Свойства определителей — веб-формулы
Свойства определителей:
· Let A BE N × N MATRIX и C BE Scalar Then:
· Предположим, что A , B и C Al All 7 B и C B и C . n × n матриц и что они отличаются только строкой, скажем, k -й -й строкой. Далее предположим, что k th ряд C можно найти, сложив соответствующие записи из k th рядов A 8 и
7 9. Тогда в этом случае у нас будет:
Тот же результат будет иметь место, если мы заменим строку слова столбцом выше.
· Если A и B являются матрицами одинакового размера, то:
· Предположим, что A является обратимой матрицей, тогда:
· Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда det(
необратимо часто называют единственного числа . · Если A является квадратной матрицей, то:
· Если A является квадратной матрицей со строкой или столбцом, состоящим из нулей, тогда:
det( A ) = 0 и поэтому A будет единственное число.
· Предположим, что A является треугольной матрицей размера n × n , тогда:
· Если две строки (или столбца) поменять местами, знак определителя изменится.
Пример 1 : Для приведенной ниже матрицы вычислить как det( A ), так и det(2 A ).
Также проверьте свойство det(c A ) = c n det( A ).
Решение: Прежде всего, мы найдем скалярные кратные данной матрицы.
Определители:
дет( А ) = 45
det(2 A ) = 360 = (8)(45) = 2 3 det( A )
Следовательно, свойство проверено.
Пример 2: Пусть A будет n × n матрица.
(a) det( A ) = det( A T )
(b) Если две строки (или столбца) A равны, то det( A ) = 0,
(c) Если строка (или столбец) числа A полностью состоит из 0, то det( A ) = 0,
Проверьте приведенные выше свойства определителей для следующих матриц:
Решение:
Имущество (а) содержит
Свойство (б) выполнено.
Свойство (c) выполнено.
Пример 3 : Рассмотрим следующие три матрицы.
Убедитесь, что det( C ) = det(
Решение: Во-первых, обратите внимание, что мы можем записать C как:
Все три матрицы отличаются только второй строкой и второй строкой из 9.0003 C можно найти, сложив соответствующие записи из второй строки A и B .
Определители этих матриц:
дет( А ) = 15
дет( В ) = -115
det( C ) = -100 = 15 + (-115)
Следовательно, свойство проверено.
Определитель матрицы
Определитель — уникальный номер, связанный с квадратом матрица. В этом уроке мы покажем, как вычислить определитель для любой квадратной матрицы, и введем обозначения для определителей матриц.
Обозначение определителя
Существует как минимум три способа обозначения определителя квадратной матрицы.
- Обозначим определитель вертикальными линиями вокруг названия матрицы; Таким образом определитель матрицы A будет обозначаться как | А |.
- Другой подход заключается в заключении матричных элементов в вертикальные прямые линии, как показано ниже.
| | А | = |
|
- И, наконец, некоторые ссылки относятся к определителю А как Дет А .
Таким образом,
| А | = Det A .
Таким образом,
| А | = Det A .На этом сайте мы будем использовать первый вариант; то есть будем см. определитель A как | А |.
Как вычислить определитель матрицы 2 x 2
Предположим, A представляет собой матрицу 2 x 2 с элементами A i j , как показано ниже.
| А = |
|
Мы вычисляем
определитель A по следующей формуле.
| А | = ( А 1 1 * А 2 2 ) — ( А 1 2 * А
Как вычислить определитель матрицы
n x n МатрицаФормула для вычисления определителя матрицы 2 x 2 (показана выше) на самом деле частный случай общего алгоритма вычисления определителя любую квадратную матрицу.
| А | = Σ ( + ) А 1 q А 2 р А 3 с . . . A n z
Этот алгоритм требует некоторого пояснения. Вот ключевые моменты.
- Определитель – это сумма членов произведения, состоящая из элементов из матрицы.
- Каждое выражение продукта состоит из n элементов матрицы.
- Каждый термин продукта включает один элемент из каждой строки и один элемент из каждого столбца.
- Количество терминов продукта равно n ! (где n ! относится к n факториал).
- По соглашению элементы каждого термина продукта располагаются в в порядке возрастания левого (или обозначающего строку) нижнего индекса.
