Онлайн решение по теореме виета: Калькулятор онлайн — Решение квадратного уравнения (с подробным решением)

Теорема Виета. Решение задач 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

Теорему Виета мы доказали на прошлом уроке. Она связывает корни квадратного уравнения и коэффициенты этого уравнения. Напомним ее:

 

Числа ,  являются корнями уравнения ,  тогда и только тогда, когда пара  является решением системы:

Cфера применения теоремы Виета весьма обширна. Здесь мы рассмотрим основные типы задач, в которых она применяется.

Прежде всего, теорема Виета дает еще один способ нахождения корней уравнения и их проверки.

 

Задача 1

 

 

Найти и проверить корни уравнения .

 

Решение

Во-первых, корни мы можем найти через дискриминант:

a) 

Итак, корни найдены, их надо проверить.

Первый способ проверки – подстановка в исходное уравнение. Второй способ – подставить корни в теорему Виета. Используем второй способ:

 – верно

Корни найдены правильно.

Ответ: ; .

b) Кроме того, теорема Виета дает новый способ нахождения корней:

Если разложить  и зная, что сумма корней равна -7, можно легко подобрать корни уравнения.

Получили тот же самый ответ.

Ответ:; .

Итак, на примере данного несложного примера мы показали, что теорема Виета позволяет проверить корни и найти эти корни методом подбора.

 

Задача 2

 

 

Найти корни уравнения

 

Это уравнение можно решить через дискриминант, но это очень неудобно.

Взглянув на это уравнение можно заметить, что  является корнем уравнения.

Один корень мы подобрали, как найти второй? Воспользуемся теоремой Виета, согласно ей произведение корней уравнения:

Подставим в равенство найденный корень:

Итак, нам нужно было решить уравнение. Первый корень мы подобрали, второй нашли по теореме Виета.

Ответ:; .

Теорема Виета позволяет легко найти сумму и произведение корней, не зная самих корней. Это является ключом к решению многих задач, в которых не требуется найти корни, но требуется найти выражения, которые зависят от суммы и произведения корней. В общем виде – найти функцию , которая зависит от суммы корней и от их произведения.

Рассмотрим конкретную задачу.

 

Задача 3

 

 

Для уравнения , найти:

 

a) ;

b) ;

c) .

Решение

Заметим, что дискриминант . Значит, у уравнения существуют два корня, .

Эту задачу можно решить, найдя его корни через дискриминант и произведя над корнями все действия, но можно поступить более изящно, используя теорему Виета.

a) 

Здесь мы выделили полный квадрат суммы, теперь составим систему по теореме Виета:

Подставим в наш пример:

b) Приведем к общему знаменателю:

Значение выражения в знаменателе уже можно найти. В числителе наша цель – выразить сумму кубов через сумму и произведение корней:

Можно подставлять значения:

c) 

Ответ: 11, -36, 119.

Теорема Виета используется в так называемых задачах «с параметрами». Рассмотрим одну из таких задач.

 

Задача 4

 

 

Найти все , при каждом из которых отношение корней уравнения  равно 12.

 

Решение

Есть параметр . При некоторых значениях  у уравнения может вообще не быть корней, при других значениях корни будут , но нужно подыскать такие значения параметра, при которых корни отличаются в 12 раз.

Сформируем систему, из которой мы найдем :

Мы получили систему трех уравнений относительно трех неизвестных: , , .

Решим систему. Заметим, что первые два уравнения зависят только от  и , если мы их решим, то подставим в третье уравнение и найдем .

Подставим значение  из первого уравнения во второе:

Рассмотрим оба варианта :

a) 

Подставляем в третье уравнение:

Первый ответ получен.

b) 

Подставляем в третье уравнение:

Ответ:; .

Задача решена.

Сделаем следующие примечания: при найденных  система

имеет решение, значит, и само квадратное уравнение  имеет решение и проверять дискриминант не нужно. Дискриминант будет больше нуля, поскольку система и квадратное уравнение равносильны в силу теоремы Виета.

 

Заключение

 

 

Мы рассмотрели теорему Виета, применили ее для решения основных типовых задач.

 

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение. 2004.

2.Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт dist-tutor.info (Источник)

3. Интернет-сайт mathematics-repetition.com (Источник)

 

Домашнее задание

1. Используя теорему Виета, найти корни уравнения .

2. При каких значениях параметра  сумма квадратов корней уравнения  равна 4?

