Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами
Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.
И заодно – стоит повторить темы «Квадратные уравнения» и «Квадратичные неравенства».
Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.
1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.
Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.
Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.
1)
Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.
2)
Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.
Найдем дискриминант :
< 0.
< 0
< 0
Решив неравенство, получим
С учетом пункта 1, получим ответ: .
2. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма квадратов действительных корней уравнения
минимальна.
Мы привыкли находить корни квадратного уравнения по известной формуле, с помощью дискриминанта. Однако для задач с параметрами такой способ подходит не всегда. А вот теорема Виета нам поможет.
В условии сказано: «Сумма квадратов действительных корней…» Это значит, во-первых, что корни есть, а во-вторых, их должно быть два. А это будет в случае, когда дискриминант положителен ( > 0).
Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:
В нашем случае:
Решим первое неравенство системы
Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен.
Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .
Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр
График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:
Ответ: 1
3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения
положительны.
Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно
1) . Получим линейное уравнение
У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.
2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .
Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами.
Он основан на следующих простых утверждениях:
— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.
Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.
— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.
Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.
Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим
Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.
Решение системы: .
С учетом пункта 1 получим ответ
Ответ:
4. При каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение?
Уравнение является показательным, причем однородным.
Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .
Получим:
Сделаем замену
Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.
1) В случае уравнение будет линейным
Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.
2) Если , уравнение будет квадратным.
Его дискриминант
Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.
Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.
Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.
а)
Тогда
б)
Объединив все случаи, получим ответ.
Ответ:
И наконец – реальная задача ЕГЭ.
5. При каких значениях a система имеет единственное решение?
Решением квадратного неравенства может быть:
1) отрезок
2) 2 луча
3) точка
4) ∅
В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:
1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)
2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства
Рассмотрим первый случай.
Решим систему
Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или
Если , при этом система примет вид:
Второй корень первого уравнения:
Второй корень второго первого:
Единственное решение
Если , при этом система примет вид:
– бесконечно много решений, не подходит.
Рассмотрим второй случай.
– решением является точка, если – является решением второго неравенства.
– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.
Ответ:
Квадратные неравенства | ЮКлэва
Чтобы разобраться, как решать квадратные неравенства, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция.
Зачем вообще нужна квадратичная функция? Какой у нее график? Где он применим?
Замечал, как летит брошенный мяч, по какой траектории движется струя в фонтане? А как думаешь как летит пуля?
По дуге? Самым верным ответом будет «по параболе»!
Парабола и есть график квадратичной функции.
Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что с параболой ты сталкиваешься ежедневно!
Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи.
К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полёта? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определённым углом?
Итак, давай разбираться.
2) Найдём корни этого уравнения:
\( {{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}=1\)
3) Отметим корни на оси \( Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «\( +\)», а там где ниже – «\( —\)».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «\( +\)» или «\( —\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят.
\( x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)
А теперь еще раз тоже самое но более сжато (то есть на языке математики)
Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет её график.
{2}}+bx+c=0\), \( a\ne 0\)
Другими словами, это многочлен второй степени.
График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?)
- если \( a>0\), то ветви параболы направлены вверх;
- если \( a<0\), то ветви параболы направлены вниз.
Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вверх, функция при всех значениях Х принимает лишь положительные значения.
Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вниз – лишь отрицательные.
В случае, когда у уравнения (\( 1\)) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси \( Ox\):
Тогда, аналогично предыдущему случаю, при \( a>0\) функция неотрицательна \( \left( f(x) \ge 0 \right)\) при всех \( x\), а при \( a<0\) – неположительна \( \left( f(x) \le 0 \right)\).
Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое — не входят.
{2}}+x-3=0\)
2) Найдём корни этого уравнения:
\( {{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}=1\)
3) Отметим корни на оси \( Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «\( +\)», а там где ниже – «\( —\)».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «\( +\)» или «\( —\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят.
\( x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)
Разобрался? Тогда вперёд закреплять!
Бонус: Вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
Метод интервалов при решении рациональных и иррациональных уравнений и неравенств
В этом видео мы узнаем (вспомним) метод интервалов, поймём как и почему он работает.
Вспомним, как решать квадратные, рациональные неравенства, а также неравенства с модулем и иррациональные.
Квадратные неравенства, примеры, решения
В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.
Что представляет собой квадратное неравенство
Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.
Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a·x2+b·x+c<0, где a, b и c – некоторые числа, причем aне равно нулю. x – это переменная, а на месте знака < может стоять любой другой знак неравенства.
Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y=a·x2+b·x+c.
