— Как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
спросил
Изменено 8 лет, 3 месяца назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Как решить эту систему уравнений?
$$\begin{cases} 7(a+b)=b-a \\4(3a+2b)=b-8\end{cases}$$
Progress
Я пробовал и подстановку, и исключение, но когда Я освобождаю $a$ или $b$ с одной стороны, продолжаю получать $a$ или $b$ с другой стороны.
- линейная алгебра
- алгебра-предварительное исчисление
- системы уравнений
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Замените a во втором уравнении
$$4 \cdot (3a+ 2b) = b-8 \Rightarrow 12a + 7b = -8$$
$$7b + 12 \cdot \left( — \dfrac{6}{8}b \right) = -8$$
Это уравнение имеет только $b$ неизвестно, поэтому найдите $b$, затем используйте $b$, чтобы найти $a$
$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка:
Попробуйте выполнить алгебраические вычисления с обоими уравнениями, пока не получите $a$ и $b$ с одной стороны и число с другой.
Затем посмотрите, сможете ли вы «объединить» их вместе.
$\endgroup$
$\begingroup$
$$7(a+b) = b-a \Стрелка вправо 7a+7b=b-a \Стрелка вправо 7a+a=b-7b \Стрелка вправо 8a=-6b \Стрелка вправо a=-\frac{6}{8}b \\ \ Стрелка вправо a=-\frac{3}{4}b\\ 4(3a+2b)=b-8 \Стрелка вправо 12a+8b=b-8 \Стрелка вправо 12a=b-8b-8 \Стрелка вправо 12a=-7b- 8 \overset{a=-\frac{3}{4}b}{\Rightarrow} 12 \left (-\frac{3}{4}b \right ) =-7b-8 \Rightarrow -9b=-7b -8 \Rightarrow -9b+7b=-8 \Rightarrow -2b=-8 \\ \Rightarrow b=4$$
Заменив в $a=-\frac{3}{4}b$ получим $a= -\frac{3}{4}4 \Rightarrow a=-3$
$\endgroup$
$\begingroup$
ВНИМАНИЕ: это нестандартный подход.
В обоих уравнениях изолируйте переменную $a$ в левой части:
$$7(a+b)=b-a\подразумевается 8a=-6b\подразумевается 4a=-3b,$$
$$4(3a+2b)=b-8\подразумевается12a=-7b-8.
$$
Теперь приравняйте два:
$$(12a=)-9b=-7b-8.$$
Это уравнение с одним неизвестным ($b$).
$$-2b=-8\подразумевается b=4,$$
и
$$4a=-3b\подразумевается a=-3.$$
$\endgroup$
Подсказка: из первого уравнения получается $$a=-\frac{3}{4}b.$$
Теперь подставьте это во второе уравнение, и вы получите уравнение в $b$. Решите это (для $b$), затем найдите $a$ (снова), используя тот факт, что $$a=-\frac{3}{4}b.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Вот другой подход:
$\begin{cases} 7(a+b)=b-a \\ 4(3a+2b) = b-8 \end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{ case}8a +6b=0\\12a+7b=-8 \end{case}$
Затем
$\begin{bmatrix} 8&6&0\\12&7&-8\end{bmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{bmatrix} 1&3/4&0\\12&7&-8 \end{bmatrix}$ $\Leftrightarrow $ $\begin{bmatrix}1&3/4&0\\0&-2&-8\end{bmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{bmatrix}1&3/4&0\\0&1&4\end{bmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $ \begin{bmatrix}1&0&-3\\0&1&4\end{bmatrix}$
В результате $a=-3$ aи $b=4$.
$\endgroup$
Math 1010 онлайн — Подробнее о линейных системах
Math 1010 онлайн — Подробнее о линейных системахКафедра математики — Колледж науки — Университет Юты
Количество решений
Большинство линейных систем, с которыми вы столкнетесь, будут иметь ровно одно решение. Однако возможно, что решений нет или их бесконечно много. (Невозможно, чтобы было ровно два решения.)
Давайте посмотрим поближе. В любом расследовании никогда не помешает посмотреть сначала в самом простом случае. Итак, рассмотрим еще раз сингл уравнение
где и – параметры, а – переменная, значение необходимо определить. Возможны три случая:- В этом случае деление на с обеих сторон
дает
и . В этом случае превращается в . Так как невозможно нет решения .
и . В таком случае превращается в что справедливо для всех чисел. Есть бесконечно много решения.
Поскольку мы рассмотрели все возможности выше, ясно, что это невозможно иметь точно , или , или какое-либо конечное число решений. Сравните это, например, с квадратные уравнения, которые могут иметь , , или , но никогда любое другое количество (действительных) решений.
Далее Рассмотрим два уравнения с двумя неизвестными, скажем,
Каждое из этих двух уравнений определяет линия в декартова плоскость. Все решения являются координатами точки где две линии пересекаются. Есть снова три возможности.
Рис. 1: Уникальное решение двух уравнений с двумя неизвестными.
Линии пересекаются в одной точке. Есть уникальное решение (т. е. координаты этой точки). Пример предоставлен
Решение и , как показано на рисунке 1.
Рис. 2: Нет Решение двух уравнений с двумя неизвестными.
Линии параллельны, но различны. Они никогда не пересекаются и нет решения. Пример предоставлен
Обратите внимание, что очевидно, что два уравнения противоречат друг другу, ничего может одновременно равняться и .
Рис. 3. Бесконечное множество решений двух уравнений с двумя неизвестными.
Линии идентичны. Любая точка на линиях обеспечивает решение. Тривиальный пример можно получить, написав тот же уравнение дважды. Менее тривиальный пример:
Более двух уравнений. Аналогичные соображения применимы к системам из более чем двух уравнений, но это предмет, выходящий за рамки этого класса. Ты выучишь больше, когда вы берете класс на Линейная алгебра .
Сложный пример
Предположим, мы хотим найти многочлен четвертой степени, значение которого равно
за
.
Целью этого упражнения может быть
приблизить полиномом на калькуляторе
который не может оценить нецелое число напрямую.
Аппроксимация функций — это огромная тема, здесь мы просто используем это
задача как пример для более сложной линейной системы.
Запишем наш многочлен четвертой степени как
Мы хотим, чтобы он удовлетворял уравнениям
Это линейная система пяти уравнений с пятью неизвестными , , , , и .
Таблица ниже настроена как обсуждается, за исключением того, что всякий раз, когда запись остается пустой уточнить редуцированные системы.
Уравнение очень особенное, оно сразу говорит нам, что . Мы используем это уравнение, чтобы исключить из оставшихся уравнений что дает нам четыре уравнения (через) в четырех неизвестные , и .
Уравнение, что означает
.
Подстановка значения в уравнение дает
что подразумевает
.
Подстановка и в уравнение дает уравнение
что подразумевает
. Наконец, подставив ,
и в уравнение дает
который
подразумевает
.