3.  и  – корни уравнения . Найдите значение выражений:

А)

Б) 

 

Теорема Виета — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1.

Теорема Виета* Теорема
Виета
Классификация видов квадратных уравнений
Квадратные уравнения
неполное
полное
ах2+вх+с=0
ах2+вх=0
ах2+с=0
в=0
с=0
ах2=0
с=0,в=0
приведённое
х2+pх+q=0

3. Обратим внимание

*Обратим внимание
* Ещё одно интересное соотношение – дискриминант
уравнения равен квадрату разности его корней:
D=(x1-x2)2.

4. Теорема Виета

* Теорема Виета
Франсуа Виет (1540–1603) родился во
Франции. Разработал почти всю
элементарную алгебру; ввёл в алгебру
буквенные обозначения и построил
первое буквенное исчисление.
Теорема
Виета
Искусство,
которое
я
излагаю,
ново…Все
математики знали, что под их алгеброй были
скрыты несравненные сокровища, но они не умели
их найти: задачи, которые они считали наиболее
трудными, совершенно легко решаются с помощью
нашего искусства.
Франсуа
Виет.
Приведённое квадратное
уравнение.
Квадратное уравнение вида
x px q 0
2
называется приведённым (а=1).
Квадратное уравнение общего вида можно привести
к приведённому:
2
ax bx c 0 : a
b
c
x x 0
a
a
2
где
b
c
p ,q .
a
a

7. Теорема Виета.

*Теорема Виета.
Если приведённое квадратное уравнение
х2+px+q=0 имеет неотрицательный
дискриминант, то сумма корней этого уравнения
равна коэффициенту при Х, взятому с
противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену.
х1+х2=-p,
х1·х2=q

8. Теорема, обратная теореме Виета

*
Теорема, обратная теореме Виета
Если для чисел х1, х2, p, q
справедливы формулы
х1+х2=-p,
х1·х2=q
то х1 и х2 – корни
уравнения
х2+px+q=0

9. Пусть ax2+bx+c=0 квадратное уравнение общего вида

Теорема Виета:
Если квадратное уравнение общего
вида
имеет
неотрицательный
дискриминант и если х1 и х2 – корни
уравнения, то
х1 +х2=-b/a
х1 ·х2= c/a
*
Пусть ax2+bx+c=0 квадратное уравнение
общего вида
Прямая теорема:
Обратная теорема:
Если х₁ и х₂ — корни уравнения
х² + px + q = 0.
Тогда числа х₁, х₂ и p, q
связаны равенствами
Тогда х₁ и х₂ — корни
уравнения
х² + px + q = 0.
Числа х₁ и х₂ являются корнями
приведенного квадратного
уравнения х² + px +q = 0 тогда и
только тогда, когда
x₁ +х₂ = — p, x₁ ∙ x₂ = q
Применение теоремы Виета
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
у 2 41 у 371 0
х1 х2 -41
х1 х2 -371
х 210 х 0
х1 х2 210
х1 х2 0
х 15 х 16 0
х1 х2 15
х1 х2 -16
х 6 х 11 0
х1 х2 6
х1 х2 -11
2
2
2
МОУ СОШ с.Кувак-Никольское учитель
Никулкина О.А.

12. 1. Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. 2. Если произведение корней –

Если произведение и сумма корней – положительные, то оба
корня – положительные числа.
2. Если произведение корней – положительное число, а сумма
корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа.
3. Если произведение корней – отрицательное число, то корни
имеют разные знаки.
А) если сумма корней – положительная, то больший по
модулю корень является положительным числом,
Б) если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю
корень – отрицательное число
Найдём корни уравнений.
№
п/п
Уравнение
х2 + px + q = 0
x2
x1+x2 x1∙x2
p
q
x1
1 х2 + 5x + 6 = 0
5
6
-2
-3
-5
2 х2 – 5x — 6 = 0
-5
-6
6
-1
5
-6
3 х2 – 7x + 6 = 0
-7
6
6
1
7
6
4 х2 + x – 6 = 0
1
-6
-3
2
-1
-6
6
№
Уравнения
Исследование
существования
корней
1
х2-х-6=0
a>0,c<0,D>0-2
различных корня
2
3
4
5
6
7
х2+х-6=0
х2+х+6=0
х2+5х-6=0
х2+5х+6=0
х2-6х+8=0
х2-2х+3=0
a>0,c<0,D>0-2
различных корня
a>0,c>0,D<0
х1+х2
1
-1
х1·х2
х1
х2
-6
3
-2
-6
-3 2
Нет корней
a>0,c<0,D>0-2
различных корня
-5
-6
a>0,c>0,D>0
2 различных
корня
-5
6
-3
-2
a>0,c>0,D>0
2 различных
корня
6
8
4
2
a>0,c>0,D<0
-6 1
Нет корней

15.

