместоt подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

 И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint<a (-1≤а≤1) справедлива формула:

— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Мы решили три неравенства вида 

sint<a. На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a, где -1≤а≤1.

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем первое неравенство:

.

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t, удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х.Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида:sint≥a. Далее  мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга)  применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута. Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Если sint>a, где  -1≤a≤1, то  arcsin a + 2πn < t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

 

 Рассмотрим неравенства вида cost<a:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (tбудет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функцииy=cosx также называют синусоидой!)

Первое неравенство.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функцииy=sinx., т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

 а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx.

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

Второе неравенство.

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства  для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Выразим х.

Ответ запишем в виде промежутка.

Третье неравенство.

А теперь формула, которой вам следует воспользоваться на экзамен ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost<a.

Если  cost<a, (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Примените эту формулу для решения рассмотренных  неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!    

Рассмотрим тригонометрические неравенства вида: cost>a.

Используем алгоритм решения, как в предыдущем случае:

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Пример 1.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t, при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х.

Пример 2.

Выделяем промежуток значений t, при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем в виде двойного неравенства значения t,удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен2π. Возвращаемся к переменной х, постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Пример 3.

Нас будет интересовать промежуток значений t, при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2хи выразим х. Ответ запишем в виде числового промежутка.

 

И снова формула, которой вам следует воспользоваться на  ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost>a.

Если  cost>a, (-1≤а≤1), то — arccos a + 2πn < t < arccos a + 2πn, nєZ.

Применяйте  формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы  сэкономите время на экзаменационном тестировании.

 

4.Домашнее задание №11.33-11.37 (а-Б)

5.Подведение итогов

Калькулятор закона косинусов — eMathHelp

Калькулятор решит данный треугольник, используя закон косинусов (где это возможно), с показанными шагами.

Связанный калькулятор: Калькулятор закона синусов

$$$a$$$:

$$$b$$$:

$$$c$$$:

$$$A$$$:

$$$B$$$:

$$$C$$$: 90$$$A

Площадь: $$$S = 24,248711305964292$$$A.

Периметр: $$$P = \sqrt{57} + 15\приблизительно 22,54983443527075$$$A.

Калькулятор закона косинусов — примеры, Калькулятор закона косинусов онлайн

Калькулятор закона косинусов помогает вычислить неизвестный угол в треугольнике, когда известны длины всех трех сторон. Этот закон помогает связать стороны треугольника с косинусом одного из его углов.

Что такое калькулятор закона косинусов?

Калькулятор закона косинусов — это онлайн-инструмент, который помогает определить угол треугольника, используя формулу закона косинусов, когда мы знаем меру всех трех сторон. Этот закон можно применить к любому типу треугольника. Чтобы использовать калькулятор закона косинусов , введите значения в указанные поля ввода.

Калькулятор закона косинусов

ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения до трех цифр и только натуральные числа.

Как пользоваться калькулятором закона косинусов?

Чтобы найти неизвестный угол с помощью калькулятора закона косинусов, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору закона косинусов Cuemath.
• Шаг 2: Введите длины сторон в соответствующие поля ввода.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Вычислить» , чтобы найти неизвестный угол.
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор закона косинусов?

Закон косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника будет равен разности суммы квадратов двух других сторон и удвоенному произведению этих двух сторон, умноженному на косинус прилежащего угла. Предположим, что три стороны треугольника равны a, b и c. Кроме того, пусть A, B и C — углы, образуемые этими тремя сторонами соответственно. Тогда закон косинусов может быть задан следующими формулами, в зависимости от того, какое пропущенное значение необходимо определить.

• a ² = b ² + c ² — 2bc.cosA
• b ² = c ² + a ² — 2ca. cosB
• с ² = а ² + b ² — 2ab.cosC

Если нам нужно найти значение A, на которое опирается сторона a, можно выполнить шаги, указанные ниже.

• Подровнять стороны; а ² , б ² ​​​​​ и с ² .
• Возьмите сумму двух других сторон; б ² + с ²
• Вычтите из этого значения значение квадрата стороны, опирающейся на неизвестный угол; б ² + в ² — а ²
• Разделите это значение на удвоенное значение произведения двух других сторон; (б ² + с ² — а ² ) / 2бк.
• Найдите арккосинус значения из шага 4. Результат будет мерой A.

Аналогичные шаги можно использовать для нахождения значений других углов.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Решенные примеры по закону косинусов

Пример 1:

Стороны треугольника равны a = 2, b = 3, c = 4. Найдите значение угол напротив a и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора закона косинусов.

Solution:

a ² = b ² + c ² — 2bc.cosA

A = cos ^-1 [(b ² + c ² — a ² ) / 2bc]

A = cos ^-1 [(3 ² + 4 ² — 2 ² ) / 2(3)(4)]

A = 28,955 градусов.

Пример 2:

Стороны треугольника равны a = 3,1, b = 6,3, c = 4,8. Найдите значение угла напротив а и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора закона косинусов.

Solution:

a ² = b ² + c ² — 2bc.