Онлайн сложение и вычитание матриц: Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание матриц

Содержание

умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В c_ij = a_ij + b_ij Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что

b_ij = k × a_ij. В = k × A b

ij = k × a_ij. Матрица — А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А — А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С — матрицы, α и β — числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + .

.. + a_in × b_nk, т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные

матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)^Т = В^ТА^Т; 7. (АВС)^Т = С^ТВ^ТА^Т; 8. (А + В)^Т = А^Т + В^Т;

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца

матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Свойства определителей матриц

Свойства определителей матриц:

Свойство № 1:

Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|^Т

Следствие:

Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.

Свойство № 2:

При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т. е.:

Свойство № 3:

Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство № 4:

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.

Следствия из свойств № 3 и № 4:

Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 5:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 6:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то

определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:

Свойство № 7:

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.

Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы:

Как складывать и вычитать матрицы? (+ БЕСПЛАТНЫЙ рабочий лист!)

В этом пошаговом руководстве вы узнаете, как складывать или вычитать матрицы, используя примеры с подробными решениями.

См. также

Как умножить матрицу

Пошаговое руководство по сложению и вычитанию матриц

Матрица (множественное число: матрицы) представляет собой прямоугольный массив чисел или переменных, расположенных в строках и столбцах.
Мы можем сложить или вычесть две матрицы, если они имеют одинаковые размеры.
Для сложения или вычитания сложите или вычтите соответствующие записи и поместите результат в соответствующую позицию результирующей матрицы.

Сложение и вычитание матриц – Пример 1:

\(\begin{bmatrix} 2 & -5 & -3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \)

Решение:

Добавьте элементы в соответствующие позиции: \(\begin{bmatrix} 2+1 & -5+(-2) & -3+(-3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 & -7 & -6 \end{bmatrix}\)

Сложение и вычитание матриц – Пример 2:

\(\begin{bmatrix}3 & 6 \\-1 & -3 \\-5 & -1\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}0 & — 1 \\6 & 0 \\2 & 3\end{bmatrix} \)

Решение :

Добавьте элементы в соответствующие позиции: \(\begin{bmatrix}3+0 & 6+(- 1) \\-1+6 & -3+0 \\-5+2 & -1+3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 5 \\5 & -3 \\-3 & 2 \end{bmatrix} \)

Сложение и вычитание матриц – Пример 3:

\(\begin{bmatrix}2 & -1 \\0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -2 \end{bmatrix}\)

Решение :

Добавьте элементы в соответствующие позиции: \(\begin{bmatrix}2+3 и -1+1 \\0+5 и 1+(-2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\5 & -1 \end{bmatrix}\)

Сложение и вычитание матриц – Пример 4:

\(\begin{bmatrix}-1 & 2 \\3 & 4 \\0 & -2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}5 & -2 \\6 & 1 \\-3 & 4\end{bmatrix} \)

Решение :

Вычтите элементы в совпадающих позициях: \(\begin{bmatrix}-1-5 & 2-(-2) \\3-6 & 4-1 \\0-(- 3) & -2-4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-6 & 4 \\-3 & 3 \\3 & -6\end{bmatrix}\)