Решите уравненияНайдите сумму и произведение
корней
х1+х2=-3+5=2
х1+х2=2+4=6
х1+х2=-3+13=10
Найдите для каждого уравнения
соответствующие корни, пользуясь теоремой
Виета:
а) x2 — 2x — 3=0
x 1 = -1
x2 = 3
b) x2 — 7x + 10=0
x 1 = -5
x2 = -5
c) x2 + 12x + 32=0
x1= 5
x2 = 2
d) x2 + 3x — 18=0
x 1 = -6
x2 = 3
e) x2 + 10x + 25=0
x1= — 4
x2 = — 8

17. Определите корни квадратного уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета:

х1 =-6, х2 =-1
х1 =6, х2 =2
х1 =3, х2 =-2
х1 =16, х2 =-1
Х1 =-12, х2
=1
Задача:
При каком значении q уравнение
x2 6 x q 0
имеет корни, один из которых в 2 раза больше
другого?
x 2x
2
1
Решение:
По теореме, обратной теореме Виета:
Пусть
, тогда
x1 2 x1 6 3×1 6
2
x
2
x
q
1 1
2 x1 q
Ответ: при q = 8.
x1 x2 6
x1 x2 q
x1 2
q 8
2
2
2
q
Окончен урок, и выполнен
план.
Спасибо, ребята, огромное вам.
За то, что упорно и дружно
трудились,
И знания точно уж вам
пригодились.

English     Русский Правила

Математика

Вот несколько ресурсов, которые я разработал. Многие из них специально для математических состязаний, в основном потому, что на это я тратил большую часть моих школьных лет, сосредоточенных на; надеюсь в будущем материал здесь будет расширяться в другие области математики.

Наборы задач

• Самодельные задачи (обновлено 21.05.2022): Это сборник (многих) задач, которые я представил и которые участвовал в различных математических олимпиадах в течение последних нескольких лет. годы. Решения не дано, но есть ссылки на последней странице которые перенаправляют в места, где можно найти множество решений.

• 100 задач по геометрии: преодоление разрыва между AIME и США (J) MO: Это PDF-файл, который я составил летом 2014 года в качестве проекта для мой 4000-й пост об искусстве решения проблем. Он состоит из, как название предлагает 100 задач, начиная от среднего AMC до раннего USAMO. Это выглядит что ниша для этого проекта стала более тесной в последнее время с ВГМО и леммы был опубликован недавно, но я все еще думаю, что это хорошо для бесплатного упражняться.

• Тренировочный набор AIME 2015 (растворы) : Это набор задач, для которых я составил Практика АИМ. Проблемы здесь не от AIME или AMC — вместо этого, они из менее известных конкурсов, таких как HMMT, iTest и Mandelbrot. Они варьируются от раннего AIME до позднего AIME по сложности.

Раздаточный материал Математической лиги

Начиная со второго курса и заканчивая последним годом старшей школы, я помогал вести математический клуб средней школы. Это включало, среди прочего, создание и проведение внеклассных занятий, которые вращались вокруг одной темы. Здесь большинство моих раздаточных материалов с младших и старших классов; эти раздаточные материалы вероятно, есть некоторые недостатки, но, надеюсь, они могут быть полезны для некоторых из вас.

Алгебра

• Алгебраический Манипуляции: Раздаточный материал, который охватывает основы задачи на алгебраические манипуляции. Особое внимание уделяется умные манипуляции с системами уравнений, чтобы минимизировать необходимое количество грубой силы.

• Последовательности и серии: A раздаточный материал, который включает в себя различные типы последовательностей и серий, больше в частности, арифметические, геометрические и телескопические.

• Формулы Виета: А стандартный PDF-файл, охватывающий формулы Виета в основном в квадратичных и кубические корпуса.

Комбинаторика

• Введение в счет и Вероятность: Раздаточный материал, в котором обсуждаются три основных метода комбинаторике, а именно конструктивному счету, разбору случаев и дополнительный счет. Акцент в этом раздаточном материале сделан на выяснении какой из трех методов применить в той или иной ситуации, как я считают, что это одна из главных причин того, что комбинаторика так жесткий.