Приведем пример квадратного неравенства:
Пример 1Возьмем 5·x2−3·x+1>0. В этом случае a=5, b=−3 и c=1.
Или вот такое неравенство:
Пример 2−2,2·z2−0,5·z−11≤0, где a=−2,2, b=−0,5 и c=−11.
Покажем несколько примеров квадратных неравенств:
Пример 3Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 123·x2-x+57<0, в этом случае a=123, b=-1, c=57.
Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b·x+c>0, так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.
Пример 4Пример такого неравенства x2−5≥0.
Способы решения квадратных неравенств
Основным метода три:
Определение 2- графический;
- метод интервалов;
- через выделение квадрата двучлена в левой части.
Графический метод
Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y=a·x2+b·x+c для квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥). Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.
Метод интервалов
Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a·x2+b·x+c при их наличии.
Для неравенства a·x2+b·x+c<0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a·x2+b·x+c>0, промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.
Выделение квадрата двучлена
Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p)2<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа.
Неравенства, сводящиеся к квадратным
К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.
Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5≤2·x−3·x2. Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3·x2−2·x+5≤0.
Пример 5Необходимо найти множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2)2+x2+5.
Решение
Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
3·(x−1)·(x+1)−(x−2)2−x2−5<0, 3·(x2−1)−(x2−4·x+4)−x2−5<0, 3·x2−3−x2+4·x−4−x2−5<0, x2+4·x−12<0.
Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.
D’=22−1·(−12)=16, x1=−6, x2=2
Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал (−6, 2).
Ответ: (−6, 2).
Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2·x2+5<x2+6·x+14
равносильно квадратному неравенству x2−6·x−9<0, а логарифмическое неравенство log3(x2+x+7)≥2 – неравенству x2+x−2≥0.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Графический калькулятор квадратичных неравенств
Благодаря графическому калькулятору квадратичных неравенств от Omni вы быстро справитесь с домашним заданием! Мы научим вас , как решать квадратные неравенства, рисуя параболы , и как это может помочь вам избежать использования ужасной квадратной формулы .
Пойдем!
Что такое квадратные неравенства?
Квадратное неравенство — это выражение, включающее квадратный трехчлен (поэтому многочлен степени 2 ), которое мы сравниваем с каким-то другим выражением, чаще всего с числом ноль. Например:
ax² + bx + c > 0
Конечно, возможны и другие знаки неравенства ≥ , ≤ или < .
🙋 Чтобы узнать больше о различных аспектах квадратных уравнений, обязательно посетите наш калькулятор факторинговых трехчленов.
Как решать квадратные неравенства графически?
Решить квадратное неравенство ax² + bx + c > d :
- Проведите линию
y = d. - Определите точки, в которых парабола
ax² + bx + cпересекает/касается этой линии. Чтобы их найти, решитеax² + bx + (c - d) = 0. Если решения нет, ваша парабола находится полностью выше или ниже линии. - Постройте график параболы с учетом результатов шага 2:
- Плечи поднимаются вверх, если
a > 0. - Руки опускаются, если
а < 0.
- Плечи поднимаются вверх, если
- Поскольку в нашем неравенстве стоит знак
>, мы проверяем, где парабола находится строго над линией .
Как пользоваться этим графическим калькулятором квадратных неравенств
Нет ничего проще, чем использовать графический калькулятор квадратных неравенств Omni! Вот краткая инструкция:
- Введите в соответствующие поля коэффициенты вашего квадратного неравенства.
- Не забудьте настроить знак неравенства в соответствии с вашими потребностями.
- Результаты появляются сразу внизу нашего графического калькулятора квадратных неравенств!
- Наш инструмент выдает результаты в виде графика , а также в виде интервала .
- Вы можете использовать наш преобразователь неравенства в интервальную запись, чтобы переписать решение в виде неравенств .
Видишь? Как и было обещано, с нашим инструментом в закладках вам больше никогда не придется мучиться с вопросом о том, как построить график квадратного неравенства!
Примеры построения графиков квадратных неравенств
В этом заключительном разделе мы приводим несколько примеров построения графиков решений квадратных неравенств, чтобы вы могли проверить, хорошо ли вы уже понимаете, как рисовать квадратные неравенства.
Пример 1.
Давайте обсудим, как изобразить квадратное неравенство -x² + 3x - 2 ≥ 0 .
Сначала проводим линию y = 0 . Очевидно, она совпадает с горизонтальной осью. Перейдем к параболе. С a = -1 , мы видим, что парабола будет направлена вниз. Нам нужно решить
-x² + 3x - 2 = 0 ,
, чтобы определить, где оно пересекает горизонтальную ось.