- Чтобы найти знак каждого термина продукта, мы подсчитываем количество инверсии нужно поставить правую (или столбцовую) индексы в порядке номеров. Если число инверсий четный, знак положительный; если нечетно, знак отрицательный.
Если вы не компьютер, это объяснение, вероятно, все еще сбивает с толку, поэтому
давайте работать на примере.
Предположим, что A представляет собой матрицу 3 x 3 с элементами A i j , как показано ниже.
| А = |
|
Для начала давайте перечислим термин каждого продукта. При составлении этого списка
мы расположим элементы каждого термина продукта в порядке возрастания
их нижнего индекса, обозначающего строку.
| А | = Σ ( + ) A 1 q A 2 r A 3 s . . . A n z
| А | знак равно + А 1 1 А 2 2 А 3 3 + А 1 2 А 2 3 А 3 1 + А 1 3 А 2 1
Оставшаяся задача
состоит в том, чтобы найти знак для каждого члена произведения. Для этого считаем
число инверсий, необходимых для размещения элементов в порядке возрастания их
индекс, обозначающий столбец.Чтобы продемонстрировать, как считать инверсии, рассмотрим два условия продукта.
- Учитывать второй термин продукта в списке: . Чтобы расположить все индексы, обозначающие столбцы, в порядке возрастания, нам нужно переместить A 3 1 с конца срока на конец перед сроком, что приводит к: 9. Это движение считается двумя инверсиями, так как мы двигались A 3 1 на две позиции влево. Так как два — четное число, знак этого термина продукта должен быть положительным.
- Рассмотрим
последний термин продукта в списке: А 1 1 А 2 3 А 3 2 . Чтобы расположить все индексы, обозначающие столбцы, в порядке возрастания,
нам нужно поменять местами второй и третий элементы, что приводит к:
.
Это считается за одну инверсию, так как мы переместили A 3 2 на одну позицию влево.
Поскольку единица нечетное число, знак
этого термина продукта должен быть отрицательным.
Чтобы расположить все индексы, обозначающие столбцы, в порядке возрастания,
нам нужно поменять местами второй и третий элементы, что приводит к:
.
Это считается за одну инверсию, так как мы переместили A 3 2 на одну позицию влево.
Поскольку единица нечетное число, знак
этого термина продукта должен быть отрицательным.Если мы повторим этот процесс для каждого из других условий продукта, мы получаем следующую формулу для определителя матрицы 3 x 3.
| А | = Σ ( + ) A 1 q A 2 r A 3 s . . . A n z
| А | знак равно + А 1 1 А 2 2 А 3 3 + А 1 2 А 2 3 А 3 1 + А 1 3 А 2 1 А 3 2 — А 1 3 А 2 2 А 3 1 — А 1 2 А 2 1 А 3 3 — A 1 1 A 2 3 A 3 2
Мы можем использовать тот же процесс для составления детерминанта для любого размера.
Однако по мере того, как матрица становится больше, количество терминов продукта увеличивается.
очень быстро. Например, матрица 4 x 4 будет иметь 4! или 24 термина;
матрица 5 х 5, 120 терминов; матрица 6 x 6, 720 терминов и так далее.
Матрица 10 x 10 будет содержать 3 628 800 терминов. Вы же не хотите, чтобы
вычислить определитель большой матрицы вручную.
Проверьте свои знания
Задача 1
Какой определитель матрицы A ?
| А = |
|
(А) -7
(Б)-28
(С) 7
(Г) 28
(E) Ничего из вышеперечисленного
Решение
Правильный ответ (D), основанный на алгоритме определения матрицы
показано ниже.
| А | = Σ ( + ) A 1 q A 2 r A 3 s . . . A n z
Поскольку A представляет собой матрицу 2 x 2, мы знаем, что определитель алгоритм имеет 2 ! или 2 условия продукта. И каждый товарный термин включает один элемент из каждой строки и один элемент из каждого столбца. Мы перечисляем условия продукта ниже, с элементами каждого термина продукта, расположенного в порядке возрастания левой части (или обозначающий строку) нижний индекс.
| А | знак равно + А 1 1 А 2 2 + A 1 2 A 2 1
Чтобы определить, предшествует ли каждому термину продукта знак плюс или минус,
мы считаем инверсии, необходимые для
расположите все индексы, обозначающие столбцы, в порядке возрастания.