Геометрия

• Погоня за углом: Мини-лекция о техника погони за углом, в основном ограниченная проблемами уровня AMC. Краткость этого PDF-файла связана с тем, что эта лекция вышла после наш математический клуб провел конкурс Мандельброта.

• Аналогичные фигуры: Раздаточный материал о сходство в отношении проблем AMC и AIME. Это предполагает, что читатель уже знаком с подобными треугольниками. Основное внимание здесь уделяется как нетривиальных применениях подобных треугольников, так и на последствиях двух общие цифры похожи (отсюда и название документа).

Теория чисел

• Введение в число Теория: Как следует из названия, раздаточный материал, в котором очень основные идеи в теории чисел. Хотя некоторые материалы сами по себе немного не хватает, задачи, которые, как мне кажется, служат хорошим введением в теорию чисел. интуиция. Источники этих проблем, к сожалению, закомментированы в файл .tex; если вам интересно узнать, что они из себя представляют, дайте мне знать.

• Диофант Уравнения: Очень простой обзор некоторых простых методов (а именно факторинг) относительно решения диофантовых уравнений на уровне АМС.

• Модульная арифметика: An Введение в модульную арифметику. Раздаточный материал начинается с определение классов остатков и построение до более сложных вычислений. В качестве предупреждения, лучше всего начинать с этого, имея предварительное знание что такое модульная арифметика; хотя я хотел, чтобы это было введение, на самом деле это слишком быстро строится, чтобы его можно было рассматривать в качестве таких.

Разные безделушки

Этот раздел включает в себя раздаточные материалы или другие вещи, которые не вписываются в вышеперечисленное. две рамки. Я ожидаю, что этот раздел скоро станет намного больше.

• Геометрическое введение в коники (новый!): Статья, посвященная основам геометрического подхода к коническим сечениям. Этот материал заслуживает гораздо большей любви, чем сейчас.

• Сумма исчислений: В статье обсуждаются различные способы использования методы исчисления для вычисления различных сумм. Предназначен для бакалавра или продвинутая аудитория старшей школы, которая немного знакома с дифференциацией и интеграция.

• Проблемы с записью слайдов: Слайды из выступления, которое я сделал на AwesomeMath Puget Sound 2019 во время лето. Немного другая версия доклада, который я дал ранее летом (во время сессии Корнелла I) можно найти здесь.

• Коническая геометрия: Слайды из выступления, которое я дал студентам CMU летом 2018 года. На слайдах представлено грубое введение в рассмотрение конических сечений. с синтетической точки зрения. Слайды далеко не полные, поскольку они предназначались только для дополнения разговора.

• Гамма-функция: слайдов из выступления, которое я сделал студентам КМУ зимой 2020 года (подробнее в частности, когда я посещал кампус, чтобы помочь волонтеру ЦМИМС 2020).

• Примечания по алгебраической топологии: Заметки из моего алгебраического Курс топологии осеннего семестра 2018 года. Это впервые Я набираю заметки для курса от начала до конца, и вот определенно довольно грубо, но я счастлив, что мне удалось на самом деле закончить этот масштабный проект, и, надеюсь, я смогу использовать опыт здесь, чтобы сделать будущие конспекты курса более отполированными и яснее.

• Примечания по комплексному анализу: Примечания из моего курса «Комплексный анализ» осеннего семестра 2019 года.

Теорема Виета в иррациональных уравнениях. Формула корней квадратного уравнения

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х 1 + х 2 = -р; х 1 ∙ х 2 = кв.

Найдите корни данного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) х 2 -х-30=0. Это сокращенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 и свободный член q=-30. Во-первых, убедитесь, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражены целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Нахождение дискриминанта D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, т. е. ( -p ), а произведение равно свободному члену, т. е. ( номер ). Тогда:

х 1 + х 2 = 1; х 1 ∙ х 2 = -30. Нам нужно выбрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма равна единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем редуцированное квадратное уравнение со вторым коэффициентом p=6 и свободным членом q=8 . Убедитесь, что есть целые корни. Найдем дискриминант D1 D1 =3 2 -1∙8=9-8=1= 1 2 . Дискриминант D 1 — это полный квадрат числа 9.0009 1 , поэтому корни этого уравнения — целые числа. Выбираем корни по теореме Виета: сумма корней равна –p=-6 , а произведение корней q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом редуцированном квадратном уравнении второй коэффициент p=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D1 , так как второй коэффициент — четное число. D1 =1 2 -1∙(-4)=1+4= 5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому делаем вывод : корни этого уравнения не являются целыми числами и не могут быть найдены с помощью теоремы Виета. Итак, решаем это уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам). Получаем:

Пример 4). Напишите квадратное уравнение, используя его корни, если х 1 = -7, х 2 = 4.