Используя один из многих способов решения квадратных уравнений, находим, что х = 1 или х = 2 .
Поскольку у нас есть знак ≥ , нас интересуют точки, в которых парабола находится выше или точно на оси. Теперь легко заключить, что наше неравенство выполняется, когда 1 ≤ x ≤ 2 , или, в интервальной записи, x ∊ [1, 2] .
Пример 2.
Нарисуем квадратное неравенство:
x² + 2x + 3 > 2
Как и прежде, проведем горизонтальную линию, соответствующую правой части нашего неравенства: y = 2 . Мы видим, что у нас есть a > 0 в нашем квадратном трехчлене, поэтому руки будут идти вверх. Чтобы точно определить, где парабола пересекает линию, нам нужно решить уравнение:
х² + 2х + 3 = 2 .
Прибавив -2 к обеим сторонам, мы получим:
x² + 2x + 1 = 0
Мы распознали совершенный квадратный трехчлен! Далее мы можем преобразовать его с помощью короткой формулы умножения:
(x + 1)² = 0
Итак,
x + 1 = 0
И, наконец, мы получаем:
3 x
2 = -1
Следовательно, парабола не пересекает линию, а касается ее (и осторожно!) в точке х = -1 .
Поскольку мы имеем дело с неравенством
x² + 2x + 3 > 2 ,
, мы ищем аргументы, где парабола находится строго над прямой. Следовательно, наше неравенство выполняется для каждого аргумента x , кроме того, где парабола касается прямой, поэтому для x ∊ ℝ \ {-1} .
Пример 3.
Наконец, мы обсудим, как решить 2x² + 3x + 4 < 1 с помощью графика.
Сначала конечно рисуем горизонтальную линию г = 1 . Далее решаем
2x² + 3x + 4 = 1 .
Итак, прибавив -1 к обеим сторонам, получим:
2x² + 3x + 3 = 0 .
Начинаем применять формулу квадрата:
Δ = 3² - 4 × 3 × 3 = 9 - 12 = -3 .
Поскольку дискриминант Δ отрицателен, мы знаем, что рассматриваемое уравнение не имеет (действительных) решений, и поэтому наша парабола не пересекает/не касается горизонтальной линии. Поскольку эта парабола направлена вверх ( a = 2 ), следует, что он полностью лежит над линией.
И наше неравенство требует точек, в которых парабола находится строго под прямой (знак '<'). Делаем вывод, что решений нет: x ∊ ∅ .
Вы можете воспользоваться графическим калькулятором квадратных неравенств, чтобы просмотреть все эти примеры, а также создать свои собственные. Помните, что практика делает совершенным!
Часто задаваемые вопросы
Как построить график решения квадратного неравенства?
Решения квадратных неравенств можно отображать в виде интервалов или объединений (не более двух) интервалов на числовой прямой. Этот метод очень похож на построение графика абсолютных значений неравенства. Однако для точного нахождения граничных точек интервалов придется решать квадратное уравнение, используя, например, квадратичную формулу.
Как построить график системы квадратных неравенств?
Чтобы построить график системы квадратных неравенств, вам нужно тщательно изобразить эти неравенства одно за другим на общем графике, а затем найти все аргументы, где выполняются все неравенства.
Как решить x²
< 1 с помощью графика?- Нарисуйте параболу
y = x²: она касается горизонтальной оси в точкеx = 0, а ее лучи направлены вверх. - Начертить горизонтальную линию
г = 1. - Найти, где парабола находится строго под линией: для
-1 < x < 1. - Вот оно! Ваше неравенство верно для
x ∊ (-1, 1), и вы решили его графически!
Квадратичные неравенства — Алгебра II
Все ресурсы по Алгебре II
10 Диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Помощь по алгебре II » Промежуточная алгебра с одной переменной » Квадратные уравнения и неравенства » Решение квадратных уравнений » Квадратные неравенства 9С 2 трудно работать, поэтому мы умножаем на -1.
Теперь мы можем легко факторизовать.
По свойству нулевого произведения каждый из этих факторов будет равен 0.
их, чтобы узнать, в какую область входит наш набор ответов. Давайте проверим x = 0 в исходном неравенстве.