Решение. Искомое уравнение будет записано в виде: х 2 +px+q=0 , причем на основе теоремы Виета –p=x1 +x2 =-7+4= -3 →р=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4= -28 . Тогда уравнение примет вид: х2 +3х-28=0.

Пример 5). Напишите квадратное уравнение, используя его корни, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Сумма корней минус b разделить на a , произведение корней с разделить на a:

x 1 + x 2 = -b/a; х 1 ∙ х 2 = с/а.

Прежде чем перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида х ² + px + q = 0 называется сокращенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3 x — 4 = 0 уменьшается. Любое квадратное уравнение вида x ² + b x + c = 0 можно сделать сокращенным, для этого разделим обе части уравнения на a ≠ 0. Например, уравнение 4 x ² + 4 х — 3 = 0 разделить на 4 приводится к виду: х ² + х — 3/4 = 0. Выводим формулу корней заданного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой для корней общего квадратного уравнения: AX ² + BX + C = 0

. p , c = q. Следовательно, для данного квадратного уравнения формула принимает вид:

последнее выражение называется формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой при R — четное число. Например, решим уравнение х ² — 14 х — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для редуцированного квадратного уравнения с положительными имеет место следующая теорема.

Теорема Виета

Если х 1 и х 2 — корни уравнения х ² + px + q = 0, то справедливы формулы 03:

8

х 1 + х 2 = — R

х 1 * х 2 = q, то есть сумма корней данного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому при противоположный знак, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного выше квадратного уравнения, имеем:

Складывая эти равенства, получаем: х 1 + х 2 = — Р.

Умножая эти равенства, используя Формула разности квадратов, получаем:

Отметим, что теорема Виета верна и при нулевом дискриминанте, если предположить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: .

Не решая уравнения х ² — 13 х + 30 = 0 найдите сумму и произведение его корней х 1 и х 2. это уравнение D = 169 — 13d 4 = 0 u003e 0, поэтому можно применить теорему Виета: х 1 + х 2 = 13, х 1 * х 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — px — 12 = 0 равен x 1 = 4 . Найдите коэффициент R и второй корень x 2 этого уравнения. По теореме Виета х 1 * х 2 = — 12, х 1 + х 2 = — R. Так как х 1 = 4, то 4 х 2 = — 12, откуда 5 х 901 2 = — 3, R = — ( х 1 + х 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем второй корень х 2 = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнения х ² + 2 х — 4 = 0 найдите сумму квадратов его корней. Пусть х 1 и х 2 являются корнями уравнения. По теореме Виета х 1 + х 2 = — 2, х 1 * х 2 = — 4 . As x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² — 2 x 1 x 2 , then x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

Найдите сумму и произведение корней уравнения 3 х ² + 4 х — 5 = 0. Это уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для редуцированного квадратного уравнения. Итак, давайте разделим это уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения х ² + b х + с = 0 связаны следующими равенствами: * x 2 = c/a, Чтобы получить эти формулы, достаточно обе части этого квадратного уравнения разделить на a ≠ 0 и применим теорему Виета к полученному редуцированному квадратному уравнению. Рассмотрим пример, нужно составить заданное квадратное уравнение, корней которого х 1 = 3 , х 2 = 4 . Как x 1 = 3 , x 2 = 4 — корни квадратного уравнения х ² + px + q = 0, тогда по теореме Виета R = — ( х 1 + х 2) = — 65 q 901 = х 1 х 2 = 12. В ответ запишем х ² — 7 х + 12 = 0. При решении некоторых задач используется следующая теорема.

Теорема, обратная к теореме Ветты

, если числа R , Q , x 1, x 2 таковы, что x 1 + x 2 — x 1 + x 2 = x 1 + x 2 — x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = x 1 + x = q , тогда х 1 и х 2 являются корнями уравнения х ² + px + q = 0. Подставляем в левую часть х 900 1 6 0 9 1 6 ² q вместо R выражение — ( x 1 + х 2), но вместо q — получится х 1 * х 2. Получаем: х ² + px + q = х ² — ( х 1 + х 2) х + х 1 х 2 = х 1 х -2 х + х 1 х 2 = (х — х 1) (х — х 2). Таким образом, если числа R , q , х 1 и х 2 связаны этими соотношениями, то для всех х равенство х ² + px + q = (х — х 1) (х — х 2), откуда следует, что х 1 и х 2 — корни уравнения х ² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно найти корни квадратного уравнения путем подбора. Рассмотрим пример: x ² — 5 x + 6 = 0. Здесь R = — 5, q = 6. Выберите два числа x 1 и x 9.0166 2, так что х 1 + х 2 = 5, х 1 * х 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 и 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, мы получаем, что х 1 = 2 , х 2 = 3 — корни уравнения х ² — 5 х + 6 = 0.

Одним из методов решения квадратного уравнения является применение формулы VIETA , которая была названа в честь ФРАНСУА ВЬЕТА.

Он был известным адвокатом и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время он изучал астрономию и математику. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Преимущества формулы:

1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, то отнять от него 4ас, найти дискриминант, подставить его значение в формулу нахождения корней.

2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.

3 . Решив систему двух рекордов, нетрудно найти и сами корни. В приведенном выше квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней приведенного выше квадратного уравнения равно значению третьего коэффициента.

4 . По данным корням составить квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот метод используется при решении задач теоретической механики.

5 . Формулу удобно применять, когда старший коэффициент равен единице.

Недостатки:

1 . Формула не универсальна.

Теорема Виета 8 класс

Формула
Если x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, то:

Примеры
х 1 = -1; х 2 = 3 — корни уравнения х 2 — 2х — 3 = 0.

Р = -2, q = -3.

Х 1 + х 2 = -1 + 3 = 2 = -р,

Х 1 х 2 = -1 3 = -3 = q.

Обратная теорема

Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q связаны условиями:

Тогда x 1 и x 2 являются корнями уравнения x 2 + px + q = 0

Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:

Х 1 = 2 — ? 3 и х 2 = 2 +? 3 .

Р = х 1 + х 2 = 4; р = -4; q = х 1 х 2 = (2 — ? 3) (2 + ? 3) = 4 — 3 = 1.

Искомое уравнение имеет вид: х 2 — 4х + 1 = 0.

Дискриминант, как и квадратные уравнения, начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и дискриминантная формула, довольно неудачно прививается школьникам, как и многое в реальном образовании. Поэтому проходят школьные годы, образование в 9 классе2–4*а*в.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D):
D>0 — уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
DФормула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому многие сайты предлагают онлайн-калькулятор дискриминанта. С подобными скриптами мы пока не разобрались, так что кто знает как это реализовать, просьба писать на почту Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. .

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :

Корни уравнения находятся по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный, то целесообразно вычислять не дискриминант, а его четвертую часть
В таких случаях корни уравнения равны находится по формуле

Второй способ нахождения корней — Теорема Виета.

Теорема сформулирована не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Вы можете прочитать это в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается редуцированных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета состоит в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с обратным знаком. Произведение корней уравнения равно свободному члену. Формулы теоремы Виета имеют обозначения.
Вывод формулы Виета довольно прост. Запишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите, все гениальное одновременно просто. Эффективно использовать формулу Виета, когда разность модулей корней или разность модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения согласно теореме Виета имеют корни

Анализ до 4 уравнений должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, поэтому корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с обратным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с обратным знаком). Отсюда делаем вывод, что решения квадратного уравнения равны x=2; х=3.
Легче выбрать корни уравнения среди делителей свободного члена, исправив их знак, чтобы выполнить формулы Виета. Поначалу это кажется трудным, но с практикой на ряде квадратных уравнений этот прием будет более эффективным, чем вычисление дискриминанта и нахождение корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видим, школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Каков физический смысл дискриминанта?».

Попробуем разобраться

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы изучения функций и построения графиков функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Значит физический смысл квадратного уравнения это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ох
Прошу запомнить свойства парабол, которые описаны ниже. Придет время сдавать экзамены, зачеты или вступительные экзамены и вы будете благодарны за справочный материал. Знак переменной в квадрате соответствует тому, пойдут ли ветви параболы на графике вверх (a>0),

или парабола с ветвями вниз (a

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0), парабола имеет два точки пересечения с осью Ox
Если дискриминант равен нулю (D=0), то парабола вершиной касается оси x
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D

Неполные квадратные уравнения

Любое полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 можно привести к виду x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0 , если сначала разделить каждое слагаемое на коэффициент а до x2 . А если ввести новые обозначения (b/a) = p и (c/a) = q , то мы будем иметь уравнение x 2 + px + q = 0 , которое в математике называется приведенным квадратное уравнение .