Поскольку это утверждение неверно, область между -9 и 1 неверна. Так что это должна быть область по обе стороны от этих точек. Поскольку исходное неравенство было меньше или равно, граничные точки включены. Таким образом, все значения от -бесконечности до -9 включительно и от 1 включительно до бесконечности являются решениями. В интервальных обозначениях запишем это как:
Сообщить об ошибке
Решите следующее квадратное неравенство:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала мы хотим переписать квадратное число в стандартной форме:
Теперь мы хотим установить его = 0, факторизовать и решить как обычно.
Используя свойство нулевого произведения, оба множителя дают ноль:
Таким образом, два нуля - это -2 и 3, и они будут обозначать границы нашего интервала ответов. Чтобы выяснить, находится ли интервал между -2 и 3 или с любой стороны, мы просто берем контрольную точку между -2 и 3 (например, x = 0) и оцениваем исходное неравенство.
Поскольку приведенное выше утверждение верно, мы знаем, что интервал решения находится между -2 и 3, в той же области, где мы выбрали нашу контрольную точку. Поскольку исходное неравенство было меньше или равно, мы включаем конечные точки.
Следовательно, .
Сообщить об ошибке
Каков дискриминант следующего квадратного уравнения:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Дискриминант квадратного уравнения в форме равен .
Однако данное уравнение не имеет такой формы, поэтому мы должны сначала умножить его, чтобы привести его к этой форме. Отсюда получаем:
Таким образом, у нас есть , , и . Таким образом, наш дискриминант:
Поэтому правильный ответ -
Отчет о ошибке
Решение. Пояснение:
1. Перепишите уравнение в стандартной форме.
2. Приравняйте уравнение к и решите с помощью факторинга.
Итак, и – наши нули.
3. Проверьте точку между нулями, чтобы узнать, находится ли интервал решения между ними или по обе стороны от них. (Попробуйте проверить , подставив его в исходное неравенство.)
Поскольку приведенное выше утверждение верно, решением является интервал между и .
Сообщить об ошибке
Решите это неравенство.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала объедините похожие термины.
Коэффициент
Нули равны 3 и 8, поэтому числовую прямую можно разделить на 3 части.
X<3 работает, 3
Сообщить об ошибке
Решите:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начните с установки неравенства на ноль и решения для .
Теперь нанесите эти две точки на числовую прямую.
Обратите внимание, что эти два числа эффективно делят числовую прямую на три области:
, , и
Теперь выберите число в каждой из этих областей и подставьте его обратно в факторизованное неравенство, чтобы увидеть, какие случаи верны. .
Для , пусть
Поскольку это не меньше , решение этого неравенства не может лежать в этой области.
Для , пусть .
Поскольку это сделает неравенство верным, решение может лежать в этой области.
Наконец, для , пусть
Поскольку это число не меньше нуля, решение не может лежать в этой области.
Таким образом, решение этого неравенства
Сообщить об ошибке
Решите:
Возможные ответы:
Решение не может быть определено с предоставленной информацией.
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала установите неравенство равным нулю и найдите .
Теперь нанесите эти два числа на числовую прямую.
Обратите внимание, как эти числа делят числовую прямую на три области:
Теперь вы выберете число из каждой из этих областей для проверки, чтобы снова подключиться к неравенству, чтобы убедиться, что неравенство верно.
Для , пусть
Поскольку это не меньше нуля, решение неравенства не может быть найдено в этой области.
Для , пусть
Поскольку это меньше нуля, решение находится в этой области.
Для , пусть
Поскольку это не меньше нуля, решение не найдено в этой области.
Тогда решение для этого неравенства: Объяснение:
Начните с замены знака меньше на знак равенства и найдите .
Теперь нанесите эти два числа на числовую прямую.
Обратите внимание на то, как числовая линия разделена на три области:
Теперь выберите число из каждой из этих областей, чтобы снова подставить его в неравенство, чтобы проверить, выполняется ли неравенство.
Для , пусть
Поскольку это число не меньше нуля, решение не может быть найдено в этой области.
Для , пусть
Поскольку это число меньше нуля, решение можно найти в этой области.
Для сдачи в аренду.
Так как это число не меньше нуля, решение не может быть найдено в этой области.
Поскольку решение отрицательно только в интервале , это должно быть решением.
Сообщить об ошибке. Объяснение:
Сначала установите неравенство равным нулю и найдите .
Теперь нанесите эти два числа на числовую прямую.
Обратите внимание, как эти числа делят числовую прямую на три области:
Теперь вы выберете число из каждой из этих областей, чтобы проверить, чтобы снова подключиться к неравенству, чтобы убедиться, что неравенство верно.
Для , пусть
Поскольку это решение больше или равно , решение может быть найдено в этой области.