Корни редуцированного квадратного уравнения и коэффициенты p и q взаимосвязаны. Это подтверждает теорема Виета , названная в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема . Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p , взятому с обратным знаком, а произведение корней — свободному члену q .

Запишем эти соотношения в следующем виде:

Пусть x 1 и x 2 различных корней редуцированного уравнения x 2 + px + q = 0 . Согласно теореме Виета x1 + x2 = -p и x 1 x 2 = q .

Чтобы доказать это, подставим в уравнение каждый из корней x 1 и x 2. Получаем два верных равенства:

х 1 2 + px 1 + q = 0

х 2 2 + px 2 + q = 0

Из первого равенства вычесть второе. Получаем:

х 1 2 – х 2 2 + р(х 1 – х 2) = 0

Разложим первые два члена по формуле разности квадратов:

(x 1 — x 2)(x 1 — x 2) + p(x 1 — x 2) = 0

По условию корни х 1 и х 2 разные. Следовательно, мы можем сократить равенство на (x 1 — x 2) ≠ 0 и выразить p.

(х 1 + х 2) + р = 0;

(х 1 + х 2) = -р.

Первое равенство доказано.

Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

x 1 2 + px 1 + q = 0 вместо коэффициента p, его равное число равно (x 1 + x 2):

х 1 2 — (х 1 + х 2) х 1 + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получим:

х 1 2 — х 2 2 — х 1 х 2 + q \ u003d 0;

х 1 х 2 = q, что и требовалось доказать.

Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение .

Теорема Виета помогает определить целые корни заданного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает трудности из-за того, что они не знают четкого алгоритма действий, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, данное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0, где x 1 и x 2 – его корни. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 x 2 = q.

Можно сделать следующий вывод .

Если в уравнении перед последним членом стоит знак минус, то корни x 1 и x 2 имеют разные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед результатом ставится знак большего числа по модулю, следует действовать следующим образом:

1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
2. поставить знак второго коэффициента уравнения перед меньшим из полученных чисел; второй корень будет иметь противоположный знак.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 .

Решите уравнение x 2 — 2x — 15 = 0.

Решение .

Попробуем решить это уравнение, используя предложенные выше правила. Тогда можно точно сказать, что это уравнение будет иметь два разных корня, потому что D = b 2 — 4ac = 4 — 4 (-15) = 64 > 0,

Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Ставим перед множителем минус меньшее число, т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получаем корни уравнения х 1 = -3 и х 2 = 5.

Ответ. х 1 = -3 и х 2 = 5.

Пример 2 .

Решите уравнение х 2 + 5 х — 6 = 0,

Решение .

Проверим, имеет ли это уравнение корни. Для этого находим дискриминант:

D = b 2 — 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два разных корня.

Возможные делители числа 6: 2 и 3, 6 и 1. Разница составляет 5 для пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго члена имеет знак плюс, поэтому меньшее число будет имеют один и тот же знак. Но перед вторым числом будет знак минус.

Ответ: х 1 = -6 и х 2 = 1.

Теорема Виета также может быть записана для полного квадратного уравнения. Итак, если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни x 1 и x 2 , то они удовлетворяют равенствам

x 1 + x 2 = -(b/a) и x 1 x 2 = (к/а) . Однако применение этой теоремы к полному квадратному уравнению довольно проблематично, так как при наличии корней хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором фракций довольно сложно. Но все же есть выход.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножьте его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

В этом случае полученное уравнение превратится в редуцированное квадратное уравнение вида t 2 + bt + ac = 0, корни которого t 1 и t 2 (если они есть) можно определить по теореме Виета.

В этом случае корнями исходного квадратного уравнения будет

х 1 = (т 1 / а) и х 2 = (т 2 / а).

Пример 3 .

Решите уравнение 15x 2 — 11x + 2 = 0.

Решение .

Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждый член уравнения на 15:

15 2 х 2 — 11 15х + 15 2 = 0.

Сделаем замену t = 15х.

No related posts.