Для , пусть
Поскольку это меньше или равно , решение не может быть найдено в этой области.
Для , пусть
Поскольку это больше или равно , решение можно найти в этой области.
Поскольку решение можно найти в каждом отдельном регионе, ответом на это неравенство является
Сообщить об ошибке
Какое значение для удовлетворило бы неравенству ?
Возможные ответы:
Недостаточно информации для решения
Правильный ответ:
Объяснение:
Во-первых, мы можем разложить квадратное число на множители, чтобы лучше понять его график. Факторинг дает нам: . Теперь мы знаем, что квадратичный имеет нули в и . Кроме того, эта информация показывает, что квадратичная функция положительна. Используя эту информацию, мы можем нарисовать такой график:
Мы можем видеть, что парабола находится ниже оси x (другими словами, меньше чем ) между этими двумя нулями и .
Единственным значением x, удовлетворяющим неравенству , является .
Значение работало бы, если бы неравенство было инклюзивным, но поскольку оно строго меньше, чем, а не меньше или равно , это значение не будет работать.
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по алгебре II
10 Диагностические тесты 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Решение Квадратичные неравенства: понятия (стр. 1 из 3) Решение линейных неравенств,
например " х + 3 > 0", было
довольно просто, если вы не забыли перевернуть неравенство
знак всякий раз, когда вы умножали или делили на минус (как вы
будет при решении чего-то вроде "2 x < 4"). Но есть большой скачок, между линейными неравенствами и квадратными неравенствами. Часть прыжка заключается в том, что концепции, которые были пропущены при обучении решению линейные неравенства полезны и даже необходимы при решении квадратных неравенств. Итак, давайте сначала рассмотрим линейное неравенство и рассмотрим те понятия, которые были пропущены ранее.
Я это уже знаю, чтобы решить это неравенство, все, что мне нужно сделать, это добавить 4 на другую сторону, чтобы получить решение " x < 4". Итак, Я уже знаю, какой ответ. Но теперь я подойду к этой проблеме под другим углом, рассмотрев связанный граф с двумя переменными.
Неравенство " х 4 < 0"
спрашивает "когда линия и = x 4 ниже
строка и = 0?" Так как
строка и = 0 - это просто ось x ,
поэтому неравенство спрашивает: «когда линия и = x 4 ниже
ось x ?"
Первый шаг к ответу на этот вопрос — найти, где проходит линия
пересекает x - ось;
то есть сначала мне нужно найти x -перехват. Итак, строка и = х 4 креста ось x при разрешении x = 4. Так как линия г = х 4 прямая линия, она будет выше x -ось на одной стороне точки пересечения и ниже оси x по ту сторону перехвата. Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены
Вспоминая о графический метод представления решений линейных неравенства, приведенный выше график показывает правильное решение " x < 4 ". То есть, взглянув на
график связанной линии и определение, где (на оси x )
линия графика находилась ниже оси x ,
легко увидеть, что решение неравенства " х 4 < 0"
неравенство " х < 4". Рассмотрим квадратичный неравенство:
Сначала мне нужно посмотреть в связанном уравнении с двумя переменными, y = х 2 + 4, и рассмотрим, где его график находится ниже x - ось. Для этого мне нужно знать, где график пересекает ось x . То есть мне сначала нужно найти где х 2 + 4 равно нулю: Это говорит о том, что квадратичный пересекает ось x при разрешении x = 2 и при x = 2, Теперь мне нужно понять
где (то есть на каких интервалах) график находится ниже оси.
Тогда решение четко: х < 2 или x > 2 Я мог бы умножить
исходное неравенство через 1,
дай мне" x 2 4 > 0". Верх | 1 | 2 | 3 | Вернуться к индексу Далее >>
| |||||||||||||||||||||||||||
Поэтому я установил и .
равно нулю и решить:
Это происходит в левой части точки пересечения:
Вы можете
следуйте тому же методу поиска перехватов и использования графиков для решения
неравенства, содержащие квадратные числа.
Но это легко! Поскольку это «отрицательный» квадрат,
графики
в виде перевернутой параболы.
нули были бы такими же: x = 2 и х = 2. Но эта парабола
был бы правильным, поскольку квадратичный был бы «положительным».
Это нормально, потому что, умножая на 1,
Я бы перелистнул неравенство, так бы искал где
квадратичный на 90 793 больше, чем 90 796 нулей (то есть там, где парабола над по оси). Поскольку парабола была бы направлена вверх,
график был бы над осями на концах; так что решение
получилось бы так же, как и раньше: х < 2 или x > 2: